一、選擇題（10*4=40）
1．如圖所示的幾何體，從正面看，得到的平面圖形是（ ）
A． B． C． D．
2．點（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）在反比例函數(shù)y圖象上，則y1，y2，y3，y4中最小的是（ ）
A．y1 B．y2 C．y3 D．y4
3．在一個不透明的袋子里，裝有3個紅球、1個白球，它們除顏色外都相同，從袋中任意摸出一個球為紅球的概率是（ ）
A．34B．12C．D．
4．如圖，在正方形方格紙中，每個小正方形的邊長都相等，A、B、C、D都在格點處，AB與CD相交于點P，則cs∠APC的值為（ ）
A． B． C． D．
1. 4. 5.
5．已知⊙O的半徑為7，AB是⊙O的弦，點P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，則OP＝（ ）
A．B．4C．D．5
6．如圖，在⊙O中，弦AB、CD相交于點P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，則∠B的大小為（ ）
A．32°B．42°C．52°D．62°
7．如圖，直線AB交x軸于點C，交反比例函數(shù)y（a＞1）的圖象于A、B兩點，過點B作BD⊥y軸，垂足為點D，若S△BCD＝5，則a的值為（ ）
A．8B．9C．10D．11
8．如圖，圓錐底面圓半徑為7cm，高為24cm，則它側(cè)面展開圖的面積是（ ）
A．cm2B．cm2C．175πcm2D．350πcm2
7. 8. 10.
9．一次函數(shù)y＝ax+1與反比例函數(shù)y在同一坐標(biāo)系中的大致圖象是（ ）
A． B． C． D．
10．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，與y軸交于（0，﹣1），對稱軸為直線x＝1．下列結(jié)論：①abc＞0；②a；③對于任意實數(shù)m，都有m（am+b）＞a+b成立；④若（﹣2，y1），（，y2），（2，y3）在該函數(shù)圖象上，則y3＜y2＜y1；⑤方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k為常數(shù)）的所有根的和為4．其中正確結(jié)論有（ ）個．
A．2B．3C．4D．5
二、填空題（6*4=24）
11．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，則sinA的值為 ．
12．有三張完全一樣正面分別寫有字母A，B，C的卡片．將其背面朝上并洗勻，從中隨機抽取一張，記下卡片上的字母后放回洗勻，再從中隨機抽取一張，則抽取的兩張卡片上的字母相同的概率是 ．
13．在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y＝x2+2x﹣1先繞原點旋轉(zhuǎn)180°，再向下平移5個單位，所得到的拋物線的頂點坐標(biāo)是 ．
14．如圖，?OABC的頂點O是坐標(biāo)原點，A在x軸的正半軸上，B，C在第一象限，反比例函數(shù)y的圖象經(jīng)過點C，y（k≠0）的圖象經(jīng)過點B．若OC＝AC，則k＝ ．
14. 16.
