高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題
考生須知：
1．本卷共4頁(yè)滿分 150分，考試時(shí)間120分鐘．
2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字．
3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無(wú)效．
4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．
選擇題部分
一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共 40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中， 只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1. 已知集合， 則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用交集的定義求解即得.
【詳解】集合，所以.
故選：B
2. 命題“”的否定是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用全稱量詞命題的否定寫出結(jié)論，即可判斷得解.
【詳解】命題“”全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，
所以命題“”的否定是：.
故選：B
3. 已知定義在上的冪函數(shù)，則（ ）
A. 0B. C. 1D. 不確定
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)常見冪函數(shù)的圖象特點(diǎn)求解即可.
【詳解】由題意函數(shù)過點(diǎn)，，
所以.
故選：B.
4. 已知，則下列正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性結(jié)合中間值“1”分析判斷.
【詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，且，
可得，即，
又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，
可得，
所以.
故選：A.
5. 對(duì)，恒有成立， 則的值為 （ ）
A. 1B. 2C. 4D. 不能確定
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)一元一次方程的特點(diǎn)即可得到答案.
【詳解】由題意得，則，所以，
故選：C.
6. 若 “”是“”的一個(gè)充分不必要條件，則的取值范圍是（ ）
A. B. 或C. 或D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)是的一個(gè)充分不必要條件，可得是的真子集，進(jìn)而得出結(jié)論.
【詳解】由題意得，
設(shè)，
則，
設(shè)，
則，
若 “”是“”的一個(gè)充分不必要條件，
即是的一個(gè)充分不必要條件，
所以是的真子集，
所以或，
所以或，
故選：C
7. 已知，y滿足 則 的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件消去并求出的范圍，再借助二次函數(shù)求出值域即可.
【詳解】由消去得：，即，
解得，由，得，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，，
所以的取值范圍是.
故選：D
8. 如圖，將邊長(zhǎng)為的正方形 ABCD沿軸正向滾動(dòng)，先以A為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)B落在軸時(shí)，又以B為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，如此下去，設(shè)頂點(diǎn)C滾動(dòng)時(shí)的曲線方程為， 則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的為（ ）
A. B.
C. D. 在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增
【答案】C
【解析】
【分析】由題意，根據(jù)正方形的運(yùn)動(dòng)關(guān)系得到時(shí)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，推出函數(shù)的周期性，可判斷AB選項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，C點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的的圓，可判斷C選項(xiàng)；根據(jù)函數(shù)的圖象與周期性可判斷D選項(xiàng).
【詳解】已知四邊形為邊長(zhǎng)是的正方形，則對(duì)角線為，
由正方形的滾動(dòng)軌跡可知，
當(dāng)時(shí)，位于點(diǎn)，即；
當(dāng)時(shí)，位于點(diǎn)，即，故A正確；
當(dāng)時(shí)，位于點(diǎn)，即；
當(dāng)時(shí)，位于點(diǎn)，即；
當(dāng)時(shí)，位于點(diǎn)，即；
所以，則的周期為，
所以，故B正確；
當(dāng)時(shí)，C點(diǎn)的軌跡是以為圓心，為半徑的的圓，
此時(shí)軌跡方程為，故C錯(cuò)誤；
由函數(shù)的圖像與周期性可知在單調(diào)遞增，
而，，
所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，故D正確.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 已知集合 為單元素集，則a的可能取值為（ ）
A. 0B. 2C. -1D. 4
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據(jù)集合A為單元素集，分和，利用判別式法求解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，，
即，解得或，
故選：ABC
10. 已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 函數(shù)的定義域?yàn)锽. 函數(shù)是偶函數(shù)
C. 函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增D. 函數(shù)值域?yàn)?br>【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)有意義求解函數(shù)的定義域，進(jìn)而判斷AC選項(xiàng)；結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義判斷B選項(xiàng)；結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)值域，進(jìn)而判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A，由，得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故AC錯(cuò)誤；
對(duì)于B，由A知函數(shù)的定義域?yàn)椋郑?br>所以函數(shù)是偶函數(shù)，故B正確；
對(duì)于D，因?yàn)椋瑒t，
所以函數(shù)值域?yàn)?，故D正確.
