2023-2024學(xué)年江蘇省南京市鼓樓區(qū)九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

A．＝B．＝
C．＝D．＝
2．小明用地理中所學(xué)的等高線的知識在某地進行野外考察，他根據(jù)當(dāng)?shù)氐匦萎嫵隽恕暗雀呔€示意圖”，如圖所示（注：若某地在等高線上，則其海拔就是其所在等高線的數(shù)值；若不在等高線上，則其海拔在相鄰兩條等高線的數(shù)值范圍內(nèi)），若A，B，C三點均在相應(yīng)的等高線上，且三點在同一直線上，則的值為（）
A．B．C．D．2
3．小明沿著坡度為1：2的山坡向上走了1 000m，則他升高了（）
A．200mB．500mC．500mD．1000m
4．已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2x+（a為常數(shù)，且a＞0），下列結(jié)論：①函數(shù)圖象一定經(jīng)過第一、二、四象限；②函數(shù)圖象一定不經(jīng)過第三象限；③當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而減?。虎墚?dāng)x＞0時，y隨x的增大而增大．其中所有正確結(jié)論的序號是（）
A．①②B．②③C．②D．③④
5．一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子（六個面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6），投擲5次，分別記錄每次骰子向上的一面出現(xiàn)的數(shù)字．根據(jù)下面的統(tǒng)計結(jié)果，能判斷記錄的這5個數(shù)字中一定沒有出現(xiàn)數(shù)字6的是（）
A．中位數(shù)是3，眾數(shù)是2
B．平均數(shù)是3，中位數(shù)是2
C．平均數(shù)是3，方差是2
D．平均數(shù)是3，眾數(shù)是2
6．如圖，將矩形ABCD沿著GE、EC、GF翻折，使得點A、B、D恰好都落在點O處，且點G、O、C在同一條直線上，同時點E、O、F在另一條直線上．小煒同學(xué)得出以下結(jié)論：①GF∥EC；②；③；④．其中正確的是（）
A．①②③B．①③④C．①④D．②③④
二、填空題（本大題共10小題，每題2分，共20分，不需寫出解答過程，請把答案直接填
7．黃金分割比符合人的視覺習(xí)慣，在人體軀干和身高的比例上，肚臍是理想的黃金分割點，即比例越接近0.618越給人以美感．張女士身高165cm，若她下半身的長度（腳底到肚臍的高度）與身高的比值是0.60，為盡可能達到勻稱的效果，她應(yīng)該選擇約厘米的高跟鞋看起來更美．（結(jié)果保留整數(shù)）
8．若一個圓錐的底面圓的半徑是2，側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)是180°，則該圓錐的母線長為．
9．已知△ABC∽△DEF，若△ABC的三邊分別長為6，8，10，△DEF的面積為96，則△DEF的周長為．
10．某學(xué)校舉行學(xué)生會成員的競選活動，對競選者從平時表現(xiàn)、民主測評、和講演三個方面分別按百分制打分，然后以3：2：5的比例計算最終成績，若一名同學(xué)的平時表現(xiàn)、民主測評、和講演成績分別為90分、80分和94分，則這名同學(xué)的最終成績?yōu)? 分．
11．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，如果在AB上任取一點M，那么AM≤AC的概率是．
12．如圖，四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝5cm，AD＝3cm，BC＝2cm，P是AB上一點，若以P、A、D為頂點的三角形與△PBC相似，則PA＝ cm．
13．已知a≠b，且a2﹣13a+1＝0，b2﹣13b+1＝0，那么＝．
14．在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P的圓心是（2，a）（a＞2），半徑為2，函數(shù)y＝x的圖象被⊙P截得的弦AB的長為，則a的值是．
15．有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時撲捉．把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點，模型如圖，∠ABC＝90°，點M，N分別在射線BA，BC上，MN長度始終保持不變，MN＝4，E為MN的中點，點D到BA，BC的距離分別為4和2．在此滑動過程中，貓與老鼠的距離DE的最小值為．
16．如圖，Rt△ABC內(nèi)接于⊙O，AC＝BC，∠BAC的平分線AD與⊙O交于點D，與BC交于點E，延長BD，與AC的延長線交于點F，連接CD，G是CD的中點，連接OG．若OG?DE＝3（2﹣），則⊙O的面積為．
三、解答題（本大題共11小題，共88分，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字
17．（8分）計算：
（1）；
（2）sin45°﹣cs30°tan60°．
18．（4分）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．
19．（5分）如圖，AD是△ABC的高，，，AC＝10，求△ABC的周長．
20．張明、李成兩位同學(xué)初二學(xué)年10次數(shù)學(xué)單元自我檢測的成績（成績均為整數(shù)，且個位數(shù)為0）分別如圖所示：
利用圖中提供的信息，解答下列問題．
（1）完成下表：
（2）如果將90分以上（含90分）的成績視為優(yōu)秀，則優(yōu)秀率高的同學(xué)是；