15．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．以點C為圓心，r為半徑作圓，當(dāng)所作的圓與斜邊AB所在的直線相切時，r的值為 ．
16．如圖，四邊形ABCD中，∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于點E，以點E為圓心，DE為半徑，且DE＝6的圓交CD于點F，則陰影部分的面積為
三、解答題
17．（6分）計算：|﹣2|+（）﹣1（sin45°﹣1）0﹣（﹣1）．
18．（6分）如圖，正比例函數(shù)yx的圖象與反比例函數(shù)y（x＞0）的圖象相交于點A．
（1）求點A的坐標(biāo)．
（2）分別以點O、A為圓心，大于OA一半的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點B和點C，作直線BC，交x軸于點D．求線段OD的長．
19．（6分）為弘揚革命傳統(tǒng)精神，清明期間，某校組織學(xué)生前往懷化市烈士陵園緬懷革命先烈．大家被革命烈士紀(jì)念碑的雄偉壯觀震撼，想知道紀(jì)念碑的通高CD（碑頂?shù)剿降孛娴木嚯x），于是師生組成綜合實踐小組進(jìn)行測量．他們在地面的A點用測角儀測得碑頂D的仰角為30°，在B點處測得碑頂D的仰角為60°，已知AB＝35m，測角儀的高度是1.5m（A、B、C在同一直線上），根據(jù)以上數(shù)據(jù)求烈士紀(jì)念碑的通高CD．（1.732，結(jié)果保留一位小數(shù)）
20．（8分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD∥BC交⊙O于點D，DF∥AB交BC于點E，交⊙O于點F，連接AF，CF．
（1）求證：AC＝AF；
（2）若⊙O的半徑為3，∠CAF＝30°，求的長（結(jié)果保留π）．
21．（8分）“石頭、剪子、布”是一個廣為流傳的游戲，規(guī)則是：甲、乙兩人都做出“石頭”“剪子”“布”3種手勢中的1種，其中“石頭”贏“剪子”，“剪子”贏“布”，“布”贏“石頭”，手勢相同不分輸贏．假設(shè)甲、乙兩人每次都隨意并且同時做出3種手勢中的1種．
（1）甲每次做出“石頭”手勢的概率為 ；
（2）用畫樹狀圖或列表的方法，求乙不輸?shù)母怕剩?br>22．（8分）如圖，O，R是同一水平線上的兩點，無人機從O點豎直上升到A點時，測得A到R點的距離為40m，R點的俯角為24.2°，無人機繼續(xù)豎直上升到B點，測得R點的俯角為36.9°．求無人機從A點到B點的上升高度AB（精確到0.1m）．
參考數(shù)據(jù)：sin24.2°≈0.41，cs24.2°≈0.91，tan24.2°≈0.45，sin36.9°≈0.60，cs36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75．
23．（10分）某種商品每件的進(jìn)價為10元，若每件按20元的價格銷售，則每月能賣出360件；若每件按30元的價格銷售，則每月能賣出60件．假定每月的銷售件數(shù)y是銷售價格x（單位：元）的一次函數(shù)．
（1）求y關(guān)于x的一次函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)銷售價格定為多少元時，每月獲得的利潤最大？并求此最大利潤．
24．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，點E，C在⊙O上，點C是的中點，AE垂直于過C點的直線DC，垂足為D，AB的延長線交直線DC于點F．
（1）求證：DC是⊙O的切線；
（2）若AE＝2，sin∠AFD＝，
①求⊙O的半徑；
②求線段DE的長．
25．（12分）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A、B分別在函數(shù)y1（x＜0）、y2（x＞0，k＞0）的圖象上，點C在第二象限內(nèi)，AC⊥x軸于點P，BC⊥y軸于點Q，連接AB、PQ，已知點A的縱坐標(biāo)為﹣2．
（1）求點A的橫坐標(biāo)；
（2）記四邊形APQB的面積為S，若點B的橫坐標(biāo)為2，試用含k的代數(shù)式表示S．
26．（12分）如圖1，平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c過點A（﹣1，0），B（2，0）和C（0，2），連接BC，點P（m，n）（m＞0）為拋物線上一動點，過點P作PN⊥x軸交直線BC于點M，交x軸于點N．
（1）直接寫出拋物線和直線BC的解析式；
（2）如圖2，連接OM，當(dāng)△OCM為等腰三角形時，求m的值；
（3）當(dāng)P點在運動過程中，在y軸上是否存在點Q，使得以O(shè)，P，Q為頂點的三角形與以B，C，N為頂點的三角形相似（其中點P與點C相對應(yīng)），若存在，直接寫出點P和點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
2023—2024學(xué)年上學(xué)期九年級數(shù)學(xué)期末模擬試題三
時間：120分鐘 分?jǐn)?shù)：150分
一、選擇題（10*4=40）
1．如圖所示的幾何體，從正面看，得到的平面圖形是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根據(jù)從正面看得到的圖形是主視圖，可得答案．
【解答】解：從正面看到的平面圖形為等腰梯形．
故選：A．
2．點（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）在反比例函數(shù)y圖象上，則y1，y2，y3，y4中最小的是（ ）
A．y1 B．y2 C．y3 D．y4
【解析】選D．∵k＝4＞0，∴在第一象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，
∵（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）在反比例函數(shù)y圖象上，且1＜2＜3＜4，∴y4最小．
3．在一個不透明的袋子里，裝有3個紅球、1個白球，它們除顏色外都相同，從袋中任意摸出一個球為紅球的概率是（ ）
A．B．C．D．
【解析】選A．∵總共有4個球，其中紅球有3個，摸到每個球的可能性都相等，∴摸到紅球的概率P.
