全等與相似模型-對(duì)角互補(bǔ)模型（解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

模型1、旋轉(zhuǎn)中的對(duì)角互補(bǔ)模型
對(duì)角互補(bǔ)模型概念：對(duì)角互補(bǔ)模型特指四邊形中，存在一對(duì)對(duì)角互補(bǔ)，而且有一組鄰邊相等的幾何模型。
思想方法：解決此類(lèi)問(wèn)題常用的輔助線(xiàn)畫(huà)法主要有兩種：①過(guò)頂點(diǎn)做雙垂線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形；②進(jìn)行旋轉(zhuǎn)的構(gòu)造，構(gòu)造手拉手全等。
常見(jiàn)的對(duì)角互補(bǔ)模型含90°-90°對(duì)角互補(bǔ)模型、120°-60° 對(duì)角互補(bǔ)模型、 2α-（180°-2α）對(duì)角互補(bǔ)模型。
1）“共斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（異側(cè)型）

條件：如圖，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.
結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.
2）“斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（同側(cè)型）

條件：如圖，已知∠DCE的一邊與AO的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.
結(jié)論：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③.
3）“等邊三角形對(duì)120°模型”（1）

條件：如圖，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB.
結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③.
4）“等邊三角形對(duì)120°模型”（2）

條件：如圖，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一邊與BO的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)D，
結(jié)論：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③.
5）“120°等腰三角形對(duì)60°模型”
條件：△ABC是等腰三角形，且∠BAC=120°，∠BPC=60°。結(jié)論：①PB+PC=PA；
6）“2α對(duì)180°-2α模型”
條件：四邊形ABCD中，AP=BP,∠A+∠B=180° 結(jié)論：OP平分∠AOB
注意：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三個(gè)條件可知二推一。
7）“蝴蝶型對(duì)角互補(bǔ)模型”
條件：AP=BP,∠AOB=∠APB 結(jié)論：OP平分∠AOB的外角。
例1．（2023·黑龍江黑河·八年級(jí)期中）Rt△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)．∠MDN=90°，∠MDN繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，DM、DN分別與邊AB、AC交于E、F兩點(diǎn)．下列結(jié)論：①(BE+CF)=BC，②，③AD·EF，④AD≥EF其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】C
【詳解】解:∵Rt△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D為BC中點(diǎn)．∠MDN=90°，
∴AD =DC，∠EAD=∠C=45°，∠EDA=∠MDN－∠ADN =90°－∠ADN=∠FDC．
∴△EDA≌△FDC（ASA）．∴AE=CF．∴BE+CF= BE+ AE=AB．
在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得AB=BC．∴(BE+CF)=BC．∴結(jié)論①正確．
設(shè)AB=AC=a，AE=b，則AF=BE= a－b．
∴．
∴．∴結(jié)論②正確．
如圖，過(guò)點(diǎn)E作EI⊥AD于點(diǎn)I，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BC于點(diǎn)H，ADEF相交于點(diǎn)O．
∵四邊形GDHF是矩形，△AEI和△AGF是等腰直角三角形，
∴EO≥EI（EF⊥AD時(shí)取等于）=FH=GD，OF≥GH（EF⊥AD時(shí)取等于）=AG．
∴EF=EO＋OF≥GD＋AG=AD．∴結(jié)論④錯(cuò)誤．
∵△EDA≌△FDC，∴．∴結(jié)論③錯(cuò)誤．
綜上所述，結(jié)論①②正確．故選C．
例2．（2022遼寧九年級(jí)期末模擬）已知∠AOB＝90°，在∠AOB的平分線(xiàn)OM上有一點(diǎn)C，將一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)與C重合，它的兩條直角邊分別與OA，OB(或它們的反向延長(zhǎng)線(xiàn))相交于點(diǎn)D，E.
當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)(如圖①)，易證：OD＋OE＝OC；
當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)，即在圖②，圖③這兩種情況下，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給予證明：若不成立，線(xiàn)段OD，OE，OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明．
【答案】圖②中OD＋OE＝OC成立．證明見(jiàn)解析；圖③不成立，有數(shù)量關(guān)系：OE－OD＝OC
【分析】當(dāng)三角板繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)，易得△CKD≌△CHE，進(jìn)而可得出證明；判斷出結(jié)果，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到全等三角形或等價(jià)關(guān)系，進(jìn)而得出OC與OD、OE的關(guān)系；最后轉(zhuǎn)化得到結(jié)論．
【詳解】解：圖②中OD＋OE＝OC成立．
證明：過(guò)點(diǎn)C分別作OA，OB的垂線(xiàn)，垂足分別為P，Q
有△CPD≌△CQE，∴DP＝EQ，∵OP＝OD＋DP，OQ＝OE－EQ，
又∵OP＋OQ＝OC，即OD＋DP＋OE－EQ＝OC，∴OD＋OE＝OC．
圖③不成立，有數(shù)量關(guān)系：OE－OD＝OC 過(guò)點(diǎn)C分別作CK⊥OA，CH⊥OB，
∵OC為∠AOB的角平分線(xiàn)，且CK⊥OA，CH⊥OB，∴CK=CH，∠CKD=∠CHE=90°，
又∵∠KCD與∠HCE都為旋轉(zhuǎn)角，∴∠KCD=∠HCE，
∴△CKD≌△CHE，∴DK=EH，∴OE-OD=OH+EH-OD=OH+DK-OD=OH+OK，
由（1）知：OH+OK=OC，∴OD，OE，OC滿(mǎn)足OE-OD=OC．
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)變化前后，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段、對(duì)應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)的交點(diǎn)是旋轉(zhuǎn)中心．
例3．（2022秋·四川綿陽(yáng)·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，是過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接．
(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖(1)，過(guò)點(diǎn)作，與交于點(diǎn)，、、之間的數(shù)量關(guān)系是什么？并給予證明．(2)拓展探究：當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖(2)位置時(shí)，、、之間滿(mǎn)足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，并給予證明．
【答案】(1)；證明見(jiàn)解析(2)；證明見(jiàn)解析
【分析】(1)過(guò)點(diǎn)作，得到，判斷出，確定為等腰直角三角形即可得出結(jié)論；(2)過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，判斷出，確定為等腰直角三角形，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：如圖1，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，

，，，
，在四邊形中，，，
，∴，，，，，
，是等腰直角三角形，，
，∴；
（2）；理由：如圖，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，
，，，
，，，
，，，，，，
，是等腰直角三角形，，
，∴；
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
例4．（2022四川宜賓八年級(jí)期末）如圖1，，平分，以為頂點(diǎn)作，交于點(diǎn)，于點(diǎn)E. （1）求證：；（2）圖1中，若，求的長(zhǎng)；
（3）如圖2，，平分，以為頂點(diǎn)作，交于點(diǎn)，于點(diǎn).若，求四邊形的面積．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）OD+OE =；（3）
【分析】（1）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥OA于G,CH⊥OB于H，然后根據(jù)題意利用AAS定理進(jìn)行證明△CDG ≌ △CEH，從而求解；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到OD+OE =2OH，然后利用勾股定理求OH的值，從而求解；
（3）過(guò)點(diǎn)C作CG⊥OA于G,CH⊥OB于H，然后根據(jù)題意利用AAS定理進(jìn)行證明△CDG ≌ △CEH，從而求得==2，然后利用含30°的直角三角形性質(zhì)求得OH=,CH=從而求得三角形面積，使問(wèn)題得到解決．
【詳解】解：（1）如圖,過(guò)點(diǎn)C作CG⊥OA于G,CH⊥OB于H，

