1. 下列四個點中，在函數y=3x+1的圖像上的是（ ）
A. （－1，2）B. （0，－1）C. （1，4）D. （2，－7）
【答案】C
【解析】
【分析】只要把點的坐標代入一次函數的解析式，若左邊=右邊，則點在函數的圖象上，反之就不在函數的圖象上，代入檢驗即可．
【詳解】解：A、把（-1，2）代入y=3x+1得：左邊=2，右邊=3×（-1）+1= -2，左邊≠右邊，故A選項錯誤；
B、把（0，-1）代入y=3x+1得：左邊= -1，右邊=3×0+1=1，左邊≠右邊，故B選項錯誤；
C、把（1，4）代入y=3x+1得：左邊=4，右邊=3×1+1=4，左邊=右邊，故C選項正確；
D、把（2，-7）代入y=3x+1得：左邊= -7，右邊=3×2+1=7，左邊≠右邊，故D選項錯誤．
故選C．
【點睛】本題考查對一次函數圖象上點的坐標特征的理解和掌握，能根據點的坐標判斷是否在函數的圖象上是解題關鍵．
2. 已知一次函數的圖象經過一、二、四象限，則下列判斷中正確的是（ ）
A. ，B. ，C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根據圖象在坐標平面內位置確定k,b的取值范圍
【詳解】∵一次函數y=kx+b的圖象經過一、二、四象限
∴.k＜0,b>0,
故選B.
【點睛】此題考查一次函數圖象與系數的關系，解題關鍵在于判斷出函數經過的象限
3. 下列說法：①“明天的降水概率為80%”是指明天有80%的時間在下雨；②連續(xù)拋一枚硬幣50次，出現(xiàn)正面朝上的次數一定是25次（ ）
A. 只有①正確B. 只有②正確C. ①②都正確D. ①②都錯誤
【答案】D
【解析】
【分析】概率是反映事件發(fā)生機會的大小的概念，只是表示發(fā)生的機會的大小，機會大也不一定發(fā)生，機會小也有可能發(fā)生．
【詳解】①“明天的降水概率為80%”是指是指明天下雨的可能性是80%，不是有80%的時間在下雨，故①錯誤；
②“連續(xù)拋一枚硬幣50次，出現(xiàn)正面朝上的次數一定是25次”，這是一個隨機事件，拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上或者反面朝上都有可能，但事先無法預料，故②錯誤；
①和②都是錯誤的．
故選D．
【點睛】本題考查概率的相關概念．不確定事件是可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．正確理解隨機事件、不確定事件的概念是解決本題的關鍵．
4. 關于x的一元一次方程，下列對于該方程的解的說法中，正確的是（ ）
A. 該方程一定有實數解B. 該方程一定沒有實數解
C. 該方程不一定有實數解D. 上述說法都不對
【答案】C
【解析】
【分析】根據一元一次方程的解法即可求出答案．
【詳解】解：當時，有實數解，
當時，無實數解，
∴該方程不一定有實數解．
∴故選：C．
【點睛】本題考查一元一次方程，解題的關鍵是正確理解一元一次方程的解法步驟，本題屬于基礎題型．
5. 下列等式成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據平面向量的性質，一一判斷即可．
【詳解】解：（B）原式，故B錯誤；
（C），故C錯誤；
（D）原式，故D錯誤；
故選：A．
【點睛】考查了平面向量的知識，屬于基礎題，掌握平面向量的性質和相關運算法則即可解題．
6. 在四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，下列各組條件，其中不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（ ）
A. OA＝OC，OB＝ODB. OA＝OC，AB∥CD
C. AB＝CD，OA＝OCD. ∠ADB＝∠CBD，∠BAD＝∠BCD
【答案】C
【解析】
【分析】根據平行四邊形的判定方法得出A、B、D正確，C不正確；即可得出結論．
【詳解】解：A.∵ OA＝OC，OB＝OD
∴四邊形ABCD是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形），
∴A正確，故本選項不符合要求；
B. ∵AB∥CD
∴∠DAO=∠BCO，
在△DAO與△BCO中，
∴△DAO≌△BCO（ASA），
∴OD=OB，