（3）根據(jù)圖表信息，請你對這兩位同學(xué)各提一條不超過20個字的學(xué)習(xí)建議．
21．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的自變量x與函數(shù)值y的部分對應(yīng)值如下表：
根據(jù)表格中的信息，完成下列各題
（1）當(dāng)x＝3時，y＝；
（2）當(dāng)x＝時，y有最值為；
（3）若點A（x1，y1）、B（x2，y2）是該二次函數(shù)圖象上的兩點，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，試比較兩函數(shù)值的大?。簓1 y2
（4）若自變量x的取值范圍是0≤x≤5，則函數(shù)值y的取值范圍是．
22．（7分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+2的圖象經(jīng)過點（2，0）和點C．
（1）若點C坐標(biāo)為（1，3），
①求這個二次函數(shù)的表達式；
②當(dāng)﹣1≤x≤2時，直接寫出y的取值范圍．
（2）若點C坐標(biāo)為（1，m）且該函數(shù)的圖象開口向上，直接寫出m的取值范圍．
23．為滿足市場需求，某超市在五月初五“端午節(jié)”來臨前夕，購進一種品牌粽子，每盒進價是40元．超市規(guī)定每盒售價不得少于45元．根據(jù)以往銷售經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)；當(dāng)售價定為每盒45元時，每天可以賣出700盒，每盒售價每提高1元，每天要少賣出20盒．
（1）試求出每天的銷售量y（盒）與每盒售價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)每盒售價定為多少元時，每天銷售的利潤P（元）最大？最大利潤是多少？
（3）為穩(wěn)定物價，有關(guān)管理部門限定：這種粽子的每盒售價不得高于58元．如果超市想要每天獲得不低于6000元的利潤，那么超市每天至少銷售粽子多少盒？
24．（7分）小明在學(xué)完物理“電學(xué)”知識后，進行“燈泡亮了”的實驗，設(shè)計了如圖所示的電路圖，電路圖上有5個開關(guān)S1、S2、S3、S4、S5和一個小燈泡，當(dāng)開關(guān)S1閉合時，再同時閉合開關(guān)S2、S3或S4、S5都可以使小燈泡發(fā)亮．
（1）當(dāng)開關(guān)S1、S2已經(jīng)閉合時，再任意閉合開關(guān)S3、S4、S5中的一個，小燈泡能亮起來的概率是；
（2）當(dāng)開關(guān)S1已經(jīng)閉合時，再任意閉合開關(guān)S2、S3、S4、S5中的兩個，請用列表或畫樹狀圖的方法求小燈泡能亮起來的概率．
25．（8分）如圖，已知AB為⊙O的直徑，AD、BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切線，切點為B，OC∥AD，BA、CD的延長線相交于點E．
（1）求證：DC是⊙O的切線；
（2）若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半徑．
26．（8分）如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，∠AED＝∠B，AG分別交線段DE、BC于點F、G，且AD：AC＝DF：CG．求證：
（1）AG平分∠BAC；
（2）EF?CG＝DF?BG．
27．（12分）如圖1，折疊矩形紙片ABCD，具體操作：①點E為AD邊上一點（不與點A，D重合），把△ABE沿BE所在的直線折疊，A點的對稱點為F點；②過點E對折∠DEF，折痕EG所在的直線交DC于點G，D點的對稱點為H點．
（1）求證：△ABE∽△DEG．
（2）若AB＝3，BC＝5，
①點E在移動的過程中，求DG的最大值；
②如圖2，若點C恰在直線EF上，連接DH，求線段DH的長．
2023-2024學(xué)年江蘇省南京市鼓樓區(qū)育英外國語中學(xué)九年級（上）月考數(shù)學(xué)試卷（12月份）
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分，在每小題所給出的四個選項中，恰有
1．已知ab＝cd，則下列各式不成立的是（）
A．＝B．＝
C．＝D．＝
【分析】根據(jù)兩內(nèi)項之積等于兩外項之積對各選項進行變形即可得解．
解：A、∵＝，∴ab＝cd，不符合題意；
B、∵＝，∴ab＝cd，不符合題意；
C、∵＝，∴ab＝cd，不符合題意；
D、∵＝，∴cd+c+d＝ab+a+b，符合題意．
故選：D．
【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，熟記并熟練應(yīng)用兩內(nèi)項之積等于兩外項之積的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．小明用地理中所學(xué)的等高線的知識在某地進行野外考察，他根據(jù)當(dāng)?shù)氐匦萎嫵隽恕暗雀呔€示意圖”，如圖所示（注：若某地在等高線上，則其海拔就是其所在等高線的數(shù)值；若不在等高線上，則其海拔在相鄰兩條等高線的數(shù)值范圍內(nèi)），若A，B，C三點均在相應(yīng)的等高線上，且三點在同一直線上，則的值為（）
A．B．C．D．2
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例式，計算即可．
【解答】解；∵點A，B，C三點均在相應(yīng)的等高線上，且三點在同一直線上，
∴＝＝，
故選：B．
【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理的應(yīng)用，根據(jù)定理列出比例式是解題的關(guān)鍵．
3．小明沿著坡度為1：2的山坡向上走了1 000m，則他升高了（）