∵平分∴CG =CH ∵, ∴∠CDO+∠CEO=180?
∵∠CDG+∠CDO=180?∴∠CDG =∠CEO
在△CDG與△CEH中 ∴△CDG ≌ △CEH(AAS)∴
(2)由（1）得△CDG ≌ △CEH∴DG=HE
由題易得△OCG與△OCH是全等的等腰直角三角形，且OG=OH
∴OD+OE=OD+OH+HE=OG+OH=2OH 設(shè)OH=CH=x，在Rt△OCH中，由勾股定理，得:
OH2+CH2=OC2∴∴(舍負(fù))∴OH =∴OD+OE =2OH=
（3）如圖,過(guò)點(diǎn)C作CG⊥OA于G,CH⊥OB于H，
∵平分∴CG =CH ∵,∴∠CDO+∠CEO=180?
∵∠CDG+∠CDO=180?∴∠CDG =∠CEO
在△CDG與△CEH中∴△CDG ≌ △CEH(AAS)∴DG=HE
由題易得△OCG與△OCH是全等的直角三角形,且OG=OH
∴OD+OE=OD+OH+HE=OG+OH=2OH∴==2
在Rt△OCH中,有∠COH=60°,OC=3，∴OH=,CH=∴∴=2=
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的性質(zhì)及判定，含30°直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，是一道綜合性問(wèn)題，掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)靈活應(yīng)用解題是本題的解題關(guān)鍵.
例5．（2022湖北省宜城市八年級(jí)期末）如圖，已知∠AOB=120°，在∠AOB的平分線(xiàn)OM上有一點(diǎn)C，將一個(gè)60°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，它的兩條邊分別與直線(xiàn)OA、OB相交于點(diǎn)D、E．
（1）當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA垂直時(shí)（如圖1），請(qǐng)猜想OE+OD與OC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA不垂直時(shí)，到達(dá)圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說(shuō)明理由；（3）當(dāng)∠DCE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到CD與OA的反向延長(zhǎng)線(xiàn)相交時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)給于證明；若不成立，線(xiàn)段OD、OE與OC之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明．
【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）（1）中結(jié)論仍然成立，理由詳見(jiàn)解析；（3）（1）中結(jié)論不成立，結(jié)論為OE﹣OD=OC，證明詳見(jiàn)解析.
【分析】(1)根據(jù)OM是∠AOB的角平分線(xiàn)，可得∠AOB=60°，則∠OCE=30°，再根據(jù)30°所對(duì)直角邊是斜邊的一半，得出OD=OC，同理：OE=OC，即可得出結(jié)論；(2)同(1)的方法得到OF+OG=OC，再根據(jù)AAS證明△CFD≌△CGE，得出DF=EG，則OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG，OF+OG=OD+OE，即可得出結(jié)論.(3)同(2)的方法得到DF=EG，根據(jù)等量代換可得OE﹣OD=OC.
【詳解】(1)∵OM是∠AOB的角平分線(xiàn)，∴∠AOC=∠BOC=∠AOB=60°，
∵CD⊥OA，∴∠ODC=90°，∴∠OCD=30°，∴∠OCE=∠DCE﹣∠OCD=30°，
在Rt△OCD中，OD=OC，同理：OE=OC，∴OD+OE=OC，
(2)(1)中結(jié)論仍然成立，理由：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，如圖，

∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=120°，∴∠FCG=60°，
同(1)的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且點(diǎn)C是∠AOB的平分線(xiàn)OM上一點(diǎn)，∴CF=CG，
∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，∴DF=EG，
∴OF=OD+DF=OD+EG，OG=OE﹣EG， ∴OF+OG=OD+EG+OE﹣EG=OD+OE，∴OD+OE=OC；
(3)(1)中結(jié)論不成立，結(jié)論為：OE﹣OD=OC，
理由：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，如圖，
∴∠OFC=∠OGC=90°，∵∠AOB=120°，∴∠FCG=60°，
同(1)的方法得，OF=OC，OG=OC，∴OF+OG=OC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且點(diǎn)C是∠AOB的平分線(xiàn)OM上一點(diǎn)，∴CF=CG，
∵∠DCE=60°，∠FCG=60°，∴∠DCF=∠ECG，∴△CFD≌△CGE，
∴DF=EG，∴OF=DF﹣OD=EG﹣OD，OG=OE﹣EG，
∴OF+OG=EG﹣OD+OE﹣EG=OE﹣OD，∴OE﹣OD=OC．
【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì).正確作輔助線(xiàn)是解題的關(guān)鍵.
例6．（2023·山東·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)D是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，∠EDF=120°，把∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使∠EDF的兩邊分別與線(xiàn)段AB、AC交于點(diǎn)E、F．（1）當(dāng)DF⊥AC時(shí)，求證：BE=CF；
（2）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，BE+CF是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）是，2.
【分析】（1）根據(jù)四邊形內(nèi)角和為360°，可求∠DEA=90°，根據(jù)“AAS”可判定△BDE≌△CDF，即可證BE=CF；
（2）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，如圖2，易證△MBD≌△NCD，則有BM=CN，DM=DN，進(jìn)而可證到△EMD≌△FND，則有EM=FN，就可得到BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cs60°=BD=BC=2.
【詳解】（1）∵△ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)D是線(xiàn)段BC的中點(diǎn)，
∴∠B=∠C=60°，BD=CD，∵DF⊥AC，∴∠DFA=90°，
∵∠A+∠EDF+∠AFD+∠AED=180°，∴∠AED=90°，
∴∠DEB=∠DFC，且∠B=∠C=60°，BD=DC，∴△BDE≌△CDF（AAS）
（2）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，
則有∠AMD=∠BMD=∠AND=∠CND=90°．
∵∠A=60°，∴∠MDN=360°-60°-90°-90°=120°．
∵∠EDF=120°，∴∠MDE=∠NDF．
在△MBD和△NCD中，，∴△MBD≌△NCD（AAS）BM=CN，DM=DN．
在△EMD和△FND中，，∴△EMD≌△FND（ASA）∴EM=FN，
∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+FN+CF=BM+CN=2BM=2BD×cs60°=BD=BC=2.
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等知識(shí)，通過(guò)證明三角形全等得到BM=CN，DM=DN，EM=FN是解決本題的關(guān)鍵．
例7．（2022山東省棗莊市一模）如圖，已知，在的角平分線(xiàn)上有一點(diǎn)，將一個(gè)角的頂點(diǎn)與點(diǎn)重合，它的兩條邊分別與射線(xiàn)相交于點(diǎn).
（1）如圖1，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與垂直時(shí)，請(qǐng)猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與不垂直時(shí)，到達(dá)圖2的位置，（1）中的結(jié)論是否成立？并說(shuō)明理由；
（3）如圖3，當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)位于的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，求線(xiàn)段與之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜想，不需證明.
【答案】（1），見(jiàn)解析；（2）結(jié)論仍然成立，見(jiàn)解析；（3）
【分析】（1）先判斷出∠OCE＝60°，再利用特殊角的三角函數(shù)得出OD＝OC，同OE＝OC，即可得出結(jié)論；（2）同（1）的方法得OF＋OG＝OC，再判斷出△CFD≌△CGE，得出DF＝EG，最后等量代換即可得出結(jié)論；（3）同（2）的方法即可得出結(jié)論．
【詳解】解：（1）是的角平分線(xiàn)
在中，，同理：
（2）（1）中結(jié)論仍然成立，理由：過(guò)點(diǎn)作于，于

由（1）知，
，且點(diǎn)是的平分線(xiàn)上一點(diǎn)
（3）結(jié)論為：.
理由：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥OA于F，CG⊥OB于G，∴∠OFC＝∠OGC＝90°，
∵∠AOB＝60°，∴∠FCG＝120°，同（1）的方法得，OF＝OC，OG＝OC，∴OF＋OG＝OC，
∵CF⊥OA，CG⊥OB，且點(diǎn)C是∠AOB的平分線(xiàn)OM上一點(diǎn)，
∴CF＝CG，∵∠DCE＝120°，∠FCG＝120°，∴∠DCF＝∠ECG，
∴△CFD≌△CGE，∴DF＝EG，∴OF＝DF?OD＝EG?OD，OG＝OE?EG，
∴OF＋OG＝EG?OD＋OE?EG＝OE?OD，∴OE?OD＝OC．
【點(diǎn)睛】此題屬于幾何變換綜合題，主要考查了角平分線(xiàn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)的綜合運(yùn)用，正確作出輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵．
例8．（2022秋·福建廈門(mén)·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，（是常量）．點(diǎn)P在的平分線(xiàn)上，且，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)的繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，的兩邊分別與，相交于M，N兩點(diǎn)，若始終與互補(bǔ)，則以下四個(gè)結(jié)論：①；②的值不變；③四邊形的面積不變；④點(diǎn)M與點(diǎn)N的距離保持不變．其中正確的為（）
A．①③B．①②③C．①③④D．②③
【答案】B
【分析】如圖作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，只要證明，即可一一判斷．
【詳解】解：如圖所示：作于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，
，，
，，
，，
平分，，，，
在和中，，，，
在和中，，，
，故①正確，，
定值，故③正確，
定值，故②正確，
的位置是變化的，之間的距離也是變化的，故④錯(cuò)誤；故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理，四邊形的面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．
模型2.對(duì)角互補(bǔ)模型（相似模型）
【模型解讀】四邊形或多邊形構(gòu)成的幾何圖形中，相對(duì)的角互補(bǔ)。該題型常用到的輔助線(xiàn)主要是頂定點(diǎn)向兩邊做垂線(xiàn)，從而證明兩個(gè)三角形相似.
【常見(jiàn)模型及結(jié)論】
1）對(duì)角互補(bǔ)相似1
條件：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，

輔助線(xiàn)：過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AC，垂足為D，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BC，垂足為H，
結(jié)論：①△ODE～△OHF；②（思路提示：）.
2）對(duì)角互補(bǔ)相似2
條件：如圖，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝.