又OA=OC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴B正確，故本選項不符合要求；
C. 由 AB=DC， OA=OC，
∴無法得出四邊形ABCD是平行四邊形．故不能能判定這個四邊形是平行四邊形，符合題意；∵AB∥DC，
D.∵∠ADB=∠CBD，∠BAD=∠BCD
∴四邊形ABCD是平行四邊形（兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形），∴D正確，故本選項不符合要求；故選C．
【點睛】本題考查平行四邊形的判定方法；熟練掌握平行四邊形的判定方法，并能進行推理論證是解決問題的關鍵．
二、填空題（本大題共12小題）
7. 直線在y軸上的截距為________．
【答案】
【解析】
【分析】當時，進行計算即可得．
【詳解】解：當時，，
則直線在y軸上的截距為，
故答案為：．
【點睛】本題考查了一次函數圖像與x軸、y軸交點，解題的關鍵是掌握一次函數的性質．
8. 一次函數的圖象經過點（0，3），且與直線y＝﹣2x+1平行，那么這個一次函數的解析式是 _____．
【答案】y＝﹣2x+3
【解析】
【分析】設一次函數的解析式為y=kx+b，由題可知，k=-2，再代入點（0，3）求出b，進而得出一次函數解析式．
【詳解】解：設一次函數解析式是y＝kx+b，
∵該一次函數與直線y＝﹣2x+1平行，
∴k＝﹣2．
∵一次函數的圖象經過點（0，3），
∴0+b=3，
解得b＝3，
∴一次函數的解析式是y＝﹣2x+3．
故答案為：y＝﹣2x+3．
【點睛】本題考查求一次函數解析式，熟練掌握一次函數的性質以及定義是解決問題的關鍵．
9. 已知一次函數，點，在圖象上，則______填“”或“”．
【答案】
【解析】
【分析】直接利用一次函數的增減性進而分析得出答案．
【詳解】一次函數，
隨x的增大而減小，
點，在圖象上，
．
故答案為．
【點睛】此題主要考查了一次函數的性質，正確掌握一次函數的增減性是解題關鍵．
10. 一次函數y=kx+b的圖象如圖所示，當y＞0時，x的取值范圍是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
【詳解】解：根據圖象和數據可知，當y>0即圖象在x軸的上方，．
故答案為．
11. 方程的實數解為________．
【答案】
【解析】
【分析】利用立方根的概念即可求解．
【詳解】解：
．
故答案為：．
【點睛】本題考查立方根的概念，解題時注意一個實數只有一個立方根，區(qū)分立方根和平方根的求解是本題解題關鍵．
12. 方程=0的解為__________．
【答案】
【解析】
【分析】將原方程兩邊平方得出關于x的整式方程，解之求得x的值，再由二次根式有意義的條件可確定x的最終結果．
【詳解】解：將原方程兩邊平方得（x?5）（x?4）＝0，
則x?5＝0或x?4＝0，
解得：x＝5或x＝4，
∵x?5≥0，
x?4≥0，
解得：x≥5，
∴x＝5，
故答案為x＝5．
【點睛】本題主要考查解無理方程，解無理方程的基本思想是把無理方程轉化為有理方程來解，在變形時要注意根據方程的結構特征選擇解題方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，設輔助元素法，利用比例性質法等．
13. 把二次方程轉化成兩個一次方程，那么這兩個一次方程是_______和_______．
【答案】 ①. ②. x－3－y=0
【解析】
【分析】根據完全平方公式與平方差公式因式分解即可求解．
【詳解】解：，，
，．
故答案為：，x－3－y=0．
【點睛】本題考查了因式分解的應用，解二次方程，掌握因式分解是解題的關鍵．
14. 從﹣2，﹣1，1，2四個數中，隨機抽取兩個數相乘，積為正數的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】列表得出所有等可能結果，從中找到積為大于-4小于2的結果數，根據概率公式計算可得．
【詳解】解：列表如下：
由表可知，共有12種等可能結果，其中積為正數的有4種結果，
∴積為正數的概率是，
故答案為．
【點睛】本題考查了用列表法或樹狀圖法求概率．列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比．
15. 如果一個多邊形的內角和等于720o，那么這個多邊形的邊數是___________．
【答案】6
【解析】
【分析】n邊形的內角和可以表示成（n－2）?180°，設這個多邊形的邊數是n，就得到方程，從而求出邊數即可．
