命題人：曾衛(wèi)國 審題人：廖喜全 孔令然
注意事項：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）
1.若為虛數(shù)單位，則的虛部為（ ）
A. B.1 C. D.-1
2.若集合，則（ ）
A. B.
C.或 D.
3.已知不共線的兩個非零向量，則“與所成角為銳角”是“”的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
4.要得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（ ）
A.向右平移個單位長度 B.向左平移個單位長度
C.向右平移個單位長度 D.向左平移個單位長度
5.已知若為上的奇函數(shù)，，則（ ）
A. B. C. D.-1
6.已知雙曲線的左?右頂點分別為為的右焦點，的離心率為2，若為右支上一點，，記，則（ ）
A. B.1 C. D.2
7.已知二面角的平面角為與平面所成角為.記的面積為的面積為，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
8.在長郡中學(xué)文體活動時間，舉辦高三年級繩子打結(jié)計時賽，現(xiàn)有根繩子，共有10個繩頭，每個繩頭只打一次結(jié)，且每個結(jié)僅含兩個繩頭，所有繩頭打結(jié)完畢視為結(jié)束.則這5根繩子恰好能圍成一個圈的概率為（ ）
A. B. C. D.
二?多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）
9.下列關(guān)于概率統(tǒng)計說法中正確的是（ ）
A.兩個變量的相關(guān)系數(shù)為，則越小，與之間的相關(guān)性越弱
B.設(shè)隨機變量，若，則
C.在回歸分析中，為0.89的模型比為0.98的模型擬合得更好
D.某人解答10個問題，答對題數(shù)為，則
10.已知等比數(shù)列的公比為，前項積為，若，則（ ）
A. B.
C. D.
11.已知定義在上的函數(shù)滿足，且是奇函數(shù)，則（ ）
A.的圖象關(guān)于點對稱
B.
C.
D.若，則
12.是邊上的點，其中，且.則面積的可能取值為（ ）
A. B. C. D.
三?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）
13.的展開式中的系數(shù)是__________.（用數(shù)字作答）.
14.函數(shù)的圖象在處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的圖形的面積為__________.
15.四棱錐的底面是平行四邊形，點分別為的中點，平面將四棱錐分成兩部分的體積分別為，且滿足，則__________.
16.已知橢圓的左?右焦點分別為，離心率為，點在橢圓上，連接并延長交于點，連接，若存在點使成立，則的取值范圍為__________.
四?解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）
17.（本小題滿分10分）
已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前項和為，且.
（1）求的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.
18.（本小題滿分12分）
如圖，在三棱錐中，平面.
（1）求證：平面；
（2）求二面角的大小.
19.（本小題滿分12分）
在中，角所對的邊分別為，且.
（1）求；
（2）已知為邊上的一點，若，求的長.
20.（本小題滿分12分）
已知函數(shù).
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對于任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
21.（本小題滿分12分）
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為軸正半軸上的一個動點.以為焦點?為頂點作拋物線.設(shè)為第一象限內(nèi)拋物線上的一點，為軸負(fù)半軸上一點，設(shè)，使得為拋物線的切線，且.圓均與直線切于點，且均與軸相切.
（1）試求出之間的關(guān)系；
（2）是否存在點，使圓與的面積之和取到最小值.若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.
22.（本小題滿分12分）
現(xiàn)有一種不斷分裂的細(xì)胞，每個時間周期內(nèi)分裂一次，一個細(xì)胞每次分裂能生成一個或兩個新的細(xì)胞，每次分裂后原細(xì)胞消失，設(shè)每次分裂成一個新細(xì)胞的概率為，分裂成兩個新細(xì)胞的概率為；新細(xì)胞在下一個周期內(nèi)可以繼續(xù)分裂，每個細(xì)胞間相互獨立.設(shè)有一個初始的細(xì)胞，在第一個周期中開始分裂，其中.
（1）設(shè)結(jié)束后，細(xì)胞的數(shù)量為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）設(shè)結(jié)束后，細(xì)胞數(shù)量為的概率為.
（i）求；
（ii）證明：.
大聯(lián)考長郡中學(xué)2024屆高三月考試卷（五）數(shù)學(xué)
參考答案
1.D 【解析】因為，故選D.
2.B 【解析】不等式解得，則，，故選B.
3.C 【解析】因為不共線，可知與不共線，
則與所成角為銳角等價于，即，即，
所以“與所成角為銳角”是“”的充分必要條件.故選C.
4.B 【解析】，
，故選B.
5.C 【解析】由題意可得當(dāng)時，，
因為為上的奇函數(shù)，所以，
所以，
所以（舍去），或，因為，所以.故選C.
6.A 【解析】設(shè)的焦距為，點，由的離心率為2可知，
因為，所以，將代入的方程得，即，
所以，
故.
故選A.
7.C 【解析】作，垂足為，連接，
因為，即平面，
故平面平面，故，
又平面，故平面平面，平面平面，
則在平面內(nèi)的射影在直線上，則為與平面所成角，即，
由于，故為二面角的平面角，即，
，
在中，，
則，
而，則，
則，
故，
故選C.