4．如圖，在正方形方格紙中，每個小正方形的邊長都相等，A、B、C、D都在格點處，AB與CD相交于點P，則cs∠APC的值為（ ）
A． B． C． D．
【解析】選B．把AB向上平移一個單位到DE，連接CE，如圖．
則DE∥AB，∴∠APC＝∠EDC．
在△DCE中，有EC，DC2，DE5，
∵EC2+DC2＝DE2，
故△DCE為直角三角形，∠DCE＝90°．
∴sin∠APC＝sin∠EDC，∴cs∠APC．
5．已知⊙O的半徑為7，AB是⊙O的弦，點P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，則OP＝（ ）
A．B．4C．D．5
【解析】選D．如圖，過點O作OC⊥AB于點C，連接OB，
則OB＝7，
∵PA＝4，PB＝6，∴AB＝PA+PB＝10，
∵OC⊥AB，∴AC＝BC＝5，∴PC＝PB﹣BC＝1，
在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理得：
OC2＝OB2﹣BC2＝72﹣52＝24，
在Rt△OPC中，根據(jù)勾股定理得：
OP5.
6．如圖，在⊙O中，弦AB、CD相交于點P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，則∠B的大小為（ ）
A．32°B．42°C．52°D．62°
【解析】選A．∵∠A＝∠D，∠A＝48°，∴∠D＝48°，
∵∠APD＝80°，∠APD＝∠B+∠D，∴∠B＝∠APD﹣∠D＝80°﹣48°＝32°.
7．如圖，直線AB交x軸于點C，交反比例函數(shù)y（a＞1）的圖象于A、B兩點，過點B作BD⊥y軸，垂足為點D，若S△BCD＝5，則a的值為（ ）
A．8B．9C．10D．11
【解析】選D．設(shè)點B的坐標(biāo)為（a，），
∵S△BCD＝5，且a＞1，∴a5，解得：a＝11，
經(jīng)檢驗，a＝11是原分式方程的解.
8．如圖，圓錐底面圓半徑為7cm，高為24cm，則它側(cè)面展開圖的面積是（ ）
A．cm2B．cm2C．175πcm2D．350πcm2
【解析】選C.在Rt△AOC中，AC25（cm），
所以圓錐的側(cè)面展開圖的面積2π×7×25＝175π（cm2）.