【詳解】解：設這個多邊形的邊數是n，
則（n－2）?180°＝720°，
解得：n＝6，
則這個多邊形的邊數是6．
故答案為：6．
【點睛】本題主要考查多邊行的內角和定理，解題的關鍵是熟練掌握n邊形的內角和公式（n－2）×180．
16. 如圖，在?ABCD中，AC=AD，∠D=72°，BE⊥AC，垂足為E，則∠ABE=______．
【答案】18°
【解析】
【分析】由等腰三角形的性質得出∠ACD=∠D=72°，由平行四邊形的性質得出AB∥CD，得出∠BAE=∠ACD=72°，由直角三角形的性質即可得出∠ABE的度數．
【詳解】∵AC=AD，
∴∠ACD=∠D=72°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴∠BAE=∠ACD=72°，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE=90°-∠BAE=18°；
故答案為18°．
【點睛】本題考查了平行四邊形的性質、等腰三角形的性質、直角三角形的性質；熟練掌握平行四邊形和等腰三角形的性質是解題的關鍵．
17. 如果順次聯(lián)結四邊形ABCD各邊中點所得的四邊形是矩形，那么對角線AC與BD需滿足的條件是__．
【答案】AC⊥BD
【解析】
【分析】這個四邊形ABCD的對角線AC和BD的關系是互相垂直．理由為：根據題意畫出相應的圖形，如圖所示，由四邊形EFGH為矩形，根據矩形的四個角為直角得到∠FEH＝90°，又EF為三角形ABD的中位線，根據中位線定理得到EF與DB平行，根據兩直線平行，同旁內角互補得到∠EMO＝90°，同理根據三角形中位線定理得到EH與AC平行，再根據兩直線平行，同旁內角互補得到∠AOD＝90°，根據垂直定義得到AC與BD垂直．
【詳解】證明：∵四邊形EFGH是矩形，
∴∠FEH＝90°，
又∵點E、F、分別是AD、AB、各邊的中點，
∴EF是三角形ABD的中位線，
∴EF∥BD，
∴∠FEH＝∠OMH＝90°，
又∵點E、H分別是AD、CD各邊的中點，
∴EH是三角形ACD的中位線，
∴EH∥AC，
∴∠OMH＝∠COB＝90°，
即AC⊥BD．
故答案為：AC⊥BD．
【點睛】此題考查了矩形的性質，三角形的中位線定理，以及平行線的性質．這類題的一般解法是：借助圖形，充分抓住已知條件，找準問題的突破口，由淺入深多角度，多側面探尋，聯(lián)想符合題設的有關知識，合理組合發(fā)現(xiàn)的新結論，圍繞所探結論環(huán)環(huán)相加，步步逼近，所探結論便會被“逼出來”．
18. 如圖，梯形ABCD中對角線，，，點E為BC邊上一點，如果，那么BE：BC=_______．
【答案】
【解析】
【分析】根據平行線與等腰三角形證明，進而證明，得到AD=DF，再證明EF=CE，根據線段的和差關系求得CE，進而得到BE即可得出答案．
【詳解】，，
∵梯形ABCD中，，
，
，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案為：．
【點睛】本題考查梯形的性質，等腰三角形的性質與判斷，互余的性質，求出CE的長是關鍵．
三、解答題（本大題共9小題）
19. 解方程：．
【答案】x=4
【解析】
【分析】將方程兩邊平方整理得到關于x的含有根號的無理方程，再次將方程兩邊平方得到一個一元一次方程，然后求解即可
【詳解】
經檢驗是原方程的根，
所以原方程的根為．
【點睛】本題考查了無理方程，一元一次方程的解法，完全平方公式，二次根式的混合運算，轉化無理方程為一元二次方程是解題的關鍵．
20. 解方程組：
【答案】
【解析】
【分析】先對方程①②分解因式轉化為兩個一元一次方程，然后聯(lián)立，組成4個二元一次方程組，解之即可．
【詳解】，
由①得 （x+y）（x-2y）=0，
∴x+y=0或x-2y=0，
由②得 （x+y）2=1，
∴x+y=1或x+y=-1，
所以原方程組化為或或或，
所以原方程組的解為．
【點睛】本題考查了高次方程組，將高次方程化為一次方程是解題的關鍵．
21. 如圖1，由單位小正方形拼成的的大正方形中．已知，，．
（1）在圖2中求作，使得．（寫出結果，不要求寫作法）
（2）在圖3中求作，使得．（寫出結果，不要求寫作法）
【答案】（1）畫圖見解析
（2）畫圖見解析
【解析】
【分析】（1）根據勾股定理與網格的特點求得的長，根據三角形法則即可求解．
