1.本試卷共4頁(yè)，22小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.
2.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校，班級(jí)和姓名填在答題卡上，正確粘貼條形碼.
3.作答選擇題時(shí)，用2B鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)答案的選項(xiàng)涂黑.
4.非選擇題的答案必須寫(xiě)在答題卡各題目的指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上，不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.
5.考試結(jié)束后，考生上交答題卡.
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 設(shè)集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出集合中元素范圍，再根據(jù)交集的概念可得答案.
詳解】，
故選：C.
2. 命題“存在無(wú)理數(shù)，使得是有理數(shù)”的否定為（ ）
A. 任意一個(gè)無(wú)理數(shù)，都不是有理數(shù)B. 存在無(wú)理數(shù)，使得不是有理數(shù)
C. 任意一個(gè)無(wú)理數(shù)，都是有理數(shù)D. 不存在無(wú)理數(shù)，使得是有理數(shù)
【答案】A
【解析】
【分析】利用特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題來(lái)得答案.
【詳解】根據(jù)特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題得
命題“存在無(wú)理數(shù)，使得是有理數(shù)”的否定為“任意一個(gè)無(wú)理數(shù)，都不是有理數(shù)”
故選：A.
3. 若的展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為8，則（ ）
A. 1B. C. 2D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接令計(jì)算可得答案.
【詳解】令得，解得
故選：C.
4. 已知隨機(jī)變量的分布列如下：
若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)期望公式及概率和為1列方程求解.
【詳解】由已知得
解得
故選：B.
5. 設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】構(gòu)造對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)，利用其單調(diào)性來(lái)比較大小.
【詳解】函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，
故選：D.
6. 在三個(gè)地區(qū)爆發(fā)了流感，這三個(gè)地區(qū)分別有6%，5%，4%的人患了流感，假設(shè)這三個(gè)地區(qū)的人口數(shù)之比為，現(xiàn)從這三個(gè)地區(qū)中任意選取一人，則此人是流感患者的概率為（ ）
A. 0.032B. 0.048C. 0.05D. 0.15
【答案】B
【解析】
【分析】由題意可知，分別求出此人來(lái)自三個(gè)地區(qū)的概率，再利用條件概率公式和全概率公式即可求得此人是流感患者的概率.
【詳解】設(shè)事件為“此人是流感患者”，事件分別表示此人來(lái)自三個(gè)地區(qū)，
由已知可得，
，
由全概率公式得
故選：B
7. 若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值為，則下列結(jié)論正確的為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出函數(shù)在上為奇函數(shù)，數(shù)形結(jié)合得到最小值與最大值的和為0，推導(dǎo)出.
【詳解】，由題意得：，故，
關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，
故為奇函數(shù)，
則，A正確，D錯(cuò)誤；
故一定異號(hào)，所以，BC錯(cuò)誤.
故選：A
8. 已知交于點(diǎn)的直線，相互垂直，且均與橢圓相切，若為的上頂點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意，設(shè)，由條件聯(lián)立直線與橢圓方程，得到點(diǎn)的軌跡是圓，從而得到結(jié)果.
【詳解】當(dāng)橢圓的切線斜率存在時(shí)，設(shè)，且過(guò)與橢圓相切的直線方程為：，
聯(lián)立直線與橢圓方程，
消去可得，
所以，
即，
設(shè)為方程的兩個(gè)根，由兩切線相互垂直，所以，
所以，即，所以，
當(dāng)橢圓的切線斜率不存在時(shí)，此時(shí)，，也滿足上式，
所以，其軌跡是以為圓心，為半徑的圓，
又因?yàn)锳為橢圓上頂點(diǎn)，所以，
當(dāng)點(diǎn)位于圓的上頂點(diǎn)時(shí)，，
當(dāng)點(diǎn)位于圓的下頂點(diǎn)時(shí)，，
所以，
故選:D
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 設(shè)復(fù)數(shù)，（i為虛數(shù)單位），則下列結(jié)論正確的為（ ）
A. 是純虛數(shù)B. 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的概念判斷A；算出判斷B；算出判斷C；求出判斷D.
【詳解】對(duì)于A：，其實(shí)部為零，虛部不為零，是純虛數(shù)，A正確；
對(duì)于B：，其在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：，則，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：，則，D正確.
故選：AD.
