2024.01
注意事項：
1．本試卷共4頁，共22題，滿分150分，考試用時120分鐘．
2．答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校，班級和姓名填在答題卡上，正確粘貼條形碼．
3．作答選擇題時，用2B鉛筆在答題卡上將對應(yīng)答案的選項涂黑．
4．非選擇題的答案寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上，不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．
5．考試結(jié)束后，考生上交答題卡．
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)為（ ）
A．B．C．D．
3．雙曲線的一條漸近線的傾斜角為，則離心率為（ ）
A．B．C．D．
4．已知是平面上的點，是平面上的點，且，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
5．設(shè)等比數(shù)列的前項和為，已知，則（ ）
A．80B．160C．121D．242
6．已知是邊長為2的正六邊形的一個頂點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
7．若函數(shù)在有最小值，沒有最大值，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
8．已知曲線與軸交于點，設(shè)經(jīng)過原點的切線為，設(shè)上一點橫坐標(biāo)為，若直線，則所在的區(qū)間為（ ）
A．B．C．D．
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。
9．在正方體中，用垂直于的平面截此正方體，則所得截面可能是（ ）
A．三角形B．四邊形C．五邊形D．六邊形
10．已知，直線，且，則（ ）
A．的最大值是B．的最小值是
C．的最小值是4D．的最小值是3
11．已知直線與圓，下列說法正確的是（ ）
A．所有圓均不經(jīng)過點
B．若關(guān)于對稱，則
C．若與相交于且，則
D．存在圓與軸與軸均相切
12．定義在上的函數(shù)滿足是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則（ ）
A．
B．曲線在點處的切線方程為
C．在上恒成立，則
D．
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。
13．在的展開式中，的系數(shù)為________．（用數(shù)字作答）
14．某同學(xué)收集了變量的相關(guān)數(shù)據(jù)如下：
為了研究的相關(guān)關(guān)系，他由最小二乘法求得關(guān)于的線性回歸方程為，經(jīng)驗證回歸直線正好經(jīng)過樣本點，則________．
15．已知拋物線的頂點為，焦點為，準(zhǔn)線為，過的直線與在軸右側(cè)交于點．若在上的射影為且，則直線的斜率為________．
16．將正方形延對角線折起，當(dāng)時，三棱錐的體積為，則該三棱錐外接球的體積為________．
四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
17．（10分）
已知數(shù)列滿足．
（1）求的通項公式；
（2）求數(shù)列的前項和．
18．（12分）
正四棱錐的底面是邊長為6的正方形，高為4，點分別在線段上，且為的中點．
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
19．（12分）
的內(nèi)角所對的邊分別為，的面積為，
從條件①；
條件②；
條件③中選擇一個作為已知，并解答下列問題．
（1）求角的大?。?br>（2）點是外一點，，若，求四邊形面積的最大值．
20．（12分）
在一個地區(qū)篩查某種疾病，由以往經(jīng)驗可知該地區(qū)居民得此?。ㄑ簶颖净灣赎栃裕┑母怕蕿椋鶕?jù)需要，居民每三人一組進(jìn)行化驗篩查，為節(jié)約資源，化驗次數(shù)越少，則方法越優(yōu)．現(xiàn)對每組的3個樣本給出下面兩種化驗方法：
方法1：逐個化驗；
方法2：3個樣本各取一部分混合在一起化驗。若混合樣本呈陽性，就把這3個樣本再逐個化驗；若混合樣本呈陰性，則判斷這3個樣本均為陰性。
