四川省達(dá)州市萬源中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.
2．答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3．考試結(jié)束，將試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 直線的傾斜角為
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先將直線化為斜截式求出直線的斜率，然后再利用傾斜角與斜率的關(guān)系即可求解.
【詳解】由直線，
則，
設(shè)直線的傾斜角為，
所以，
所以.
故選：A
【點睛】本題考查了直線的斜截式方程、直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.
2. 若直線l的方向向量為，平面α的法向量為，且，則m的值（）
A. B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】因為，所以有，由向量垂直的坐標(biāo)運算即可求解.
【詳解】若，則有，
即，解得.
故選：B
3. 已知直線與圓交于兩點，則（）
A. B. C. 4D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】先求出弦心距，然后根據(jù)弦長公式求出弦長即可.
【詳解】由題意得圓的半徑為，圓心到的距離，
所以，
故選：B
4. “圓”是中國文化的一個重要精神元素，在中式建筑中有著廣泛的運用，最具代表性的便是園林中的門洞．如圖，某園林中的圓弧形挪動高為2.5m，底面寬為1m，則該門洞的半徑為（）
A. 1.2mB. 1.3 mC. 1.4 mD. 1.5 m
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)半徑為R，根據(jù)垂徑定理可以列方程求解即可.
【詳解】設(shè)半徑為R，,解得,化簡得.
故選：B.
5. 若雙曲線（，）的一條漸近線被圓所截
得的弦長為2，則的離心率為
A. 2B. C. D.
【答案】A
【解析】
【詳解】由幾何關(guān)系可得，雙曲線的漸近線方程為，圓心到漸近線距離為，則點到直線的距離為，
即，整理可得，雙曲線的離心率．故選A．
點睛:雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝c2－a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．
6. 已知直線：和點，點，點P是直線上一動點，當(dāng)最小時，點P的坐標(biāo)是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件求出A關(guān)于直線的對稱點坐標(biāo)，求出直線方程，與已知直線方程聯(lián)立即可求解.
【詳解】依題意，設(shè)關(guān)于直線的對稱點，
所以，解得，所以，
由直線的對稱性知，，則，
當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，等號成立，即取到最小，
由及知直線的方程為，
聯(lián)立，解得，即.
所以最小時，點P的坐標(biāo)是.
故選：C
7. 已知圓C: ，直線：，直線被圓C截得的弦長最短時，實數(shù)m的值為（）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)直線的方程，求得直線所過的定點，直線被圓C截得的弦長最短時有，則，解出方程即可.
【詳解】因為直線：，
方程可化為，
令，解得，
故直線過定點，
且在圓C:內(nèi)，又,
故當(dāng)直線被圓C截得的弦長最短時,
有，
則，
解得，
故選：B.
8. 已知橢圓，直線，若橢圓上存在關(guān)于直線對稱的兩點，則實數(shù)m的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)橢圓上兩點關(guān)于直線對稱，則可設(shè)直線方程為，將其與橢圓方程聯(lián)立，令，可算出的范圍，又線段的中點也在直線上，結(jié)合韋達(dá)定理可以算出的關(guān)系式，從而得解.
【詳解】設(shè)，線段的中點，
若此橢圓上存在不同的兩點關(guān)于直線對稱，
所以直線的方程可以設(shè)為，
聯(lián)立，化為，
，解得，
而，所以，即，
代入直線可得，
所以，即實數(shù)m的取值范圍是.
故選：D.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有錯選的得0分.
9. 已知橢圓：的左、右焦點分別是、，點為橢圓上一點，則下列關(guān)于橢圓的結(jié)論正確的有（）
A. 長軸長為B. 離心率為
C. 的周長為D. 的面積為
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓的方程求出，，，再結(jié)合橢圓定義與橢圓的幾何性質(zhì)即可分別判斷正誤求解.
【詳解】由橢圓：，得：，，
對于A項：長軸長為，故A項錯誤；
對于B項：離心率，故B項正確；
對于C項：由橢圓定義得：，
的周長為，故C項正確；
對于D項：因為，所以得：，
解得：，故D項正確.
故選：BCD.
10. 如圖，下列各正方體中，O為下底面的中心，M，N為頂點，P為所在棱的中點，則滿足的是（）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，建立空間直角坐標(biāo)系，再對每一個選項逐一分析，利用空間位置關(guān)系的向量證明推理作答.
【詳解】在正方體中，對各選項建立相應(yīng)的空間直角坐標(biāo)系，令正方體棱長為2，點，
對于A，，，，，A是；
對于B，，，，與不垂直，B不是；
對于C，，，，與不垂直，C不是；
對于D，，，，與垂直，D是.
故選：AD
11. 以下四個命題表述正確的是（）
A. 圓與圓恰有三條公切線
B. 直線與圓一定相交
C. 直線與曲線有兩個不同的交點，則實數(shù)的取值范圍是
D. 已知直線不經(jīng)過第三象限，則的取值范圍
【答案】ABC
【解析】
【分析】判斷兩圓的位置關(guān)系，得到其公切線數(shù)即可判斷A；利用圓心到直線的距離與半徑比較可判斷B；利用直線與圓的位置關(guān)系及數(shù)形結(jié)合可判斷C；先考慮直線斜率不存在時求a的值，再考慮斜率存在，根據(jù)直線不過第三象限，列不等式求得a的取值范圍.