A．200mB．500mC．500mD．1000m
【分析】根據(jù)題意作出圖形，然后根據(jù)坡度為1：2，設(shè)BC＝x，AC＝2x，根據(jù)AB＝1000m，利用勾股定理求解．
解：∵坡度為1：2，
∴設(shè)BC＝x，AC＝2x，
∴AB＝＝x，
即x＝1000，
解得：x＝200．
故選：A．
【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)坡度構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解．
4．已知二次函數(shù)y＝ax2﹣2x+（a為常數(shù)，且a＞0），下列結(jié)論：①函數(shù)圖象一定經(jīng)過第一、二、四象限；②函數(shù)圖象一定不經(jīng)過第三象限；③當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而減小；④當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而增大．其中所有正確結(jié)論的序號是（）
A．①②B．②③C．②D．③④
【分析】由a的正負(fù)可確定出拋物線的開口方向，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐項判斷即可．
解：∵a＞0時，拋物線開口向上，
∴對稱軸為直線x＝＝＞0，
當(dāng)x＜0時，y隨x的增大而減小，
當(dāng)x＞時，y隨x的增大而增大，
∴函數(shù)圖象一定不經(jīng)過第三象限，函數(shù)圖象可能經(jīng)過第一、二、四象限．
故選：B．
【點評】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握a決定二次函數(shù)的開口方向，進一步能確定出其最值是解題的關(guān)鍵．
5．一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子（六個面分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6），投擲5次，分別記錄每次骰子向上的一面出現(xiàn)的數(shù)字．根據(jù)下面的統(tǒng)計結(jié)果，能判斷記錄的這5個數(shù)字中一定沒有出現(xiàn)數(shù)字6的是（）
A．中位數(shù)是3，眾數(shù)是2
B．平均數(shù)是3，中位數(shù)是2
C．平均數(shù)是3，方差是2
D．平均數(shù)是3，眾數(shù)是2
【分析】根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)、方差的定義，結(jié)合選項中設(shè)定情況，逐項判斷即可．
解：當(dāng)中位數(shù)是3，眾數(shù)是2時，記錄的5個數(shù)字可能為：2，2，3，4，5或2，2，3，4，6或2，2，3，5，6，故A選項不合題意；
當(dāng)平均數(shù)是3，中位數(shù)是2時，5個數(shù)之和為15，記錄的5個數(shù)字可能為1，1，2，5，6或1，2，2，5，5，故B選項不合題意；
當(dāng)平均數(shù)是3，方差是2時，5個數(shù)之和為15，假設(shè)6出現(xiàn)了1次，方差最小的情況下另外4個數(shù)為：2，2，2，3，此時方差s2＝×[3×（2﹣3）2+（3﹣3）2+（6﹣3）2]＝2.4＞2，因此假設(shè)不成立，即一定沒有出現(xiàn)數(shù)字6，故C選項符合題意；
當(dāng)平均數(shù)是3，眾數(shù)是2時，5個數(shù)之和為15，2至少出現(xiàn)兩次，記錄的5個數(shù)字可能為1，2，2，4，6，故D選項不合題意；
故選：C．
【點評】本題主要考查平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)及方差，解題的關(guān)鍵是掌握平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)及方差的定義．
6．如圖，將矩形ABCD沿著GE、EC、GF翻折，使得點A、B、D恰好都落在點O處，且點G、O、C在同一條直線上，同時點E、O、F在另一條直線上．小煒同學(xué)得出以下結(jié)論：①GF∥EC；②；③；④．其中正確的是（）
A．①②③B．①③④C．①④D．②③④
【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)分析判斷①；通過點G為AD中點，點E為AB中點，設(shè)AG＝OG＝DG＝x，AE＝BE＝OE＝y(tǒng)，則BC＝AD＝2x，CD＝AB＝2y，利用勾股定理分析求得AB與AD的數(shù)量關(guān)系，從而判斷②；設(shè)DF＝OF＝a，則CF＝2y﹣a，OC＝BC＝2x，利用勾股定理進一步判斷③和④．
解：∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠AGE+∠AEG＝90°，∠CGD＝∠BCG，
由折疊可知：∠AEG＝∠OEG，∠CEO＝∠BEC，AG＝OG＝DG，AE＝OE＝BE，∠DGF＝∠OGF，∠GCE＝∠BCG，
∴AG＝AD，AE＝BE＝AB，∠OGF＝∠OCE，
∴GF∥EC，故①正確；
∵∠AEG+∠OEG+∠CEO+∠CEB＝180°，
∴∠AEG+∠BEC＝90°，
∴∠GEC＝90°，
設(shè)AG＝OG＝DG＝x，AE＝BE＝OE＝y(tǒng)，則BC＝AD＝2x，CD＝AB＝2y，
∴GC2＝DG2+CD2＝x2+（2y）2，CE2＝BE2+BC2＝y(tǒng)2+（2x）2，GE2＝AG2+AE2＝x2+y2，
∵GE2+CE2＝GC2，
代入整理得，y2＝2x2，
∴，
即：AB＝AD，故②錯誤；
