專題24 概率統(tǒng)計(jì)大題綜合-備戰(zhàn)2024年數(shù)學(xué)新高考一輪復(fù)習(xí)之專題知識(shí)歸納和題型技巧大綜合-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

沖刺秘籍
數(shù)字樣本特征
眾數(shù)：在一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)
中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕校绻麨槠鏀?shù)個(gè)，中位數(shù)為中間數(shù)；若為偶數(shù)個(gè)，中位數(shù)為中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)
平均數(shù)：，反映樣本的平均水平
方差：
反映樣本的波動(dòng)程度，穩(wěn)定程度和離散程度；
越大，樣本波動(dòng)越大，越不穩(wěn)定；越小，樣本波動(dòng)越小，越穩(wěn)定；
標(biāo)準(zhǔn)差：，標(biāo)準(zhǔn)差等于方差的算術(shù)平方根，數(shù)學(xué)意義和方差一樣
極差：等于樣本的最大值最小值
求隨機(jī)變量X的分布列的步驟：
(1)理解X的意義，寫出X可能取得全部值；
(2)求X取每個(gè)值的概率；
(3)寫出X的分布列；
(4)根據(jù)分布列的性質(zhì)對(duì)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn).
還可判斷隨機(jī)變量滿足常見分布列：兩點(diǎn)分布，二項(xiàng)分布，超幾何分布，正態(tài)分布.
求隨機(jī)變量的期望和方差的基本方法：
（1）已知隨機(jī)變量的分布列，直接利用期望和方差公式直接求解；
（2）已知隨機(jī)變量的期望、方差，求的期望與方差，利用期望和方差的性質(zhì)（，）進(jìn)行計(jì)算；
（3）若能分析出所給的隨機(jī)變量服從常用的分布（如：兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布等），可直接利用常用分布列的期望和方差公式進(jìn)行計(jì)算，若～,則，.
4. 求解概率最大問(wèn)題的關(guān)鍵是能夠通過(guò)構(gòu)造出不等關(guān)系，結(jié)合組合數(shù)公式求解結(jié)果
5. 線性回歸分析解題方法：
（1）計(jì)算的值；（2）計(jì)算回歸系數(shù)；（3）寫出回歸直線方程.
線性回歸直線方程為：，，
其中為樣本中心，回歸直線必過(guò)該點(diǎn)
（4）線性相關(guān)系數(shù)（衡量?jī)蓚€(gè)變量之間線性相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱）
，正相關(guān)；，負(fù)相關(guān)
獨(dú)立性檢驗(yàn)解題方法：
（1）依題意完成列聯(lián)表；（2）用公式求解；（3）對(duì)比觀測(cè)值即可得到所求結(jié)論的可能性
獨(dú)立性檢驗(yàn)計(jì)算公式：
沖刺訓(xùn)練
一、解答題
1．（2023·福建三明·統(tǒng)考三模）在二十大報(bào)告中，體育?健康等關(guān)鍵詞被多次提及，促進(jìn)群眾體育和競(jìng)技體育全面發(fā)展，加快建設(shè)體育強(qiáng)國(guó)是全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家的一個(gè)重要目標(biāo).某校為豐富學(xué)生的課外活動(dòng)，加強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)健康，擬舉行羽毛球團(tuán)體賽，賽制采取局勝制，每局都是單打模式，每隊(duì)有名隊(duì)員，比賽中每個(gè)隊(duì)員至多上場(chǎng)一次且是否上場(chǎng)是隨機(jī)的，每局比賽結(jié)果互不影響.經(jīng)過(guò)小組賽后，最終甲、乙兩隊(duì)進(jìn)入最后的決賽，根據(jù)前期比賽的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲隊(duì)種子選手對(duì)乙隊(duì)每名隊(duì)員的勝率均為，甲隊(duì)其余名隊(duì)員對(duì)乙隊(duì)每名隊(duì)員的勝率均為.（注：比賽結(jié)果沒有平局）
(1)求甲隊(duì)最終獲勝且種子選手上場(chǎng)的概率；
(2)已知甲隊(duì)獲得最終勝利，求種子選手上場(chǎng)的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)事件“種子選手第局上場(chǎng)”，事件“甲隊(duì)最終獲勝且種子選手上場(chǎng)”，求出、的值，利用全概率公式可求得的值；
（2）設(shè)事件“種子選手未上場(chǎng)”，事件“甲隊(duì)獲得勝利”，計(jì)算出、的值，利用貝葉斯公式可求得的值.
【詳解】（1）解：設(shè)事件“種子選手第局上場(chǎng)”，
事件“甲隊(duì)最終獲勝且種子選手上場(chǎng)”.
由全概率公式知，
因?yàn)槊棵?duì)員上場(chǎng)順序隨機(jī)，故，
，，.
所以，
所以甲隊(duì)最終獲勝且種子選手上場(chǎng)的概率為.
（2）解：設(shè)事件“種子選手未上場(chǎng)”，事件“甲隊(duì)獲得勝利”，
，，，
，
因?yàn)?
由（1）知，所以.
所以，已知甲隊(duì)獲得最終勝利，種子選手上場(chǎng)的概率為.
2．（2023·湖北武漢·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）“英才計(jì)劃”最早開始于2013年，由中國(guó)科協(xié)、教育部共同組織實(shí)施，到2022年已經(jīng)培養(yǎng)了6000多名具有創(chuàng)新潛質(zhì)的優(yōu)秀中學(xué)生，為選拔培養(yǎng)對(duì)象，某高校在暑假期間從武漢市的中學(xué)里挑選優(yōu)秀學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、信息技術(shù)學(xué)科夏令營(yíng)活動(dòng)．
(1)若化學(xué)組的12名學(xué)員中恰有5人來(lái)自同一中學(xué)，從這12名學(xué)員中選取3人，表示選取的人中來(lái)自該中學(xué)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)在夏令營(yíng)開幕式的晚會(huì)上，物理組舉行了一次學(xué)科知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)．規(guī)則如下：兩人一組，每一輪競(jìng)答中，每人分別答兩題，若小組答對(duì)題數(shù)不小于3，則取得本輪勝利，假設(shè)每輪答題結(jié)果互不影響．已知甲、乙兩位同學(xué)組成一組，甲、乙答對(duì)每道題的概率分別為，，且，如果甲、乙兩位同學(xué)想在此次答題活動(dòng)中取得6輪勝利，那么理論上至少要參加多少輪競(jìng)賽？
【答案】(1)分布列見解析，
(2)11輪
【分析】（1）根據(jù)超幾何分布列分布列計(jì)算數(shù)學(xué)期望即可；
（2）先求每輪答題中取得勝利的概率的最大值，再應(yīng)用獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)期望的范圍求出最少輪數(shù).
【詳解】（1）由題意可知的可能取值有0、1、2、3，
，，
，
所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：
所以．
（2）他們?cè)诿枯喆痤}中取得勝利的概率為
，
由，，，得，
則，因此，
令，，于是當(dāng)時(shí)，．
要使答題輪數(shù)取最小值，則每輪答題中取得勝利的概率取最大值．
設(shè)他們小組在輪答題中取得勝利的次數(shù)為，則，，
由，即，解得．
而，則，所以理論上至少要進(jìn)行11輪答題．
3．（2023·福建寧德·校考二模）某科研團(tuán)以為了考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn)，得到如下列聯(lián)表．
(1)請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整．
(2)認(rèn)為“藥物對(duì)預(yù)防疾病有效”犯錯(cuò)誤的概率是多少？
(3)為了進(jìn)一步研究，現(xiàn)按分層抽樣的方法從未患病動(dòng)物中抽取10只，設(shè)其中未服用藥物的動(dòng)物數(shù)為，求的分布列與期望．
下面的臨界值表供參考：
（參考公式：，其中）
【答案】(1)列聯(lián)表見解析
(2)2.5%
(3)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為1.6
【分析】（1）根據(jù)表中的數(shù)據(jù)完成列聯(lián)表即可；
（2）由公式計(jì)算，然后根據(jù)臨界值表進(jìn)行判斷；
（3）由題意可得的值可能為0，1，2，3，4，求出相應(yīng)的概率，從而可求得的分布列與期望．
【詳解】（1）列聯(lián)表補(bǔ)充如下：
（2）．
，認(rèn)為“藥物對(duì)預(yù)防疾病有效”犯錯(cuò)誤的概率是2.5%．
（3）根據(jù)題意，10只未患病動(dòng)物中，有6只服用藥物，4只未服用藥物，
所以的值可能為0，1，2，3，4，則
，，，
，，
的分布列如下：
則．
4．（2023·江蘇常州·?？家荒＃┰O(shè)是一個(gè)二維離散型隨機(jī)變量，它們的一切可能取的值為，其中，令，稱是二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列，與一維的情形相似，我們也習(xí)慣于把二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布列寫成下表形式；
現(xiàn)有個(gè)球等可能的放入編號(hào)為的三個(gè)盒子中，記落入第1號(hào)盒子中的球的個(gè)數(shù)為，落入第2號(hào)盒子中的球的個(gè)數(shù)為．
(1)當(dāng)時(shí)，求的聯(lián)合分布列，并寫成分布表的形式；
(2)設(shè)且，求的值．
（參考公式：若，則）
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）的取值為0，1，2，的取值為0，1，2，分別計(jì)算概率即可；
（2）計(jì)算得，則，最后利用二項(xiàng)分布的期望公式即可得到答案.