【詳解】對于A，圓，圓心，半徑，
圓，圓心，半徑，又，所以兩圓外切，故兩圓有3條公切線，故A正確；
對于B，圓，圓心，半徑，圓心到直線的距離直線，所以直線與圓相交，故B正確；
對于C，根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，
直線恒過點，曲線表示以為圓心，半徑的上半圓，
當(dāng)直線與半圓相切時，圓心到直線的距離，即，解得；
當(dāng)直線過時，直線的斜率，所以直線與曲線有兩個不同的交點，
則實數(shù)的取值范圍為，故C正確；
對于D ，當(dāng)，即直線斜率不存在時，此時，不過第三象限；
當(dāng)時，，不過第三象限，則，解得
綜上可知，實數(shù)的取值范圍，故D錯誤；
故選：ABC
12. 已知雙曲線C：的左、右焦點分別是，過右焦點的直線交雙曲線右支于兩點，的內(nèi)切圓圓心為M，半徑為，的內(nèi)切圓圓心為N，半徑為，則下列結(jié)論正確的是（）
A. 直線垂直于x軸B. 周長為定值
C. 與之和定值D. 與之積為定值
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，根據(jù)圓切線長定理及雙曲線定義判斷A、B；由在中，進(jìn)而有并利用相似比判斷D，最后由，得到判斷C.
【詳解】由題意，可得如下示意圖，其中為內(nèi)切圓與各邊切點，
由圖知：，
由，則
令橫坐標(biāo)為，則，即為雙曲線右頂點，
同理，內(nèi)切圓在軸上的切點也為，又都垂直于軸，
所以直線垂直于x軸，A對；
由周長為，
而的長不定，故周長不為定值，B錯；
由分別平分，且，
在中，又，
所以，故為定值，D對.
令，則，
顯然為直線的傾斜角，其大小不定，故與之和不為定值，C錯.
故選：AD
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 若直線與直線垂直，則實數(shù)m的值為_______.
【答案】
【解析】
【分析】利用直線垂直，則直線的法向量垂直，計算即可.
【詳解】因為直線的法向量為，
直線的法向量為
由于垂直，則對應(yīng)法向量相互垂直，
所以，即，
則.
故答案為：
14. 已知雙曲線的左、右焦點分別是，點為雙曲線上一點，若到原點的距離，則的面積是___________.
【答案】
【解析】
【分析】由可得點在圓上，且，利用雙曲線定義和勾股定理可得，即可知的面積為.
【詳解】如下圖所示：
不妨取點在雙曲線的右支上，由可得點在圓上，
又易知，所以即為圓的直徑，
所以，
利用雙曲線定義可得，利用勾股定理可得，
所以，可得，
因此的面積為.
故答案為：
15. 已知圓，直線若圓上有兩個點到直線的距離等于1，則實數(shù)b的取值范圍是_______.
【答案】
【解析】
【分析】圓上的點到直線由兩個點的距離為1，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離大于1小于3，求解即可.
【詳解】根據(jù)題意，圓的圓心為，半徑為2，
因為直線若圓上有兩個點到直線的距離等于1，
則圓心到直線距離為：，，
所以此時b的取值范圍是
故答案為：
16. 已知橢圓的左、右焦點分別是，點是橢圓上一點，的內(nèi)切圓的圓心為，若，則橢圓的離心率為_______.
【答案】##
【解析】
【分析】取線段的中點為，由已知條件可得，即三點共線，，且，則，再利用以及等面積法即可求得橢圓離心率為.
【詳解】如圖所示：
不妨取點在軸上方，設(shè)點的縱坐標(biāo)為，點的縱坐標(biāo)為，的內(nèi)切圓半徑為，橢圓焦距為，
取線段的中點為，設(shè)點的縱坐標(biāo)為，
由可得，即
又為的中點，可得，即，
所以三點共線，且，可得，
又因為，所以；
利用橢圓定義以及等面積法可得，，
，
所以，可得，
即橢圓離心率為.
故答案為：
【點睛】方法點睛：求解內(nèi)切圓問題時，一般是利用等面積法將三角形面積與周長之間建立聯(lián)系，再根據(jù)橢圓定義即可直接得出之間的關(guān)系，進(jìn)而求出離心率.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17. 有一輛公交車，依次設(shè)了A，B，C，D，E，F(xiàn)，G共7個站，甲乙二人都從A站上車，假設(shè)他們從后面每個站下車是等可能的.
（1）求這兩個人在不同站點下車的概率；
（2）求這兩個人都沒有坐到終點站的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）采用列舉法，將甲乙下車方式所有可能的情況全部列舉出來，結(jié)合古典概型概率計算公式即可求解.
（2）由（1）中列舉出來的所有情況，結(jié)合古典概型概率計算公式即可求解.