輔助線(xiàn)：作法1：如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥OA，垂足為F，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥OB，垂足為G；
結(jié)論：①△ECG～△DCF；②CE＝CD·.（思路提示：，CF=OG，在Rt△COG中，）
輔助線(xiàn)：作法2：如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥OC，交OB于F；
結(jié)論：①△CFE～△COD；②CE＝CD·.（思路提示：，在Rt△OCF中，）
3）對(duì)角互補(bǔ)相似3
條件：已知如圖，四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°
輔助線(xiàn)：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BA，垂足為E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC，垂足為F；
結(jié)論：①△DAE～△DCF；②A(yíng)BCD四點(diǎn)共圓。
例1．（2023·成都市·九年級(jí)期中）如圖所示，在中，，，在中，，點(diǎn)P在上，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F．當(dāng)時(shí)，的值為（）．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】過(guò)P作PH⊥BC于H，PQ⊥AB于Q，證明△PQE∽△PHF，得出PQ=2PH=2BQ，再由PQ∥BC證得△AQP∽△ABC，得到，設(shè)BQ=x，則AQ=3﹣x，PQ=2x，求出x值即可解決問(wèn)題．
【詳解】解：∵在中，，，
∴AC= ，
過(guò)P作PH⊥BC于H，PQ⊥AB于Q，則∠PQB=∠PHB=∠B=90°，
∴四邊形PQBH是矩形，∴PH=BQ，∠QPH=90°=∠MPN，PQ∥BC，
∴∠EPH+∠QPE=∠EPH+∠HPF=90°，∴∠QPE=∠HPF，
∴△PQE∽△PHF，∴，又PE=2PF，∴PQ=2PH=2BQ，
∵PQ∥BC，∴△AQP∽△ABC，∴，
設(shè)BQ=x，則AQ=3﹣x，PQ=2x，∴，解得：，AP=3，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、等角的余角相等、矩形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與運(yùn)用，添加輔助線(xiàn)是解答的關(guān)鍵．
例2．（2023·河南南陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在等腰直角中，，，過(guò)點(diǎn)作射線(xiàn)，為射線(xiàn)上一點(diǎn)，在邊上（不與重合）且，與交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）求證：；（3）如果，求證：．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)題意先由等腰直角△ABC得到∠BAC=∠B=45°，從而結(jié)合∠DAE=45°得到∠DAC=∠EAB，再由平行線(xiàn)的性質(zhì)得到∠ACP=∠BAC=∠B=45°，從而得到△ADC∽△AEB；
（2）根據(jù)題意由相似三角形的性質(zhì)得到AD：AE=AC：AB，轉(zhuǎn)化為AD：AC=AE：AB，結(jié)合∠DAE=∠CAB=45°得證結(jié)果；（3）根據(jù)題意結(jié)合∠ACD=45°和∠ACB=90°，由CD=CE得到∠CDE=∠CED=22.5°，從而得到∠DAC=22.5°，然后得到△OCD∽△DCA，最后即可求證．
【詳解】解：（1）證明：∵是等腰直角三角形，∴，
∵，，∴，，∴；
（2）證明：∵∴，即，
∵，∴；
（3）∵，∴，
∵，∴，∵，∴，
∴∴，
又∵，∴，∴，∴
【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過(guò)線(xiàn)段的比例關(guān)系得到三角形相似．
例3．（2023·廣西河池·校聯(lián)考一模）綜合與實(shí)踐【問(wèn)題情境】在中，，，，在直角三角板中，，將三角板的直角頂點(diǎn)放在斜邊的中點(diǎn)處，并將三角板繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，三角板的兩邊，分別與邊，交于點(diǎn)，．
【猜想證明】如圖，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)為邊的中點(diǎn)時(shí)，試判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由．【問(wèn)題解決】如圖，在三角板旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，求線(xiàn)段的長(zhǎng)．

【答案】[猜想證明]四邊形是矩形，理由見(jiàn)解析；[問(wèn)題解決]．
【分析】[猜想證明]由三角形中位線(xiàn)定理可得，可證，即可求解；
[問(wèn)題解決]由勾股定理可求的長(zhǎng)，由中點(diǎn)的性質(zhì)可得的長(zhǎng)，由銳角三角函數(shù)可求解．
【詳解】[猜想證明]四邊形是矩形，理由如下：如圖，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
是的中位線(xiàn)，，，
，，，
，四邊形是矩形；
[問(wèn)題解決]過(guò)點(diǎn)作于，如圖：

，，，，
點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，
，，，，，
又，，，，．
【點(diǎn)睛】本題考查四邊形綜合應(yīng)用，涉及矩形的判定，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)等有關(guān)知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．
例4．（2023年江西省南昌市月考）如圖，兩個(gè)全等的四邊形和，其中四邊形的頂點(diǎn)O位于四邊形的對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)O．
(1)如圖1，若四邊形和都是正方形，則下列說(shuō)法正確的有_______．（填序號(hào)）
①；②重疊部分的面積始終等于四邊形的；③．
(2)應(yīng)用提升:如圖2，若四邊形和都是矩形，，寫(xiě)出與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．
(3)類(lèi)比拓展:如圖3，若四邊形和都是菱形，，判斷（1）中的結(jié)論是否依然成立；如不成立，請(qǐng)寫(xiě)出你認(rèn)為正確的結(jié)論（可用表示），并選取你所寫(xiě)結(jié)論中的一個(gè)說(shuō)明理由．
【答案】(1)①②③(2)關(guān)系為，證明見(jiàn)解析
(3)①成立，②③不成立，正確結(jié)論②重疊部分的面積始終等于四邊形的；③．證明①的過(guò)程見(jiàn)解析
【詳解】（1）如圖，在圖1中，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)H,于點(diǎn)G
∵于點(diǎn)H, 于點(diǎn)G∴
∵四邊形和都是正方形∴∴
∵,∴
在和中∴∴故①正確
∵∴∴故②正確
∵四邊形是正方形∴
∴故③正確
（2）關(guān)系為，證明如下：如圖，在圖2中，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)H,于點(diǎn)G
∵于點(diǎn)H, 于點(diǎn)G∴
∵四邊形和都是矩形∴
∵,∴
在和中∴∴
（3）（1）中結(jié)論，①成立，②③不成立，正確結(jié)論②重疊部分的面積始終等于四邊形的；③．現(xiàn)證明①如下：
如圖，在圖3中，過(guò)點(diǎn)O作于點(diǎn)H,于點(diǎn)G
∵于點(diǎn)H, 于點(diǎn)G∴
∵四邊形和都是菱形∴∴
∵,∴
在和中∴∴
例5．（2023.遼寧中考模擬）如圖，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，點(diǎn)O在線(xiàn)段AB上（點(diǎn)O不與點(diǎn)A，B重合），且OB＝kOA，點(diǎn)M是AC延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)，作射線(xiàn)OM，將射線(xiàn)OM繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，交射線(xiàn)CB于點(diǎn)N．（1）如圖1，當(dāng)k＝1時(shí)，判斷線(xiàn)段OM與ON的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）如圖2，當(dāng)k＞1時(shí)，判斷線(xiàn)段OM與ON的數(shù)量關(guān)系（用含k的式子表示），并證明；（3）點(diǎn)P在射線(xiàn)BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值（用含k的式子表示）．
【答案】（1）OM＝ON，見(jiàn)解析；（2）ON＝k?OM，見(jiàn)解析；（3）
【分析】（1）作OD⊥AM，OE⊥BC，證明△DOM≌△EON；（2）作OD⊥AM，OE⊥BC，證明△DOM∽△EON；（3）設(shè)AC＝BC＝a，解Rt△EON和斜△AOM，用含的代數(shù)式分別表示再利用比例的性質(zhì)可得答案．
【詳解】解：（1）OM＝ON，如圖1，作OD⊥AM于D，OE⊥CB于E，
∴∠ADO＝∠MDO＝∠CEO＝∠OEN＝90°，∴∠DOE＝90°，
∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠ABC＝45°，
在Rt△AOD中，，同理：OE＝OB，
∵OA＝OB，∴OD＝OE，∵∠DOE＝90°，∴∠DOM＋∠MOE＝90°，
∵∠MON＝90°，∴∠EON＋∠MOE＝90°，∴∠DOM＝∠EON，
在Rt△DOM和Rt△EON中，，∴△DOM≌△EON（ASA），∴OM＝ON．
（2）如圖2，作OD⊥AM于D，OE⊥BC于E，由（1）知：OD＝OA，OE＝OB，