（1）若，用隨機(jī)變量表示3個樣本中檢測呈陽性的個數(shù)，請寫出的分布列并計算．
（2）若，現(xiàn)要完成化驗篩查，請問：哪種方法更優(yōu)？
（3）若要完成化驗篩查，且已知“方法2”比“方法1”更優(yōu)，求的取值范圍．
21．（12分）
已知函數(shù)．
（1）若的最值為，求實數(shù)的值；
（2）當(dāng)時，證明：．
22．（12分）
在平面直角坐標(biāo)系中，已知為動點，且，線段的垂直平分線交線段于點，設(shè)的軌跡是曲線，射線分別與交于兩點．
（1）求的方程；
（2）若，求證：為定值．
參考答案
一、單項選擇題
二、多項選擇題
三、填空題
13．-10 14．69 15． 16．
四、解答題
17．解：（1）解法一、由得，
由累乘法得．
解法二、由得，
則數(shù)列是各項為1的常數(shù)列，所以，即．
（2）由（1）得，
所以．
18．證明：（1）方法一、在線段上取點，使得，連接，
因為為的中點，所以，所以，
又平面平面，所以平面，
在平行四邊形中，因為，所以，且，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
又平面平面，所以平面，
又平面，且，所以平面平面，
又平面，所以平面．
方法二、延長交于點，連接，
在平行四邊形中，因為，由三角形相似，易證，
因為為的中點，所以，所以，
又平面平面，所以平面．
方法三、坐標(biāo)法（略）
（2）連接交于點，連接，
因為正四棱錐的底面是正方形，所以平面，
且，故以為坐標(biāo)原點，所在直線依次為軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，由已知可得，
所以，
設(shè)平面的一個法向量為，
由得，
取，則，所以
設(shè)直線與平面的夾角為，則
．
19．解：（1）選①，方法一（射影定理），因為
由射影定理得，即，
因為，所以，
方法二（邊化角）因為，
由正弦定理得，
即，
因為，所以，
所以，
因為，所以，所以．
方法三（角化邊）因為，由余弦定理得
，即，
所以，
因為，所以．
選②，方法一（角化邊）因為，由余弦定理得，
即，所以，
因為，所以．
方法二（邊化角）因為，由正弦定理得，
因為，所以，
所以，
因為，所以，
因為，所以．
選③，因為，由得，
由余弦定理得，，即，
因為，所以．
（2）在，所以為等邊三角形，設(shè)，
在中，由余弦定理可得，
由于，代入上式可得，
所以四邊形的面積，
因為，所以，
所以當(dāng)時，四邊形的面積取最大值，最大值為．
20．解：（1）的分布列為：
．
（2）采用方法1，3個樣本需要試驗次數(shù)為3次，或采用方法2，以實驗次數(shù)為隨機(jī)變量，則的可能取值為1或4，且，
所以，
因為，所以方法2更優(yōu)．
（3）采用方法2，設(shè)3個樣本完成化驗篩查的實驗次數(shù)為隨機(jī)變量，
則的可能取值為1或4，且，
由已知得
解之得，．
所以的取值范圍為．
21．解：（1）易知的定義域為，且，
①若，則，
為單調(diào)遞增函數(shù)，無最值；
②若，令函數(shù)，則，
當(dāng)時，為單調(diào)遞增函數(shù)，
又，
在區(qū)間上存在唯一零點，不妨設(shè)其為，
則，即（*），
當(dāng)時，，即，
在區(qū)間上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，即，
在區(qū)間上單調(diào)遞增，
存在唯一的最值（最小值），且最小值為，
由題意可知，（**），
，代入（**），得，
又，
令函數(shù)，則，
為單調(diào)遞減函數(shù)，
易知，由可知，
由可知，
綜上所述，若的最值為，則實數(shù)的值為1．
（2）由（1）可知，當(dāng)時，的最小值為，且，（*），
對（*）式兩邊取對數(shù)，得，
由基本不等式，可知，
又，，證畢．
22．（1）解：由已知得，且，所以的軌跡是以為焦點的橢圓，且，
所以，
所以的方程為．
（2）證明：設(shè)直線PA的方程為，
聯(lián)立，消去得，
因為，所以設(shè)，
則有，
同理可得
由得
，
即為定值．x
0．5
2
3
3．5
4
5
y
15
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
B
A
C
D
D
題號
9
10
11
12
答案
AD
BC
AB
ABD
0
1
2
3

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