10. 下列等式能夠成立的為（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BC
【解析】
【分析】利用兩角和與差的正弦余弦公式及倍角公式逐一計(jì)算判斷.
【詳解】對(duì)于A：，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：，B正確；
對(duì)于C：，C正確；
對(duì)于D：，D錯(cuò)誤.
故選：BC.
11. 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)在雙曲線的右支上運(yùn)動(dòng)，平行四邊形的頂點(diǎn)，分別在的兩條漸近線上，則下列結(jié)論正確的為（ ）
A. 直線，的斜率之積為B. 的離心率為2
C. 的最小值為D. 四邊形的面積可能為
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得：雙曲線為等軸雙曲線，即可得到離心率為，漸近線方程為，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)漸近線互相垂直可得：平行四邊形為矩形，利用點(diǎn)到直線的距離公式和基本不等式進(jìn)而進(jìn)行判斷即可.
【詳解】由題意可知：雙曲線為等軸雙曲線，則離心率為，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
由方程可知：雙曲線的漸近線方程為，不妨設(shè)點(diǎn)在漸近線上，點(diǎn)在漸近線上.因?yàn)闈u近線互相垂直，由題意可知：平行四邊形為矩形，則，，所以直線，的斜率之積為，故選項(xiàng)正確；
設(shè)點(diǎn)，由題意知：為矩形，則，由點(diǎn)到直線的距離公式可得：，，則當(dāng)且僅當(dāng)，也即為雙曲線右頂點(diǎn)時(shí)取等，所以的最小值為，故選項(xiàng)正確；
由選項(xiàng)的分析可知：，因?yàn)樗倪呅螢榫匦危?，故選項(xiàng)錯(cuò)誤，
故選：.
12. 如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，若點(diǎn)在線段上（不含端點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的為（ ）
A. 直線可能與平面相交
B. 三棱錐與三棱錐的體積之和為定值
C. 當(dāng)時(shí)，與平面所成角最大
D. 當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最小時(shí)，三棱錐的外接球表面積為
【答案】BCD
【解析】
【分析】A.利用面面平行的性質(zhì)定理，判斷A；
B.利用等體積轉(zhuǎn)化，可判斷B；
C.利用垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，結(jié)合線面角的定義，即可判斷C；
D.首先確定點(diǎn)的位置，再利用球的性質(zhì)，以及空間向量的距離公式，確定球心坐標(biāo)，即可確定外接球的半徑，即可判斷D.
【詳解】A.如圖，，且平面，平面，
所以平面，同理平面，且平面，平面，
且，所以平面平面，且平面，
所以平面，故A錯(cuò)誤；
B.如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可知，平面，平面，
，
.
故B正確；
C.因?yàn)槠矫妫矫?，所以?br>且，且，平面，平面，
所以平面，且平面，
所以，即，點(diǎn)是的中點(diǎn)，此時(shí)線段最短，
又因?yàn)?，且平面，平面，所以平面，即上任何一個(gè)點(diǎn)到平面的距離相等，設(shè)為，
設(shè)與平面所成角為，，,當(dāng)時(shí)，線段最短，所以此時(shí)最大，所以最大，故C正確；
D. 的周長(zhǎng)為，為定值，即最小時(shí)，的周長(zhǎng)最小，如圖，將平面展成與平面同一平面，當(dāng)點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)最小，作，垂足為，，解得：，
如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，
,，
連結(jié)，平面，且經(jīng)過(guò)的中心，所以三棱錐外接球的球心在上，設(shè)球心，則,
即，解得：，
，所以外接球的表面積，故D正確.
附：證明平面，
因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)椋?br>且，平面，平面，所以平面,
平面，所以，同理，且，所以平面，且三棱錐是正三棱錐，所以經(jīng)過(guò)的中心.
故選：BCD
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查空間幾何的綜合應(yīng)用，難點(diǎn)是第四個(gè)選項(xiàng)的判斷，充分利用數(shù)形結(jié)合和空間向量的綜合應(yīng)用，解決三棱錐外接球的球心問(wèn)題.
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知，，若，則______.
【答案】
【解析】
【分析】先利用求出，再利用模的坐標(biāo)公式計(jì)算即可.
【詳解】
，解得，
，
故答案為：.
14. 已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為_(kāi)_______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)基本不等式可得，再計(jì)算的范圍即可求解.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，
所以的最小值為，
故答案為：.