∴，由（1）知：∠DOM＝∠EON，∠MDO＝∠NEO＝90°，
∴△DOM∽△EON，∴，∴ON＝k?OM．
（3）如圖3，設(shè)AC＝BC＝a，∴AB＝a，
∵OB＝k?OA，∴OB＝?a，OA＝?a，∴OE＝OB＝a，
∵∠N＝∠ABC﹣∠BON＝45°﹣15°＝30°，∴EN＝＝OE＝?a，
∵CE＝OD＝OA＝a，∴NC＝CE＋EN＝a＋?a，
由（2）知：，△DOM∽△EON，∴∠AMO＝∠N＝30°
∵，∴，∴△PON∽△AOM，∴∠P＝∠A＝45°，
∴PE＝OE＝a，∴PN＝PE＋EN＝a＋?a，
設(shè)AD＝OD＝x，∴DM＝，由AD＋DM＝AC＋CM得，（＋1）x＝AC＋CM，
∴x＝（AC＋CM）＜（AC＋AC）＝AC，∴k＞1∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等和相似，以及解直角三角形，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作OD⊥AC，OE⊥BC；本題的難點(diǎn)是條件得出k＞1．
例6．（2023浙江中考二模）（1）特例感知：如圖1，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，取BC邊上中點(diǎn)D，連接AD，點(diǎn)E為AB邊上一點(diǎn)，連接DE，作DF⊥DE交AC于點(diǎn)F，求證：BE＝AF；
（2）探索發(fā)現(xiàn)：如圖2，已知在RtABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝3，取BC邊上中點(diǎn)D，連接AD，點(diǎn)E為BA延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，AE＝1，連接DE，作DF⊥DE交AC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，求AF的長(zhǎng)；
（3）類(lèi)比遷移：如圖3，已知在A(yíng)BC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，取BC邊上中點(diǎn)D，連接AD，點(diǎn)E為射線(xiàn)BA上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合），連接DE，將射線(xiàn)DE繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°交射線(xiàn)CA于點(diǎn)F，當(dāng)AE＝4AF時(shí)，求AF的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）4；（3）或或
【分析】（1）證明△BDE≌△ADF（ASA），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到BE＝AF；
（2）方法同（1），利用全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題；
（3）證明△EBD∽△DCF，推出，設(shè)AF＝m，則AE＝4m，分三種情形，分別構(gòu)建方程求解即可．
【詳解】（1）證明：如圖1中，
∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是高，
∴BD＝CD＝ADBC，∠B＝∠C＝45°，∠BAD＝∠CAD∠BAC＝45°，
∵DF⊥DE，∴∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°﹣∠ADE，
在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF；
（2）解：如圖2中，由（1）知，BD＝CD＝AD，∠B＝∠C＝∠BAD＝∠CAD＝45°，
∴∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF＝90°+∠ADE，

在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF，
∵AB＝3，AE＝1，∴BE＝AB+AE＝4，∴AF＝4；
（3）解：如圖3中，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD∠BAC＝60°，
∴BD＝CD＝AB?sin60°＝2，∵AE＝4AF，∴可以假設(shè)AF＝m，則AE＝4m，BE＝4﹣4m，CF＝4﹣m，
∵∠EDC＝∠EDF+∠FDC＝∠B+∠BED，∠EDF＝∠B＝30°，
∴∠FDC＝∠BED，∵∠B＝∠C，∴△EBD∽△DCF，∴，
∴，整理得，m2﹣5m+1＝0，解得m或（舍棄），
經(jīng)檢驗(yàn)，m是分式方程的解．
當(dāng)點(diǎn)F在CA的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，CF＝4+m，由△EBD∽△DCF，可得，
∴，解得，m或（舍棄），經(jīng)檢驗(yàn)，m是分式方程的解．
當(dāng)點(diǎn)E在射線(xiàn)BA上時(shí)，BE＝4+4m，
∵△EBD∽△DCF，∴，∴
解得，m或（舍棄），經(jīng)檢驗(yàn)，m是分式方程的解．
綜上所述，滿(mǎn)足條件的AF的值為或或．
【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，學(xué)會(huì)用分類(lèi)討論的思想思考問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練
1．（2022·江蘇·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A,B兩點(diǎn)分別在x軸，y軸的正半軸上，且OA=OB，點(diǎn)C在第一象限，OC=3，連接BC，AC，若∠BCA=90°，則BC+AC的值為_(kāi)________．
【答案】
【分析】可將△OBC繞著O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，所得的圖形與△OAC正好拼成等腰直角三角形BC+AC等于等腰三角形的斜邊CD.
【詳解】解：將△OBC繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°，
∵OB=OA∴點(diǎn)B落在A(yíng)處，點(diǎn)C落在D處且有OD=OC=3，∠COD=90°，∠OAD=∠OBC，
在四邊形OACB中∵∠BOA=∠BCA=90°，∴∠OBC+∠OAC=180°，
∴∠OAD+∠OAC=180°∴C、A、D三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上，
∴△OCD為等要直角三角形，根據(jù)勾股定理CD2=OC2+OD2
即CD2=32+32=18解得CD= 即BC+AC=.
【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)前后的圖形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等.要求兩條線(xiàn)段的長(zhǎng)，可利用作圖的方法將兩條線(xiàn)段化成一條線(xiàn)段，再求這條線(xiàn)段的長(zhǎng)度即可，本題就是利用旋轉(zhuǎn)的方法做到的，但做本題時(shí)需注意，一定要證明C、A、D三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上.本題還有一種化一般為特殊的方法，因?yàn)榇鸢敢欢煽紤]CB⊥y軸的情況，此時(shí)四邊形OACB剛好是正方形，在做選擇或填空題時(shí)，也可起到事半功倍的效果.
2．（2023.廣東九年級(jí)期中）如圖，為等邊三角形，以為邊向外作，使，再以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心把旋轉(zhuǎn)到，則給出下列結(jié)論：①D，A，E三點(diǎn)共線(xiàn)；②平分；③；④．其中正確的有（）．
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】D
【分析】①設(shè)∠1=x度，把∠2=（60-x）度，∠DBC=∠4=（x+60）度，∠3=60°加起來(lái)等于180度，即可證明D、A、E三點(diǎn)共線(xiàn)；②根據(jù)△BCD繞著點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到△ACE，判斷出△CDE為等邊三角形，求出∠BDC=∠E=60°，∠CDA=120°-60°=60°，可知DC平分∠BDA；
③由②可知，∠BAC=60°，∠E=60°，從而得到∠E=∠BAC．
④由旋轉(zhuǎn)可知AE=BD，又∠DAE=180°，DE=AE+AD．而△CDE為等邊三角形，DC=DE=DB+BA．
【詳解】解：如圖，
①設(shè)∠1=x度，則∠2=（60-x）度，∠DBC=（x+60）度，故∠4=（x+60）度，
∴∠2+∠3+∠4=60-x+60+x+60=180度，∴D、A、E三點(diǎn)共線(xiàn)；故①正確；
②∵△BCD繞著點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°得到△ACE，
∴CD=CE，∠DCE=60°，∴△CDE為等邊三角形，
∴∠E=60°，∴∠BDC=∠E=60°，∴∠CDA=120°-60°=60°，
∴DC平分∠BDA；故②正確；
③∵∠BAC=60°，∠E=60°，∴∠E=∠BAC．故③正確；
④由旋轉(zhuǎn)可知AE=BD，又∵∠DAE=180°，∴DE=AE+AD．
∵△CDE為等邊三角形，∴DC=DB+DA．故④正確；故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，要注意旋轉(zhuǎn)不變性，找到變化過(guò)程中的不變量．
3.（2023·山西臨汾·統(tǒng)考二模）在菱形中，，對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)，分別是邊上的點(diǎn)，且與交于點(diǎn)，則的值為．