【詳解】（1）若，的取值為0，1，2，的取值為0，1，2，
則，
，
，，
，，
，
故的聯(lián)合分布列為
（2）當(dāng)時(shí)，，
故
所以，由二項(xiàng)分布的期望公式可得．
5．（2023·江蘇南京·南京市第九中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）某種疾病可分為，兩種類型，為了解該疾病的類型與患者性別是否相關(guān)，在某地區(qū)隨機(jī)抽取了若干名該疾病的患者進(jìn)行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)女性患者人數(shù)是男性患者的2倍，男性患型疾病的人數(shù)占男性患者的，女性患型疾病的人數(shù)占女性患者的.
(1)填寫列聯(lián)表，若本次調(diào)查得出“在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為‘所患疾病的類型’與‘性別’有關(guān)”的結(jié)論，求被調(diào)查的男性患者至少有多少人？
(2)某團(tuán)隊(duì)進(jìn)行預(yù)防型疾病的疫苗的研發(fā)試驗(yàn)，試驗(yàn)期間至多安排2個(gè)周期接種疫苗，每人每個(gè)周期接種3次，每次接種費(fèi)用為元.該團(tuán)隊(duì)研發(fā)的疫苗每次接種后產(chǎn)生抗體的概率為，如果一個(gè)周期內(nèi)至少2次出現(xiàn)抗體，則該周期結(jié)束后終止試驗(yàn)，否則進(jìn)入第二個(gè)周期.若，試驗(yàn)人數(shù)為1000人，試估計(jì)該試驗(yàn)用于接種疫苗的總費(fèi)用.
，
【答案】(1)列聯(lián)表見解析，被調(diào)查的男性患者至少有12；
(2)元
【分析】（1）設(shè)男性患者有人，結(jié)合題設(shè)寫出列聯(lián)表，應(yīng)用卡方公式求卡方值，根據(jù)獨(dú)立檢驗(yàn)的基本思想列不等式求范圍，再由，確定最小值；
（2）由題意試驗(yàn)每人的接種費(fèi)用為的可能取值為，，獨(dú)立事件乘法公式求出對(duì)應(yīng)概率，進(jìn)而求出期望，根據(jù)總?cè)藬?shù)求出總費(fèi)用的期望即可.
【詳解】（1）設(shè)男性患者有人，則女性患者有人，列聯(lián)表如下：
假設(shè)：患者所患疾病類型與性別之間無(wú)關(guān)聯(lián)，
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，
要使在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下認(rèn)為“所患疾病類型”與“性別”有關(guān)，
則，解得，
因?yàn)?，，所以的最小整?shù)值為12，
因此，男性患者至少有12人.
（2）設(shè)該試驗(yàn)每人的接種費(fèi)用為元，則的可能取值為，.
則，，
所以，
因?yàn)?，試?yàn)人數(shù)為1000人，所以該試驗(yàn)用于接種疫苗的總費(fèi)用為，
所以元.
6．（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）某校為了豐富學(xué)生課余生活，組建了足球社團(tuán).為了解學(xué)生喜歡足球是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了男、女同學(xué)各100名進(jìn)行調(diào)查，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表所示：
(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該校學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān)？
(2)社團(tuán)指導(dǎo)老師從喜歡足球的學(xué)生中抽取了2名男生和1名女生示范點(diǎn)球射門.已知這兩名男生進(jìn)球的概率均為，這名女生進(jìn)球的概率為，每人射門一次，假設(shè)各人射門相互獨(dú)立，求3人進(jìn)球總次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附：
【答案】(1)有的把握認(rèn)為該校學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān)；
(2)分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為.
【分析】（1）完善列聯(lián)表，計(jì)算的觀測(cè)值，再與臨界值表比對(duì)作答.
（2）求出的可能值，求出各個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，列出分布列并求出期望作答.
【詳解】（1）依題意，列聯(lián)表如下：
零假設(shè)：該校學(xué)生喜歡足球與性別無(wú)關(guān)，
的觀測(cè)值為，
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，
所以有的把握認(rèn)為該校學(xué)生喜歡足球與性別有關(guān).
（2）依題意，的可能值為，
，，
，，
所以的分布列為：
數(shù)學(xué)期望.
7．（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在以視覺為主導(dǎo)的社交媒體時(shí)代，人們常借助具有美顏功能的產(chǎn)品對(duì)自我形象進(jìn)行美化.移動(dòng)端的美顏拍攝類APP主要有兩類：類是以自拍人像、美顏美妝為核心功能的APP；類是圖片編輯、精修等圖片美化類APP.某機(jī)構(gòu)為調(diào)查市民對(duì)上述，兩類APP的使用情況，隨機(jī)調(diào)查了部分市民.已知被調(diào)查的市民中使用過(guò)類APP的占60%，使用過(guò)B類APP的占50%，設(shè)個(gè)人對(duì)美顏拍攝類APP類型的選擇及各人的選擇之間相互獨(dú)立.
(1)從樣本人群中任選1人，求該人使用過(guò)美顏拍攝類APP的概率；
(2)從樣本人群中任選5人，記為5人中使用過(guò)美顏拍攝類APP的人數(shù)，設(shè)的數(shù)學(xué)期望為，求；
(3)在單獨(dú)使用過(guò)，兩類APP的樣本人群中，按類型分甲、乙兩組，并在各組中隨機(jī)抽取8人，甲組對(duì)類APP，乙組對(duì)類APP分別評(píng)分如下：
記甲、乙兩組評(píng)分的平均數(shù)分別為，，標(biāo)準(zhǔn)差分別為，，試判斷哪組評(píng)價(jià)更合理.（設(shè)（），越小，則認(rèn)為對(duì)應(yīng)組評(píng)價(jià)更合理.）
參考數(shù)據(jù)：，.
【答案】(1)0.8
(2)
(3)甲組對(duì)類APP的評(píng)價(jià)更合理.
【分析】（1）求出“使用過(guò)類APP”和“使用過(guò)類APP”的概率，再由對(duì)立事件的概率公式求解即可.
（2）題意知，由二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望公式可求出，再由二項(xiàng)分布的概率公式即可求出.
（3）由平均數(shù)和方差的公式求解即可得出答案.
【詳解】（1）設(shè)事件表示“使用過(guò)類APP”，事件表示“使用過(guò)類APP”，
由題意知，.
任選一人，該人使用過(guò)美顏拍攝類APP的概率:.
（2）由題意知，
則的數(shù)學(xué)期望.
.
（3），
，
，
，
，
故甲組對(duì)類APP的評(píng)價(jià)更合理.
8．（2023·廣東·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）某工廠車間有6臺(tái)相同型號(hào)的機(jī)器，各臺(tái)機(jī)器相互獨(dú)立工作，工作時(shí)發(fā)生故障的概率都是，且一臺(tái)機(jī)器的故障由一個(gè)維修工處理．已知此廠共有甲、乙、丙3名維修工，現(xiàn)有兩種配備方案，方案一：由甲、乙、丙三人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)2臺(tái)機(jī)器；方案二：由甲乙兩人共同維護(hù)6臺(tái)機(jī)器，丙負(fù)責(zé)其他工作.
(1)對(duì)于方案一，設(shè)X為甲維護(hù)的機(jī)器某一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E（X）；
(2)在兩種方案下，分別計(jì)算某一時(shí)刻機(jī)器發(fā)生故障時(shí)不能得到及時(shí)維修的概率，并以此為依據(jù)來(lái)判斷，哪種方案能使工廠的生產(chǎn)效率更高？
【答案】(1)分布列見解析，
(2)，，方案二能讓故障機(jī)器更大概率得到及時(shí)維修，使得工廠的生產(chǎn)效率更高．
【分析】（1）根據(jù)題意得到隨機(jī)變量，結(jié)合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式求得相應(yīng)的概率，列出分布列，結(jié)合期望的公式，即可求解；
（2）根據(jù)題意，分別求得方案一和方案二中，結(jié)合對(duì)立事件和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率計(jì)算公式，分別求得機(jī)器發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率和，根據(jù)大小關(guān)系，即可得到結(jié)論.
【詳解】（1）解：由題意，車間有6臺(tái)相同型號(hào)的機(jī)器，各臺(tái)機(jī)器相互獨(dú)立工作，工作時(shí)發(fā)生故障的概率都是，可得方案一中，隨機(jī)變量，
則，，，
所以隨機(jī)變量的分布列為：
所以期望為．
（2）解：對(duì)于方案一：“機(jī)器發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修”等價(jià)于“甲、乙、丙三人中，至少有一人負(fù)責(zé)的2臺(tái)機(jī)器同時(shí)發(fā)生故障”，設(shè)機(jī)器發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率為，
則其概率為．
對(duì)于方案二：設(shè)機(jī)器發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率為，
則，
可得，即方案二能讓故障機(jī)器更大概率得到及時(shí)維修，使得工廠的生產(chǎn)效率更高．
9．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）相關(guān)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，中國(guó)經(jīng)常參與體育鍛煉的人數(shù)比例為，城鄉(xiāng)居民達(dá)到《國(guó)民體質(zhì)測(cè)定標(biāo)準(zhǔn)》合格以上的人數(shù)比例達(dá)到以上.某健身連鎖機(jī)構(gòu)對(duì)其會(huì)員的年齡等級(jí)和一個(gè)月內(nèi)到健身房健身次數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，制作成如下兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖.圖1為會(huì)員年齡分布圖（年齡為整數(shù)），其中將會(huì)員按年齡分為“年輕人”（20歲—39歲）和“非年輕人”（19歲及以下或40歲及以上）兩類；圖2為會(huì)員一個(gè)月內(nèi)到健身房次數(shù)分布扇形圖，其中將一個(gè)月內(nèi)到健身房鍛煉16次及以上的會(huì)員稱為“健身達(dá)人”，15次及以下的會(huì)員稱為“健身愛好者”，且已知在“健身達(dá)人”中有是“年輕人”.