設(shè)DF＝OF＝a，則CF＝2y﹣a，OC＝BC＝2x，
在Rt△COF中，由勾股定理得：
a2+（2x）2＝（2y﹣a）2，
解得：a＝y(tǒng)，
∵，
∴GE＝y(tǒng)，
∴GE＝a，故③正確；
∴OC＝2x＝2×y＝y(tǒng)＝2a，
即：，故④正確；
故選：B．
【點評】本題考查勾股定理，矩形的性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)和利用勾股定理構(gòu)建方程是解題關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共10小題，每題2分，共20分，不需寫出解答過程，請把答案直接填
7．黃金分割比符合人的視覺習(xí)慣，在人體軀干和身高的比例上，肚臍是理想的黃金分割點，即比例越接近0.618越給人以美感．張女士身高165cm，若她下半身的長度（腳底到肚臍的高度）與身高的比值是0.60，為盡可能達到勻稱的效果，她應(yīng)該選擇約 8 厘米的高跟鞋看起來更美．（結(jié)果保留整數(shù)）
【分析】根據(jù)黃金分割定義：下半身長與全身的比等于0.618即可求解．
解：根據(jù)已知條件可知：
下半身長是165×0.6＝99（cm），
設(shè)需要穿的高跟鞋為y cm，則根據(jù)黃金分割定義，得
＝0.618，
解得：y≈8，
經(jīng)檢驗y≈8是原方程的根，
答：她應(yīng)該選擇大約8cm的高跟鞋．
故答案為8．
【點評】本題考查了黃金分割，解決本題的關(guān)鍵是掌握黃金分割定義．
8．若一個圓錐的底面圓的半徑是2，側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)是180°，則該圓錐的母線長為 4 ．
【分析】該圓錐的母線長為l，由于圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，則根據(jù)弧長公式得到2π×2＝，然后解方程即可．
解：設(shè)該圓錐的母線長為l，
根據(jù)題意得2π×2＝，
解得l＝4，
即該圓錐的母線長為4．
故答案為：4．
【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．
9．已知△ABC∽△DEF，若△ABC的三邊分別長為6，8，10，△DEF的面積為96，則△DEF的周長為 48 ．
【分析】先判斷△ABC的形狀，再計算△ABC的面積，最后利用相似三角形的性質(zhì)得結(jié)論．
解：法一、∵62+82＝102，
∴△ABC是直角三角形．
∴S△ABC＝×6×8＝24．
∵△ABC∽△DEF，
∴兩個三角形的相似比為＝．
∵△ABC的周長為6+8+10＝24，
∴△DEF的周長＝2×24＝48．
故答案為：48．
法二、∵62+82＝102，
∴△ABC是直角三角形．
∴S△ABC＝×6×8＝24．
∵△ABC∽△DEF，
∴兩個三角形的相似比為＝．
∴△DEF的三邊長分別為12、16、20．
∴△DEF的周長＝12+16+20＝48．
故答案為：48．
【點評】本題主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的性質(zhì)、勾股定理的逆定理是解決本題的關(guān)鍵．
10．某學(xué)校舉行學(xué)生會成員的競選活動，對競選者從平時表現(xiàn)、民主測評、和講演三個方面分別按百分制打分，然后以3：2：5的比例計算最終成績，若一名同學(xué)的平時表現(xiàn)、民主測評、和講演成績分別為90分、80分和94分，則這名同學(xué)的最終成績?yōu)?90 分．
【分析】根據(jù)題意和加權(quán)平均數(shù)的計算方法，可以計算出這名同學(xué)的最終成績．
解：這名同學(xué)的最終成績?yōu)椋海?0（分），
故答案為：90．
【點評】本題考查加權(quán)平均數(shù)，解答本題的關(guān)鍵是明確加權(quán)平均數(shù)的計算方法．
11．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，如果在AB上任取一點M，那么AM≤AC的概率是．
【分析】欲求AM≤AC的概率，先求出M點可能在的位置的長度，結(jié)合已知AC的長度，求得AB的長，再讓兩者相除即可．
解：在等腰直角三角形ABC中，設(shè)AC長為1，則AB長為，
在AB上取點D，使AD＝1，則若M點在線段AD上，滿足條件．
則AM≤AC的概率為1÷＝．
故答案為：．
【點評】本題主要考查了概率里的古典概型．在利用幾何概型的概率公式來求其概率時，幾何“測度”可以是長度、面積、體積、角度等，其中對于幾何度量為長度，面積、體積時的等可能性主要體現(xiàn)在點落在區(qū)域Ω上任置都是等可能的．
12．如圖，四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝5cm，AD＝3cm，BC＝2cm，P是AB上一點，若以P、A、D為頂點的三角形與△PBC相似，則PA＝ 2或3 cm．
【分析】根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，當(dāng)若點A，P，D分別與點B，C，P對應(yīng)，與若點A，P，D分別與點B，P，C對應(yīng)，分別分析得出AP的長度即可．
解：設(shè)AP＝xcm．則BP＝AB﹣AP＝（5﹣x）cm
以A，D，P為頂點的三角形與以B，C，P為頂點的三角形相似，
①當(dāng)AD：PB＝PA：BC時，
＝，
解得x＝2或3．
②當(dāng)AD：BC＝PA：PB時，＝，解得x＝3，
∴當(dāng)A，D，P為頂點的三角形與以B，C，P為頂點的三角形相似，AP的值為2或3．
故答案為2或3．
【點評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．