【答案】
【分析】由菱形的性質(zhì)及可證，得，；由得，，于是，可得，進(jìn)而求得答案．
【詳解】∵ ∴∴
∵四邊形是菱形，∴，
∴∴∴，
又∵∴．，
∵∴， ∴．
設(shè)，則，，；故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用全等及相似得到線(xiàn)段間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
4．（2023青島版九年級(jí)月考）如圖，在中，，，直角的頂點(diǎn)在上，、分別交、于點(diǎn)、，繞點(diǎn)任意旋轉(zhuǎn)．當(dāng)時(shí)，的值為；當(dāng)時(shí)，為．（用含的式子表示）
【答案】 ,
【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AC于H，OG⊥BC于G，由條件可以表示出HO、GO的值，通過(guò)證明△PHO∽△QGO由相似三角形的性質(zhì)就可以求出結(jié)論．
解答：解：過(guò)點(diǎn)O作OH⊥AC于H，OG⊥BC于G，∴∠OHP=∠OGQ=90°．
∵∠ACB=90°，∴四邊形HCGO為矩形，
∴∠HOG=90°，∴∠HOP=∠GOQ，∴△PHO∽△QGO，∴．
∵，設(shè)OA=x，則OB=2x，且∠ABC=30°，∴AH=x，OG=x．
在Rt△AHO中，由勾股定理，得OH=x，∴，∴=．故答案為．
5．（2023?西城區(qū)校級(jí)期中）已知，如圖，在四邊形ABCD中，BC＞BA，∠A+∠C＝180°，DE⊥BC，BD平分∠ABC，試說(shuō)明AD＝DC．
【解答】證明：如圖，過(guò)D作DF⊥AB，交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，
∵DE⊥BC，BD平分∠ABC，∴DE＝DF，∠F＝∠DEC＝90°，
∵∠BAD+∠C＝180°，且∠BAD+∠DAF＝180°，∴∠DAF＝∠C，
在△ADF和△CDE中∴△ADF≌△CDE（AAS），∴AD＝CD．
6．（2023?阜新中考模擬）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于點(diǎn)D．
（1）如圖1，點(diǎn)E，F(xiàn)在A(yíng)B，AC上，且∠EDF＝90°．求證：BE＝AF；
（2）點(diǎn)M，N分別在直線(xiàn)AD，AC上，且∠BMN＝90°．
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)M在A(yíng)D的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，求證：AB+AN＝AM；
②當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A，D之間，且∠AMN＝30°時(shí)，已知AB＝2，直接寫(xiě)出線(xiàn)段AM的長(zhǎng)．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，
∵AD⊥BC，∴BD＝CD，∠ADB＝90°，∠BAD＝∠CAD＝45°，
∴∠CAD＝∠B，AD＝BD，∵∠EDF＝∠ADB＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，
∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF；
（2）①如圖1，過(guò)點(diǎn)M作MP⊥AM，交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P，∴∠AMP＝90°，
∵∠PAM＝45°，∴∠P＝∠PAM＝45°，∴AM＝PM，
∵∠BMN＝∠AMP＝90°，∴∠BMP＝∠AMN，
∵∠DAC＝∠P＝45°，∴△AMN≌△PMB（ASA），∴AN＝PB，∴AP＝AB+BP＝AB+AN，
在Rt△AMP中，∠AMP＝90°，AM＝MP，∴AP＝AM，∴AB+AN＝AM；
②如圖，在Rt△ABD中，AD＝BD＝AB＝，
∵∠BMN＝90°，∠AMN＝30°，∴∠BMD＝90°﹣30°＝60°，
在Rt△BDM中，DM＝＝，∴AM＝AD﹣DM＝﹣．
7、（2023.重慶九年級(jí)期中）已知：如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，∠DOE＝120°，∠DOE繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，角的兩邊與AB相交于點(diǎn)D，與AC相交于點(diǎn)E．
(1)若OD，OE都在BC的上方，如圖1，求證：OD＝OE．(2)在圖1中，BD，CE與BC的數(shù)量關(guān)系是．
(3)若點(diǎn)D在A(yíng)B的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)E在線(xiàn)段AC上，如圖2，直接寫(xiě)出BD，CE與BC的數(shù)量關(guān)系是．
【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)；(3)
【解析】(1)證明：取AB的中點(diǎn)F，連接OF．
∵△ABC是等邊三角形，∴，
∵點(diǎn)O與點(diǎn)F分別是BC與AB的中點(diǎn)，∴，
∴△BOF是等邊三角形，∴，
，∴，∴，
∵在△DOF和△EOC中，，∴，∴．

(2)解：結(jié)論：．理由：∵，∴，∴，
∵是等邊三角形，∴，
∵，∴．故答案為：；
(3)結(jié)論：．理由如圖2中，取的中點(diǎn)F，連接OF．
同（1）中的方法可證是等邊三角形，，
∴，∴，
∵，∴
8．（2022山西省呂梁市八年級(jí)期末）如圖，已知與，平分．

(1)如圖1，與的兩邊分別相交于點(diǎn)、，，試判斷線(xiàn)段與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.
以下是小宇同學(xué)給出如下正確的解法：解：．
理由如下：如圖1，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則，…
請(qǐng)根據(jù)小宇同學(xué)的證明思路，寫(xiě)出該證明的剩余部分．
(2)你有與小宇不同的思考方法嗎？請(qǐng)寫(xiě)出你的證明過(guò)程．(3)若，．
①如圖3，與的兩邊分別相交于點(diǎn)、時(shí)，(1)中的結(jié)論成立嗎？為什么？線(xiàn)段、、有什么數(shù)量關(guān)系？說(shuō)明理由．②如圖4，的一邊與的延長(zhǎng)線(xiàn)相交時(shí)，請(qǐng)回答(1)中的結(jié)論是否成立，并請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段、、有什么數(shù)量關(guān)系；如圖5，的一邊與的延長(zhǎng)線(xiàn)相交時(shí)，請(qǐng)回答(1)中的結(jié)論是否成立，并請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段、、有什么數(shù)量關(guān)系．

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3)①成立，理由見(jiàn)解析；②在圖4中，(1)中的結(jié)論成立，.在圖5中，(1)中的結(jié)論成立，
【分析】（1）通過(guò)ASA證明即可得到CD=CE；（2）過(guò)點(diǎn)作，，垂足分別為，，通過(guò)AAS證明同樣可得到CD=CE；（3）①方法一：過(guò)點(diǎn)作，垂足分別為，，通過(guò)AAS得到，進(jìn)而得到，利用等量代換得到，在中，利用30°角所對(duì)的邊是斜邊的一半得，同理得到，所以；方法二：以為一邊作，交于點(diǎn)，通過(guò)ASA證明，得到，所以；②圖4：以O(shè)C為一邊，作∠OCF=60°與OB交于F點(diǎn)，利用ASA證得△COD≌△CFE，即有CD=CE，OD=EF
得到OE=OF+EF=OC+OD；圖5:以O(shè)C為一邊，作∠OCG=60°與OA交于G點(diǎn)，利用ASA證得△CGD≌△COE，即有CD=CE，OD=EF，得到OE=OF+EF=OC+OD.
【詳解】解：(1)平分，，
又
在與中，

(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)作，，垂足分別為，，∴，
又∵平分，∴，在四邊形中，，
又∵，∴，又∵，∴，
在與中，∴，∴.
(3)①(1)中的結(jié)論仍成立..
理由如下：方法一：如圖3(1)，過(guò)點(diǎn)作，，

垂足分別為，，∴，又∵平分，∴，
在四邊形中，，
又∵，∴，
又∵，∴，在與中，，
∴，∴.
∴.
在中，，
∴，同理，∴.
方法二：如圖3（2），以為一邊作，交于點(diǎn)，
∵平分，∴，∴，
∴，，∴是等邊三角形，∴，
∵，，∴，
在與中，∴，
∴.∴.
②在圖4中，(1)中的結(jié)論成立，.
如圖，以O(shè)C為一邊，作∠OCF=60°與OB交于F點(diǎn)
∵∠AOB=120°，OC為∠AOB的角平分線(xiàn)∴∠COB=∠COA=60°
又∵∠OCF=60°∴△COF為等邊三角形∴OC=OF
∵∠COF=∠OCD+∠DCF=60°，∠DCE=∠DCF+∠FCB=60°∴∠OCD=∠FCB
又∵∠COD=180°-∠COA=180°-60°=120° ∠CFE=180°-∠CFO=180°-60°=120°
∴∠COD=∠CFE∴△COD≌△CFE（ASA）∴CD=CE，OD=EF∴OE=OF+EF=OC+OD即OE-OD=OC