(1)現(xiàn)從該健身連鎖機(jī)構(gòu)會(huì)員中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為100的樣本，根據(jù)圖表數(shù)據(jù)，補(bǔ)全列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，是否可以認(rèn)為“健身達(dá)人”與年齡有關(guān)？
(2)該健身機(jī)構(gòu)在今年年底將針對(duì)全部的150名會(huì)員舉辦消費(fèi)返利活動(dòng)，預(yù)設(shè)有如下兩種方案.
方案1：按分層抽樣從健身愛好者和健身達(dá)人中總共抽取20位“幸運(yùn)之星”給予獎(jiǎng)勵(lì).其中，健身愛好者和健身達(dá)人中的“幸運(yùn)之星”每人分別獎(jiǎng)勵(lì)500元和800元.
方案2：每位會(huì)員均可參加摸獎(jiǎng)游戲，游戲規(guī)則如下：從一個(gè)裝有3個(gè)白球、2個(gè)紅球（球只有顏色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一個(gè)球.若摸到紅球的總數(shù)為2，則可獲得100元獎(jiǎng)勵(lì)金；若摸到紅球的總數(shù)為3，則可獲得300元獎(jiǎng)勵(lì)金；其他情況不給予獎(jiǎng)勵(lì).
如果每位健身愛好者均可參加1次摸獎(jiǎng)游戲；每位健身達(dá)人均可參加3次摸獎(jiǎng)游戲（每次摸獎(jiǎng)的結(jié)果相互獨(dú)立）.以方案的獎(jiǎng)勵(lì)金的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，請(qǐng)你預(yù)測(cè)哪一種方案投資較少？并說(shuō)明理由.
附：.
【答案】(1)列聯(lián)表見解析，“健身達(dá)人”與年齡無(wú)關(guān)
(2)施行方案1投資較少，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)題意計(jì)算相關(guān)數(shù)據(jù)填好列聯(lián)表，利用公式計(jì)算，對(duì)照參考數(shù)據(jù)得出結(jié)論；
（2）按分層抽樣計(jì)算方案1獎(jiǎng)勵(lì)的總金額；方案2中，設(shè)表示參加一次摸獎(jiǎng)游戲所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)金，則的可能取值為，計(jì)算對(duì)應(yīng)概率，得出分布列，數(shù)學(xué)期望，進(jìn)而計(jì)算按照方案2獎(jiǎng)勵(lì)的總金額，比較即可得出答案.
【詳解】（1）根據(jù)年輕人標(biāo)準(zhǔn)結(jié)合圖1可得年輕人占比為，
則年輕人人數(shù)為，非年輕人為20人，
根據(jù)圖2表格得健身達(dá)人所占比，所以其人數(shù)為，
根據(jù)其中年輕人占比，所以健身達(dá)人中年輕人人數(shù)為，非年輕人為10人；
健身愛好者人數(shù)為，再通過(guò)總共年輕人合計(jì)為80人，
則健身愛好者中年輕人人數(shù)為，
根據(jù)非年輕人總共為20人，健身愛好者中非年輕人人數(shù)為，
所以列聯(lián)表為：
零假設(shè)為：“健身達(dá)人”與年齡無(wú)關(guān)聯(lián)，
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得，
依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷不成立，
因此可以認(rèn)為成立，即“健身達(dá)人”與年齡無(wú)關(guān).
（2）方案1：按分層抽樣從健身愛好者和健身達(dá)人中總共抽取20位“幸運(yùn)之星”，
則“幸運(yùn)之星”中的健身愛好者和健身達(dá)人的人數(shù)分別為
，
按照方案1獎(jiǎng)勵(lì)的總金額為（元）.
方案2：設(shè)表示參加一次摸獎(jiǎng)游戲所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)金，
全部的150名會(huì)員中的健身愛好者和健身達(dá)人的人數(shù)分別為
，
則的可能取值為.
由題意，每摸球1次，摸到紅球的概率為，
所以，
，
.
所以的分布列為：
數(shù)學(xué)期望為（元），
按照方案2獎(jiǎng)勵(lì)的總金額為（元），
因?yàn)橛?，所以施行方?投資較少.
10．（2023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）為了檢測(cè)某種抗病毒疫苗的免疫效果，需要進(jìn)行臨床人體試驗(yàn).研究人員將疫苗注射到200名志愿者體內(nèi)，一段時(shí)間后測(cè)量志愿者的某項(xiàng)指標(biāo)值，按，，，，分組，繪制頻率分布直方圖如圖所示.

試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)志愿者體內(nèi)產(chǎn)生抗體的共有160人，其中該項(xiàng)指標(biāo)值不小于60的有110人.假設(shè)志愿者注射疫苗后是否產(chǎn)生抗體相互獨(dú)立.
(1)填寫下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表及小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷能否認(rèn)為注射疫苗后志愿者產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān).
(2)為檢驗(yàn)疫苗二次接種的免疫抗體性，對(duì)第一次注射疫苗后沒有產(chǎn)生抗體的40名志愿者進(jìn)行第二次注射疫苗，結(jié)果又有名志愿者產(chǎn)生抗體.
（i）用頻率估計(jì)概率，已知一名志愿者注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，求的值；
（ⅱ）以（i）中的概率作為人體注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的概率，再進(jìn)行另一組人體接種試驗(yàn)，記110名志愿者注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體的數(shù)量為隨機(jī)變量，求最大時(shí)的的值.
參考公式：（其中為樣本容量）.
【答案】(1)列聯(lián)表見解析，認(rèn)為注射疫苗后志愿者產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān)；
(2)（i）20；（ⅱ）99.
【分析】（1）完善列聯(lián)表，計(jì)算的觀測(cè)值，再與臨界值表比對(duì)作答.
（2）（i）利用對(duì)立事件、相互獨(dú)立事件的概率公式求解作答；（ⅱ）利用二項(xiàng)分布的概率公式，列出不等式組并求解作答.
【詳解】（1）由頻率分布直方圖，知200名志愿者按指標(biāo)值分布為：在內(nèi)有（人），
在內(nèi)有（人），在內(nèi)有（人），
在內(nèi)有（人），在內(nèi)有(人)，
依題意，有抗體且指標(biāo)值小于60的有50人，而指標(biāo)值小于60的志愿者共有人，
則指標(biāo)值小于60且沒有抗體的志愿者有20人，指標(biāo)值不小于60且沒有抗體的志愿者有20人，
所以列聯(lián)表如下：
零假設(shè)：注射疫苗后志愿者產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60無(wú)關(guān)聯(lián)，
根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，得，
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，
即認(rèn)為注射疫苗后志愿者產(chǎn)生抗體與指標(biāo)值不小于60有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05.
（2）（i）令事件“志愿者第一次注射疫苗產(chǎn)生抗體”，事件“志愿者第二次注射疫苗產(chǎn)生抗體”，
事件“志愿者注射2次疫苗后產(chǎn)生抗體”，記事件發(fā)生的概率分別為，
則，解得：，
所以.
（ⅱ）依題意，隨機(jī)變量，，
顯然不是最大的，即當(dāng)最大時(shí)，，
于是，即，
則，整理得，解得，因此，
所以最大時(shí)，的值為99.
11．（2023·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)沙市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考二模）首批全國(guó)文明典范城市將于2023年評(píng)選，每三年評(píng)選一次，2021年長(zhǎng)沙市入選為全國(guó)文明典范城市試點(diǎn)城市，目前我市正全力爭(zhēng)創(chuàng)首批全國(guó)文明典范城市，某學(xué)校號(hào)召師生利用周末從事創(chuàng)建志愿活動(dòng).高一（1）班一組有男生4人，女生2人，現(xiàn)隨機(jī)選取2人作為志愿者參加活動(dòng)，志愿活動(dòng)共有交通協(xié)管員、創(chuàng)建宣傳員、文明監(jiān)督員三項(xiàng)可供選擇，每名女生至多從中選擇參加2項(xiàng)活動(dòng)，且選擇參加1項(xiàng)或2項(xiàng)的可能性均為；每名男生至少?gòu)闹羞x擇參加2項(xiàng)活動(dòng)，且選擇參加2項(xiàng)或3項(xiàng)的可能性也均為，每人每參加1項(xiàng)活動(dòng)可獲得綜合評(píng)價(jià)10分，選擇參加幾項(xiàng)活動(dòng)彼此互不影響，求：
(1)在有女生參加活動(dòng)的條件下，恰有一名女生的概率；
(2)記隨機(jī)選取的兩人得分之和為X，求X的期望．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)條件概率求解即可；（2）先求出參加人數(shù)的分布列及期望，再根據(jù)參加人數(shù)與得分的關(guān)系求出得分的期望即可.