9．一次函數(shù)y＝ax+1與反比例函數(shù)y在同一坐標(biāo)系中的大致圖象是（ ）
A．B．C．D．
【解析】選B．分兩種情況：
（1）當(dāng)a＞0，時，一次函數(shù)y＝ax+1的圖象過第一、二、三象限，反比例函數(shù)y圖象在第二、四象限，無選項符合；
（2）當(dāng)a＜0，時，一次函數(shù)y＝ax+1的圖象過第一、二、四象限，反比例函數(shù)y圖象在第一、三象限，故B選項正確．
10．二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的部分圖象如圖所示，與y軸交于（0，﹣1），對稱軸為直線x＝1．下列結(jié)論：①abc＞0；②a；③對于任意實數(shù)m，都有m（am+b）＞a+b成立；④若（﹣2，y1），（，y2），（2，y3）在該函數(shù)圖象上，則y3＜y2＜y1；⑤方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k為常數(shù)）的所有根的和為4．其中正確結(jié)論有（ ）個．
A．2B．3C．4D．5
【解析】選A．∵拋物線開口向上，∴a＞0，
∴拋物線與y軸交于點（0，﹣1），∴c＝﹣1，
∵1，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＞0，故①正確，
∵y＝ax2﹣2ax﹣1，
當(dāng)x＝﹣1時，y＞0，∴a+2a﹣1＞0，∴a，故②正確，
當(dāng)m＝1時，m（am+b）＝a+b，故③錯誤，
∵點（﹣2，y1）到對稱軸的距離大于點（2，y3）到對稱軸的距離，∴y1＞y3，
∵點（，y2）到對稱軸的距離小于點（2，y3）到對稱軸的距離，∴y3＞Y2，
∴y2＜y3＜y1，故④錯誤，
∵方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k為常數(shù)）的解，是拋物線與直線y＝±k的交點，
當(dāng)有四個交點或3個時，方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k為常數(shù)）的所有根的和為4，
當(dāng)有兩個交點時，方程|ax2+bx+c|＝k（k≥0，k為常數(shù)）的所有根的和為2，故⑤錯誤，
二、填空題（6*4=24）
11．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，則sinA的值為 ．
【解析】如圖所示：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB13，∴sinA．
答案：．
12．有三張完全一樣正面分別寫有字母A，B，C的卡片．將其背面朝上并洗勻，從中隨機抽取一張，記下卡片上的字母后放回洗勻，再從中隨機抽取一張，則抽取的兩張卡片上的字母相同的概率是 ．
【解析】根據(jù)題意列表如下：
共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩次抽出的卡片上的字母相同的有3種情況，所以抽取的兩張卡片上的字母相同的概率為.
答案：．
13．在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線y＝x2+2x﹣1先繞原點旋轉(zhuǎn)180°，再向下平移5個單位，所得到的拋物線的頂點坐標(biāo)是 （1，3） ．
【解析】將拋物線y＝x2+2x﹣1繞原點旋轉(zhuǎn)180°后所得拋物線為：﹣y＝（﹣x）2+2（﹣x）﹣1，即y＝﹣x2+2x+1，再將拋物線y＝﹣x2+2x+1向下平移5個單位得y＝﹣x2+2x+1﹣5＝﹣x2+2x﹣4＝﹣（x﹣1）2﹣3，∴所得到的拋物線的頂點坐標(biāo)是（1，﹣3）.
答案：（1，3）．
14．如圖，?OABC的頂點O是坐標(biāo)原點，A在x軸的正半軸上，B，C在第一象限，反比例函數(shù)y的圖象經(jīng)過點C，y（k≠0）的圖象經(jīng)過點B．若OC＝AC，則k＝ 3 ．
【解析】由題知，反比例函數(shù)y的圖象經(jīng)過點C，
設(shè)C點坐標(biāo)為（a，），
作CH⊥OA于H，過A點作AG⊥BC于G，
∵四邊形OABC是平行四邊形，OC＝AC，