13．已知a≠b，且a2﹣13a+1＝0，b2﹣13b+1＝0，那么＝ 1 ．
【分析】本題關(guān)鍵是由已知a2﹣13a+1＝0，b2﹣13b+1＝0，得a、b是方程x2﹣13x+1＝0的兩根，從而得兩根關(guān)系式，將分式化簡，把兩根關(guān)系式代入即可．
解：由題意得a，b是x2﹣13x+1＝0的兩根，那么a+b＝13，ab＝1．
∴原式＝+＝+＝＝1．
【點評】解決本題的關(guān)鍵是把所求的代數(shù)式整理成與根與系數(shù)有關(guān)的形式．
14．在平面直角坐標(biāo)系中，⊙P的圓心是（2，a）（a＞2），半徑為2，函數(shù)y＝x的圖象被⊙P截得的弦AB的長為，則a的值是．
【分析】過P點作PE⊥AB于E，過P點作PC⊥x軸于C，交AB于D，連接PA．分別求出PD、DC，相加即可．
解：過P點作PE⊥AB于E，過P點作PC⊥x軸于C，交AB于D，連接PA．
∵AB＝2，
∴AE＝，PA＝2，
∴PE＝1．
∵點D在直線y＝x上，
∴∠AOC＝45°，
∵∠DCO＝90°，
∴∠ODC＝45°，
∴∠PDE＝∠ODC＝45°，
∴∠DPE＝∠PDE＝45°，
∴DE＝PE＝1，
∴PD＝．
∵⊙P的圓心是（2，a），
∴點D的橫坐標(biāo)為2，
∴OC＝2，
∴DC＝OC＝2，
∴a＝PD+DC＝2+．
故答案為：2+．
【點評】本題綜合考查了一次函數(shù)與幾何知識的應(yīng)用，題中運用圓與直線的關(guān)系以及直角三角形等知識求出線段的長是解題的關(guān)鍵．注意函數(shù)y＝x與x軸的夾角是45°．
15．有一架豎直靠在直角墻面的梯子正在下滑，一只貓緊緊盯住位于梯子正中間的老鼠，等待與老鼠距離最小時撲捉．把墻面、梯子、貓和老鼠都理想化為同一平面內(nèi)的線或點，模型如圖，∠ABC＝90°，點M，N分別在射線BA，BC上，MN長度始終保持不變，MN＝4，E為MN的中點，點D到BA，BC的距離分別為4和2．在此滑動過程中，貓與老鼠的距離DE的最小值為 2﹣2 ．
【分析】如圖，連接BE，BD．求出BE，BD，根據(jù)DE≥BD﹣BE求解即可．
解：如圖，連接BE，BD．
由題意BD＝＝2，
∵∠MBN＝90°，MN＝4，EM＝NE，
∴BE＝MN＝2，
∴點E的運動軌跡是以B為圓心，2為半徑的弧，
∴當(dāng)點E落在線段BD上時，DE的值最小，
∴DE的最小值為2﹣2．（也可以用DE≥BD﹣BE，即DE≥2﹣2確定最小值）
故答案為2﹣2．
【點評】本題考查點與圓的位置關(guān)系，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
16．如圖，Rt△ABC內(nèi)接于⊙O，AC＝BC，∠BAC的平分線AD與⊙O交于點D，與BC交于點E，延長BD，與AC的延長線交于點F，連接CD，G是CD的中點，連接OG．若OG?DE＝3（2﹣），則⊙O的面積為 6π ．
【分析】構(gòu)造等弦的弦心距，運用相似三角形以及勾股定理進行求解．
解：如圖，過點O作BD的垂線，垂足為H，則H為BD的中點．
∴OH＝AD，即AD＝2OH，
又∵∠CAD＝∠BAD?CD＝BD，∴OH＝OG．
在Rt△BDE和Rt△ADB中，
∵∠DBE＝∠DAC＝∠BAD，
∴Rt△BDE∽Rt△ADB，
＝，即BD2＝AD?DE．
BD2＝AD?DE＝2OG?DE＝6（2﹣）．又BD＝FD，
∴BF＝2BD，
∴BF2＝4BD2＝24（2﹣）①，AC＝x，則BC＝x，AB＝x，
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠FAD＝∠BAD．
在Rt△ABD和Rt△AFD中，
∵∠ADB＝∠ADF＝90°，AD＝AD，∠FAD＝∠BAD，
∴Rt△ABD≌Rt△AFD（ASA）．
∴AF＝AB＝BC＝FD．
∴CF＝AF﹣AC＝x﹣x＝（﹣1）x．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
BF2＝BC2+CF2＝x2+[（﹣1）x]2＝2（2﹣）x2②
由①、②，得2（2﹣）x2＝24（2﹣），
∴x2＝12，解得x＝2或﹣2（舍去），
∴AB＝x＝?2＝2，
∴⊙O的半徑長為．
∴S⊙O＝π?（）2＝6π．
故答案為6π．
【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線及圓周角定理等知識，綜合性較強，解題時熟練運用垂徑定理、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共11小題，共88分，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字
17．（8分）計算：
（1）；
（2）sin45°﹣cs30°tan60°．
【分析】（1）先根據(jù)零指數(shù)、絕對值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義計算，再分母有理化，然后合并即可；
（2）先利用特殊角的三角函數(shù)值得到原式＝﹣×，然后進行二次根式的混合運算．
解：（1）原式＝1﹣|1﹣|﹣2+
＝1+1﹣﹣2+2
＝；
（2）原式＝﹣×
＝﹣
＝．
【點評】本題考查了分母有理化：分母有理化是指把分母中的根號化去．也考查了實數(shù)的運算．
18．（4分）解方程：x2﹣4x﹣1＝0．
【分析】配方法的一般步驟：（1）把常數(shù)項移到等號的右邊；
（2）把二次項的系數(shù)化為1；
（3）等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方．
解：∵x2﹣4x﹣1＝0，
∴x2﹣4x＝1，
∴x2﹣4x+4＝1+4，
∴（x﹣2）2＝5，
∴x＝2±，
∴x1＝2+，x2＝2﹣．
【點評】此題考查了配方法解一元二次方程，解題時要注意解題步驟的準(zhǔn)確應(yīng)用．選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1，一次項的系數(shù)是2的倍數(shù)．
