1.本試卷共4頁(yè)，共22題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.
2.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校，班級(jí)和姓名填在答題卡上，正確粘貼條形碼.
3.作答選擇題時(shí)，用2B鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)答案的選項(xiàng)涂黑.
4.非選擇題的答案寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上，不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.
5.考試結(jié)束后，考生上交答題卡.
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，，則的子集個(gè)數(shù)為（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 無窮多個(gè)
【答案】C
【解析】
【分析】由題知，再求子集個(gè)數(shù)即可.
【詳解】解：因?yàn)榧?，?br>由可得，
所以，只有一個(gè)元素，
所以，的子集個(gè)數(shù)為2.
故選：C
2. 已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算可得答案.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>故選：A
3. 已知向量，，若，則（ ）
A. 6B. 5C. 4D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】先根據(jù)條件求出k，再用坐標(biāo)公式法計(jì)算模.
【詳解】 ， ；
故選：B.
4. 某科技企業(yè)為抓住“一帶一路”帶來的發(fā)展機(jī)遇，開發(fā)生產(chǎn)一智能產(chǎn)品，該產(chǎn)品每年的固定成本是25萬元，每生產(chǎn)萬件該產(chǎn)品，需另投入成本萬元.其中，若該公司一年內(nèi)生產(chǎn)該產(chǎn)品全部售完，每件的售價(jià)為70元，則該企業(yè)每年利潤(rùn)的最大值為（ ）
A. 720萬元B. 800萬元
C. 875萬元D. 900萬元
【答案】C
【解析】
【分析】先求得該企業(yè)每年利潤(rùn)的解析式，再利用分段函數(shù)求最值的方法即可求得該企業(yè)每年利潤(rùn)的最大值.
【詳解】該企業(yè)每年利潤(rùn)為
當(dāng)時(shí)，
在時(shí)，取得最大值；
當(dāng)時(shí)，
（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），即在時(shí)，取得最大值；
由，可得該企業(yè)每年利潤(rùn)的最大值為.
故選：C
5. 圓與圓公共弦長(zhǎng)為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】?jī)蓤A的一般方程相減得到公共弦所在直線的方程，求出圓的圓心到公共弦的距離，再由
公共弦長(zhǎng)公式求出答案即可.
【詳解】聯(lián)立兩個(gè)圓的方程，
兩式相減可得公共弦方程，
圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為，
圓心到公共弦的距離為，
公共弦長(zhǎng)為.
故選:.
6. 已知為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求得曲線在時(shí)的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)幾何意義即可求得曲線在點(diǎn)處的切線方程.
【詳解】設(shè)，則，由為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，
可得，則，
則，
則曲線在點(diǎn)處的切線方程是，即
故選：C
7. 某批產(chǎn)品來自，兩條生產(chǎn)線，生產(chǎn)線占，次品率為4%；生產(chǎn)線占，次品率為，現(xiàn)隨機(jī)抽取一件進(jìn)行檢測(cè)，若抽到的是次品，則它來自生產(chǎn)線的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用全概率公式及貝葉斯公式求解作答.
【詳解】因?yàn)槌榈降拇纹房赡軄碜杂?，兩條生產(chǎn)線，設(shè)“抽到的產(chǎn)品來自生產(chǎn)線”，
“抽到的產(chǎn)品來自生產(chǎn)線”，“抽到的一件產(chǎn)品是次品”，
則，
由全概率公式得，
所以它來自生產(chǎn)線的概率是.
故選：B
8. 正四面體中，是側(cè)棱上（端點(diǎn)除外）的一點(diǎn)，若異面直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先在正四面體中，作出對(duì)應(yīng)的角，再比較三者間的的大小關(guān)系即可解決.
【詳解】正四面體中，取中點(diǎn)，連接，，
過作于，連接，，
過作的平行線交于，則，
由，，，平面，平面
可得平面，則，則
由平面，可得平面平面，
又平面平面，平面，，
則平面，則，
因?yàn)?，且，所?
設(shè)正四面體邊長(zhǎng)為1，，有.