∴OH＝AH，CG＝BG，四邊形HAGC是矩形，
∴OH＝CG＝BG＝a，
即B（3a，），
∵y（k≠0）的圖象經(jīng)過點B，
∴k＝3a?3，
答案：3．
15．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．以點C為圓心，r為半徑作圓，當(dāng)所作的圓與斜邊AB所在的直線相切時，r的值為 ．
【分析】設(shè)⊙C與AB所在的直線相切，切點為點D，連接CD，根據(jù)切線的性質(zhì)得AB⊥CD，再由勾股定理求得AB10，則AB?CDAC?BC＝S△AOB，所以10CD8×6，則r＝CD，于是得到問題的答案．
【解答】解：設(shè)⊙C與AB所在的直線相切，切點為點D，連接CD，
∵CD是⊙C的半徑，AB與⊙C相切于點D，
∴AB⊥CD，
∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB10，
∵AB?CDAC?BC＝S△AOB，
∴10CD8×6，
解得CD，
∴r＝CD，
故答案為：．
【點評】此題重點考查切線的性質(zhì)、勾股定理、根據(jù)面積等式求線段的長度等知識與方法，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．
16．如圖，四邊形ABCD中，∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于點E，以點E為圓心，DE為半徑，且DE＝6的圓交CD于點F，則陰影部分的面積為（ ）
A．6π﹣9B．12π﹣9C．6πD．12π
【解析】選B．∵∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于點E，
∴∠GDE＝∠DEA＝30°，
∵DE＝EF，
∴∠EDF＝∠EFD＝30°，
∴∠DEF＝120°，
過點E作EG⊥DF交DF于點G，
∵∠GDE＝30°，DE＝6，
∴GE＝3，DG＝3，
∴DF＝6，
陰影部分的面積63＝12π﹣9，
三、解答題
17．（6分）（2023?懷化）計算：|﹣2|+（）﹣1（sin45°﹣1）0﹣（﹣1）．
【分析】直接利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)以及零指數(shù)冪的性質(zhì)、二次根式的性質(zhì)、絕對值的性質(zhì)分別化簡，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：原式＝2+3﹣3+1+1
＝4．
【點評】此題主要考查了實數(shù)的運算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．
18．（6分）（2023?岳陽）如圖，正比例函數(shù)yx的圖象與反比例函數(shù)y（x＞0）的圖象相交于點A．
（1）求點A的坐標(biāo)．
（2）分別以點O、A為圓心，大于OA一半的長為半徑作圓弧，兩弧相交于點B和點C，作直線BC，交x軸于點D．求線段OD的長．
【分析】（1）將正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式聯(lián)立，組成方程組，解方程組即可求出點A的坐標(biāo)；
（2）設(shè)點D的坐標(biāo)為（x，0）．根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AD＝OD，依此列出方程（x﹣3）2+42＝x2，解方程即可．
【解答】解：（1）解方程組（x＞0），
得，
∴點A的坐標(biāo)為（3，4）；
（2）設(shè)點D的坐標(biāo)為（x，0）．
由題意可知，BC是OA的垂直平分線，
∴AD＝OD，
∴（x﹣3）2+42＝x2，
∴x，
∴D（，0），OD．
【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標(biāo)，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．也考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．