19．（5分）如圖，AD是△ABC的高，，，AC＝10，求△ABC的周長．
【分析】在直角三角形ACD中，根據(jù)邊角關(guān)系先求出AC、CD,再在直角三角形ABD中，求出AB、BD，最后求出三角形ABC的周長．
解：在Rt△ACD中，，
∵，AC＝10，
∴，
∴AD＝6．
∴CD＝＝8．
在Rt△ABD中，∵，
∴∠B＝45°，
∴∠BAD＝∠B＝45°，
∴BD＝AD＝6，AB＝6．
∴△ABC的周長為:AB+AC+BD+CD
＝
＝．
【點評】本題考查了解直角三角形，掌握直角三角形的邊角間關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．
20．張明、李成兩位同學(xué)初二學(xué)年10次數(shù)學(xué)單元自我檢測的成績（成績均為整數(shù)，且個位數(shù)為0）分別如圖所示：
利用圖中提供的信息，解答下列問題．
（1）完成下表：
（2）如果將90分以上（含90分）的成績視為優(yōu)秀，則優(yōu)秀率高的同學(xué)是李成；
（3）根據(jù)圖表信息，請你對這兩位同學(xué)各提一條不超過20個字的學(xué)習(xí)建議．
【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和方差的定義求解；
（2）直接看圖得到；
（3）分析（1）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)即可．
解：（1）
（2）如果將90分以上（含90分）的成績視為優(yōu)秀，則優(yōu)秀率高的同學(xué)是李成；
（3）李成的學(xué)習(xí)要持之以恒，保持穩(wěn)定；張明的學(xué)習(xí)還需加把勁，提高優(yōu)秀率．
【點評】本題考查的是平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)和方差的概念．要學(xué)會從統(tǒng)計數(shù)據(jù)中得出正確的結(jié)論．
21．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的自變量x與函數(shù)值y的部分對應(yīng)值如下表：
根據(jù)表格中的信息，完成下列各題
（1）當(dāng)x＝3時，y＝ ﹣1 ；
（2）當(dāng)x＝ 1 時，y有最小值為 ﹣2 ；
（3）若點A（x1，y1）、B（x2，y2）是該二次函數(shù)圖象上的兩點，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，試比較兩函數(shù)值的大?。簓1 ＞ y2
（4）若自變量x的取值范圍是0≤x≤5，則函數(shù)值y的取值范圍是 ﹣2≤y≤2 ．
【分析】（1）由表中給出的三組數(shù)據(jù)，列方程組求得二次函數(shù)的解析式，再求出x＝3時，y的值；
（2）實際上是求二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)；
（3）求得拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)，在對稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減??；在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大；再進行判斷即可；
（4）根據(jù)拋物線的頂點，當(dāng)x＝5時，y最大，當(dāng)x＝1時，y最?。?br>解：（1）由表得，解得，∴二次函數(shù)的解析式為y＝x2﹣x﹣，
當(dāng)x＝3時，y＝＝﹣1；
（2）將y＝x2﹣x﹣配方得，y＝（x﹣1）2﹣2，
∵a＝＞0，∴函數(shù)有最小值，當(dāng)x＝1時，最小值為﹣2；
（3）令y＝0，則x＝±2+1，拋物線與x軸的兩個交點坐標(biāo)為（2+1，0）（﹣2+1，0）
∵﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，∴x1到1的距離大于x2到1的距離，∴y1＞y2
（4）∵拋物線的頂點為（1，﹣2），∴當(dāng)x＝5時，y最大，即y＝2；當(dāng)x＝1時，y最小，即y＝﹣2，
∴函數(shù)值y的取值范圍是﹣2≤y≤2；
故答案為﹣1；1、小、﹣2；＞；﹣2≤y≤2．
【點評】本題考查了用圖象法求一元二次方程的近似根，是中考壓軸題，難度較大．
22．（7分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+2的圖象經(jīng)過點（2，0）和點C．
（1）若點C坐標(biāo)為（1，3），
①求這個二次函數(shù)的表達式；
②當(dāng)﹣1≤x≤2時，直接寫出y的取值范圍．
（2）若點C坐標(biāo)為（1，m）且該函數(shù)的圖象開口向上，直接寫出m的取值范圍．
【分析】（1）①把（2，0）和C（1，3）分別代入y＝ax2+bx+2中得到關(guān)于a、b的方程組，然后解方程組即可；
②先拋物線解析式配成頂點式，則根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到當(dāng)x＝時，y有最大值，再分別計算出x＝﹣1和x＝2所對應(yīng)的函數(shù)值，然后寫出當(dāng)﹣1≤x≤2時，y的取值范圍；
（2）把（2，0）和C（1，m）分別代入y＝ax2+bx+2中，則可用m表示a得到a＝1﹣m，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到1﹣m＞0，最后解不等式即可．
解：（1）①把（2，0）和C（1，3）分別代入y＝ax2+bx+2得，
解得，
