一、單選題
1．已知，若，則的坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用向量數(shù)乘運(yùn)算法則直接計(jì)算即可.
【詳解】∵，∴.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查空間向量數(shù)乘運(yùn)算，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問(wèn)題的能力，屬于簡(jiǎn)單題.
2．如圖，在直三棱柱中，E為棱的中點(diǎn).設(shè)，，，則（ ）

A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由空間向量線(xiàn)性運(yùn)算即可求解.
【詳解】由題意可得
.
故選：A.
3．已知平行四邊形ABCD中，A（4，1，3），，，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（ ）
A．B．（2，3，1）
C．D．
【答案】D
【分析】利用，代入坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解.
【詳解】因?yàn)樗倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以?br>設(shè)點(diǎn)，，，
所以，解得：，，，
即定點(diǎn)的坐標(biāo)是.
故選：D
4．已知，（其中是兩兩垂直的單位向量），則與的數(shù)量積等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由向量是兩兩垂直的單位向量，得到，，結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，即可求解.
【詳解】由題意，向量是兩兩垂直的單位向量，
設(shè)，，則，，
所以．
故選：A.
5．若直線(xiàn)的方向向量為，平面的法向量為，且，則（ ）
A．2B．4C．D．5
【答案】C
【分析】由題設(shè)知：直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量垂直，即，即可求m.
【詳解】由題設(shè)知：，
∴.
故選：C
6．已知空間向量、、、、，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】利用空間向量的加法和減法法則可判斷各選項(xiàng)的正誤.
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B選項(xiàng)，，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C選項(xiàng)，，C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D選項(xiàng)，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：C.
7．點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為( )
A． B． C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)不變，而豎坐標(biāo)互為相反數(shù)可得答案.
【詳解】∵點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)不變，而豎坐標(biāo)互為相反數(shù)，
∴點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為.
故選：A.
8．已知，，且與互相垂直，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，由空間向量的坐標(biāo)計(jì)算可得， ，，，2，，進(jìn)而由兩個(gè)向量垂直可得，解可得的值，即可得答案．
【詳解】解：根據(jù)題意，向量 .，，則， ，，，2，，
若向量.與.互相垂直，則有，
解可得：；
故選：D.
二、多選題
9．以下關(guān)于向量的說(shuō)法正確的有（ ）
A．若＝，則＝
B．若將所有空間單位向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)，則終點(diǎn)圍成一個(gè)圓
C．若＝－且＝－，則=
D．若與共線(xiàn)，與共線(xiàn)，則與共線(xiàn)
【答案】AC
【分析】根據(jù)向量的基本概念和性質(zhì)即可逐項(xiàng)判斷.
【詳解】若＝，則和的大小相等，方向相同，故A正確；
將所有空間單位向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)，則終點(diǎn)圍成一個(gè)球，故B錯(cuò)誤；
若＝－，＝－，則＝－=，故C正確；
若與共線(xiàn)，與共線(xiàn)，則當(dāng)時(shí)，無(wú)法判斷與的關(guān)系，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
10．若(2，－3，1)是平面α的一個(gè)法向量，則下列向量中能作為平面α的法向量的是（ ）
A．(，3，)B． (200，，100)
C． (，，)D． (，3，0)
【答案】ABC
【分析】因?yàn)橥粋€(gè)平面的法向量共線(xiàn)，所以可利用向量共線(xiàn)的判定進(jìn)行求解.
【詳解】因?yàn)椋?,
所以與，，均共線(xiàn)，與不共線(xiàn)，
所以，，可以作為平面α的法向量
故選：ABC.
11．下列結(jié)論正確的是（ ）
A．直線(xiàn)的方向向量是唯一確定的.
B．平面的單位法向量是唯一確定的.
C．若兩平面的法向量平行，則兩平面平行.
D．若兩直線(xiàn)的方向向量不平行，則兩直線(xiàn)不平行.
【答案】CD
【分析】利用直線(xiàn)的方向向量、平面的單位法向量的定義可判斷A，B；利用向量判定空間線(xiàn)面位置關(guān)系的方法可判斷C，D作答.
【詳解】對(duì)于A，因與直線(xiàn)平行的任何非零向量都是直線(xiàn)的方向向量，A不正確；
對(duì)于B，因與平面垂直的直線(xiàn)的方向向量都是平面的法向量，法向量方向不唯一，則平面的單位法向量也不唯一，B不正確；
對(duì)于C，因兩平面的法向量平行，即這二平面可以垂直于同一直線(xiàn)，則二平面平行，C正確；
對(duì)于D，若兩直線(xiàn)平行，則它們的方向向量平行與已知兩直線(xiàn)的方向向量不平行矛盾，即兩直線(xiàn)平行是錯(cuò)的，則兩直線(xiàn)不平行，D正確.
故選：CD
12．在正方體中，若，，，則下列正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】根據(jù)空間向量基本定理，用作為一組基底表示出空間向量，即可得到.
【詳解】由已知可得，不共面，則可以作為空間向量的一組基底.
對(duì)于A項(xiàng)，，故A項(xiàng)正確；
對(duì)于B項(xiàng)，，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C項(xiàng)，，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)，，故D項(xiàng)正確.
故選：AD.
三、填空題
13．直線(xiàn)的方向向量是，平面的法向量，若直線(xiàn)，則 .
【答案】1
【分析】結(jié)合已知條件可得，然后利用垂直向量的數(shù)量積為0即可求解.
【詳解】由題意可知，，
因?yàn)椋?br>從而，解得.
故答案為：1.
14．已知向量，，且，則實(shí)數(shù) .
【答案】
【分析】利用向量平行的條件直接解出.
【詳解】因?yàn)橄蛄?，，且?
所以，解得.
故答案為： .
15．已知空間向量，則 .
【答案】
【分析】由空間向量的減法法則求得向量的坐標(biāo)，然后由模的定義計(jì)算．
【詳解】因?yàn)椋?
故答案為：．
16．已知空間中三點(diǎn)，，，則以向量、為一組鄰邊的平行四邊形的面積為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)空間中兩點(diǎn)間的距離公式，判斷出三角形為等邊三角形即可進(jìn)一步求解.
【詳解】，
，
，
所以為等邊三角形，
所以，
平行四邊形的面積為.
故答案為：.
四、解答題
17．已知向量，，，計(jì)算下列各式的值．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)空間向量模的運(yùn)算即可得到答案；
（2）根據(jù)空間向量的夾角運(yùn)算即可得到答案．
【詳解】（1）由題意，，
則．
（2）由題意，．
五、證明題
18．在正四棱柱中，，是棱 上的中點(diǎn)．