故選：BD.
11. 以下命題為真命題的是（ ）
A. 若，則 B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】若，則同號(hào)，且，則成立，故A正確；
若，則，則，即，所以，故B正確；
若，則，故C錯(cuò)誤；
若，則，則，故D正確
故選：ABD.
12. 已知， 則下列正確的是（ ）
A. 的最小值為B. 的取值范圍為
C. 的最小值為5D. 的最小值為20
【答案】BC
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，由基本不等式，求出，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，先求出，從而得到；C選項(xiàng)，，由基本不等式“1”的妙用求出答案；D選項(xiàng)，舉出反例即可.
【詳解】A選項(xiàng)，因?yàn)?，由基本不等式得?br>，即，解得，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為，A錯(cuò)誤；
B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，解得?br>故，故的取值范圍為，B正確；
C選項(xiàng)，，
因?yàn)椋杂苫静坏仁降茫?br>，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
故，故C正確；
D選項(xiàng)，不妨令，
此時(shí)，故的最小值不是20，D錯(cuò)誤.
故選：BC
非選擇題部分
三、填空題：本大題共4小題，每題5分，共 20分．把答案填在題中的橫線上．
13. ______________
【答案】
【解析】
【分析】利用根式及指數(shù)運(yùn)算計(jì)算即得.
【詳解】.
故答案為：
14. 函數(shù)的定義域?yàn)開_____.
【答案】且
【解析】
【分析】由根式函數(shù)和分式函數(shù)的定義域求解.
詳解】由，解得且，
所以函數(shù)的定義域?yàn)榍?br>故答案為：且
15. 已知是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求解
【詳解】時(shí)，，是奇函數(shù)，
此時(shí)
故答案為：
16. 若函數(shù) 若在既有最大值，又有最小值， 則的最大值為______________．
【答案】3
【解析】
【分析】根據(jù)給定的分段函數(shù)，分段探討函數(shù)的取值，再利用函數(shù)在開區(qū)間上既有最大值，又有最小值，列式求解即得.
【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)值從1遞增到2，
在上單調(diào)遞減，函數(shù)值集合為，當(dāng)時(shí)，由，得，
當(dāng)時(shí)，由，得，
由在既有最大值，又有最小值，得，因此，
所以的最大值為3.
故答案為：3
四、解答題：本大題共5小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟．
17. 已知集合
（1）若， 求；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意求集合，進(jìn)而可求并集；
（2）根據(jù)列式求解，注意非空集合的理解.
【小問1詳解】
由題意可得：，
若，則，所以.
【小問2詳解】
因?yàn)椋?br>則，解得
所以實(shí)數(shù)的取值范圍.
18. 已知
（1）若 求的值．
（2）若 求的值．
【答案】（1）或；
（2）.
【解析】
【分析】（1）分類討論和，帶入解析式求出就即可.
（2）先換元法另，分類討論和求出，再分類討論和求出即可.
【小問1詳解】
若時(shí)，
，
若時(shí)，
（舍）或，
綜上所述或；
【小問2詳解】
令，則,
當(dāng)時(shí)，由已知條件得，
得，
當(dāng)時(shí)，由得（舍去），
當(dāng)時(shí)，由得（正值舍去），
當(dāng)時(shí)，由，得（舍去），，
若，，（舍）
若，，無(wú)實(shí)數(shù)解，舍去，
綜上所述.
19. 關(guān)于有不等式
（1）當(dāng)時(shí)， 解不等式．
（2）若不等式僅有一解，求的最小值．
【答案】（1）；
（2）4.
【解析】
【分析】（1）把代入，解一元二次不等式即得.
（2）由給定條件，可得，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，不等式，解得，
所以原不等式的解集為.
【小問2詳解】
由不等式僅有一解，得，且，
于是，，由兩邊除b，得，
因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.