8.D 【解析】不妨令繩頭編號為，可以與繩頭1打結(jié)形成一個圓的繩頭除了1，2外有種可能，假設(shè)繩頭1與繩頭3打結(jié)，那么相當(dāng)于對剩下根繩子進(jìn)行打結(jié)，令根繩子打結(jié)后可成圓的種數(shù)為，那么經(jīng)過一次打結(jié)后，剩下根繩子打結(jié)后可成圓的種數(shù)為，由此可得，，
所以，所以，
顯然，故；
另一方面，對個繩頭進(jìn)行任意2個繩頭打結(jié)，總共有
所以.
所以當(dāng)時，，故選.
二?多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）
9.BD 【解析】對于，兩個變量的相關(guān)系數(shù)為越小，與之間的相關(guān)性越弱，故A錯誤；
對于，隨機變量服從正態(tài)分布，由正態(tài)分布概念知，若，
則，故B正確；
對于C，在回歸分析中，越接近于1，模型的擬合效果越好，
為0.98的模型比為0.89的模型擬合的更好，故錯誤；
對于，某人在10次答題中，答對題數(shù)為，則數(shù)學(xué)期望，故D正確.
故選BD.
10.AC 【解析】因為等比數(shù)列的公比為且，則，所以，
又因為，則，所以，從而，
故對任意的，由可得，A對B錯；，即，C對D錯.
故選AC.
11.ABD 【解析】A選項，由題意知，，則，
所以圖象的對稱中心為正確；
選項，，
兩式相減得，所以，B正確；
選項，由選項可得，的周期為4，又，
故，令得，，
得，所以錯誤；
選項，因為，令得，，
又，故，
中，令得，，
由，得，
又的周期為4，
則
，
所以，D正確.
故選ABD.
12.AB 【解析】由面積公式可得：
，
，
因為，故，
由可得，即，
建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)，
則，整理得到：，
即點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
故的邊上的高的最大值為，故其面積的最大值為.故選.
三?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.）
13.80 【解析】的通項為，
令，得的展開式中的系數(shù)是.
14.1 【解析】由題意可得，
則，
故的圖象在處的切線方程為，即.令，
得；令，得，則所求圖形的面積為.
15. 【解析】如圖，延長交于點，連接交于點，
因為底面為平行四邊形，所以與全等，
且與相似，相似比為，
設(shè)的面積為，則四邊形的面積為，設(shè)點到底面的距離
為，
則，
又因為為的中點，所以，
而，所以，
所以，
所以，所以.
16. 【解析】設(shè)，則.顯然當(dāng)靠近右頂點時，，
所以存在點使等價于，
在中由余弦定理得，
即，解得，
同理可得，所以，
所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
由得，所以.
四?解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.）
17.【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，又，
所以解得，
所以的通項公式.
（2）由（1）知，
所以
.
18.【解析】（1）因為平面平面，
所以，同理，所以為直角三角形，
又因為，
所以，則為直角三角形，故，
又因為，所以平面.
（2）由（1）知平面，又平面，則，
以為原點，為軸，過且與平行的直線為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖，則，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則即令，則，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則即
令，則，所以，
所以，
又因為二面角為銳二面角，
所以二面角的大小為.
19.【解析】（1），
根據(jù)正弦定理得，，
即，
，因為，
，所以，
.
（2），根據(jù)余弦定理得
.
.
在中，由正弦定理知，，
，
.
20.【解析】（1），
令，則，即，
解得的遞增區(qū)間為；
令，則，即，
解得的遞減區(qū)間為.
所以，的遞增區(qū)間為，
遞減區(qū)間為.
（2）因為對于任意的恒成立，
所以對于任意的恒成立，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，
令，
所以.
令，
所以在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞減，
所以，即在上恒成立
所以在上單調(diào)遞減，所以，
所以.
綜上，實數(shù)的取值范圍為.
21.【解析】（1）由條件拋物線，點，
設(shè)，將其與拋物線的方程聯(lián)立，消去得.①
因為與拋物線切于點，所以方程①的判別式為，解得.
進(jìn)而，點.故.
由，則.②
（2）設(shè)圓的圓心分別為.
注意到，與圓均切于點，故.
設(shè)圓與軸分別切于，如圖所示：
則分別為的角平分線，
故，
易知，則，
.
結(jié)合式②有.③
由三點共線得，
化簡可得.④
令，于是，圓的面積之和為.
根據(jù)題意，僅需考慮取最小值的情形，根據(jù)③?④知
.
令，由.
當(dāng)且僅當(dāng)時，上式等號成立.此時，.
結(jié)合式（2）得.
故點的坐標(biāo)為.
22.【解析】（1）2個結(jié)束后，的取值可能為，其中，
，
，
所以分布列為
.
（2）（i）表示分裂結(jié)束后共有2個細(xì)胞的概率，則必在某一個周期結(jié)束后分裂成2個細(xì)胞.
不妨設(shè)在第時分裂為2個細(xì)胞，之后一直有2個細(xì)胞，
此事件概率，
所以
.
（ii）代表分裂后有3個細(xì)胞的概率，設(shè)細(xì)胞在后分裂為2個新的細(xì)胞，這兩個細(xì)胞在剩下的中，其中一個分裂為2個細(xì)胞，一個保持一直分裂為1個細(xì)胞，此事件的概率
，
得，
，
其中.
令，
記，令，得.
當(dāng)單調(diào)遞增；
當(dāng)單調(diào)遞減.
故，題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
C
B
C
A
C
D
BD
AC
ABD
AB
1
2
3
4

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