19．（6分）為弘揚革命傳統(tǒng)精神，清明期間，某校組織學(xué)生前往懷化市烈士陵園緬懷革命先烈．大家被革命烈士紀(jì)念碑的雄偉壯觀震撼，想知道紀(jì)念碑的通高CD（碑頂?shù)剿降孛娴木嚯x），于是師生組成綜合實踐小組進(jìn)行測量．他們在地面的A點用測角儀測得碑頂D的仰角為30°，在B點處測得碑頂D的仰角為60°，已知AB＝35m，測角儀的高度是1.5m（A、B、C在同一直線上），根據(jù)以上數(shù)據(jù)求烈士紀(jì)念碑的通高CD．（1.732，結(jié)果保留一位小數(shù)）
【分析】根據(jù)題意可得AM＝BN＝CE＝1.5m，AB＝MN＝35m，∠DEM＝90°，∠DNE＝60°，∠DME＝30°，先利用三角形的外角性質(zhì)可得∠DMN＝∠MDN＝30°，從而可得DN＝MN＝35m，然后在Rt△DNE中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出DE的長，即可得的答案．
【解答】解：由題意得：AM＝BN＝CE＝1.5m，AB＝MN＝35m，∠DEM＝90°，∠DNE＝60°，∠DME＝30°，
∵∠DNE是△DMN的外角，
∴∠MND＝∠DNE﹣∠DMN＝30°，
∴∠DMN＝∠MDN＝30°，
∴DN＝MN＝35m，
在Rt△DNE中，DE＝DN?sin60°＝35（m），
∴DC＝DE+CE1.51.5≈31.8（m）．
答：烈士紀(jì)念碑的通高CD約為31.8m．
【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．
20．（8分）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD∥BC交⊙O于點D，DF∥AB交BC于點E，交⊙O于點F，連接AF，CF．
（1）求證：AC＝AF；
（2）若⊙O的半徑為3，∠CAF＝30°，求的長（結(jié)果保留π）．
【解析】（1）∵AD∥BC，DF∥AB，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B＝∠D，
∵∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，∴∠AFC＝∠ACF，∴AC＝AF．
（2）連接AO，CO，
由（1）得∠AFC＝∠ACF，
∵∠AFC75°，∴∠AOC＝2∠AFC＝150°，∴的長l．
21．（8分）“石頭、剪子、布”是一個廣為流傳的游戲，規(guī)則是：甲、乙兩人都做出“石頭”“剪子”“布”3種手勢中的1種，其中“石頭”贏“剪子”，“剪子”贏“布”，“布”贏“石頭”，手勢相同不分輸贏．假設(shè)甲、乙兩人每次都隨意并且同時做出3種手勢中的1種．
（1）甲每次做出“石頭”手勢的概率為 ；
（2）用畫樹狀圖或列表的方法，求乙不輸?shù)母怕剩?br>【解析】（1）甲每次做出“石頭”手勢的概率為；
答案：；
（2）畫樹狀圖得：
共有9種等可能的情況數(shù)，其中乙不輸?shù)挠?種，則乙不輸?shù)母怕适牵?br>22．（8分）如圖，O，R是同一水平線上的兩點，無人機從O點豎直上升到A點時，測得A到R點的距離為40m，R點的俯角為24.2°，無人機繼續(xù)豎直上升到B點，測得R點的俯角為36.9°．求無人機從A點到B點的上升高度AB（精確到0.1m）．
參考數(shù)據(jù)：sin24.2°≈0.41，cs24.2°≈0.91，tan24.2°≈0.45，sin36.9°≈0.60，cs36.9°≈0.80，tan36.9°≈0.75．
【分析】在不同的直角三角形中，利用直角三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行計算即可．
【解答】解：如圖，由題意可知，∠ORB＝36.9°，∠ORA＝24.2°，
在Rt△AOR中，AR＝40m，∠ORA＝24.2°，
∴OA＝sin∠ORA×AR
＝sin24.2°×40
≈16.4（m），
OR＝cs24.2°×40
≈36.4（m），
在Rt△BOR中，
OB＝tan36.9°×36.4≈27.3（m），
∴AB＝OB﹣OA
＝27.3﹣16.4
＝10.9（m），
答：無人機上升高度AB約為10.9m．
【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形的邊角關(guān)系是正確解答的前提．
