一、選擇題
1、已知復(fù)數(shù)z滿足，則z的共軛復(fù)數(shù)為( )
A.B.C.D.
2、拋物線的準(zhǔn)線方程是( )
A.B.C.D.
3、已知，，則( )
A.B.
C.D.
4、如圖，在四面體中，點(diǎn)O為底面三角形的重心，P為的中點(diǎn)，設(shè)，.，則在基底下的有序?qū)崝?shù)組為( )
A.
B.
C.
D.
5、已知，終邊經(jīng)過點(diǎn)，則( )
A.B.C.D.
6、設(shè)，分別是橢圓的左?右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交C于M，N兩點(diǎn)，若，且，則C的離心率為( )
A.B.C.D.
7、有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個(gè)棱數(shù)為24的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，可以看成是由一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體所得.若為線段的中點(diǎn)，且，則該半正多面體外接球的表面積為( )
A.B.C.D.
8、十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家皮埃爾?德?費(fèi)馬提出的一個(gè)著名的幾何問題：“已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其與這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小”.它的答案是：當(dāng)三角形的三個(gè)角均小于時(shí)，即該點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的連線兩兩成角；當(dāng)三角形有一內(nèi)角大于或等于時(shí)，所求點(diǎn)為三角形最大內(nèi)角的頂點(diǎn)，在費(fèi)馬問題中，所求點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn).已知在中，，，，是的角平分線，交于M，滿足若P為的費(fèi)馬點(diǎn)，則( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9、已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)在單調(diào)遞減，且，則下列選項(xiàng)滿足的是( )
A.B.C.D.
10、函數(shù)的部分圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是( )
A.點(diǎn)是圖像的對(duì)稱中心
B.直線是圖像的對(duì)稱軸
C.的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得的圖像
D.在區(qū)間上單調(diào)遞減
11、已知直線截圓所得的弦長(zhǎng)為，點(diǎn)M，N在圓O上，且直線過定點(diǎn)P，若，Q為的中點(diǎn)，則下列說法正確的是( )
A.點(diǎn)P坐標(biāo)為
B.當(dāng)直線l與直線平行時(shí)，
C.動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是以為圓心，為半徑的圓
D.的取值范圍為
12、在一個(gè)圓錐中，D為圓錐的頂點(diǎn)，O為圓錐底面圓的圓心，P為線段的中點(diǎn)，為底面圓的直徑，是底面圓的內(nèi)接正三角形，，則下列說法正確的是( )
A.平面
B.在圓錐的側(cè)面上，點(diǎn)A到的中點(diǎn)的最短距離為
C.二面角的余弦值為
D.記直線與過點(diǎn)P的平面所成角為，當(dāng)時(shí)，平面與圓錐側(cè)面的交線為橢圓或部分橢圓
三、填空題
13、已知，，，若，則C的坐標(biāo)是__________.
14、若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________.
15、已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不存在對(duì)稱軸，則的最大值是__________.
16、如圖，已知直線，A是，之間的一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)A到，的距離分別為是直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)A作，交直線于點(diǎn)C，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)G滿足，則面積的最小值是__________.
四、解答題
17、已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A在拋物線C上，點(diǎn)，且滿足（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.
（1）求C的方程；
（2）求的角平分線所在直線的方程.
18、已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，且離心率為.
（1）求C的方程；
（2）過F作直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求l的方程.
19、如圖，已知棱長(zhǎng)為4的正方體，M為的中點(diǎn)，E為的中點(diǎn)，，且面.
（1）求證：E，F(xiàn)，M，B四點(diǎn)共面，并確定點(diǎn)F位置；
（2）求異面直線與之間的距離；
（3）作出經(jīng)過點(diǎn)A，F(xiàn)，M的截面（不需說明理由，直接注明點(diǎn)的位置），并求出該截面的周長(zhǎng).
20、在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足.
（1）求A；
（2）若，，點(diǎn)D在線段上且滿足，當(dāng)取最小值時(shí)，求的值.
21、如圖①，在矩形中，，，E為邊的中點(diǎn).將沿翻折至，連接，，得到四棱錐（如圖②），M為棱的中點(diǎn).
（1）求證：面，并求的長(zhǎng)；
（2）若，棱上存在動(dòng)點(diǎn)F（除端點(diǎn)外），求直線與面所成角的正弦值的取值范圍.
22、已知雙曲線，的離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為.