在圖5中，(1)中的結(jié)論成立，.
如圖，以O(shè)C為一邊，作∠OCG=60°與OA交于G點(diǎn)
∵∠AOB=120°，OC為∠AOB的角平分線(xiàn)∴∠COB=∠COA=60°
又∵∠OCG=60°∴△COG為等邊三角形∴OC=OG
∵∠COG=∠OCE+∠ECG=60°，∠DCE=∠DCG+∠GCE=60°∴∠DCG=∠OCE
又∵∠COE=180°-∠COB=180°-60°=120° ∠CGD=180°-∠CGO=180°-60°=120°
∴∠CGD=∠COE∴△CGD≌△COE（ASA） ∴CD=CE，OE=DG
∴OD=OG+DG=OC+OE 即OD-OE=OC
【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的綜合應(yīng)用，有一定難度，解題關(guān)鍵在于能夠做出輔助線(xiàn)證全等.
9．（2022·湖北武漢·八年級(jí)?？计谀┮阎谒倪呅沃校?，.
(1)如圖1．連接，若，求證：.
(2)如圖2，點(diǎn)分別在線(xiàn)段上，滿(mǎn)足，求證：;
(3)若點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線(xiàn)上，如圖3所示，仍然滿(mǎn)足，請(qǐng)寫(xiě)出與的數(shù)量關(guān)系，并給出證明過(guò)程．
【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）詳見(jiàn)解析；（3）
【分析】（1）根據(jù)已知條件得出為直角三角形，再根據(jù)證出，從而證出；
（2）如圖2，延長(zhǎng)DC到 K，使得CK=AP，連接BK，通過(guò)證△BPA≌△BCK（SAS）得到：∠1=∠2，BP=BK．然后根據(jù)證明得，從而得出，然后得出結(jié)論；
（3）如圖3，在CD延長(zhǎng)線(xiàn)上找一點(diǎn)K，使得KC=AP，連接BK，構(gòu)建全等三角形：△BPA≌△BCK（SAS），由該全等三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定定理SSS證得：△PBQ≌△BKQ，則其對(duì)應(yīng)角相等：∠PBQ=∠KBQ，結(jié)合四邊形的內(nèi)角和是360度可以推得：∠PBQ=90°+∠ADC．
【詳解】（1）證明：如圖1，

∵，∴
在和中，∴∴
（2）如圖2，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接
∵∴
∵∴
∵，，∴∴，，
∵，，∴
∵，，∴
∴∴
（3）如圖3，在延長(zhǎng)線(xiàn)上找一點(diǎn)，使得，連接，
∵ ∴
∵ ∴
在和中，∴
∴，∴ ∵∴
在和中，∴∴
∴∴
∴.
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線(xiàn)構(gòu)造三角形．
10．（2023·山東青島·八年級(jí)統(tǒng)考期中）[問(wèn)題]如圖①，點(diǎn)是的角平分線(xiàn)上一點(diǎn)，連接，，若與互補(bǔ)，則線(xiàn)段與有什么數(shù)量關(guān)系？
[探究]探究一：如圖②，若，則，即，，又因?yàn)槠椒?，所以，理由是：_______．
探究二：若，請(qǐng)借助圖①，探究與的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．
[結(jié)論]點(diǎn)是的角平分線(xiàn)上一點(diǎn)，連接，，若與互補(bǔ)，則線(xiàn)段與的數(shù)量關(guān)系是______．
[拓展]已知：如圖③，在中，，，平分．求證：．

【答案】探究一：角的平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等；探究二：AD＝CD；理由見(jiàn)解析；[結(jié)論]：AD＝CD；[拓展]：見(jiàn)解析．
【分析】探究一：根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理解答；探究二：作于，作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；[理論] 根據(jù)探究結(jié)果得到答案；
[拓展]在上取一點(diǎn)，使，作角的延長(zhǎng)線(xiàn)于，于，證明，得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，等量代換得到，結(jié)合圖形證明結(jié)論．
【詳解】解：探究一：平分，，，，
理由是：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，故答案為：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；
探究二：作于，作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，

平分，，，，
，，，
在和中，，；
[理論] 綜上所述，點(diǎn)是的角平分線(xiàn)上一點(diǎn)，連接，，若與互補(bǔ)，則線(xiàn)段與的數(shù)量關(guān)系是，故答案為：；
[拓展] 在上取一點(diǎn)，使，作角的延長(zhǎng)線(xiàn)于，于，
．平分，，，，
，，，，，
，，．
在和中，，，，
，，，，．
，．
【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
11．（2022·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）問(wèn)題提出
（1）如圖1，四邊形ABCD中，，與互補(bǔ)，，點(diǎn)A到BC邊的距離為17，求四邊形ABCD的面積．
問(wèn)題解決（2）某公園計(jì)劃修建主題活動(dòng)區(qū)域，如圖2所示，，，，在BC上找一點(diǎn)E，修建兩個(gè)不同的三角形活動(dòng)區(qū)域，△ABE區(qū)域?yàn)轶w育健身活動(dòng)區(qū)域，△ECD為文藝活動(dòng)表演區(qū)域，根據(jù)規(guī)劃要求，，，設(shè)EC的長(zhǎng)為x(m)，△ECD的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出△ECD面積的最大值．
【答案】（1）255；（2）；
【分析】（1）連接AC，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)H，將△ABH繞著A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得AB與AD重合，得到△ADG，則利用進(jìn)行求解；（2）連接AD，AC，過(guò)點(diǎn)D作交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H，證明，由此表示出，再利用三角函數(shù)表示出高，從而表示出與的函數(shù)關(guān)系式，并求得的最大值．
【詳解】解：（1）如圖，連接AC，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)H，將△ABH繞著A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得AB與AD重合，得到△ADG．
由，得，∵△ADG是由△ABH旋轉(zhuǎn)得到，∴，
∴，，，
又，，即，，三點(diǎn)共線(xiàn)．
∴，，
∴．
（2）如圖，連接AD，AC，過(guò)點(diǎn)D作交BC延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H．
∵且，∴△BAC為等邊三角形，，．
∵，，∴△EAD為等邊三角形，，．
∵，，∴．
在△BAE和△CAD中，，∴，
∴．即．又∵，∴．
在Rt△DCH中，．
∴△ECD的面積為：．
當(dāng)時(shí)，y有最大值，此時(shí)△ECD面積最大值為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，三角函數(shù)的應(yīng)用，求二次函數(shù)的最大值，解決本題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)定理．
12．（2023山東中考模擬）如圖，矩形ABCD中，∠ACB=30°，將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)P放在兩對(duì)角線(xiàn)AC，BD的交點(diǎn)處，以點(diǎn)P為旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)動(dòng)三角板，并保證三角板的兩直角邊分別于邊AB，BC所在的直線(xiàn)相交，交點(diǎn)分別為E，F(xiàn)．
（1）當(dāng)PE⊥AB，PF⊥BC時(shí)，如圖1，則的值為；
（2）現(xiàn)將三角板繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜60°）角，如圖2，求的值；（3）在（2）的基礎(chǔ)上繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)60°＜α＜90°，且使AP：PC=1：2時(shí)，如圖3，的值是否變化？證明你的結(jié)論．
【答案】（1）；（2）；（3）變化.證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）證明△APE≌△PCF，得PE=CF；在Rt△PCF中，解直角三角形求得的值即可；
（2）如答圖1所示，作輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形，證明△PME∽△PNF，并利用（1）的結(jié)論，求得的值；（3）如答圖2所示，作輔助線(xiàn)，構(gòu)造直角三角形，首先證明△APM∽△PCN，求得；然后證明△PME∽△PNF，從而由求得的值.與（1）（2）問(wèn)相比較，的值發(fā)生了變化.
【詳解】（1）∵矩形ABCD，∴AB⊥BC，PA=PC.
∵PE⊥AB，BC⊥AB，∴PE∥BC.∴∠APE=∠PCF.
∵PF⊥BC，AB⊥BC，∴PF∥AB.∴∠PAE=∠CPF.
∵在△APE與△PCF中，∠PAE=∠CPF，PA=PC，∠APE=∠PCF，
∴△APE≌△PCF（ASA）.∴PE=CF.
在Rt△PCF中，，∴；
（2）如答圖1，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M，PN⊥BC于點(diǎn)N，則PM⊥PN.
∵PM⊥PN，PE⊥PF，∴∠EPM=∠FPN.又∵∠PME=∠PNF=90°，∴△PME∽△PNF.
∴.由（1）知，，∴.
（3）變化.證明如下：如答圖2，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AB于點(diǎn)M，PN⊥BC于點(diǎn)N，則PM⊥PN，PM∥BC，PN∥AB.
∵PM∥BC，PN∥AB，∴∠APM=∠PCN，∠PAM=∠CPN.∴△APM∽△PCN.
∴，得CN=2PM. 在Rt△PCN中，，∴.
∵PM⊥PN，PE⊥PF，∴∠EPM=∠FPN.
又∵∠PME=∠PNF=90°，∴△PME∽△PNF.∴.∴的值發(fā)生變化.
13．（2022秋·河南鶴壁·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知在中，，，，為邊上的一點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作射線(xiàn)，分別交邊、于點(diǎn)、．
（1）當(dāng)為的中點(diǎn)，且、時(shí)，如圖1，_______：
（2）若為的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，_______；
（3）若改變點(diǎn)到圖3的位置，且時(shí)，求的值．
【答案】（1）2；（2）2；（3）
【分析】（1）由為的中點(diǎn)，結(jié)合三角形的中位線(xiàn)的性質(zhì)得到從而可得答案；（2）如圖，過(guò)作于過(guò)作于結(jié)合（1）求解再證明利用相似三角形的性質(zhì)可得答案；（3）過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，證明,可得再證明，利用相似三角形的性質(zhì)求解同法求解從而可得答案．
【詳解】解：（1）為的中點(diǎn)，
故答案為：
（2）如圖，過(guò)作于過(guò)作于