15. 如圖是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案.圖形的作法為：從一個(gè)正三角形開(kāi)始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊.反復(fù)進(jìn)行這一過(guò)程，就得到一條“雪花”狀的曲線.設(shè)原正三角形（圖①）的邊長(zhǎng)為1，將圖①，圖②，圖③，圖④中的圖形周長(zhǎng)依次記為，，，，則______.
【答案】##
【解析】
【分析】觀察圖形可知是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即可求得結(jié)果.
【詳解】通過(guò)觀察圖形可以發(fā)現(xiàn)，從第二個(gè)圖形開(kāi)始，每一個(gè)圖形的周長(zhǎng)都在前一個(gè)圖形周長(zhǎng)的基礎(chǔ)上增加了其周長(zhǎng)的，
即，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
即
因此.
故答案為：
16. 若關(guān)于的方程在區(qū)間上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)，，將方程的根轉(zhuǎn)換為函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，討論函數(shù)單調(diào)性從而確定函數(shù)的變化趨勢(shì)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】解：設(shè)，，則，
令得，所以，
令，，所以在單調(diào)遞增，則，
于是可得，當(dāng)時(shí)，方程在無(wú)解，即恒成立，所以在單調(diào)遞增，
又，所以此時(shí)方程在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng)時(shí)，方程在的根為或（舍），當(dāng)，當(dāng)，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
又，所以，又，，
設(shè)，，所以恒成立，則在上單調(diào)遞增，故，則，
且當(dāng)時(shí)，，即，
故，使得，即方程在區(qū)間上有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系，結(jié)合導(dǎo)數(shù)進(jìn)行判斷，屬于中等題.解決本題的關(guān)鍵是，如果方程在某區(qū)間上有且只有一個(gè)根，可根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)存在定理進(jìn)行解答，構(gòu)造函數(shù)，，利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性時(shí)要分類(lèi)討論.當(dāng)，函數(shù)在單調(diào)遞增，結(jié)合特殊值，得不符合題意，當(dāng)時(shí)，得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，判斷，，的符號(hào)，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得的范圍.
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
17. 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
（1）求的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，記的前項(xiàng)和為，證明：.
【答案】（1）
（2）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）利用計(jì)算整理得，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可；
（2）將變形為，利用裂項(xiàng)相消法求，進(jìn)一步觀察證明不等式.
【小問(wèn)1詳解】
①，
當(dāng)時(shí)，②，
①-②得，即，
又當(dāng)時(shí)，，解得，
數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
；
【小問(wèn)2詳解】
由（1）得，
，
因?yàn)椋?br>18. 某學(xué)校有學(xué)生1000人，其中男生600人，女生400人.為了解學(xué)生的體質(zhì)健康狀況，按照性別采用分層抽樣的方法抽取100人進(jìn)行體質(zhì)測(cè)試.其中男生有50人測(cè)試成績(jī)?yōu)閮?yōu)良，其余非優(yōu)良；女生有10人測(cè)試成績(jī)?yōu)榉莾?yōu)良，其余優(yōu)良.
（1）請(qǐng)完成下表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析抽樣數(shù)據(jù)，能否據(jù)此推斷全校學(xué)生體質(zhì)測(cè)試的優(yōu)良率與性別有關(guān).
（2）100米短跑為體質(zhì)測(cè)試的項(xiàng)目之一，已知男生該項(xiàng)成績(jī)（單位：秒）的均值為14，方差為1.6；女生該項(xiàng)成績(jī)的均值為16，方差為4.2，求樣本中所有學(xué)生100米短跑成績(jī)的均值和方差.
附：，其中.
參考公式：
【答案】（1）列聯(lián)表見(jiàn)解析，根據(jù)小概率事件的獨(dú)立性檢驗(yàn)，不可以認(rèn)為全校學(xué)生體質(zhì)測(cè)試的優(yōu)良率與性別有關(guān).
（2）均值；方差
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，由獨(dú)立性檢驗(yàn)的計(jì)算公式，代入計(jì)算即可判斷；
（2）根據(jù)題意，可得男生，女生的人數(shù)，結(jié)合均值方差的性質(zhì)，代入計(jì)算即可得到結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
由分層抽樣的定義可得，抽取的100人中有60名男生，40名女生，列聯(lián)表如下：
，
根據(jù)小概率事件的獨(dú)立性檢驗(yàn)，不可以推斷全校學(xué)生體質(zhì)測(cè)試的優(yōu)良率與性別有關(guān).