20. 已知定義域?yàn)镽 的函數(shù) 是奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)的值．
（2）試判斷的單調(diào)性，并用定義證明．
（3）解關(guān)于的不等式
【答案】（1）
（2）在R上為增函數(shù)，證明見解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)求出即可.
（2）判斷在R上是增函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可.
（3）利用奇函數(shù)的性質(zhì)和單調(diào)性將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，解指數(shù)不等式即可求得.
【小問1詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，
所以，
即恒成立，
所以．
【小問2詳解】
在R上為增函數(shù)，證明如下：
由于，
任取且，
則．
因?yàn)?，所以，又?br>所以，
所以函數(shù)在R上為增函數(shù).
【小問3詳解】
由（2）得，奇函數(shù)在R上為增函數(shù)，
，
即，
令，
則，
可得，
即
可得不等式的解集為．
21. 電動(dòng)出租車司機(jī)小李到商場(chǎng)里充電，充電費(fèi)用由電費(fèi)和服務(wù)費(fèi)兩部分組成，即電費(fèi)=（電價(jià)+服務(wù)費(fèi)）×度數(shù)，商場(chǎng)采用按時(shí)間分不同時(shí)段計(jì)算，11：00-13：00時(shí)電費(fèi)是0.50元/度，服務(wù)費(fèi)0.35元/度，13：00-15：00時(shí)電費(fèi)1.15元/度，服務(wù)費(fèi)0.20元/度，假定在充電時(shí)候電量是均勻輸入的，車主小李充電30度需要60分鐘．
（1）小李到商場(chǎng) 12：40開始充電30度，問需要充電費(fèi)多少．
（2）若小李在某春運(yùn)期間第天的收入近似的滿足第天的充電費(fèi)近似的滿足 記盈利比=，試問哪天的盈利比最大．
【答案】（1）35.5元
（2）當(dāng)時(shí)，盈利比取到最大值
【解析】
【分析】(1)根據(jù)題意，分別計(jì)算在12:40-13:00時(shí)充電10度，在13:00-15:00時(shí)充電20度的費(fèi)用即可.
(2)由題意得，根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，分析記盈利比的單調(diào)性即可求出答案.
【小問1詳解】
因?yàn)?1：00-13：00時(shí)電費(fèi)是0.50元/度，服務(wù)費(fèi)0.35元/度，13：00-15：00時(shí)電費(fèi)1.15元/度，服務(wù)費(fèi)0.20元/度，車主小李充電30度需要60分鐘，即2分鐘充電1度，
所以小李到商場(chǎng) 12：40開始充電30度，
則在11：00-13：00時(shí)段充電10度，
此時(shí)費(fèi)用為元，
在13：00-15：00時(shí)段充電20度，
此時(shí)費(fèi)用元，
所以，總充電費(fèi)用元
小問2詳解】
在遞減，而在遞增，
所以投入比的最大值不可能在上取到；
當(dāng)時(shí)，盈利比，
當(dāng)時(shí)，盈利比取到最大值．
22. 已知函數(shù)
（1）若在上單調(diào)遞增，求m的取值范圍．
（2）若，對(duì)任意的總存在使得 成立，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）分析復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，由同增異減可求出.
（2）若，對(duì)任意的總存在使得 成立，只需，再分別求出符合定義域條件的最大值比較即可.
小問1詳解】
因?yàn)?，設(shè)，
則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
所以，
所以，
所以的取值范圍為
【小問2詳解】
因?yàn)椋瑢?duì)任意的總存在使得 成立，
所以只需，
由（1）可知在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，帶入解析式可得
，
而開口向上，對(duì)稱軸，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
，
所以，解得，舍去；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
所以解得，
因?yàn)椋〗患?br>所以
當(dāng)時(shí)，
若，即時(shí)，
所以，解得，與假設(shè)不符合，舍去；
若，即時(shí)，
所以，解得，不符合，故舍去，
若，即時(shí)，
所以，解得與假設(shè)不符，故舍去；

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