（2）根據三角形法則可得=，進而表示出即可求解．
【小問1詳解】
解：如圖2中，為所求．
【小問2詳解】
如圖3中，=，，為所求．
【點睛】本題考查了平面向量的線性運算，網格作圖，掌握三角形法則以及多邊形法則是解題的關鍵．
22. 兒童節(jié)前，某玩具商店根據市場調查，用3000元購進一批兒童玩具，上市后很快脫銷，接著又用5400元購進第二批這種玩具，所購數量比第一批增加了30件，但每套進價多了10元．已知兩次購入的玩具數都沒有超過100件，求第一批玩具每套的進價．
【答案】50元
【解析】
【分析】設第一批玩具每套的進價為x元，則第二批玩具每套的進價為（x＋10）元，根據數量＝總價÷單價，結合第二批比第一批多購進30套，解之經檢驗后即可得出x的值，再結合兩次購入的玩具數都沒有超過100套，即可確定x的值．
【詳解】解：設第一批玩具每套的進價為x元，則第二批玩具每套的進價為元，
依題意得，整理得：，即，
解得：，，
經檢驗，，均為原方程的解，
又∵兩次購入的玩具數都沒有超過100套，進價為元時，第一批第二批購進玩具均超過100件，
不合題意，舍去．
答：第一批玩具每套的進價為50元．
【點睛】本題考查了分式方程的應用，讀懂題意，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．
23. 小明從A地出發(fā)向B地行走，同時曉陽從B地出發(fā)向A地行走，小明、曉陽離A地的距離y（千米）與已用時間x（分鐘）之間的函數關系分別如圖中、所示．
（1）小明與曉陽出發(fā)幾分鐘時相遇？
（2）求曉陽到達A地的時間．
【答案】（1）12分鐘
（2）20分鐘
【解析】
【分析】（1）由圖可知當二人離A地的距離時，兩人相遇，根據圖像求出的解析式，再代入即可得出答案；
（2）根據圖象求出曉陽的速度，再根據路程公式即可得出曉陽到達A地的時間．
【小問1詳解】
解：設的解析式為：．
∵函數的圖象過，
，
即，
，
當時，，
∴小明與曉陽出發(fā)12分鐘時相遇．
【小問2詳解】
解：∵曉陽的速度為（千米/分鐘），
∴曉陽到達A地的時間為分鐘．
【點睛】本題考查利用一次函數圖象解決路程問題，分析圖象中點的坐標的實際意義是本題解題關鍵．
24. 如圖，在△ABC中，點D是AB邊上一點，AC＝AD，連接CD．點O是CD中點，連接AO并延長AO交BC于點E，連接ED．過點D作DF∥BC交AE于點F，連接CF．求證：四邊形CEDF是菱形．
【答案】見解析．
【解析】
【分析】根據等腰三角形的性質得到，得到，根據全等三角形的性質得到，求得，于是得到結論．
【詳解】解：，點是中點，
，
，
，
，
，
，
與中，
，
，
，
，
四邊形是菱形．
【點睛】本題考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的性質，正確的識別圖形是解題的關鍵．
25. 如圖，已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，BE平分∠ABC，交CD于點E，F(xiàn)是AB的中點，聯(lián)結AE、EF，且AE⊥BE．
求證：（1）四邊形BCEF菱形；（2）BE?AE=2AD?BC．
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）根據角平分線的性質可得出∠ABE=∠CBE，由直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半可得出EF=BF=AB，進而可得出∠FEB=∠FBE=∠CBE，由“內錯角相等，兩直線平行”可得出EF∥BC，結合AB∥CD可得出四邊形BCEF是平行四邊形，再由鄰邊EF=BF即可證出四邊形BCEF是菱形；
（2）根據菱形的性質可得出BC=BF，結合BF=AB可得出AB=2BC，由AB∥CD可得出∠DEA=∠EAB，結合∠D=∠AEB=90°可證出△EDA∽△AEB，根據相似三角形的性質可得出BE?AE=AD?BA，代入BA=2BC即可證出結論．
【詳解】（1）∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE．
∵AE⊥BE，
∴∠AEB=90°．
∵F是AB的中點，
∴EF=BF=AB，
∴∠FEB=∠FBE=∠CBE，
∴EF∥BC．
∵AB∥CD，
∴四邊形BCEF是平行四邊形．
∵EF=BF，
∴四邊形BCEF是菱形．