，
因?yàn)?br>所以，又，則
綜上：
故選：C
【點(diǎn)睛】(1)求直線與平面所成的角的一般步驟：
①找直線與平面所成的角，即通過找直線在平面上的射影來完成；
②計(jì)算，要把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中求解．
(2)作二面角的平面角可以通過垂線法進(jìn)行，在一個(gè)半平面內(nèi)找一點(diǎn)作另一個(gè)半平面的垂線，再過垂足作二面角的棱的垂線，兩條垂線確定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，且，以下結(jié)論正確的是（ ）
A. 是等比數(shù)列
B. 數(shù)列，，成等比數(shù)列
C. 若，則是遞增數(shù)列
D. 若，則是遞增數(shù)列
【答案】AB
【解析】
【分析】先將 的通項(xiàng)公式寫出，再按照有關(guān)定義逐項(xiàng)分析.
詳解】由題意， ， ；
對(duì)于A， ，所以是首項(xiàng)為 ，公比為 的等比數(shù)列，正確；
對(duì)于B，因?yàn)椋?，
，
， ,它們成等比數(shù)列，正確；
對(duì)于C，若 ， ，則 ，為遞減數(shù)列，錯(cuò)誤；
對(duì)于D， ，若 ， ，則 ， ，是遞減數(shù)列，錯(cuò)誤.
故選：AB.
10. 已知隨機(jī)變量，函數(shù)，則
A. 當(dāng)時(shí)，取得最大值
B. 曲線關(guān)于直線對(duì)稱
C. 軸是曲線的漸近線
D. 曲線與軸之間的面積小于1
【答案】ABC
【解析】
【分析】由正態(tài)分布曲線的性質(zhì)逐一判斷即可.
【詳解】解：因隨機(jī)變量，函數(shù)，
所以的對(duì)稱軸為，且當(dāng)時(shí)，取最大值為，
故A，B正確；
根據(jù)正態(tài)分布的曲線可得，軸是漸近線，且曲線與軸之間的面積等于1，
故C正確，D錯(cuò)誤.
故選：ABC.
11. 已知，為橢圓左、右頂點(diǎn)，為的右焦點(diǎn)，是的上頂點(diǎn)，，的垂直平分線交于，，若，，三點(diǎn)共線，則（ ）
A.
B. 的離心率為
C. 點(diǎn)到直線的距離為
D. 直線，的斜率之積為
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)題意得的方程為，進(jìn)而得，再整理得，進(jìn)而求，離心率判斷AB；求出直線的方程并結(jié)合點(diǎn)線距公式求解判斷C；設(shè)，則，進(jìn)而求解即可判斷D.
【詳解】解：由題知，，，，
所以，，的中點(diǎn)為，
所以，的垂直平分線的方程為，
因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，
所以，整理得，
所以，即
所以，，故A選項(xiàng)正確；
所以，即，解得或（舍）
所以，橢圓的離心率為，故B選項(xiàng)正確；
因?yàn)橹本€的方程為，即，
所以，點(diǎn)到直線的距離為，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
設(shè)，則，故，
由于，
所以，故D選項(xiàng)正確；
故選：ABD
12. 已知，函數(shù)，則（ ）
A. 的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱
B. 有四個(gè)極值點(diǎn)
C. 在上單調(diào)遞增
D. 的最大值不大于
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù) 的函數(shù)性質(zhì)逐項(xiàng)分析求解.
【詳解】對(duì)于A， ，是奇函數(shù)，正確；
對(duì)于B，，令 ，
則 ，
當(dāng) 時(shí)， ， 單調(diào)遞減，當(dāng) 時(shí)， ，
單調(diào)遞增 ，所以 最多只有2個(gè)零點(diǎn)，即 最多只有2個(gè)零點(diǎn)，錯(cuò)誤；
對(duì)于C， ，
，由B的分析知： 時(shí)， ，即 ，
是單調(diào)遞增的，正確；
對(duì)于D， ，錯(cuò)誤；
故選：AC.
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 若是第三象限角，且，則______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求解即可.
【詳解】解：因?yàn)槭堑谌笙藿?，且?br>所以,
因?yàn)?br>所以，
所以
故答案為：
14. 已知，則函數(shù)的最小值為_______．
【答案】9
【解析】
【詳解】試題分析：由,而
,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式取“=”,所以.