小問1詳解】
甲乙下車方式有如下36種結(jié)果：
（C，B），（C，C），（C，D），（C，E），（C，F(xiàn)），（C，G）
（D，B），（D，C），（D，D），（D，E），（D，F(xiàn)），（D，G）
（E，B），（E，C），（E，D），（E，E），（E，F(xiàn)），（E，G）
（F，B），（F，C），（F，D），（F，E），（F，F(xiàn)），（F，G）
（G，B），（G，C），（G，D），（G，E），（G，F(xiàn)），（G，G）
甲乙兩人在不同站點下車的結(jié)果有30個，所以所求的概率為.
【小問2詳解】
由（1）可知甲乙兩個人都沒有坐到終點站的結(jié)果數(shù)有25個，因此所求概率為．
18. 如圖，在棱長為2的正方體中，為的中點．

（1）求直線到平面的距離；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正方體的性質(zhì)與線面平行的判定與性質(zhì)得出到平面的距離即為點B到平面的距離，以點為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，計算得出平面的法向量，即可根據(jù)點到面距離的向量算法得出答案；
（2）根據(jù)已得出的向量與平面的法向量，結(jié)合線面角的向量運算得出答案.
小問1詳解】
為正方體，
,
平面,平面,
平面,則到平面的距離即為點B到平面的距離，
以點為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則、、、，，
則，，,
設(shè)平面的法向量為，由,得，
令，則，，則，
則到平面的距離，
則到平面的距離為；
【小問2詳解】
,
,
直線與平面所成角的正弦值為.
19. 在中，內(nèi)角所對的邊分別為且.
（1）求角A的大小；
（2）若，求的面積S的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理結(jié)合三角恒等變換進(jìn)行化簡即可求解.
（2）由余弦定理結(jié)合基本不等式、三角形面積公式即可求解.
【小問1詳解】
由已知及正弦定理得，
所以，
所以，
，又，
，
.
【小問2詳解】
根據(jù)余弦定理得，
由基本不等式得，
的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
的面積S的最大值為．
20. 已知圓過點和點，并且圓心在直線上.點是直線上一動點，過點引圓的兩條切線、，切點分別為，.
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)四邊形的面積最小時，求點的坐標(biāo)及直線的方程.
【答案】（1）
（2）,
【解析】
【分析】（1）利用中垂線方程與圓心所在直線方程，聯(lián)立求出圓心，圓心到點的距離算出半徑，即可得到圓的方程；
（2）利用圓心與切點相連垂直關(guān)系，即可對四邊形面積進(jìn)行轉(zhuǎn)換，
得到當(dāng)最小時，四邊形面積最小，
此時直線與的交點即為點，
以為直徑的圓的方程與圓的方程的公共弦方程，
即為直線的方程.
小問1詳解】
的中點為，的方向向量
即為中垂線的法向量，利用點法式方程
則中垂線方程為，
由得圓心
半徑，
∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為①.
【小問2詳解】
由于，
故最小，即最小時，四邊形面積最小
此時，，
假設(shè)直線方程為，帶入圓心
得到直線方程，
由得圓心
、為圓與以為直徑的圓的交點.
以為直徑的圓，圓心為、的中點，
半徑為：
則方程為：②
聯(lián)立①②得到直線的方程為：.
21. 如圖，在四棱錐中，底面是菱形，與交于點，，平面，為線段上的一點．
（1）證明：平面平面
（2）當(dāng)與平面所成的角的正弦值最大時，求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）根據(jù)幾何體性質(zhì)特征利用線面垂直判定定理可得平面，由面面垂直判定定理可得平面平面；
（2）作出與平面所成的角可得，當(dāng)為的中點時滿足題意，建立空間直角坐標(biāo)系求出平面的法向量，即可求出平面與平面夾角的余弦值為．
【小問1詳解】
證明：
由底面是菱形可知，
又平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
由于平面，
可得平面平面；
【小問2詳解】
連結(jié)，過點作的垂線，垂足為，連結(jié)，
由（1）可得，又，且平面，
所以平面；
易知為與平面所成的角，
，因為為定值，且，
所以當(dāng)點為的中點時，取得最小值，此時取得最大值；
以為坐標(biāo)原點，分別以為軸，過點且平行于的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：
又底面是菱形，，所以，
則，
點為的中點，所以，，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，解得，令，則，
即可得，
易知平面的一個法向量為，
設(shè)平面與平面夾角為，
則，
即平面與平面夾角的余弦值為．
22. 已知橢圓C：的左、右焦點分別為，點是橢圓上不同于左右頂點的一動點，點關(guān)于x軸的對稱點為點.當(dāng)直線過左焦點時，.
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線與橢圓交于另外一點（點和點不重合），證明直線過定點.
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意易知，利用通徑長可得，即可知橢圓方程；
（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立并利用對稱性和韋達(dá)定理，由三點共線可得，即可得直線恒過定點.
【小問1詳解】
由已知得直線過左焦點時，即為通徑，可得；
又，且，解得；
所以橢圓C的方程為
【小問2詳解】
由題意得直線AP的斜率一定存在，
如下圖所示：
設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立直線和橢圓方程，消去可得，
所以可得
因為三點共線，可得，
所以，即，
即
所以，
也即,可得，
所以直線的方程為
即直線恒過定點.

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