（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)不與漸近線平行的動(dòng)直線l與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且與直線相交于點(diǎn)Q，試探究：在焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸上是否存在定點(diǎn)M，使得以為直徑的圓恒過點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)M坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
參考答案
1、答案：B
解析：由題得，
所以z的共軛復(fù)數(shù)為.
故選：B
2、答案：A
解析：由題知拋物線，所以，故拋物線的準(zhǔn)線方程為.
故選：A.
3、答案：C
解析：因?yàn)椋?，?br>所以，故C項(xiàng)正確，
故選：C.
4、答案：D
解析：取的中點(diǎn)E，連接.由重心的性質(zhì)可知，且B，O，E三點(diǎn)共線.
因?yàn)?，所以?所以在基底下的有序?qū)崝?shù)組為.
故選：D.
5、答案：D
解析：由題意得，
故，.又因?yàn)椋?br>所以，，所以，所以，所以，故D項(xiàng)正確.
故選：D.
6、答案：A
解析：如圖，設(shè)，則，.
由橢圓定義可得，，
則在中，由余弦定理得：
，
即，解得，則，，
在中，由余弦定理得，
又，所以，所以離心率.
故選：A.
7、答案：C
解析：將半正多面體補(bǔ)成正方體，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
令正方體的棱長(zhǎng)為，則，，，，，
所以，，所以，解得，
則正方體的棱長(zhǎng)為.令該半正多面體外接球的半徑為r，即，，則外接球的表面積為.故C項(xiàng)正確.
故選：C.
8、答案：D
解析：在中，，，，
由是的角平分線，交于M，
設(shè)M到兩邊的距離為d，
則，
故.
已知的三個(gè)內(nèi)角均小于，則點(diǎn)P與的三個(gè)頂點(diǎn)的連線兩兩成角，
所以.，
所以，
所以
.
故選：D.
9、答案：BC
解析：因?yàn)槭嵌x域?yàn)镽的奇函數(shù)，且在單調(diào)遞減，且，
所以，且，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，由，可得，所以；
當(dāng)時(shí)，由，可得，所以.
綜上，的解集為.
故選：BC.
10、答案：ABD
解析：由題意可知，，解得，所以，解得.
將代入中，得，
解得，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以.
對(duì)于A項(xiàng)，，所以點(diǎn)是圖像的對(duì)稱中心，故A項(xiàng)正確；
對(duì)于B項(xiàng)，，所以直線是圖像的對(duì)稱軸，故B項(xiàng)正確；
對(duì)于C項(xiàng)，的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得的圖像，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，故D項(xiàng)正確.
故選：ABD
11、答案：ABD
解析：對(duì)于A，因?yàn)橹本€，可化為，
由，解得，
所以過定點(diǎn)，故A正確；
對(duì)于B，當(dāng)直線l與直線平行時(shí)，因?yàn)橹本€的斜率為，
所以直線的斜率也為時(shí)，
則，解得：，
此時(shí)，即與直線平行，故B項(xiàng)正確；
對(duì)于C，圓心到直線的距離為，
則，解得，
設(shè)的中點(diǎn)為，
，Q為的中點(diǎn)，
，
點(diǎn)M，N在圓O上，
，，
，
即，化簡(jiǎn)可得，
所以點(diǎn)Q的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，點(diǎn)P到圓心的距離為，在圓內(nèi)，
的取值范圍為，
，
的取值范圍為，故D項(xiàng)正確.
故選：ABD.
12、答案：BD
解析：對(duì)于A項(xiàng)，假設(shè)平面，因?yàn)槠矫?，平面平面?br>所以，
由題意得不與平行，所以假設(shè)不成立，則不平行平面，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B項(xiàng)，將側(cè)面鋪平展開得，
因?yàn)?，所以?br>故，，
底面圓周長(zhǎng)，所以，
則，所以點(diǎn)A到中點(diǎn)M的最短距離為，
在等邊三角形中，，故B項(xiàng)正確；
對(duì)于C項(xiàng)，因?yàn)?，，則，
所以，所以，同理，
又，
所以四面體為正四面體，
取的中點(diǎn)Q，連接，則，，
則即為二面角的大小，
其中，
由余弦定理得，
即二面角的余弦值為，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)圓錐的軸截面頂角，則，
由題意得，
因?yàn)?，所以?br>又在上單調(diào)遞減，
故，此時(shí)平面與圓錐側(cè)面的交線為橢圓或部分橢圓，D正確.