由（1）同理可得：故答案為：
（3）過(guò)點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，
∵，∴．∵，∴．
∴．∴．∴．
∵，，∴．∴∴．
∵，∴．∵，∴．∴．
同理可得：．∴．
【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，三角形中位線(xiàn)的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
14．（2023·浙江臺(tái)州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）【問(wèn)題情境】如圖①，在中，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，連結(jié)，點(diǎn)為的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn).易知BE與CF的數(shù)量關(guān)系．
【探索發(fā)現(xiàn)】如圖②，在中，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，連結(jié)，點(diǎn)為的延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線(xiàn)交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn).【問(wèn)題情境】中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【類(lèi)比遷移】如圖③，在等邊中，，點(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)是射線(xiàn)上一點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），將射線(xiàn)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)交于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，______．
【答案】問(wèn)題情境：；探索發(fā)現(xiàn)：成立，見(jiàn)解析；類(lèi)比遷移：或
【分析】問(wèn)題情境：根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，證明即可得；
探索發(fā)現(xiàn)：與圖①類(lèi)似，證明即可；類(lèi)比遷移：根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠A=∠B=60°，求得∠BDF=∠AED，設(shè)CE=x，則CF=2x，分兩種情況討論：點(diǎn)E在線(xiàn)段AC上，點(diǎn)E在A(yíng)C的延長(zhǎng)線(xiàn)上，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【詳解】問(wèn)題情境：，證明如下：
∵在中，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，
∴，∴
∵∴∴
在和中，∴∴
探索發(fā)現(xiàn)：成立，理由：∵在中，為中點(diǎn)，∴，
又∵，∴，∴，
∴，∴
∵，∴，∴，∴，
在和中，∴∴
類(lèi)比遷移：當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段AC上時(shí)，如圖③，
∵是等邊三角形，，點(diǎn)是中點(diǎn)，
∴，，
設(shè)，則，，
∵是的外角，，∴
即∴
又∵∴∴ ∴∴
解得，（大于4，不符合題意，舍去）
當(dāng)點(diǎn)E在線(xiàn)段AC的延長(zhǎng)線(xiàn)時(shí)，如圖：
設(shè)，則，，
同理可得∴解得，（不符合題意，舍去）
綜上所述，或．故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形與相似三角形的綜合問(wèn)題，運(yùn)用等腰直角三角形的性質(zhì)尋找全等條件，熟練掌握相似三角形中的一線(xiàn)三等角模型是解題的關(guān)鍵．
15．（2023廣東中考模擬）我們定義：有一組鄰角相等的凸四邊形叫做“等鄰角四邊形”
（1）概念理解：請(qǐng)你根據(jù)上述定義舉一個(gè)等鄰角四邊形的例子；
（2）問(wèn)題探究；如圖1，在等鄰角四邊形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂線(xiàn)恰好交于A(yíng)B邊上一點(diǎn)P，連結(jié)AC，BD，試探究AC與BD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）應(yīng)用拓展；如圖2，在Rt△ABC與Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，將Rt△ABD繞著點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如圖3），當(dāng)凸四邊形AD′BC為等鄰角四邊形時(shí)，求出它的面積．
【答案】（1）矩形或正方形；（2）AC=BD，理由見(jiàn)解析；（3）10 或12﹣．
【分析】（1）矩形或正方形鄰角相等，滿(mǎn)足“等鄰角四邊形”條件；
（2）AC=BD，理由為：連接PD，PC，如圖1所示，根據(jù)PE、PF分別為AD、BC的垂直平分線(xiàn)，得到兩對(duì)角相等，利用等角對(duì)等角得到兩對(duì)角相等，進(jìn)而確定出∠APC=∠DPB，利用SAS得到三角形ACB與三角形DPB全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；
（3）分兩種情況考慮：（i）當(dāng)∠AD′B=∠D′BC時(shí)，延長(zhǎng)AD′，CB交于點(diǎn)E，如圖3（i）所示，由S四邊形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′，求出四邊形ACBD′面積；（ii）當(dāng)∠D′BC=∠ACB=90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)D′作D′E⊥AC于點(diǎn)E，如圖3（ii）所示，由S四邊形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′，求出四邊形ACBD′面積即可．
【詳解】（1）矩形或正方形；（2）AC=BD，理由為：連接PD，PC，如圖1所示：

∵PE是AD的垂直平分線(xiàn)，PF是BC的垂直平分線(xiàn)， ∴PA=PD，PC=PB，
∴∠PAD=∠PDA，∠PBC=∠PCB，∴∠DPB=2∠PAD，∠APC=2∠PBC，
即∠PAD=∠PBC， ∴∠APC=∠DPB， ∴△APC≌△DPB（SAS）， ∴AC=BD；
（3）分兩種情況考慮：（i）當(dāng)∠AD′B=∠D′BC時(shí)，延長(zhǎng)AD′，CB交于點(diǎn)E，如圖3（i）所示，
∴∠ED′B=∠EBD′， ∴EB=ED′，
設(shè)EB=ED′=x，由勾股定理得：42+（3+x）2=（4+x）2，解得：x=4.5，
過(guò)點(diǎn)D′作D′F⊥CE于F， ∴D′F∥AC， ∴△ED′F∽△EAC，
∴，即，解得：D′F=，
∴S△ACE=AC×EC=×4×（3+4.5）=15；S△BED′=BE×D′F=×4.5×=，
則S四邊形ACBD′=S△ACE﹣S△BED′=15﹣=10；
（ii）當(dāng)∠D′BC=∠ACB=90°時(shí)，過(guò)點(diǎn)D′作D′E⊥AC于點(diǎn)E，如圖3（ii）所示，
∴四邊形ECBD′是矩形， ∴ED′=BC=3，在Rt△AED′中，根據(jù)勾股定理得：AE=，
∴S△AED′=AE×ED′=××3=，S矩形ECBD′=CE×CB=（4﹣）×3=12﹣3，
則S四邊形ACBD′=S△AED′+S矩形ECBD′=+12﹣3=12﹣．
【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了“等鄰角四邊形”的理解，三角形，四邊形的內(nèi)角和定理，角平分線(xiàn)的意義，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，理解“等鄰角四邊形”的定義是解本題的關(guān)鍵，分類(lèi)討論是解本題的難點(diǎn)，是一道中考?？碱}．
16．（2023年成都市中考模擬）（1）如圖，RtABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D為BC中點(diǎn)，E、F分別為AB、AC上的動(dòng)點(diǎn)，且∠EDF＝90°．求證：DE＝DF；（2）如圖2，RtABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝3，AD⊥BC，∠EDF＝90°．①求證：DF?DA＝DB?DE；②求EF的最小值．