（2）∵四邊形BCEF是菱形，
∴BC=BF．
∵BF=AB，
∴AB=2BC．
∵AB∥CD，
∴∠DEA=∠EAB．
∵∠D=∠AEB=90°，
∴△EDA∽△AEB，
∴=，
∴BE?AE=AD?BA，
∴BE?AE=2AD?BC．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質、菱形的判定與性質、平行線的判定與性質、梯形以及直角三角形，解題的關鍵是：（1）熟練掌握菱形的判定定理；（2）利用兩角對應相等兩三角形相似找出△EDA∽△AEB．
26. 如圖，平面直角坐標系xOy中，直線AB過點，，交y軸于點C，點在點C上方．連接AD，BD．
（1）求直線AB的表達式．
（2）當時，在第一象限內求作點P，使得，且．
【答案】（1）
（2）見解析
【解析】
【分析】（1）利用待定系數法即可求解；
（2）過點D在第一象限內作PD∥x軸，且PD=2OB，連接PB，則點P即為所求，理由：根據，可得點D的坐標，從而得到點P的坐標，再利用勾股定理以及逆定理可得，，即可．
【小問1詳解】
解：設直線AB的解析式為：，
把點，代入得，
，解得：，
∴直線AB的解析式為：．
【小問2詳解】
解：過點D在第一象限內作PD∥x軸，且PD=2OB，連接PB，則點P即為所求，理由如下：
當x=0時，
∴，
，
的面積，
∵
∴，
，
，
∵點B（2，0），
∴OB=2，
∴PD=4，
，點P（4，2），
三等腰直角三角形，
，
∴，
∴，，
∴．
【點睛】本題主要考查了求一次函數解析式，勾股定理及其逆定理等知識，熟練掌握利用待定系數求一次函數解析式，勾股定理及其逆定理等知識是解題關鍵．
27. 如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，P，E分別是線段AC、BC上的點，且四邊形PEFD為矩形．
（I）若△PCD是等腰三角形時，求AP的長；
（Ⅱ）判斷CF與AC有怎樣的位置關系并說明理由．
【答案】（I）AP的長為4或5或；（Ⅱ）CF⊥AC，理由詳見解析
【解析】
【分析】（I）先利用勾股定理求出AC，再分三種情況：CP＝CD，PD＝PC，DP＝DC分情況討論計算即可得出結論；
（Ⅱ）連接PF，DE，PF與DE的交點為O，連接OC，根據矩形的性質得出∠BCD＝90°，OE＝OD，OP＝OF＝PF，PF＝DE，然后利用直角三角形斜邊中線的性質得出OC＝OP＝OF，從而有∠OCF＝∠OFC，∠OCP＝∠OPC，利用三角形內角和定理即可得出∠PCF＝90°，則可證明CF⊥AC．
【詳解】解：（I）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠ADC＝90°，
∴DC＝AB＝6，
∴AC＝＝10，
要使△PCD是等腰三角形，
①當CP＝CD時，AP＝AC﹣CP＝10﹣6＝4，
②當PD＝PC時，∠PDC＝∠PCD，
∵∠PCD+∠PAD＝∠PDC+∠PDA＝90°，
∴∠PAD＝∠PDA，
∴PD＝PA，
∴PA＝PC，
∴AP＝AC＝5，
③當DP＝DC時，如圖1，過點D作DQ⊥AC于Q，則PQ＝CQ，
∵S△ADC＝AD?DC＝AC?DQ，
∴DQ＝＝，
,
,
∴CQ＝＝，
∴PC＝2CQ＝，
∴AP＝AC﹣PC＝10﹣＝；
所以，若△PCD是等腰三角形時，AP的長為4或5或；
（Ⅱ）CF⊥AC，理由如下：
如圖2，連接PF，DE， PF與DE的交點為O，連接OC，
∵四邊形ABCD和PEFD是矩形，
∴∠BCD＝90°，OE＝OD，OP＝OF＝PF，PF＝DE，
∴OC＝ED，
∵PF＝DE，
∴OC＝PF，
∵OP＝OF＝PF，
∴OC＝OP＝OF，
∴∠OCF＝∠OFC，∠OCP＝∠OPC，
∵∠OPC+∠OFC+∠PCF＝180°，
∴2∠OCP+2∠OCF＝180°，
∴∠PCF＝90°，
∴CF⊥AC．
【點睛】本題主要考查矩形的性質，勾股定理，等腰三角形的定義及性質，直角三角形斜邊中線的性質，分情況討論是解題的關鍵．-2
-1
1
2
-2
2
-2
-4
-1
2
-1
-2
1
-2
-1
2
2
-4
-2
2

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2020-2021學年上海市楊浦區(qū)民辦蘭生復旦中學六下期末數學試練習題

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