∴這個二次函數(shù)的表達式為y＝﹣2x2+3x+2；
②∵y＝﹣2（x﹣）2+，
∴當(dāng)x＝時，y有最大值，
當(dāng)x＝﹣1時，y＝﹣2x2+3x+2＝﹣2﹣3+2＝﹣3；
當(dāng)x＝2時，y＝﹣2x2+3x+2＝﹣2×4+3×2+2＝0，
∴當(dāng)﹣1≤x≤2時，y的取值范圍為﹣3≤y≤；
（2）把（2，0）和C（1，m）分別代入y＝ax2+bx+2得，
解得a＝1﹣m，
∵該函數(shù)的圖象開口向上，
∴a＞0，
即1﹣m＞0，
解得m＜1．
【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)和二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征．
23．為滿足市場需求，某超市在五月初五“端午節(jié)”來臨前夕，購進一種品牌粽子，每盒進價是40元．超市規(guī)定每盒售價不得少于45元．根據(jù)以往銷售經(jīng)驗發(fā)現(xiàn)；當(dāng)售價定為每盒45元時，每天可以賣出700盒，每盒售價每提高1元，每天要少賣出20盒．
（1）試求出每天的銷售量y（盒）與每盒售價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)每盒售價定為多少元時，每天銷售的利潤P（元）最大？最大利潤是多少？
（3）為穩(wěn)定物價，有關(guān)管理部門限定：這種粽子的每盒售價不得高于58元．如果超市想要每天獲得不低于6000元的利潤，那么超市每天至少銷售粽子多少盒？
【分析】（1）根據(jù)“當(dāng)售價定為每盒45元時，每天可以賣出700盒，每盒售價每提高1元，每天要少賣出20盒”即可得出每天的銷售量y（盒）與每盒售價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）根據(jù)利潤＝1盒粽子所獲得的利潤×銷售量列式整理，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答；
（3）先由（2）中所求得的P與x的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)這種粽子的每盒售價不得高于58元，且每天銷售粽子的利潤不低于6000元，求出x的取值范圍，再根據(jù)（1）中所求得的銷售量y（盒）與每盒售價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式即可求解．
解：（1）由題意得，y＝700﹣20（x﹣45）＝﹣20x+1600（45≤x≤80 ）；
（2）P＝（x﹣40）（﹣20x+1600）＝﹣20x2+2400x﹣64000＝﹣20（x﹣60）2+8000，
∵x≥45，a＝﹣20＜0，
∴當(dāng)x＝60時，P最大值＝8000元，
即當(dāng)每盒售價定為60元時，每天銷售的利潤P（元）最大，最大利潤是8000元；
（3）由題意，得﹣20（x﹣60）2+8000＝6000，
解得x1＝50，x2＝70．
∵拋物線P＝﹣20（x﹣60）2+8000的開口向下，
∴當(dāng)50≤x≤70時，每天銷售粽子的利潤不低于6000元的利潤．
又∵x≤58，
∴50≤x≤58．
∵在y＝﹣20x+1600中，k＝﹣20＜0，
∴y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x＝58時，y最小值＝﹣20×58+1600＝440，
即超市每天至少銷售粽子440盒．
【點評】本題考查的是二次函數(shù)與一次函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用，主要利用了利潤＝1盒粽子所獲得的利潤×銷售量，求函數(shù)的最值時，注意自變量的取值范圍．
24．（7分）小明在學(xué)完物理“電學(xué)”知識后，進行“燈泡亮了”的實驗，設(shè)計了如圖所示的電路圖，電路圖上有5個開關(guān)S1、S2、S3、S4、S5和一個小燈泡，當(dāng)開關(guān)S1閉合時，再同時閉合開關(guān)S2、S3或S4、S5都可以使小燈泡發(fā)亮．
（1）當(dāng)開關(guān)S1、S2已經(jīng)閉合時，再任意閉合開關(guān)S3、S4、S5中的一個，小燈泡能亮起來的概率是；
（2）當(dāng)開關(guān)S1已經(jīng)閉合時，再任意閉合開關(guān)S2、S3、S4、S5中的兩個，請用列表或畫樹狀圖的方法求小燈泡能亮起來的概率．
【分析】（1）直接根據(jù)等可能事件的概率公式求解即可；
（2）用列表法或樹狀圖法列舉出所有等可能的結(jié)果，從中找出小燈泡能亮起來的可能結(jié)果，再根據(jù)等可能事件的概率公式求解即可．
解：（1）∵任意閉合開關(guān)S3、S4、S5中的一個，有3種可能，小燈泡能亮起來只有1種可能，
∴P（小燈泡能亮起來）＝，
故答案為：；
（2）畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結(jié)果，其中能使小燈泡能亮起來有4種可能，
∴P（小燈泡能亮起來）＝．
【點評】本題考查等可能事件的概率公式，用列表法和樹狀圖法求概率，掌握用列表法和樹狀圖法求概率的方法是解題的關(guān)鍵．
25．（8分）如圖，已知AB為⊙O的直徑，AD、BD是⊙O的弦，BC是⊙O的切線，切點為B，OC∥AD，BA、CD的延長線相交于點E．
（1）求證：DC是⊙O的切線；
（2）若AE＝1，ED＝3，求⊙O的半徑．
【分析】（1）首先連接OD，易證得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的對應(yīng)角相等，求得∠CDO＝90°，即可證得直線CD是⊙O的切線；
（2）設(shè)⊙O的半徑為R，則OE＝R+1，在Rt△ODE中，利用勾股定理列出方程，求解即可．