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①見(jiàn)解析；②
【分析】（1）連接AD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得∠ADE＝∠BDF，從而得到△BDF≌△ADE，即可求證；
（2）①先證得∠BDF＝∠ADE，∠B＝∠DAE，可證得△BDF∽△ADE，即可求證；
②連接EF，根據(jù)勾股定理可得BC5，根據(jù)三角形的面積可得AD，從而得到DC，再由△ADB∽△CAB，可得，再根據(jù)，可得到，從而得到△EDF∽△CAB，進(jìn)而得到EF，可得到當(dāng)DE最小時(shí)，EF取最小值，即可求解．
【詳解】證明：（1）如圖1，連接AD，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，∴AD⊥BC，AD＝BD＝DC，∠B＝∠DAE＝45°，
∵∠ADB＝∠EDF＝90°，∴∠ADB﹣∠ADF＝∠EDF﹣∠ADF，即∠ADE＝∠BDF，
在△BDF和△ADE中，，∴△BDF≌△ADE（ASA），∴DE＝DF；
（2）①證明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠ADB＝∠EDF，
∴∠ADB﹣∠ADF＝∠EDF﹣∠ADF，即∠BDF＝∠ADE，
∵∠BAD+∠DAE＝90°，∠BAD+∠B＝90°，∴∠B＝∠DAE，
∴△BDF∽△ADE，∴，∴DF?DA＝DB?DE；
②解：如圖2，連接EF，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝4，AB＝3，
則BC5，∴AD，由勾股定理得：DC，
∵∠B＝∠B，∠ADB＝∠CAB=90°， ∴△ADB∽△CAB，
∴，∴，由①可知，，∴，
∵∠EDF＝∠CAB＝90°，∴△EDF∽△CAB，
∴，即，∴EF，當(dāng)DE最小時(shí)，EF取最小值，
當(dāng)DE⊥AC時(shí)，DE最小，此時(shí)，DE，∴EF的最小值為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形和相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
17．（2023浙江省紹興市九年級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P為射線(xiàn)AB上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q為邊AC上的一動(dòng)點(diǎn)，且∠PDQ=90°．
（1）當(dāng)DP⊥AB時(shí)，求CQ的長(zhǎng)；（2）當(dāng)BP=2，求CQ的長(zhǎng)．
【答案】（1）CQ=4；（2）當(dāng)BP=2時(shí)，CQ=或．
【分析】（1）首先證明DQ∥AB，根據(jù)平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理即可解決問(wèn)題．
（2）分兩種情形①當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在A(yíng)B的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分別為M、N，由△PDM∽△QDN，分別求得PQ和DN，即可求解．
【詳解】（1）如圖1中，∵DP⊥AB，∠BAC=90°，DQ⊥DP，∴DQ∥AB，∵BD=DC，∴CQ=AQ=4；

（2）①如圖2中，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上時(shí)，作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分別為M、N，
則四邊形AMDN是矩形，DM、DN分別是△ABC的中位線(xiàn)，DM=4，DN=3，
∵∠PDQ=∠MDN=90°，∴∠PDM=∠QDN，∵∠DNQ∠DMP=90°，∴△PDM∽△QDN，
∴，∴QN=PM，∵PM=BM-PB=3-2=1，∴QN=PM=，∴CQ=QN+CN=；
②如圖3中，當(dāng)點(diǎn)P在A(yíng)B的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，同①，PM=BM+PB，QN=PM=，
CQ=QN+CN，綜上所述，當(dāng)BP=2，求CQ的長(zhǎng)為或．
【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、三角形的中位線(xiàn)定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)構(gòu)造相似三角形．
18．（2023·湖北·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，四邊形是矩形，點(diǎn)P是對(duì)角線(xiàn)AC上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、C重合），連接，過(guò)點(diǎn)P作，交于點(diǎn)E，已知，．設(shè)的長(zhǎng)為x．
(1)___________；當(dāng)時(shí)，求的值；(2)試探究：是否是定值?若是，請(qǐng)求出這個(gè)值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)當(dāng)是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)求出的值．
【答案】(1)4，(2)是，(3)或4
【分析】（1）作于交于．由，推出，只要求出、即可解決問(wèn)題；（2）結(jié)論：的值為定值．證明方法類(lèi)似（1）；
（3）連接交于，在中，，代入數(shù)據(jù)求得，進(jìn)而即可求解．
【詳解】（1）解：作于交于．

四邊形是矩形，，，，．
在中，，，，，
，，，
，，，
，，故答案為4，．
（2）結(jié)論：的值為定值．理由：由，可得．，，，
，；
（3）連接交于．，所以只能，，
，，，垂直平分線(xiàn)段，
在中，，，，
，．綜上所述，的值為．
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題、考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理以及等腰三角形的構(gòu)成條件等重要知識(shí)，同時(shí)還考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，難度較大．
19．（2023秋·山西忻州·九年級(jí)?？计谀┚C合與實(shí)踐
問(wèn)題情境：在學(xué)習(xí)了三角形的相似后，同學(xué)們開(kāi)始了對(duì)不同三角形中的相似模型的探究．
猜想推理：（1）如圖1，在等邊中，D為邊上一點(diǎn)，E為邊上一點(diǎn)，，，，則______．
問(wèn)題解決：（2）如圖2，是等邊三角形，D是的中點(diǎn)，射線(xiàn)，分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，且，求證：．（3）如圖3，，，，D是的中點(diǎn)，射線(xiàn)，分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，且，求的值．

【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）
【分析】（1）首先求出，證明，得到，即可求出結(jié)果；
（2）連接，過(guò)D作于M，作于N，根據(jù)證明，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得；（3）過(guò)點(diǎn)分別作于，于，根據(jù)勾股定理及中位線(xiàn)的性質(zhì)可得，，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，最后由相似三角形的判定與性質(zhì)可得答案．
【詳解】解：（1）∵在等邊中，，，，∴，
∵，，∴，
∴，∴，即，∴；
（2）如圖，連接，過(guò)D作于M，作于N，
∵是等邊三角形，D為的中點(diǎn)，
∴是的平分線(xiàn)，，∴，，
又∵，∴，∴，
∴在與中，，∴，∴；

（3）過(guò)點(diǎn)分別作于，于，
在中，，是的中點(diǎn)，，
，，，，，
是的中點(diǎn)，是的中位線(xiàn)，是的中位線(xiàn)，，，
四邊形為矩形，，，
，，
，，．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形綜合題．需要掌握等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是找到圖中關(guān)鍵的相似和全等三角形，比較典型，但有點(diǎn)難度．
20．（2023廣東深圳三模試題）（1）【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1，正方形的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)，在正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，邊與邊交于點(diǎn)，邊與邊交于點(diǎn)．證明：；
（2）【類(lèi)比遷移】如圖2，矩形的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)，且，．在矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，邊與邊交于點(diǎn)，邊與邊交于點(diǎn)．若，求的長(zhǎng)；
（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，四邊形和四邊形都是平行四邊形，且，，，是直角三角形．在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，邊與邊交于點(diǎn)，邊與邊交于點(diǎn)．當(dāng)與重疊部分的面積是的面積的時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．

【答案】（1）見(jiàn)解析（2）（3）
【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)，找相等的邊和角證全等即可；
（2）過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)交于點(diǎn)、交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂線(xiàn)交于點(diǎn)，構(gòu)造相似三角形和，列比例式求解算出，最后根據(jù)計(jì)算即可；
（3）過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)交于點(diǎn)，根據(jù)勾股定理算出，根據(jù)已知條件觀(guān)察推理出，，結(jié)合與重疊部分的面積是的面積的，設(shè)列方程求出，最后根據(jù)勾股定理求出即可．
【詳解】（1）正方形的對(duì)角線(xiàn)相交于點(diǎn)，在正方形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，邊與邊交于點(diǎn)，邊與邊交于點(diǎn) ，，，
，即，
在和中，；
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)交于點(diǎn)、交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂線(xiàn)交于點(diǎn)，

四邊形和四邊形都是矩形，，，，
，，，
，
，，
，，，即，，
；
（3）如圖，過(guò)點(diǎn)作的垂線(xiàn)交于點(diǎn)，

設(shè)，則，設(shè)，則，
，，，
又，，

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷更多

相關(guān)試卷

相關(guān)試卷 更多

相關(guān)試卷更多