【詳解】（1）設(shè)事件A為：“至少有一名女生參加活動(dòng)”，設(shè)事件B為：“恰有一名女生參加活動(dòng)”.
則，.
所以在有女生參加活動(dòng)的條件下，恰有一名女生的概率為：；
（2）因?yàn)榕鷧⒓踊顒?dòng)得分為；
男生參加活動(dòng)得分為.
設(shè)恰有名女生參加活動(dòng)，則有名男生參加活動(dòng)，
所以，
，
，
所以，
又，
所以.
12．（2023·江蘇南京·南京市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）為了宣傳航空科普知識(shí)，某校組織了航空知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)．活動(dòng)規(guī)定初賽需要從8道備選題中隨機(jī)抽取4道題目進(jìn)行作答．假設(shè)在8道備選題中，小明正確完成每道題的概率都是且每道題正確完成與否互不影響，小宇能正確完成其中6道題且另外2道題不能完成．
(1)求小明至少正確完成其中3道題的概率；
(2)設(shè)隨機(jī)變量X表示小宇正確完成題目的個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
(3)現(xiàn)規(guī)定至少完成其中3道題才能進(jìn)入決賽，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)概率知識(shí)，判斷小明和小宇兩人中選擇誰(shuí)去參加市級(jí)比賽（活動(dòng)規(guī)則不變）會(huì)更好，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)
(2)分布列見解析，3
(3)選擇小宇，理由見解析
【分析】（1）小明至少正確完成其中3道題包含兩種情況：一是小明正確完成3道題，二是小明正確完成4道題，然后由互斥事件的概率公式求解即可；
（2）由題意得X的可能取值為2，3，4，然后求各自對(duì)應(yīng)的概率，從而可求出X的分布列及數(shù)學(xué)期望；
（3）分別計(jì)算出他們兩人至少完成其中3道題的概率，通過(guò)比較概率的大小可得答案.
【詳解】（1）記“小明至少正確完成其中3道題”為事件A，則
．
（2）X的可能取值為2，3，4
，
，
，
X的分布列為；
數(shù)學(xué)期望．
（3）由（1）知，小明進(jìn)入決賽的概率為；
記“小宇至少正確完成其中3道題”為事件B，則；
因?yàn)?，故小宇進(jìn)決賽的可能性更大，
所以應(yīng)選擇小宇去參加比賽．
13．（2023·廣東·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某商場(chǎng)在五一假期間開展了一項(xiàng)有獎(jiǎng)闖關(guān)活動(dòng)，并對(duì)每一關(guān)根據(jù)難度進(jìn)行賦分，競(jìng)猜活動(dòng)共五關(guān)，規(guī)定：上一關(guān)不通過(guò)則不進(jìn)入下一關(guān)，本關(guān)第一次未通過(guò)有再挑戰(zhàn)一次的機(jī)會(huì)，兩次均未通過(guò)，則闖關(guān)失敗，且各關(guān)能否通過(guò)相互獨(dú)立，已知甲、乙、丙三人都參加了該項(xiàng)闖關(guān)活動(dòng).
(1)若甲第一關(guān)通過(guò)的概率為，第二關(guān)通過(guò)的概率為，求甲可以進(jìn)入第三關(guān)的概率；
(2)已知該闖關(guān)活動(dòng)累計(jì)得分服從正態(tài)分布，且滿分為450分，現(xiàn)要根據(jù)得分給共2500名參加者中得分前400名發(fā)放獎(jiǎng)勵(lì).
①假設(shè)該闖關(guān)活動(dòng)平均分?jǐn)?shù)為171分，351分以上共有57人，已知甲的得分為270分，問(wèn)甲能否獲得獎(jiǎng)勵(lì)，請(qǐng)說(shuō)明理由；
②丙得知他的分?jǐn)?shù)為430分，而乙告訴丙：“這次闖關(guān)活動(dòng)平均分?jǐn)?shù)為201分，351分以上共有57人”，請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí)幫助丙辨別乙所說(shuō)信息的真?zhèn)?
附：若隨機(jī)變量，則；；.
【答案】(1)
(2)①能，理由見解析②假
【分析】（1）設(shè)為第次通過(guò)第一關(guān)，為第次通過(guò)第二關(guān)，計(jì)算即可；
（2）①由，且，計(jì)算，求出前400名參賽者的最低得分，與甲的得分比較即可；
②假設(shè)乙所說(shuō)為真，由計(jì)算，求出，利用小概率事件即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）設(shè)：第i次通過(guò)第一關(guān)，：第i次通過(guò)第二關(guān)，甲可以進(jìn)入第三關(guān)的概率為，由題意知
.
（2）設(shè)此次闖關(guān)活動(dòng)的分?jǐn)?shù)記為.①由題意可知，因?yàn)椋遥?br>所以，則；而，
且，
所以前400名參賽者的最低得分高于，而甲的得分為270分，所以甲能夠獲得獎(jiǎng)勵(lì)；
②假設(shè)乙所說(shuō)為真，則，
，
而，所以，從而，
而，
所以為小概率事件，即丙的分?jǐn)?shù)為430分是小概率事件，可認(rèn)為其一般不可能發(fā)生，但卻又發(fā)生了，所以可認(rèn)為乙所說(shuō)為假.
14．（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）研究表明，如果溫差本大，人們不注意保暖，可能會(huì)導(dǎo)致自身受到風(fēng)寒刺激，增加感冒患病概率，特別是對(duì)于幾童以及年老體弱的人群，要多加防范某中學(xué)數(shù)學(xué)建模社團(tuán)成員研究了晝夜溫差大小與某小學(xué)學(xué)生患感冒就診人數(shù)多少之間的關(guān)系，他們記錄了某六天的溫差，并到校醫(yī)室查閱了這六天中每天學(xué)生新增感冒就診的人數(shù)，得到數(shù)據(jù)如下：
參考數(shù)據(jù)：，
(1)已知第一天新增感冒就的學(xué)生中有4位男生，從第一天多增的感冒就診的學(xué)生中隨機(jī)取2位，其中男生人數(shù)記為X，若抽取的2人中至少有一位女生的概率為，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)已知兩個(gè)變量x與y之間的樣本相關(guān)系數(shù)，請(qǐng)用最小二乘法求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，據(jù)此估計(jì)晝夜溫差為15時(shí)，該校新增感冒就診的學(xué)生人數(shù). 參考數(shù)據(jù)：，
【答案】(1)的分布列見解析；
(2)15
【分析】（1）首先根據(jù)抽取的2人中至少有一位女生的概率計(jì)算出，從而得到隨機(jī)變量X的取值，根據(jù)超幾何分布概率計(jì)算可得分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）首先根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)和已知條件計(jì)算出，進(jìn)一步計(jì)算可得，利用最小二乘法計(jì)算出請(qǐng)用最小二乘法求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，從而得到線性回歸方程，將代入可得答案.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>所以，解得，即第一天新增患感冒而就診的學(xué)生有9位，其中男生4位，女生5位，則隨機(jī)變量X的可能取值為，且服從超幾何分布，其中，
，，，
的分布列為
數(shù)學(xué)期望為；
（2）因?yàn)?，所以，所以?br>由于，
所以，所以，
因?yàn)?，?br>解得，所以，所以，
當(dāng)時(shí)，，
據(jù)此估計(jì)晝夜溫差為15時(shí)，該校新增感冒就診的學(xué)生人數(shù)為.
15．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）某地區(qū)由于農(nóng)產(chǎn)品出現(xiàn)了滯銷的情況，從而農(nóng)民的收入減少，很多人開始在某直播平臺(tái)銷售農(nóng)產(chǎn)品并取得了不錯(cuò)的銷售量.有統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示2022年該地利用網(wǎng)絡(luò)直播形式銷售農(nóng)產(chǎn)品的銷售主播年齡等級(jí)分布如圖1所示，一周內(nèi)使用直播銷售的頻率分布扇形圖如圖2所示，若將銷售主播按照年齡分為“年輕人”（20歲~39歲）和“非年輕人”（19歲及以下或者40歲及以上）兩類，將一周內(nèi)使用的次數(shù)為6次或6次以上的稱為“經(jīng)常使用直播銷售用戶”，使用次數(shù)為5次或不足5次的稱為“不常使用直播銷售用戶”，且“經(jīng)常使用直播銷售用戶”中有是“年輕人”.

(1)現(xiàn)對(duì)該地相關(guān)居民進(jìn)行“經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)直播銷售與年齡關(guān)系”的調(diào)查，采用隨機(jī)抽樣的方法，抽取一個(gè)容量為200的樣本，請(qǐng)你根據(jù)圖表中的數(shù)據(jù)，完成2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)直播銷售與年齡有關(guān)？
使用直播銷售情況與年齡列聯(lián)表
(2)某投資公司在2023年年初準(zhǔn)備將1000萬(wàn)元投資到“銷售該地區(qū)農(nóng)產(chǎn)品”的項(xiàng)目上，現(xiàn)有兩種銷售方案供選擇：
方案一：線下銷售、根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，利用傳統(tǒng)的線下銷售，到年底可能獲利30%，可能虧損15%，也可能不是不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為，，；
方案二：線上直播銷售，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，利用線上直播銷售，到年底可能獲利50%，可能虧損30%，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為，，.