故選：BD.
13、答案：
解析：因?yàn)?，，，設(shè)，
則，
所以，
則，，，
即.
故答案為：.
14、答案：
解析：函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即與的圖像有兩個(gè)交點(diǎn).
令，作出與的大致圖像如圖所示，
由圖可知，則，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：.
15、答案：
解析：因?yàn)椋?，所以?br>因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)不存在對(duì)稱軸，所以，，
解得，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，不成立，即，
故答案為：.
16、答案：
解析：由，得.
取的中點(diǎn)M，的中點(diǎn)N，有，
則.
設(shè)，由于，，而，
則，由，，得，，
則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)的面積的最小值為.
故答案為：.
17、答案：（1）
（2）
解析：（1）因?yàn)椋?br>所以，所以，
設(shè)，則，解得.
因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，
所以，所以.
（2）由（1）知，所以直線的方程為，
又，所以直線的方程為，即.
由拋物線的圖形知，的角平分線所在直線的斜率為正數(shù).
設(shè)為的角平分線所在直線上任一點(diǎn)，
則有，
若，得，
其斜率為負(fù)，不合題意，舍去.
所以，即，
所以的角平分線所在直線的方程為.
18、答案：（1）
（2）或.
解析：（1）由已知得，離心率，
得，，
則C的方程為.
（2）由題可知，若面積存在，則斜率不為0，
所以設(shè)直線l的方程為，m顯然存在，
，，
聯(lián)立消去得，
因?yàn)橹本€l過點(diǎn)F，所以顯然成立，
且，，
因?yàn)?
，
化簡(jiǎn)得，
解得或（舍），
所以直線l的方程為或.
19、答案：（1）F為的中點(diǎn).證明見解析
（2）
（3）截面位置見解析，
解析：（1）證明：因?yàn)槊?，面?br>面面，
所以，所以E，F(xiàn)，M，B四點(diǎn)共面.
又，所以F為中點(diǎn).
（2）連接，
因?yàn)槊?，面，所以?br>因?yàn)?，所以?br>又，，
所以面，
又面，所以.
所以線段即為異面直線與之間的距離，
易得，
即異面直線與之間的距離為.
（3）如圖，在線段，上分別取點(diǎn)P，Q，
使得，，連接點(diǎn)A，F(xiàn)，Q，P，則四邊形即為所求.
又，，
所以該截面的周長(zhǎng)為.
20、答案：（1）
（2）
解析：（1）由題得，
由正弦定理得，
又由，可得，
所以，
即，
因?yàn)?，可得，所以，即?br>因?yàn)?，所以?br>所以，故，
（2）中，由正弦定理得，即，
解得，，則，
因?yàn)椋?br>由余弦定理得
，
所以當(dāng)時(shí)，取到最小值.
21、答案：（1），證明見解析
（2）
解析：（1）證明：取的中點(diǎn)N，連接，，如下圖，
因?yàn)镸，N分別為，的中點(diǎn)，
所以且.
又且，所以，，
所以四邊形為平行四邊形，所以.
因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面.
在中，，所以.
（2）取的中點(diǎn)Q，連接，，易得.
在中，，，且，
則，即.
因?yàn)?，，，面?br>所以面.
取的中點(diǎn)G，連接，則，
以E為原點(diǎn)，，，方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如上圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
，，，，，，
設(shè)，，
則有，
所以，，
因?yàn)椋?br>設(shè)平面的一個(gè)法向量，
則取，可得.
設(shè)與平面所成角為，
則.
設(shè)，所以，
因?yàn)?，因?yàn)?，所以?br>所以，所以.
即與平面所成角的正弦值的取值范圍為.
為直徑的圓恒過點(diǎn)M？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
22、答案：（1）
（2）存在定點(diǎn)M，坐標(biāo)為.
解析：（1）由題可得漸近線方程為，即，
則右焦點(diǎn)到漸近線的距離為，
又，，
所以，，
所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由題可得直線的斜率顯然存在且，
設(shè)直線的方程為，則，
聯(lián)立消去y整理得，
由設(shè)直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P且，
可知，即.
令，則，
代入直線方程得，即.
假設(shè)以為直徑的圓上存在定點(diǎn)M，
令，則，
即恒成立，
即，
所以，
令且，則
當(dāng)時(shí)恒成立，所以在焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸上存在定點(diǎn)M，坐標(biāo)為.

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