(1)求證：；
(2)異面直線(xiàn)與所成角的余弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量證明線(xiàn)線(xiàn)垂直；
（2）在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上，利用空間向量求解異面直角的夾角余弦值．
【詳解】（1）證明：以為原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)椋?br>所以，
，
，
所以；

（2），
設(shè)異面直線(xiàn)與所成角的大小為，
則，
故異面直線(xiàn)AM與BC所成角的余弦值為．
六、解答題
19．如圖所示，在四棱錐中，底面是直角梯形，，⊥底面，且，，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，分別求平面與平面的一個(gè)法向量．

【答案】答案見(jiàn)解析
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，平面的法向量可直接寫(xiě)出，設(shè)出平面的法向量，根據(jù)垂直關(guān)系列出方程組，求出答案.
【詳解】∵⊥底面，底面是直角梯形 且，
∴兩兩垂直．
以A點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，
則，易知向量是平面的一個(gè)法向量．
設(shè)為平面的法向量，
則即，
取，則，
所以平面的一個(gè)法向量為.
20．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱的中點(diǎn)，在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，求：
(1)平面的一個(gè)法向量；
(2)平面的一個(gè)法向量.
【答案】(1) (答案不唯一)
(2) (答案不唯一)
【分析】（1）利用線(xiàn)面垂直的判定定理求解法向量；
（2）利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求平面的法向量.
【詳解】（1）
由題意，可得,
連接AC，因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所?
又因?yàn)槠矫妫矫?，所以?br>且，則AC⊥平面，
∴為平面的一個(gè)法向量. (答案不唯一).
（2）
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則
令，得
∴即為平面的一個(gè)法向量.(答案不唯一).
21．如圖，在正方體中，棱長(zhǎng)為2，M，N分別為，AC的中點(diǎn)，證明：.
【答案】證明見(jiàn)解析.
【分析】連接，由中位線(xiàn)定理即可證明.
【詳解】連接,如圖，
由正方體知四邊形是正方形，且M是的中點(diǎn)，
所以，
即是的中點(diǎn)，
又N是AC的中點(diǎn)，
所以.
七、證明題
22．在正四棱柱中，，，E在線(xiàn)段上，且.

求證：平面DBE.
【答案】證明見(jiàn)解析
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，求出，，得到，，從而證明出線(xiàn)面垂直.
【詳解】在正四棱柱中，兩兩垂直，
以的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，，，，，，
，，，
于是，，即且，
而平面DBE，
所以平面DBE.

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