針對(duì)以上兩種銷售方案，請(qǐng)你從期望和方差的角度為投資公司選擇一個(gè)合理的方案，并說(shuō)明理由.
參考數(shù)據(jù)：獨(dú)立性檢驗(yàn)臨界值表
其中，．
【答案】(1)列聯(lián)表見解析，能
(2)從獲利角度考慮，選擇方案二；從規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)角度考慮，選擇方案一，理由見解析
【分析】（1）由題意填寫列聯(lián)表，計(jì)算，對(duì)照附表得出結(jié)論．
（2）計(jì)算方案一、方案二的期望與方差，比較即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）由圖2知，樣本中經(jīng)常使用直播銷售的用戶有人，
其中年輕人有人，非年輕人人，
由圖1知，樣本中的年輕人有人，
不常使用直播銷售的用戶有人，其中年輕人有人，非年輕人人，
補(bǔ)充完整的列聯(lián)表如下，
計(jì)算，
依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能認(rèn)為經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)直播銷售與年齡有關(guān)．
（2）方案一：設(shè)獲利萬(wàn)元，則的所有可能取值為，
，
，
方案二：設(shè)獲利萬(wàn)元，則的所有可能取值為，
，
，
所以，
從獲利的期望上看，方案二獲得的利潤(rùn)更多些，但方案二的方差比方案一的方差大得多，從穩(wěn)定性方面看方案一更穩(wěn)定，
所以，從獲利角度考慮，選擇方案二；從規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)角度考慮，選擇方案一．
16．（2023·河北衡水·衡水市第二中學(xué)?？既＃┠翅t(yī)療科研小組為研究某市市民患有疾病與是否具有生活習(xí)慣的關(guān)系，從該市市民中隨機(jī)抽查了100人，得到如下數(shù)據(jù)：
(1)依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該市市民患有疾病與是否具有生活習(xí)慣有關(guān)？
(2)從該市市民中任選一人，表示事件“選到的人不具有生活習(xí)慣”，表示事件“選到的人患有疾病”，試?yán)迷撜{(diào)查數(shù)據(jù)，給出的估計(jì)值；
(3)從該市市民中任選3人，記這3人中具有生活習(xí)慣，且末患有疾病的人數(shù)為，試?yán)迷撜{(diào)查數(shù)據(jù)，給出的數(shù)學(xué)期望的估計(jì)值．
附：，其中．
【答案】(1)有關(guān)
(2)
(3)分布列見解析，
【分析】（1）根據(jù)題設(shè)可得列聯(lián)表，故可求的值，結(jié)合臨界值表可判斷該市市民患有疾病與是否具有生活習(xí)慣有關(guān).
（2）根據(jù)條件概率的計(jì)算公式結(jié)合表中數(shù)據(jù)可求的估計(jì)值.
（3）利用二項(xiàng)分布的期望公式可求的數(shù)學(xué)期望的估計(jì)值.
【詳解】（1）由已知得列聯(lián)表如下：
零假設(shè)為：該市市民患有疾病與是否具有生活習(xí)慣無(wú)關(guān)．
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到
．
依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為該市市民患有疾病與是否具有生活習(xí)慣有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.01．
（2）由（1）數(shù)據(jù)可得：，，
所以．
（3）由題意知可用估計(jì)的分布，
所以的估計(jì)值為．
17．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的迅速發(fā)展，各種購(gòu)物群成為網(wǎng)絡(luò)銷售的新渠道．在鳳梨銷售旺季，某鳳梨基地隨機(jī)抽查了100個(gè)購(gòu)物群的銷售情況，各購(gòu)物群銷售鳳梨的數(shù)量情況如下：
(1)求實(shí)數(shù)的值，并用組中值估計(jì)這100個(gè)購(gòu)物群銷售風(fēng)梨總量的平均數(shù)（盒）；
(2)假設(shè)所有購(gòu)物群銷售鳳梨的數(shù)量服從正態(tài)分布，其中為（1）中的平均數(shù)，．若該鳳梨基地參與銷售的購(gòu)物群約有1000個(gè)，銷售風(fēng)梨的數(shù)量在（單位：盒）內(nèi)的群為“一級(jí)群”，銷售數(shù)量小于266盒的購(gòu)物群為“二級(jí)群”，銷售數(shù)量大于等于596盒的購(gòu)物群為“優(yōu)質(zhì)群”．該鳳梨基地對(duì)每個(gè)“優(yōu)質(zhì)群”獎(jiǎng)勵(lì)1000元，每個(gè)“一級(jí)群”獎(jiǎng)勵(lì)200元，“二級(jí)群”不獎(jiǎng)勵(lì)，則該風(fēng)梨基地大約需要準(zhǔn)備多少資金？（群的個(gè)數(shù)按四舍五入取整數(shù)）
附：若服從正態(tài)分布，則．
【答案】(1)，376
(2)186800元
【分析】（1）根據(jù)樣本容量列方程求出m，利用組中數(shù)求出平均數(shù)；
（2）根據(jù)正態(tài)分布的概率計(jì)算公式求出對(duì)應(yīng)的概率值，計(jì)算“優(yōu)質(zhì)群”和“一級(jí)群”的個(gè)數(shù)，求出獎(jiǎng)勵(lì)金.
【詳解】（1）由題意得：，解得．
故平均數(shù)為.
（2）由題意，，
且，
故，
所以“優(yōu)質(zhì)群”約有個(gè)，
，
所以“一級(jí)群”約有個(gè)；
所以需要資金為，
故至少需要準(zhǔn)備186800元．
18．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某校有一個(gè)露天的籃球場(chǎng)和一個(gè)室內(nèi)乒乓球館為學(xué)生提供鍛煉場(chǎng)所，甲、乙兩位學(xué)生每天上下午都各花半小時(shí)進(jìn)行體育鍛煉，近50天天氣不下雨的情況下，選擇體育鍛煉情況統(tǒng)計(jì)如下：
假設(shè)甲、乙選擇上下午鍛煉的項(xiàng)目相互獨(dú)立，用頻率估計(jì)概率.
(1)分別估計(jì)一天中甲上午和下午都選擇籃球的概率，以及甲上午選擇籃球的條件下，下午仍舊選擇籃球的概率；
(2)記為甲、乙在一天中選擇體育鍛煉項(xiàng)目的個(gè)數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)假設(shè)A表示事件“室外溫度低于10度”，表示事件“某學(xué)生去打乒乓球”，，一般來(lái)說(shuō)在室外溫度低于10度的情況下學(xué)生去打乒乓球的概率會(huì)比室外溫度不低于10度的情況下去打乒乓球的概率要大，證明：.
【答案】(1)0.4；
(2)分布列見解析，1.82
(3)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)古典概型以及條件概率的計(jì)算，即可得答案；
（2）確定的取值，根據(jù)每個(gè)值對(duì)應(yīng)的含義，求得每個(gè)值對(duì)應(yīng)的概率，即可得分布列，繼而求得期望；
（3）根據(jù)題意可得，利用條件概率的計(jì)算公式，以及對(duì)立事件的概率公式進(jìn)行推理，即可證明結(jié)論.
【詳解】（1）設(shè)事件為“早上甲打籃球”，事件為“下午甲打籃球”，
則，.
（2）由題意知，甲上下午都選擇籃球的概率為，乙上下午都選擇籃球的概率為，
甲上下午都選擇乒乓球的概率為，乙上下午都選擇乒乓球的概率為，
記為甲、乙在一天中選擇體育鍛煉項(xiàng)目的個(gè)數(shù)，則的所有可能取值為、，
所以，，
所以的分布列為：
所以.
（3）證明：由題意知，即，
即，
即，
即，即，
即.
19．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）某校體育節(jié)組織定點(diǎn)投籃比賽，每位參賽選手共有3次投籃機(jī)會(huì).統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，每位選手投籃投進(jìn)與否滿足：若第次投進(jìn)的概率為，當(dāng)?shù)诖瓮哆M(jìn)時(shí)，第次也投進(jìn)的概率保持不變；當(dāng)?shù)诖螞]能投進(jìn)時(shí)，第次能投進(jìn)的概率降為.
(1)若選手甲第1次投進(jìn)的概率為，求選手甲至少投進(jìn)一次的概率；
(2)設(shè)選手乙第1次投進(jìn)的概率為，每投進(jìn)1球得1分，投不進(jìn)得0分，求選手乙得分的分布列與數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)
(2)分布列見解析；
【分析】（1）記選手甲第次投進(jìn)為事件，未投進(jìn)為事件，則所求概率為；
（2）根據(jù)的取值為分情況討論即可.
【詳解】（1）解：記選手甲第次投進(jìn)為事件，未投進(jìn)為事件，選手甲至少投進(jìn)一次這一事件的概率為.
因?yàn)椋?br>所求概率為.
（2）得分等于乙投進(jìn)的次數(shù)，則的取值為.