【解答】
解：（1）證明：連接DO．
∵AD∥OC，
∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD．
又∵OA＝OD，
∴∠DAO＝∠ADO，
∴∠COD＝∠COB．
在△COD和△COB中
∵OD＝OB，OC＝OC，
∴△COD≌△COB（SAS），
∴∠CDO＝∠CBO．
∵BC是⊙O的切線，
∴∠CBO＝90°，
∴∠CDO＝90°，
又∵點D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切線；
（2）設(shè)⊙O的半徑為R，則OD＝R，OE＝R+1，
∵CD是⊙O的切線，
∴∠EDO＝90°，
∴ED2+OD2＝OE2，
∴32+R2＝（R+1）2，
解得R＝4，
∴⊙O的半徑為4．
【點評】本題主要考查的是切線的判斷、圓周角定理的應(yīng)用，掌握切線的判定定理，利用勾股定理列出關(guān)于r的方程是解題的關(guān)鍵．
26．（8分）如圖，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，∠AED＝∠B，AG分別交線段DE、BC于點F、G，且AD：AC＝DF：CG．求證：
（1）AG平分∠BAC；
（2）EF?CG＝DF?BG．
【分析】（1）由三角形的內(nèi)和定理，角的和差求出∠ADE＝∠C，根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例及夾角相等證明△ADF∽△ACG，其性質(zhì)和角平分線的定義得AG平分∠BAC；
（2）由兩對應(yīng)角相等證明△AEF∽△ABG，△ADF∽△AGC，其性質(zhì)得，，再根據(jù)等式的性質(zhì)求出EF?CG＝DF?BG．
解：如圖所示：
（1）∵∠DAE+∠AED+∠ADE＝180°，
∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∠AED＝∠B，
∴∠ADE＝∠C，
在△ADF和△ACG中，
∴△ADF∽△ACG，
∴∠DAF＝∠CAG，
∴AG平分∠BAC；
（2）在△AEF和△ABG中，
，
∴△AEF∽△ABG，
∴，
在△ADF和△AGC中，
，
∴△ADF∽△AGC，
∴，
∴，
∴EF?CG＝DF?BG．
【點評】本題綜合考查了三角形的內(nèi)角和定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，角的和差，等量代換，等式的性質(zhì)等相關(guān)知識點，重點掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，難點是利用等式的性質(zhì)將比例式轉(zhuǎn)換成乘積式．
27．（12分）如圖1，折疊矩形紙片ABCD，具體操作：①點E為AD邊上一點（不與點A，D重合），把△ABE沿BE所在的直線折疊，A點的對稱點為F點；②過點E對折∠DEF，折痕EG所在的直線交DC于點G，D點的對稱點為H點．
（1）求證：△ABE∽△DEG．
（2）若AB＝3，BC＝5，
①點E在移動的過程中，求DG的最大值；
②如圖2，若點C恰在直線EF上，連接DH，求線段DH的長．
【分析】（1）根據(jù)兩角對應(yīng)相等兩三角形相似證明即可．
（2）①設(shè) AE＝x，證明△ABE∽△DEG，推出＝，可得DG＝＝﹣（x﹣）2+，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
②如圖2中，連接DH．解直角三角形求出AE，DE，DG，EG，由翻折的性質(zhì)可知EG垂直平分線段DH，利用面積法可得DH＝2×．
解：（1）如圖1中，
由折疊可知∠AEB＝∠FEB，∠DEG＝∠HEG，
∵∠AEB+∠FEB+∠DEG+∠HEG＝180°，
∴∠AEB+∠DEG＝90°，
∵四邊形 ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠AEB+∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝∠DEG，
∴△ABE∽△DEG．
（2）①設(shè) AE＝x，
∵△ABE∽△DEG，
∴＝，
∴＝，
∴DG＝＝﹣（x﹣）2+，
∵﹣＜0，（0＜x＜5），
∴x＝時，DG有最大值，最大值為．
②如圖2中，連接DH．
由折疊可知∠AEB＝∠FEB，AE＝EF，AB＝BF＝3，∠BFE＝∠A＝90°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠EBC，
∴∠FEB＝∠EBC，
∴CE＝CB＝5，
∵點C在直線EF上，
∴∠BFC＝90°，CF＝5﹣EF＝5﹣AE，
∴CF＝＝＝4，
∴AE＝EF＝5﹣4＝1，
∴DG＝＝，
∴EG＝＝＝，
由折疊可知EG垂直平分線段DH，
∴DH＝2×＝2×＝．
【點評】本題屬于相似形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建二次函數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題．
姓名
平均成績
中位數(shù)
眾數(shù)
方差
張明
80
80
李成
260
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
﹣1
﹣
﹣2
﹣
…
姓名
平均成績
中位數(shù)
眾數(shù)
方差
張明
80
80
李成
260
姓名
平均成績
中位數(shù)
眾數(shù)
方差
張明
80
80
80
60
李成
80
85
90
260
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
﹣1
﹣
﹣2
﹣
…

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