類型一、面積問題
例．如圖，直線AB的表達(dá)式為，交x軸，y軸分別與B，A兩點，點D坐標(biāo)為點C在線段上，交y軸于點E．
(1)求點A，B的坐標(biāo)．
(2)若，求點C的坐標(biāo)．
(3)若與的面積相等，在直線上有點P，滿足與的面積相等，求點P坐標(biāo)．
【變式訓(xùn)練1】如圖，直線與軸交于點，直線與軸交于點，且經(jīng)過定點，直線與交于點．
(1)填空：________；________；________；
(2)在軸上是否存在一點，使的周長最短？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
(3)若動點在射線上從點開始以每秒1個單位的速度運動，連接，設(shè)點的運動時間為秒．是否存在的值，使和的面積比為？若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由．
【變式訓(xùn)練2】在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，點，，，點D是y軸正半軸上的動點，連接交x軸于點E．
(1)如圖①，若點D的坐標(biāo)為，求的面積；
(2)如圖②，若，求點D的坐標(biāo)．
(3)如圖③，若，請直接寫出點D的坐標(biāo)．
【變式訓(xùn)練3】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線：交y軸于點，交x軸于點B．過點且垂直于x軸的直線交于點D，P是直線上一動點，且在點D的上方，設(shè)．
(1)求直線的解析式和點B的坐標(biāo)；
(2)求的面積(用含n的代數(shù)式表示)；
(3)當(dāng)?shù)拿娣e為2時，以為邊在第一象限作等腰直角三角形，求出點C的坐標(biāo)．
類型二、最值問題
例．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像經(jīng)過、兩點．
(1)______，______．
(2)已知、，
①在直線上找一點P，使．用無刻度直尺和圓規(guī)作出點P(不寫畫法，保留作圖痕跡)；
②點P的坐標(biāo)為______；③點Q在y軸上，那么的最小值為______．
【變式訓(xùn)練1】在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線經(jīng)過和兩點，且與軸，軸分別相交于，兩點．
(1)求直線的表達(dá)式；
(2)若點在直線上，當(dāng)?shù)拿娣e等于2時，求點的坐標(biāo)；
(3)①在軸上找一點，使得的值最小，則點的坐標(biāo)為______；
②在軸上找一點，使得的值最大，則點的坐標(biāo)為______．
【變式訓(xùn)練2】如圖，一次函數(shù)的圖象分別與x軸和y軸交于C，A兩點，且與正比例函數(shù)的圖象交于點．
(1)求正比例函數(shù)的表達(dá)式；
(2)點D是一次函數(shù)圖象上的一點，且的面積是4，求點D的坐標(biāo)；
(3)點P是y軸上一點，當(dāng)?shù)闹底钚r，若存在，點P的坐標(biāo)是______．
【變式訓(xùn)練3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，，，點在軸上，軸，垂足為，軸，垂足為，線段交軸于點．若，．
(1)求點的坐標(biāo)；
(2)如果經(jīng)過點的直線與線段相交，求的取值范圍；
(3)若點是軸上的一個動點，當(dāng)取得最大值時，求的長．
類型三、等腰三角形存在性問題
例．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像分別交x軸、y軸于點A和B．已知點C的標(biāo)為，若點P是x軸上的一個動點．
(1)A的坐標(biāo)是______，B的坐標(biāo)是______；
(2)過點P作y軸的平行線交于點M，交于點N，當(dāng)點P恰好是的中點時，求出P點坐標(biāo)．
(3)若以點B、P、C為頂點的為等腰三角形時、請求出所有符合條件的P點坐標(biāo)．
【變式訓(xùn)練1】直線與x軸、y軸分別交于兩點，且．
(1)求的長和k的值：
(2)若點A是第一象限內(nèi)直線上的一個動點，當(dāng)它運動到什么位置時，的面積是？
(3)在(2)成立的情況下，y軸上是否存在點P，使是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．(寫過程)
【變式訓(xùn)練2】在平面直角坐標(biāo)系中，直線交x軸正半軸于點M，交y軸負(fù)半軸于點，，作線段的垂直平分線交x軸于點A，交y軸于點B．
(1)如圖1，求直線的解析式和A點坐標(biāo)；
(2)如圖2，過點M作y軸的平行線l，P是l上一點，若，求點P坐標(biāo)；
(3)如圖3，點Q是y軸的一個動點，連接、，將沿翻折得到，當(dāng)是等腰三角形時，求點Q的坐標(biāo)．
【變式訓(xùn)練3】如圖，一次函數(shù)的圖象與軸交于點，與軸交于點，與正比例函數(shù)的圖象交于點，且點的橫坐標(biāo)為2，點為軸上的一個動點．
(1)求點的坐標(biāo)和、的值；
(2)連接，當(dāng)與的面積相等時，求點的坐標(biāo)；
(3)連接，是否存在點使得為等腰三角形?若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
類型四、直角三角形存在性問題
例．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點O為坐標(biāo)原點，直線:與直線：交于點，與x軸分別交于點和點C．點D為線段上一動點，將沿直線翻折得到，線段交x軸于點F．
(1)直線的函數(shù)表達(dá)式．
(2)當(dāng)點D在線段上，點E落在y軸上時，求點E的坐標(biāo)．
(3)若為直角三角形，求點D的坐標(biāo)．
【變式訓(xùn)練1】綜合與探究：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸，y軸分別交于點A，B，與直線交于點C．直線與x軸交于點D，若點P是線段上的一個動點，點P從點D出發(fā)沿方向，以每秒2個單位長度勻速運動到點A(到 A停止運動)．設(shè)點P的運動時間為．
(1)求點A和點B的坐標(biāo)；
(2)當(dāng)?shù)拿娣e為12時，求t的值；