23．（10分）某種商品每件的進(jìn)價為10元，若每件按20元的價格銷售，則每月能賣出360件；若每件按30元的價格銷售，則每月能賣出60件．假定每月的銷售件數(shù)y是銷售價格x（單位：元）的一次函數(shù)．
（1）求y關(guān)于x的一次函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)銷售價格定為多少元時，每月獲得的利潤最大？并求此最大利潤．
【解析】（1）設(shè)y＝kx+b，把x＝20，y＝360，和x＝30，y＝60代入，可得，
解得：，∴y＝﹣30x+960（10≤x≤32）；
（2）設(shè)每月所獲的利潤為W元，
∴W＝（﹣30x+960）（x﹣10）
＝﹣30（x﹣32）（x﹣10）
＝﹣30（x2﹣42x+320）
＝﹣30（x﹣21）2+3630．
∴當(dāng)x＝21時，W有最大值，最大值為3630．
24．（10分）如圖，AB是⊙O的直徑，點E，C在⊙O上，點C是的中點，AE垂直于過C點的直線DC，垂足為D，AB的延長線交直線DC于點F．
（1）求證：DC是⊙O的切線；
（2）若AE＝2，sin∠AFD＝，
①求⊙O的半徑；
②求線段DE的長．
【分析】（1）連接OC，根據(jù)垂直定義可得∠D＝90°，根據(jù)已知易得＝，從而利用等弧所對的圓周角相等可得∠DAC＝∠CAB，然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得∠CAB＝∠OCA，從而可得∠DAC＝∠OCA，進(jìn)而可得AD∥OC，最后利用平行線的性質(zhì)可得∠OCF＝∠D＝90°，即可解答；
（2）①過點O作OG⊥AE，垂足為G，根據(jù)垂徑定理可得AG＝EG＝1，再根據(jù)垂直定義可得∠AGO＝∠DGO＝90°，從而可得∠D＝∠AGO＝90°，進(jìn)而可得OG∥DF，然后利用平行線的性質(zhì)可得∠AFD＝∠AOG，從而可得sin∠AOG＝sin∠AFD＝，最后在Rt△AGO中，利用銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行計算即可解答；
②根據(jù)平角定義可得∠OCD＝90°，從而可得四邊形OGDC是矩形，然后利用矩形的性質(zhì)可得OC＝DG＝3，從而利用線段的和差關(guān)系進(jìn)行計算，即可解答．
【解答】（1）證明：連接OC，
∵AD⊥DF，
∴∠D＝90°，
∵點C是的中點，
∴＝，
∴∠DAC＝∠CAB，
∴OA＝OC，
∴∠CAB＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC，
∴∠OCF＝∠D＝90°，
∵OC是⊙O的半徑，
∴DC是⊙O的切線；
（2）解：①過點O作OG⊥AE，垂足為G，
∴AG＝EG＝AE＝1，
∵OG⊥AD，
∴∠AGO＝∠DGO＝90°，
∵∠D＝∠AGO＝90°，
∴OG∥DF，
∴∠AFD＝∠AOG，
∵sin∠AFD＝，
∴sin∠AOG＝sin∠AFD＝，
在Rt△AGO中，AO＝＝＝3，
∴⊙O的半徑為3；
②∵∠OCF＝90°，
∴∠OCD＝180°﹣∠OCF＝90°，
∵∠OGE＝∠D＝90°，
∴四邊形OGDC是矩形，
∴OC＝DG＝3，
∵GE＝1，
∴DE＝DG﹣GE＝3﹣1＝2，
∴線段DE的長為2．
【點評】本題考查了切線的判定與性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，解直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
25．（12分）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A、B分別在函數(shù)y1（x＜0）、y2（x＞0，k＞0）的圖象上，點C在第二象限內(nèi)，AC⊥x軸于點P，BC⊥y軸于點Q，連接AB、PQ，已知點A的縱坐標(biāo)為﹣2．
（1）求點A的橫坐標(biāo)；
（2）記四邊形APQB的面積為S，若點B的橫坐標(biāo)為2，試用含k的代數(shù)式表示S．
【解析】（1）∵點A在函數(shù)y1（x＜0）的圖象上，點A的縱坐標(biāo)為﹣2，