記選手乙第次投進(jìn)為事件，
由題意可知,
投進(jìn)次對(duì)應(yīng)事件為，
，
投進(jìn)次對(duì)應(yīng)事件為，
，
投進(jìn)次對(duì)應(yīng)事件為.
所以的分布列為
選手乙得分的數(shù)學(xué)期望.
20．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測(cè)）2021年春節(jié)前，受疫情影響，各地鼓勵(lì)外來(lái)務(wù)工人員選擇就地過(guò)年．某市統(tǒng)計(jì)了該市4個(gè)地區(qū)的外來(lái)務(wù)工人數(shù)與就地過(guò)年人數(shù)（單位：萬(wàn)），得到如下表格：
(1)請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)說(shuō)明與之間的關(guān)系可用線性回歸模型擬合，并求關(guān)于的線性回歸方程和A區(qū)的殘差
(2)假設(shè)該市政府對(duì)外來(lái)務(wù)工人員中選擇就地過(guò)年的每人發(fā)放1000元補(bǔ)貼．
①若該市區(qū)有2萬(wàn)名外來(lái)務(wù)工人員，根據(jù)（1）的結(jié)論估計(jì)該市政府需要給區(qū)就地過(guò)年的人員發(fā)放的補(bǔ)貼總金額；
②若區(qū)的外來(lái)務(wù)工人員中甲、乙選擇就地過(guò)年的概率分別為，其中，該市政府對(duì)甲、乙兩人的補(bǔ)貼總金額的期望不超過(guò)1400元，求的取值范圍．
參考公式：相關(guān)系數(shù)，
回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為．
【答案】(1)答案見解析，，0.05
(2)①1750（萬(wàn)元）；②
【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)和題設(shè)給出的計(jì)算公式可求相關(guān)系數(shù)，故可用線性回歸模型擬合與之間的關(guān)系，求出回歸方程后可求殘差.
（2）①結(jié)合（1）的回歸方程可估計(jì)補(bǔ)貼總金額；②利用獨(dú)立事件的概率公式可求補(bǔ)貼總金額的分布列，求出其期望后可求的取值范圍.
【詳解】（1）由題，，
，
，，
所以相關(guān)系數(shù)，
因?yàn)榕c之間的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，說(shuō)明與之間的線性相關(guān)程度非常強(qiáng)，
所以可用線性回歸模型擬合與之間的關(guān)系．
，
故關(guān)于的線性回歸方程為．
∵，∴，故A區(qū)的殘差為0.05.
（2）（2）①將代入，得，
故估計(jì)該市政府需要給區(qū)就地過(guò)年的人員發(fā)放的補(bǔ)貼總金額為（萬(wàn)元）．
②設(shè)甲、乙兩人中選擇就地過(guò)年的人數(shù)為，則的所有可能取值為0，1，2，
，
，
．
所以，
所以，
由，得，又，所以，
故的取值范圍為．
21．（2023·山西運(yùn)城·山西省運(yùn)城中學(xué)校?？级＃┘?乙兩人進(jìn)行象棋比賽，賽前每人發(fā)3枚籌碼.一局后負(fù)的一方，需將自己的一枚籌碼給對(duì)方；若平局，雙方的籌碼不動(dòng)，當(dāng)一方無(wú)籌碼時(shí)，比賽結(jié)束，另一方最終獲勝.由以往兩人的比賽結(jié)果可知，在一局中甲勝的概率為0.3?乙勝的概率為0.2.
(1)第一局比賽后，甲的籌碼個(gè)數(shù)記為，求的分布列和期望；
(2)求四局比賽后，比賽結(jié)束的概率；
(3)若表示“在甲所得籌碼為枚時(shí)，最終甲獲勝的概率”，則.證明：為等比數(shù)列.
【答案】(1)分布列見解析，.
(2)
(3)證明見解析
【分析】（1）求出的所有可能取值以及取值的概率，可得分布列，由期望公式可求出期望；
（2）根據(jù)互斥事件的加法公式和獨(dú)立事件的乘法公式可得結(jié)果；
（3）根據(jù)全概率公式和等比數(shù)列的定義可證.
【詳解】（1）的所有可能取值為，
，，，
則的分布列為：
.
（2）當(dāng)四局比賽后，比賽結(jié)束且甲勝時(shí)，第四局比賽甲勝，前三局比賽甲2勝1和，
其概率為：.
當(dāng)四局比賽后，比賽結(jié)束且乙勝時(shí)，第四局比賽乙勝，前三局比賽乙2勝1和，
其概率為：，
所以四局比賽后，比賽結(jié)束的概率為.
（3）因?yàn)楸硎尽霸诩姿没I碼為枚時(shí)，最終甲獲勝的概率”，，
在甲所得籌碼為枚時(shí)，下局甲勝且最終甲獲勝的概率為，
在甲所得籌碼為枚時(shí)，下局平局且最終甲獲勝的概率為，
在甲所得籌碼為枚時(shí)，下局乙勝且最終甲獲勝的概率為，
根據(jù)全概率公式得，
所以，變形得，因?yàn)椋?br>所以，同理可得，
所以為等比數(shù)列.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第（3）問(wèn)中，正確理解題意，利用全概率公式得到數(shù)列中相鄰三項(xiàng)之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵.
22．（2023·湖北襄陽(yáng)·襄陽(yáng)四中校考三模）為倡導(dǎo)公益環(huán)保理念，培養(yǎng)學(xué)生社會(huì)實(shí)踐能力，某中學(xué)開展了舊物義賣活動(dòng)，所得善款將用于捐贈(zèng)“圓夢(mèng)困境學(xué)生”計(jì)劃.活動(dòng)共計(jì)50多個(gè)班級(jí)參與，1000余件物品待出售.攝影社從中選取了20件物品，用于拍照宣傳，這些物品中，最引人注目的當(dāng)屬優(yōu)秀畢業(yè)生們的筆記本，已知高三1，2，3班分別有，，的同學(xué)有購(gòu)買意向.假設(shè)三個(gè)班的人數(shù)比例為.
(1)現(xiàn)從三個(gè)班中隨機(jī)抽取一位同學(xué)：
（i）求該同學(xué)有購(gòu)買意向的概率；
（ii）如果該同學(xué)有購(gòu)買意向，求此人來(lái)自2班的概率；
(2)對(duì)于優(yōu)秀畢業(yè)生的筆記本，設(shè)計(jì)了一種有趣的“擲骰子叫價(jià)確定購(gòu)買資格”的競(jìng)買方式：統(tǒng)一以0元為初始叫價(jià)，通過(guò)擲骰子確定新叫價(jià)，若點(diǎn)數(shù)大于2，則在已叫價(jià)格基礎(chǔ)上增加1元更新叫價(jià)，若點(diǎn)數(shù)小于3，則在已叫價(jià)格基礎(chǔ)上增加2元更新叫價(jià)；重復(fù)上述過(guò)程，能叫到10元，即獲得以10元為價(jià)格的購(gòu)買資格，未出現(xiàn)叫價(jià)為10元的情況則失去購(gòu)買資格，并結(jié)束叫價(jià).若甲同學(xué)已搶先選中了其中一本筆記本，試估計(jì)其獲得該筆記本購(gòu)買資格的概率（精確到0.01）.
【答案】(1)（i）；（ii）
(2)0.75.
【分析】（1）設(shè)事件“該同學(xué)有購(gòu)買意向”，事件“該同學(xué)來(lái)自班”.根據(jù)全概率公式即可求解，根據(jù)條件概率公式即可求解；
（2）由題意可得每次叫價(jià)增加1元的概率為，每次叫價(jià)增加2元的概率為.設(shè)叫價(jià)為元的概率為，叫價(jià)出現(xiàn)元的情況只有下列兩種：①叫價(jià)為元，且骰子點(diǎn)數(shù)大于2，其概率為；②叫價(jià)為元，且骰子點(diǎn)數(shù)小于3，其概率為.于是得到，構(gòu)造等比數(shù)列，結(jié)合累加法可求解.
【詳解】（1）（i）設(shè)事件“該同學(xué)有購(gòu)買意向”，事件“該同學(xué)來(lái)自班”.
由題意可知，
，
所以，由全概率公式可得：
.
（ii）由條件概率可得.
（2）由題意可得每次叫價(jià)增加1元的概率為，每次叫價(jià)增加2元的概率為.
設(shè)叫價(jià)為元的概率為，叫價(jià)出現(xiàn)元的情況只有下列兩種：
①叫價(jià)為元，且骰子點(diǎn)數(shù)大于2，其概率為；
②叫價(jià)為元，且骰子點(diǎn)數(shù)小于3，其概率為.
于是得到，易得，
由于，
于是當(dāng)時(shí)，數(shù)列是以首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
故.
于是
于是，甲同學(xué)能夠獲得筆記本購(gòu)買資格的概率約為0.75.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：
第二問(wèn)中關(guān)鍵是設(shè)叫價(jià)為元的概率為，利用叫價(jià)為元是在叫價(jià)為元的基礎(chǔ)上再叫價(jià)1元或在叫價(jià)為元的基礎(chǔ)上再叫價(jià)2元，從而確定與的關(guān)系，再結(jié)合數(shù)列中的構(gòu)造法和累加法即可求解.