(3)試探究，在點P運動過程中，是否存在t的值，使為直角三角形？若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．
【變式訓(xùn)練2】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點與軸交于點，點是直線上的一點，它的坐標(biāo)為，經(jīng)過點作直線軸交軸于點．
(1)求點的坐標(biāo)；
(2)已知點是直線上的動點，
若的面積為4，求點的坐標(biāo)；
若為直角三角形，請求出所有滿足條件的點的坐標(biāo)．
【變式訓(xùn)練3】如圖，已知函數(shù)的圖象與軸交于點，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點，與軸以及的圖象分別交于點，，且點的坐標(biāo)為．
(1)則______，______，______；
(2)關(guān)于， 的二元一次方程組的解為______；
(3)求四邊形的面積；
(4)在軸上是否存在點，使得以點，，為頂點的三角形是直角三角形，請求出點的坐標(biāo)．
類型五、等腰直角三角形存在性問題
例．模型建立：如圖1，等腰直角三角形中，，，直線經(jīng)過點，過作于，過作于．
(1)求證：．
(2)模型應(yīng)用：已知直線與軸交與點，將直線繞著點順時針旋轉(zhuǎn)至，如圖2，求的函數(shù)解析式．
(3)如圖3，矩形，為坐標(biāo)原點，的坐標(biāo)為，、分別在坐標(biāo)軸上，是線段上動點，設(shè)，已知點在第一象限，且是直線上的一點，若是不以為直角頂點的等腰直角三角形，請直接寫出點的坐標(biāo)．
【變式訓(xùn)練1】綜合與探究：
如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖像分別與x軸、y軸交于點A，B，點C是線段OA的中點，點與點關(guān)于軸對稱，作直線．
(1)求A，B兩點的坐標(biāo)；
(2)求直線的函數(shù)表達(dá)式；
(3)若點是直線上的一個動點．
請從A，B兩題中任選一題作答．我選擇______題．
A．如圖2，連接，．直接寫出為直角三角形時點的坐標(biāo)．
B．如圖3，連接，過點作軸于點．直接寫出為等腰直角三角形時點的坐標(biāo)．
【變式訓(xùn)練2】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線交y軸于點，交x軸于點B．直線交AB于點D，交x軸于點E，P是直線上一動點，且在點D的上方，設(shè)．
(1)求直線的解析式；
(2)當(dāng)時，在第一象限內(nèi)找一點C，使為等腰直角三角形，求點C的坐標(biāo)．
【變式訓(xùn)練3】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交x軸于點，與y軸交于點，且a，p滿足．
(1)求直線的解析式；
(2)如圖1，直線與x軸交于點N，點M在x軸上方且在直線上，若的面積等于6，請求出點M的坐標(biāo)；
(3)如圖2，已知點，若點B為射線上一動點，連接，在坐標(biāo)軸上是否存在點Q，使是以為底邊，點Q為直角頂點的等腰直角三角形，若存在，請直接寫出點Q坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
類型六、平行四邊形存在性問題
例．在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與、軸相交于、兩點，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到線段．連接交軸于點．
(1)求點的坐標(biāo)；
(2)為軸上的動點，連接，，當(dāng)?shù)闹底畲髸r，求此時點的坐標(biāo)．
(3)點在直線上，點在軸上，若以、、、為頂點的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點的坐標(biāo)；
【變式訓(xùn)練1】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點，與軸交于點，且滿足：．
(1)求：的值；
(2)為延長線上一動點，以為直角邊作等腰直角，連接，求直線與軸交點的坐標(biāo)；
(3)在(2)的條件下，當(dāng)時，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點，使以為頂點的四邊形是平行四邊形，如果存在，直接寫出點的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．
【變式訓(xùn)練2】如圖，直線l1：y=2x+2與x軸交于點A，與y軸交于點C；直線l2：y=kx+b與x軸交于點B(3，0)，與直線l1交于點D，且點D的縱坐標(biāo)為4．
(1)不等式kx+b＞2x+2的解集是 ；
(2)求直線l2的解析式及△CDE的面積；
(3)點P在坐標(biāo)平面內(nèi)，若以A、B、D、P為頂點的四邊形是平行四邊形，求符合條件的所有點P的坐標(biāo)．
類型七、菱形存在性問題
例．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與x軸，y軸點B，C且與直線交于點A，
(1)直接寫出點B，C的坐標(biāo)；B________；C________；
(2)若D是線段上的點，且的面積為6，求直線的函數(shù)表達(dá)式；
(3)在(2)的條件下，設(shè)P是射線上的點，在平面內(nèi)是否存在點Q，使以O(shè)，C，P，Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【變式訓(xùn)練1】如圖在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸交于點A，與y軸交于點B，直線與直線交于點P．
(1)A點坐標(biāo)為________，P點坐標(biāo)為________；
(2)在線段上有一個動點M，過M點作直線軸，與直線相交于點N，若的面積為，求M點的坐標(biāo)．
(3)若點C為線段上一動點，在平面內(nèi)是否存在一點D，使得以點O，A，C，D為頂點的四邊形是菱形，若存在請直接寫出D點的坐標(biāo)，若不存在請說明理由．

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