考點(diǎn)：基本不等式；構(gòu)造意識(shí)和發(fā)散性思維.
15. 若正方形的頂點(diǎn)均在半徑為1的球上，則四棱錐體積的最大值為______.
【答案】##
【解析】
【分析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，可得到四棱錐體積為，令，則，利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求得最大值即可求解
【詳解】設(shè)正方形的中心為，連接，由球的性質(zhì)可知平面，
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，因?yàn)檎叫蔚捻旤c(diǎn)均在半徑為1的球上,且不在大圓上，所以,
所以，，
所以，四棱錐體積為
令，則，
令，則，故得，
所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)時(shí)有最大值，
所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)四棱錐體積的最大值.
故答案為：
16. 已知的頂點(diǎn)，點(diǎn)，均在拋物線上.若，的中點(diǎn)也在上，的中點(diǎn)為，則______，的面積______.
【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】先利用點(diǎn)在曲線上構(gòu)造出一元二次方程，求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，進(jìn)而求得的長(zhǎng)和的面積.
【詳解】不妨設(shè)，，
則的中點(diǎn)在上，
所以，整理得，
又的中點(diǎn)在上，
所以，整理得，
所以，是方程的兩根，則，
所以，，
則，
的面積
故答案為：；
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17. 已知數(shù)列中，，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)求數(shù)列的前100項(xiàng)和.
【答案】（1）
（2）22950.
【解析】
【分析】（1）對(duì)條件作變形化簡(jiǎn)，求出通項(xiàng)公式；
（2）分組求和.
【小問1詳解】
，
所以 是常數(shù)列，即 ；
【小問2詳解】
由（1）知， 是首項(xiàng)為2，公差為3的等差數(shù)列，
由題意得 ， ，
設(shè)數(shù)列，的前50項(xiàng)和分別為，，
所以 ，，
所以的前100項(xiàng)和為 ；
綜上， ，的前100項(xiàng)和為.
18. 在中，角，，對(duì)邊分別為，，，且，.
（1）求；
（2）若，邊上中線，求的面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理和已知可得，利用三角函數(shù)的平方關(guān)系可得答案；
（2）法一：在和中，由余弦定理可得，，求出代入三角形面積公式可得答案；法二：由得，，求出由可得答案；法三：作交于，則，，由余弦定理可得，代入三角形面積公式計(jì)算可得答案.
【小問1詳解】
由正弦定理有，
因?yàn)?，有?br>因?yàn)?，故，?br>【小問2詳解】
法一：和中，，
因?yàn)?，，則，
因?yàn)?，所以?br>所以；
法二：因?yàn)?，所以?br>有，
因?yàn)?，所以?br>所以；
法三：如圖，作交于，則是的中點(diǎn)，
所以，，，
即，解得，
所以.
19. 快到采摘季節(jié)了，某農(nóng)民發(fā)現(xiàn)自家果園里的某種果實(shí)每顆的重量有一定的差別，故隨機(jī)采摘了100顆，分別稱出它們的重量（單位：克），并以每10克為一組進(jìn)行分組，發(fā)現(xiàn)它們分布在區(qū)間，，，，并據(jù)此畫得頻率分布直方圖如下：
（1）求的值，并據(jù)此估計(jì)這批果實(shí)的第70百分位數(shù)；
（2）若重量在（單位：克）的果實(shí)不為此次采摘對(duì)象，則從果園里隨機(jī)選擇3顆果實(shí)，其中不是此次采摘對(duì)象的顆數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
注意：把頻率分布直方圖中的頻率視為概率.
【答案】（1）0.030；31
（2）分布列見解析，
【解析】
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖和百分位數(shù)的計(jì)算方式直接計(jì)算即可；
（2）由題知，再根據(jù)二項(xiàng)分布求解即可；
【小問1詳解】
解：因?yàn)轭l率分布直方圖的組距為10，
所以，落在區(qū)間，，上的頻率分別為0.20，0.32，0.18，
所以，.