23．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考二模）春節(jié)過(guò)后，文化和旅游業(yè)逐漸復(fù)蘇，有意跨省游、出境游的旅客逐漸增多.某旅游景區(qū)為吸引更多游客，計(jì)劃在社交媒體平臺(tái)和短視頻平臺(tái)同時(shí)投放宣傳廣告并進(jìn)行線上售票，通過(guò)近些年的廣告數(shù)據(jù)分析知，一輪廣告后，在短視頻平臺(tái)宣傳推廣后，目標(biāo)用戶購(gòu)買門票的概率為，在社交媒體平臺(tái)宣傳推廣后，目標(biāo)用戶購(gòu)買門票的概率為；二輪廣告精準(zhǔn)投放后，目標(biāo)用戶在短視頻平臺(tái)進(jìn)行復(fù)購(gòu)的概率為，在社交媒體平臺(tái)復(fù)購(gòu)的概率為.
(1)記在短視頻平臺(tái)購(gòu)票的4人中，復(fù)購(gòu)的人數(shù)為，若，試求的分布列和期望；
(2)記在社交媒體平臺(tái)的3名目標(biāo)用戶中，恰有1名用戶購(gòu)票并復(fù)購(gòu)的概率為，當(dāng)取得最大值時(shí)，為何值？
(3)為優(yōu)化成本，該景區(qū)決定綜合渠道投放效果的優(yōu)劣，進(jìn)行廣告投放戰(zhàn)略的調(diào)整.已知景區(qū)門票100元/人，在短視頻平臺(tái)和社交媒體平臺(tái)的目標(biāo)用戶分別在90萬(wàn)人和17萬(wàn)人左右，短視頻平臺(tái)和社交媒體平臺(tái)上的廣告投放費(fèi)用分別為4元/100人和5元/100人，不計(jì)宣傳成本的景區(qū)門票利潤(rùn)率分別是2%和5%，在第（2）問(wèn)所得值的基礎(chǔ)上，試分析第一次廣告投放后，景區(qū)在兩個(gè)平臺(tái)上的目標(biāo)用戶身上可獲得的凈利潤(rùn)總額.
【答案】(1)分布列見解析；當(dāng)時(shí)，期望為1；當(dāng)時(shí)，期望為3；
(2)
(3)805500元
【分析】（1）復(fù)購(gòu)的人數(shù)滿足，故通過(guò)可求得或，然后分兩種情況進(jìn)行求分布列和期望即可；
（2）設(shè)在社交媒體平臺(tái)的目標(biāo)用戶購(gòu)票并復(fù)購(gòu)的概率為，由題得,，故可計(jì)算得，通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可求得最大值，求得此時(shí)的值；
（3）根據(jù)題意，分兩個(gè)平臺(tái)進(jìn)行計(jì)算凈利潤(rùn)，最后進(jìn)行求和即可
【詳解】（1）由題意得,在短視頻平臺(tái)購(gòu)票的人中,復(fù)購(gòu)概率為，復(fù)購(gòu)的人數(shù)滿足二項(xiàng)分布，即，
故,故或.
又知的所有可能取值為0，1，2，3，4，
①當(dāng)時(shí),
的分布列為
此時(shí)期望為，
②時(shí),
，
所以的分布列為
此時(shí)期望為
（2）設(shè)在社交媒體平臺(tái)的目標(biāo)用戶購(gòu)票并復(fù)購(gòu)的概率為，由題得,.
,
,
令,得或1，
所以時(shí), ，函數(shù)單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí), ，函數(shù)單調(diào)遞減.
故當(dāng)取得最大值.
由可得，此時(shí).
（3）短視頻平臺(tái):(元),
社交媒體平臺(tái):(元),
凈利潤(rùn)總額:(元).
故景區(qū)在兩個(gè)平臺(tái)上的目標(biāo)用戶身上可獲得的凈利潤(rùn)總額為805500元.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：這道題的信息量較多，要求考生在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)現(xiàn)信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的
24．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）甲袋中裝有3個(gè)紅球，2個(gè)白球，乙袋中裝有5個(gè)紅球，5個(gè)白球，兩個(gè)袋子均不透明，其中的小球除顏色外完全一致.現(xiàn)從甲袋中一次性抽取2個(gè)小球，記錄顏色后放入乙袋，混勻后從乙袋一次性抽取3個(gè)小球，記錄顏色.設(shè)隨機(jī)變量表示在甲袋中抽取出的紅球個(gè)數(shù)，表示時(shí)，在乙袋中抽取出的紅球個(gè)數(shù)，表示在乙袋中抽取出的紅球個(gè)數(shù).
(1)求的分布列；
(2)求的數(shù)學(xué)期望（用含的代數(shù)式表示）；
(3)記的所有可取值為，證明：，并求.
【答案】(1)分布列見解析；
(2)；
(3)證明見解析，.
【分析】（1）根據(jù)題意，求得的取值，再求對(duì)應(yīng)概率，即可求得分布列；
（2）服從超幾何分布，直接寫出期望即可；
（3）根據(jù)全期望公式，結(jié)合條件概率的和全概率公式，整理化簡(jiǎn)即可證明，再根據(jù)所證結(jié)論，直接計(jì)算即可.
【詳解】（1）的所有可能取值為
，
所以的分布列為
（2）依題意，服從超幾何分布，且，
故.
（3）的所有可能取值為0，1，2，3，則由全概率公式，
，；
因此
，
故.
【點(diǎn)睛】本題屬于中檔題，考查隨機(jī)變量的分布列、期望、全概率公式.同四省聯(lián)考一樣，本題直接考查超幾何分布的期望.作為重要的離散型隨機(jī)變量之一，超幾何分布的參數(shù)含義、均值一定要熟記，方差課本上不做要求，如果對(duì)自己要求較高的同學(xué)應(yīng)掌握推導(dǎo)過(guò)程，具體證明可參見2023屆“星云”五一聯(lián)考22題.本題第（3）問(wèn)的背景是重期望（或全期望）公式：對(duì)隨機(jī)變量和，總有.
25．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）為切實(shí)做好新冠疫情防控工作，有效、及時(shí)地控制和消除新冠肺炎的危害，增加學(xué)生對(duì)新冠肺炎預(yù)防知識(shí)的了解，某校舉辦了一次“新冠疫情”知識(shí)競(jìng)賽.競(jìng)賽分個(gè)人賽和團(tuán)體賽兩種.個(gè)人賽參賽方式為：組委會(huì)采取電腦出題的方式，從題庫(kù)中隨機(jī)出10道題，編號(hào)為，，，，，，電腦依次出題，參賽選手按規(guī)則作答，每答對(duì)一道題得10分，答錯(cuò)得0分.團(tuán)體賽以班級(jí)為單位，各班參賽人數(shù)必須為3的倍數(shù)，且不少于18人，團(tuán)體賽分預(yù)賽和決賽兩個(gè)階段，其中預(yù)賽階段各班可從以下兩種參賽方案中任選一種參賽：
方案一：將班級(jí)選派的名參賽選手每3人一組，分成組，電腦隨機(jī)分配給同一組的3名選手一道相同的試題，3人均獨(dú)立答題，若這3人中至少有2人回答正確，則該小組順利出線；若這個(gè)小組都順利出線，則該班級(jí)晉級(jí)決賽.
方案二：將班級(jí)選派的名參賽選手每人一組，分成3組，電腦隨機(jī)分配給同一組的名選手一道相同的試題，每人均獨(dú)立答題，若這個(gè)人都回答正確，則該小組順利出線；若這3個(gè)小組中至少有2個(gè)小組順利出線，則該班級(jí)晉級(jí)決賽.
(1)郭靖同學(xué)參加了個(gè)人賽，已知郭靖同學(xué)答對(duì)題庫(kù)中每道題的概率均為，每次作答結(jié)果相互獨(dú)立，且他不會(huì)主動(dòng)放棄任何一次作答機(jī)會(huì)，求郭靖同學(xué)得分的數(shù)學(xué)期望與方差；
(2)在團(tuán)體賽預(yù)賽中，假設(shè)A班每位參賽選手答對(duì)試題的概率均為常數(shù)，A班為使晉級(jí)團(tuán)體賽決賽的可能性更大，應(yīng)選擇哪種參賽方式？請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)
(2)選擇方案一，理由見解析
【分析】（1）設(shè)郭靖同學(xué)答對(duì)的題目數(shù)為X，得分為Y，由題意確定，根據(jù)二項(xiàng)分布的期望和方差的性質(zhì)，即可求得答案.
（2）設(shè)A班選擇方案一和方案二晉級(jí)團(tuán)體賽決賽的概率分別為，分別求出的表達(dá)式，作差并利用構(gòu)造函數(shù)判斷的大小，即可得到結(jié)論.
【詳解】（1）設(shè)郭靖同學(xué)答對(duì)的題目數(shù)為X，得分為Y，則，
由題意可知,
則;
.