【小問(wèn)2詳解】
男生人數(shù)，女生人數(shù)，則設(shè)男生的成績(jī)?yōu)榕某煽?jī)?yōu)?br>所以均值為，
所以，
所以樣本中所有學(xué)生100米短跑成績(jī)的方差為
19. 如圖，在三棱柱中，側(cè)面為矩形，平面平面，，且為的中點(diǎn).
（1）證明：平面平面；
（2）若，且，求平面與平面的夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）先根據(jù)已知證明，即可得到，又通過(guò)即可證明，即可證明答案；
（2）設(shè)，，先通過(guò)已知與勾股定理求出，建立空間直角坐標(biāo)系，即可通過(guò)二面角的向量求法求出答案.
【小問(wèn)1詳解】
證明：側(cè)面為矩形，
，
，、，且，
，
，
，且平面平面，
，
，
；
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)，，
由題意可得，
，
，
為的中點(diǎn)，
，
，解得，
即，，
根據(jù)第一問(wèn)與題意可得：，，，
則以C為原點(diǎn)，以，，分別為x，y，z軸的正方向建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
則，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，則，
由題意可得平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面與平面的夾角為，且由圖得為銳角，
則.
20. 在中，，，為邊上一點(diǎn).
（1）若，求的值；
（2）若，且，求的面積.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）在、中分別利用正弦定理，結(jié)合已知條件可求得的值；
（2）由平面向量的線性運(yùn)算可得出，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算可得出的值，利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系以及三角形的面積公式可求得結(jié)果.
小問(wèn)1詳解】
解：在中，由正弦定理可得，可得，
在中，由正弦定理得，可得，
因此，
【小問(wèn)2詳解】
解：因?yàn)椋瑒t，即，，
所以，，
即，即，解得，
，故為鈍角，所以，，
故.
21. 已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)，分別作直線的垂線，垂足依次為，，動(dòng)點(diǎn)在上.
（1）當(dāng)，且為線段的中點(diǎn)時(shí)，證明：；
（2）記直線，，的斜率分別為，，，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）取的中點(diǎn),連接.利用幾何法，分別證明出,為的角平分線，即可證明；
（2）利用“設(shè)而不求法”分別表示出，解方程求出.
【小問(wèn)1詳解】
如圖示：
當(dāng)時(shí)，恰為拋物線的焦點(diǎn).
由拋物線的定義可得：.
取的中點(diǎn),連接,則為梯形的中位線，所以.
因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以,所以.
在中，由可得：.
因?yàn)闉樘菪蔚闹形痪€，所以，所以，
所以.
同理可證：.
在梯形中，,
所以，所以，
所以,即.
小問(wèn)2詳解】
假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得.
由直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，可設(shè).
設(shè),則，消去可得：，所以，.
則
.
而.
所以，
解得：.
22. 已知定義在上的函數(shù).
（1）若，討論的單調(diào)性；
（2）若，且當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）分類(lèi)討論，答案見(jiàn)解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分類(lèi)討論解和作答.
（2）當(dāng)時(shí)，可得為任意正數(shù)，當(dāng)時(shí)，變形給定不等式，構(gòu)造函數(shù)并利用單調(diào)性建立不等式，分離參數(shù)求解作答.
【小問(wèn)1詳解】
函數(shù)，，求導(dǎo)得：，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，由得，由得，則在上遞增，在上遞減，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞增區(qū)間是；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)椋耶?dāng)時(shí)，不等式恒成立，
當(dāng)時(shí)，，恒成立，因此，
當(dāng)時(shí)，，
令，原不等式等價(jià)于恒成立，
而，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此，
即，令，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，因此，
綜上得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及不等式恒成立問(wèn)題，將給定不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、最值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.
1
2
性別
體質(zhì)測(cè)試
合計(jì)
優(yōu)良
非優(yōu)良
男生
女生
合計(jì)
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
性別
體質(zhì)測(cè)試
合計(jì)
優(yōu)良
非優(yōu)良
男生
50
10
60
女生
30
10
40
合計(jì)
80
20
100

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