因?yàn)槁湓趨^(qū)間上的頻率為，
而落在區(qū)間上的頻率為，
所以第70百分位數(shù)落在區(qū)間之間，設(shè)，
則，解得，
所以估計(jì)第70百分位數(shù)為31.
【小問2詳解】
解：由（1）知，重量落在的頻率為0.2，由樣本估計(jì)總體得其概率為0.2，
因?yàn)榭扇?，1，2，3，且，
則，，
，，
所以的分布列為：
所以的數(shù)學(xué)期望為（或直接由）.
20. 如圖，在三棱柱中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，，分別是，的中點(diǎn).
（1）證明：平面；
（2）若，再?gòu)臈l件①、條件②中選擇一個(gè)作為條件，求直線與平面所成角的正弦值.
條件①：異面直線與所成的角為45°；
條件②：是等腰三角形.
【答案】（1）證明見解析
（2）答案見解析
【解析】
【分析】(1)應(yīng)用線面平行的判定定理證明即可;
(2)根據(jù)選擇的已知條件應(yīng)用線面角的向量法求解可得.
【小問1詳解】
取的中點(diǎn)為，連接，，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，
所以且，
又因?yàn)榍遥?br>所以且，
所以四邊形是平行四邊形，
即，平面
而平面，所以平面.
【小問2詳解】
因?yàn)?，，且，平面?br>所以，
又因?yàn)?，所以分別以，，所在的直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系.
選擇條件①，因?yàn)闉楫惷嬷本€與所成的角，即，
所以，，
設(shè)，則，
解得，
所以，，
，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量，則
令，則，，即，
所以.
選擇條件②，設(shè)，則，，，
因?yàn)槭堑妊切危陨鲜街兄荒?，即?br>所以，，，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，則
令，則，，即，
所以.
21. 點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系上一動(dòng)點(diǎn)，兩直線，，已知于點(diǎn)，位于第一象限；于點(diǎn)，位于第四象限.若四邊形的面積為2.
（1）若動(dòng)點(diǎn)的軌跡為，求的方程.
（2）設(shè)，過點(diǎn)分別作直線，交于點(diǎn)，.若與的傾斜角互補(bǔ)，證明直線的斜率為一定值，并求出這個(gè)定值.
【答案】（1）；
（2）證明見解析，定值為.
【解析】
【分析】（1）設(shè)，然后求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后算出、，然后由四邊形的面積為2可得答案；
（2）設(shè)直線，聯(lián)立直線與的方程消元，然后求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后同理可得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后可算出直線的斜率.
【小問1詳解】
設(shè)，依題意得且，
即且，
設(shè)，則，
因?yàn)橹本€的方向向量為，所以，，即，
所以，
所以四邊形的面積為，
即動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為.
【小問2詳解】
設(shè)直線（或），
則，
聯(lián)立得，
整理得，
所以，即，
所以，
同理得，，
所以直線的斜率，得證.
22. 已知函數(shù)，其中是非零實(shí)數(shù).
（1）討論函數(shù)在定義域上的單調(diào)性;
（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）答案見解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）分和兩種情況討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，從而可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）令，當(dāng)時(shí)，可得不等式恒成立的必要條件為：由，求得，再證明充分性，令，利用導(dǎo)數(shù)可求證得結(jié)論.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?
①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減.
【小問2詳解】
令.由題恒成立.
①當(dāng)時(shí)，.
因，故不合題意.
②當(dāng)時(shí)，則不等式恒成立的必要條件為：.
令，
則，故在上單調(diào)遞增.
注意到，故由可知.
下證充分性：
當(dāng)時(shí)，令，則.
故在上單調(diào)遞增.
所以.
令，
則，
令
則.
故在單調(diào)遞減.
因?yàn)椋十?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.
所以，即
綜上所述：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，考查利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題，第（2）問解題的關(guān)鍵是當(dāng)時(shí)，則不等式恒成立的必要條件為：，可得，然后通過構(gòu)造函數(shù)證明其充分性也成立，考查數(shù)學(xué)計(jì)算能力，屬于較難題.
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廣東省深圳市羅湖區(qū)2022屆高三上學(xué)期第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題及參考答案

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