類型一、豬腳模型
例．問題情境：如圖①，直線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上．
(1)猜想：若，，試猜想______°；
(2)探究：在圖①中探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
(3)拓展：將圖①變?yōu)閳D②，若，，求的度數(shù)．
【變式訓(xùn)練1】已知直線，直線EF分別與直線a，b相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)A，B分別在直線a，b上，且在直線EF的左側(cè)，點(diǎn)P是直線EF上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)E，F(xiàn)重合)，設(shè)∠PAE＝∠1，∠APB＝∠2，∠PBF＝∠3．
(1)如圖，當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試說明∠1＋∠3＝∠2；
(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段EF外運(yùn)動(dòng)時(shí)有兩種情況．
①如圖2寫出∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系并給出證明；
②如圖3所示，猜想∠1，∠2，∠3之間的關(guān)系(不要求證明)．
【變式訓(xùn)練2】閱讀下面內(nèi)容，并解答問題．
已知：如圖1，，直線分別交，于點(diǎn)，．的平分線與的平分線交于點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)填空，并從下列①、②兩題中任選一題說明理由．我選擇 題．
①在圖1的基礎(chǔ)上，分別作的平分線與的平分線交于點(diǎn)，得到圖2，則的度數(shù)為 ．
②如圖3，，直線分別交，于點(diǎn)，．點(diǎn)在直線，之間，且在直線右側(cè)，的平分線與的平分線交于點(diǎn)，則與滿足的數(shù)量關(guān)系為 ．
【變式訓(xùn)練3】如圖：
(1)如圖1，，，，直接寫出的度數(shù)．
(2)如圖2，，點(diǎn)為直線，間的一點(diǎn)，平分，平分，寫出與之間的關(guān)系并說明理由．
(3)如圖3，與相交于點(diǎn)，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，平分，平分，若，，直接寫出的度數(shù)．
類型二、鉛筆模型
例．問題情景：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，求∠APC的度數(shù)．
(1)麗麗同學(xué)看過圖形后立即口答出：∠APC＝85°，請補(bǔ)全她的推理依據(jù)．
如圖2，過點(diǎn)P作PE∥AB，
因?yàn)锳B∥CD，所以PE∥CD．( )
所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．( )
因?yàn)椤螾AB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，
∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．
問題遷移：
(2)如圖3，AD∥BC，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD與∠α、∠β之間有什么數(shù)量關(guān)系？請說明理由．
(3)在(2)的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合)，請直接寫出∠CPD與∠α、∠β之間的數(shù)量關(guān)系．

【變式訓(xùn)練1】已知，直線AB∥CD
(1)如圖(1)，點(diǎn)G為AB、CD間的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AG、CG．若∠A=140°，∠C=150°，則∠AGC的度數(shù)是多少？
(2)如圖(2)，點(diǎn)G為AB、CD間的一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)AG、CG．∠A=x°，∠C=y°，則∠AGC的度數(shù)是多少？
(3)如圖(3)，寫出∠BAE、∠AEF、∠EFG、∠FGC、∠GCD之間有何關(guān)系？直接寫出結(jié)論．
【變式訓(xùn)練2】問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度數(shù)．
思路點(diǎn)撥：
小明的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)，可分別求出∠APE、∠CPE的度數(shù)，從而可求出∠APC的度數(shù)；
小麗的思路是：如圖3，連接AC，通過平行線性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和的知識(shí)可求出∠APC的度數(shù)；
小芳的思路是：如圖4，延長AP交DC的延長線于E，通過平行線性質(zhì)以及三角形外角的相關(guān)知識(shí)可求出∠APC的度數(shù)．
問題解決：請從小明、小麗、小芳的思路中任選一種思路進(jìn)行推理計(jì)算，你求得的∠APC的度數(shù)為 °；
問題遷移：(1)如圖5，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；
(2)在(1)的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合)，請你直接寫出∠CPD、∠α、∠β間的數(shù)量關(guān)系．
類型三、鋤頭模型
例．已知，AB∥CD．點(diǎn)M在AB上，點(diǎn)N在CD上．
(1)如圖1中，∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關(guān)系為： ；(不需要證明)
如圖2中，∠BMF、∠F、∠FND的數(shù)量關(guān)系為： ；(不需要證明)
(2)如圖3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度數(shù)；
(3)如圖4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，則∠FEQ的大小是否發(fā)生變化，若變化，請說明理由，若不變化，求出∠FEQ的度數(shù)．
【變式訓(xùn)練1】(1)如圖(1)AB∥CD，猜想∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，說出理由．
(2)觀察圖(2)，已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，并說明理由．
(3)觀察圖(3)和(4)，已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關(guān)系，不需要說明理由．
【變式訓(xùn)練2】已知，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，于．
(1)如圖1，點(diǎn)在兩條平行線外，則與之間的數(shù)量關(guān)系為______；
(2)點(diǎn)在兩條平行線之間，過點(diǎn)作于點(diǎn)．
①如圖2，說明成立的理由；
②如圖3，平分交于點(diǎn)平分交于點(diǎn)．若，求的度數(shù)．
類型四、齒距模型
例．如圖，AB∥EF，設(shè)∠C＝90°，那么x，y，z的關(guān)系式為______．
【變式訓(xùn)練1】如圖1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；
(1)若∠E＝60°，則∠F＝ ；
(2)請?zhí)剿鳌螮與∠F之間滿足的數(shù)量關(guān)系？說明理由；
(3)如圖2，已知EP平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠EFD，反向延長FG交EP于點(diǎn)P，求∠P的度數(shù)．
【變式訓(xùn)練2】如圖1，點(diǎn)、分別在直線、上，，.
(1)求證：；(提示：可延長交于點(diǎn)進(jìn)行證明)
(2)如圖2，平分，平分，若，求與之間的數(shù)量關(guān)系；
(3)在(2)的條件下，如圖3，平分，點(diǎn)在射線上，，若，直接寫出的度數(shù)．

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