（2）設(shè)A班選擇方案一和方案二晉級(jí)團(tuán)體賽決賽的概率分別為，
當(dāng)選擇方案一時(shí)，小組里3人中至少有2人回答正確的概率為，
故；
當(dāng)選擇方案二時(shí)，一個(gè)小組順利出線的概率為，則小組沒有出線的概率為，
故；
故，
令，
則
，
因?yàn)椋裕?br>故，
則，即，
故為單調(diào)增函數(shù)，
因?yàn)椋?br>由于各班參賽人數(shù)必須為3的倍數(shù)，且不少于18人，即，
此時(shí)
故A班為使晉級(jí)團(tuán)體賽決賽的可能性更大，應(yīng)選擇方案一參賽.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題為概率類綜合題目，題目背景較為復(fù)雜，因而解答的關(guān)鍵是要明確題目含義，明確變量服從二項(xiàng)分布，從而作答，難點(diǎn)在于第二問(wèn)求得方案一二的概率表達(dá)式，并進(jìn)行大小比較.
26．（2023·安徽黃山·屯溪一中?？寄M預(yù)測(cè)）現(xiàn)有一種不斷分裂的細(xì)胞，每個(gè)時(shí)間周期內(nèi)分裂一次，一個(gè)細(xì)胞每次分裂能生成一個(gè)或兩個(gè)新的細(xì)胞，每次分裂后原細(xì)胞消失，設(shè)每次分裂成一個(gè)新細(xì)胞的概率為，分裂成兩個(gè)新細(xì)胞的概率為；新細(xì)胞在下一個(gè)周期內(nèi)可以繼續(xù)分裂，每個(gè)細(xì)胞間相互獨(dú)立.設(shè)有一個(gè)初始的細(xì)胞，在第一個(gè)周期中開始分裂，其中.
(1)設(shè)結(jié)束后，細(xì)胞的數(shù)量為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)設(shè)結(jié)束后，細(xì)胞數(shù)量為的概率為 .
（i）求；
（ii）證明：.
【答案】(1)分布列見解析，
(2)（i）；（ii）證明見解析
【分析】（1）求出的取值及不同取值對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而列出分布列，利用期望公式求出期望；
（2）（i）求出第時(shí)分裂為個(gè)細(xì)胞的概率，再用等比數(shù)列求和公式，即可求解；
（ii）求出第時(shí)分裂為個(gè)細(xì)胞的概率，再用等比數(shù)列求和公式，求出，再利用導(dǎo)數(shù)法確定函數(shù)的單調(diào)性，從而確定最值，即可得證.
【詳解】（1）個(gè)結(jié)束后，的取值可能為,其中,
，
，，
所以分布列為
.
（2）（i）表示分裂結(jié)束后共有個(gè)細(xì)胞的概率，則必在某一個(gè)周期結(jié)束后分裂成個(gè)細(xì)胞. 不妨設(shè)在第時(shí)分裂為個(gè)細(xì)胞，之后一直有個(gè)細(xì)胞，
此事件概率，
所以
.
（ii）代表分裂后有個(gè)細(xì)胞的概率，設(shè)細(xì)胞在后分裂為個(gè)新的細(xì)胞，這兩個(gè)細(xì)胞在剩下的中，其中一個(gè)分裂為個(gè)細(xì)胞，一個(gè)保持一直分裂為個(gè)細(xì)胞，此事件的概率
，
得，
，
其中，.
令,，
記，,令，得.
當(dāng),,遞增；
當(dāng)，,遞減.
故，
也就是.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解的關(guān)鍵有兩個(gè)，一是求解時(shí)，利用等比數(shù)列的知識(shí)求解；二是求解的最值時(shí)，根據(jù)解析式的特點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求解.
27．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）2023年3月某學(xué)校舉辦了春季科技體育節(jié)，其中安排的女排賽事共有12個(gè)班級(jí)作為參賽隊(duì)伍，本次比賽啟用了新的排球用球已知這種球的質(zhì)量指標(biāo)（單位：g）服從正態(tài)分布，其中，.比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每支球隊(duì)進(jìn)行11場(chǎng)比賽，最后靠積分選出最后冠軍，積分規(guī)則如下（比賽采取5局3勝制）：比賽中以3：0或3：1取勝的球隊(duì)積3分，負(fù)隊(duì)積0分；而在比賽中以3：2取勝的球隊(duì)積2分，負(fù)隊(duì)積1分.9輪過(guò)后，積分榜上的前2名分別為1班排球隊(duì)和2班排球隊(duì)，1班排球隊(duì)積26分，2班排球隊(duì)積22分.第10輪1班排球隊(duì)對(duì)抗3班排球隊(duì)，設(shè)每局比賽1班排球隊(duì)取勝的概率為.
(1)令，則，且，求，并證明：；
(2)第10輪比賽中，記1班排球隊(duì)3：1取勝的概率為，求出的最大值點(diǎn)，并以作為的值，解決下列問(wèn)題.
（?。┰诘?0輪比賽中，1班排球隊(duì)所得積分為，求的分布列；
（ⅱ）已知第10輪2班排球隊(duì)積3分，判斷1班排球隊(duì)能否提前一輪奪得冠軍（第10輪過(guò)后，無(wú)論最后一輪即第11輪結(jié)果如何，1班排球隊(duì)積分最多）？若能，求出相應(yīng)的概率；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.
參考數(shù)據(jù)：，則，，.
【答案】(1)0.02275；證明見解析.
(2)（?。┓植剂幸娊馕?br>（ⅱ）能，.
【分析】（1）利用正態(tài)分布的對(duì)稱性即可求得結(jié)果；
（2）先利用導(dǎo)數(shù)求出，再利用離散型隨機(jī)變量及其分布列即可求得結(jié)果.
【詳解】（1），又，
所以.
因?yàn)椋鶕?jù)正態(tài)曲線對(duì)稱性，，
又因?yàn)?，所?
（2），
.
令，得.
當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，在上為減函數(shù).
所以的最大值點(diǎn)，從而.
（ⅰ）的可能取值為3，2，1，0.
，，
，，
所以的分布列為
（ⅱ）若，則1班10輪后的總積分為29分，2班即便第10輪和第11輪都積3分，
則11輪過(guò)后的總積分是28分，，所以，1班如果第10輪積3分，
則可提前一輪奪得冠軍，其概率為.
28．（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考二模）某種抗病毒疫苗進(jìn)行動(dòng)物實(shí)驗(yàn)，將疫苗注射到甲乙兩地一些小白鼠體內(nèi)，小白鼠血樣某項(xiàng)指標(biāo)X值滿足12.2≤X≤21.8時(shí)，小白鼠產(chǎn)生抗體．從注射過(guò)疫苗的小白鼠中用分層抽樣的方法抽取了210只進(jìn)行X值檢測(cè)，其中甲地120只小白鼠的X值平均數(shù)和方差分別為14和6，乙地90只小白鼠的X值平均數(shù)和方差分別為21和17，這210只小白鼠的X值平均數(shù)與方差分別為，（與均取整數(shù)）．用這210只小白鼠為樣本估計(jì)注射過(guò)疫苗小白鼠的總體，設(shè)．
(1)求，；
(2)小白鼠注射疫苗后是否產(chǎn)生抗體相互獨(dú)立，已知注射過(guò)疫苗的N只小白鼠中有102只產(chǎn)生抗體，試估計(jì)N的可能值（以使得P（K=102）最大的N的值作為N的估計(jì)值）；
(3)對(duì)這些小白鼠進(jìn)行第二次疫苗注射后，有99.1%的小白鼠產(chǎn)生了抗體，再對(duì)這些小白鼠血樣的X值進(jìn)行分組檢測(cè)，若每組n（n≤50）只小白鼠混合血樣的X值在特定區(qū)間內(nèi)，就認(rèn)為這n只小白鼠全部產(chǎn)生抗體，否則要對(duì)n只小白鼠逐個(gè)檢測(cè)．已知單獨(dú)檢驗(yàn)一只小白鼠血樣的檢測(cè)費(fèi)用為10元，n只小白鼠混合血樣的檢測(cè)費(fèi)用為n+9元．試給出n的估計(jì)值，使平均每只小白鼠的檢測(cè)費(fèi)用最小，并求出這個(gè)最小值（精確到0.1元）．
附：若，則，．
參考數(shù)據(jù)：，，，．
【答案】(1)17，23
(2)N的估計(jì)值為149或150
(3)每只小白鼠平均檢測(cè)費(fèi)用的最小值約為2.8元，n的估計(jì)值為10
【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)和方差的計(jì)算公式或者利用方差的性質(zhì)即可求解，
（2）利用二項(xiàng)分布的概率計(jì)算公式，利用單調(diào)性即可求解，或者列不等式求解的范圍即可求解，
（3）利用二項(xiàng)式定理求解近似值，結(jié)合基本不等式即可求解.
【詳解】（1）法1：
記甲地小白鼠樣本X值的平均數(shù)為，方差為；記乙地小白鼠樣本X值的平均數(shù)為，方差為，則，，，，所以
．,
法2：記甲地小白鼠樣本的X值為x1，x2，…，x120，平均數(shù)為，方差為；記乙地小白鼠樣本的X值為y1，y2，…，y90，平均數(shù)為，方差為．
因?yàn)椋?，，．所以?br>由，，可得
．
同理，于是
．
（2）法1：因?yàn)?，所以?br>從注射過(guò)疫苗的小白鼠取出N只，其中產(chǎn)生抗體的有K只，則K～B（N，0.68），
．
當(dāng)N

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