∴﹣2，解得x＝﹣1，∴點A的橫坐標(biāo)為﹣1；
（2）∵點B在函數(shù)y2（x＞0，k＞0）的圖象上，點B的橫坐標(biāo)為2，
∴B（2，），∴PC＝OQ，BQ＝2，
∵A（﹣1，﹣2），∴OP＝CQ＝1，AP＝2，
∴AC＝2，BC＝1+2＝3，
∴S＝S△ABC﹣S△PQCAC?BCPC?CQ1＝3k
26．（12分）如圖1，平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝ax2+bx+c過點A（﹣1，0），B（2，0）和C（0，2），連接BC，點P（m，n）（m＞0）為拋物線上一動點，過點P作PN⊥x軸交直線BC于點M，交x軸于點N．
（1）直接寫出拋物線和直線BC的解析式；
（2）如圖2，連接OM，當(dāng)△OCM為等腰三角形時，求m的值；
（3）當(dāng)P點在運動過程中，在y軸上是否存在點Q，使得以O(shè)，P，Q為頂點的三角形與以B，C，N為頂點的三角形相似（其中點P與點C相對應(yīng)），若存在，直接寫出點P和點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）由題得拋物線的解析式為y＝a（x+1）（x﹣2），將點C坐標(biāo)代入求a，進(jìn)而得到拋物線的解析式；設(shè)直線BC的解析式為y＝kx+t，將B、C兩點坐標(biāo)代入求解即可得到直線BC的解析式．
（2）由題可得M坐標(biāo)，分別求出OC，OM，CM，對等腰三角形OCM中相等的邊界線分類討論，進(jìn)而列方程求解．
（3）對P點在B點左右兩側(cè)進(jìn)行分類討論，設(shè)法表示出各線段的長度，利用相似三角形的相似比求解m，進(jìn)而得到點P，點Q的坐標(biāo)．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c過點A（﹣1，0），B（2，0），
∴拋物線的表達(dá)式為y＝a（x+1）（x﹣2），
將點C（0，2）代入得，2＝﹣2a，
∴a＝﹣1，
∴拋物線的表達(dá)式為y＝﹣（x+1）（x﹣2），即y＝﹣x2+x+2．
設(shè)直線BC的表達(dá)式為y＝kx+t，
將B（2，0），C（0，2）代入得，
，
解得，
∴直線BC的表達(dá)式為y＝﹣x+2．
（2）∵點M在直線BC上，且P（m，n），
∴點M的坐標(biāo)為（m，﹣m+2），
∴OC＝2
∴CM2＝（m﹣0）2+（﹣m+2﹣2）2＝2m2，OM2＝m2+（﹣m+2）2＝2m2﹣4m+4，
當(dāng)△OCM為等腰三角形時，
①若CM＝OM，則CM2＝OM2，
即2m2＝2m2﹣4m+4，
解得m＝1；
②若CM＝OC，則CM2＝OC2，
即2m2＝4，
解得或m＝﹣（舍去）；
③若OM＝OC，則OM2＝OC2，
即2m2﹣4m+4＝4，
解得m＝2或m＝0（舍去）．
綜上，m＝1或m＝或m＝2．
（3）∵點P與點C相對應(yīng)，
∴△POQ∽△CBN或△POQ∽△CNB，
①若點P在點B的左側(cè)，
則，
當(dāng)△POQ∽△CBN，即∠POQ＝45°時，
直線OP的表達(dá)式為y＝x，
∴﹣m2+m+2＝m，
解得或m＝﹣（舍去），
∴，即OP＝2，
∴，即，
解得OQ＝，
∴，
當(dāng)△POQ∽△CBN，即∠POQ＝45°時，
，
∴，即，
解得m＝1±（舍去）．
②若點P在點B的右側(cè)，
則∠CBN＝135°，BN＝m﹣2，
當(dāng)△POQ∽△CNB，即∠POQ＝135°時，
直線OP的表達(dá)式為y＝﹣x，
∴﹣m2+m+2＝﹣m，
解得m＝1+或m＝1﹣（舍去），
∴，
∴，即，
解得OQ＝1，
∴，
當(dāng)△POQ∽△CNB，即∠POQ＝135°時，
PQ＝，OQ＝|﹣m2+m+2+m|＝m2﹣2m﹣2，
∴，即，
解得m＝1+或m＝1﹣（舍去），
∴，
綜上，P（），Q（0， ）或P（），Q（0，1）或P（1+），Q（0，﹣2）．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定等相關(guān)知識．
A
B
C
A
AA
BA
CA
B
AB
BB
CB
C
AC
BC
CC

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