上海市黃浦區(qū)立達中學2023—2024學年上學期九年級期中數(shù)學試卷

這是一份上海市黃浦區(qū)立達中學2023—2024學年上學期九年級期中數(shù)學試卷，共29頁。試卷主要包含了填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
1．（4分）如果，且b是a和c的比例中項，那么（ ）
A．B．C．D．
2．（4分）如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、AC上的點，下列各比例式不一定能推得DE∥BC的是（ ）
A．B．C．D．
3．（4分）已知為非零向量，＝2，，不正確的是（ ）
A．||＝||B．＝﹣C．D．
4．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，那么csB的值是（ ）
A．B．C．D．2
5．（4分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，那么下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．a(chǎn)c＞0B．當x＞﹣1時，y＞0
C．b＝2aD．9a+3b+c＝0
6．（4分）如圖所示，一座拋物線形的拱橋在正常水位時，水面AB寬為20米，那么CD寬為（ ）
A．4米B．10米C．4米D．12米
二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）
7．（4分）計算：（﹣2）+2＝ ．
8．（4分）如果的值是黃金分割數(shù)，那么 ．
9．（4分）計算：sin230°+cs245°＝ ．
10．（4分）拋物線y＝x2﹣2x+1的對稱軸是直線 ．
11．（4分）拋物線y＝（m+3）x2+x﹣1在對稱軸右側(cè)的部分是上升的，那么m的取值范圍是 ．
12．（4分）如圖，飛機在目標B的正上方A處，飛行員測得地面目標C的俯角α＝30°，那么飛機離地面的高度AB等于 千米．（結(jié)果保留根號）
13．（4分）如果一個斜坡的坡度i＝1：，那么該斜坡的坡角為 度．
14．（4分）如圖，過△ABC的重心G作上ED∥AB分別交邊AC、BC于點E、D，聯(lián)結(jié)AD，AB＝6，那么EC＝ ．
15．（4分）如圖，AD是△ABC的中線，E是AD的中點，那么＝ ．
16．（4分）如圖，已知一張三角形紙片ABC，AB＝5，AC＝4，點M在AC邊上．如果過點M剪下一個與△ABC相似的小三角形紙片，設AM＝x，那么x的取值范圍是 ．
17．（4分）如圖，將正方形紙片進行如下操作：對折正方形ABCD得折痕EF，連接CE，點B對應點H，得折痕CG，則＝ ．
三、解答題（本大題共7題，滿分78分）
19．（10分）計算：﹣+2cs245°．
20．（10分）如圖，已知在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，且DE＝BC．
（1）如果AC＝6，求AE的長；
（2）設＝，＝，試用、的線性組合表示向量．
21．（10分）如圖，已知拋物線y＝a（x﹣2）2﹣4（a≠0）與x軸交于原點O與點A，頂點為點B．
（1）求拋物線的表達式以及點A的坐標；
（2）已知點P（2，m）（m＞0），若△PAB的面積為6，求點P的坐標．
22．（10分）圖①是一種手機平板支架，由托板、支撐板和底座構(gòu)成，手機放置在托板上，托板長AB＝115mm，支撐板長CD＝70mm，且CB＝35mm，托板AB可繞點C轉(zhuǎn)動，∠CDE＝60°．
（1）若∠DCB＝70°時，求點A到直線DE的距離（計算結(jié)果精確到個位）；
（2）為了觀看舒適，把（1）中∠DCB＝70°調(diào)整為90°，再將CD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)，求CD旋轉(zhuǎn)的角度．
（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.8，cs50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin26.6°≈0.4，cs26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5，≈1.7）
23．（12分）已知四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD邊上的點
（1）如圖①，若四邊形ABCD是矩形，且DE⊥CF．求證：＝；
（2）如圖②，若四邊形ABCD是平行四邊形．試探究：當∠B與∠EGC滿足什么關(guān)系時，使得＝
24．（12分）在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（5，0）（如圖），經(jīng)過點A的拋物線y＝x2+bx+5與y軸相交于點B，頂點為點C．
（1）求此拋物線表達式與頂點C的坐標；
（2）求∠ABC的正弦值；
（3）將此拋物線向上平移，所得新拋物線的頂點為D，且△DCA與△ABC相似
25．（14分）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝42，csB＝，以點C為圓心，CM為半徑的⊙C交射線CD于點N，交射線CA于點G．
（1）求線段AD的長；
（2）設線段CM＝x，＝y(tǒng)，當點N在線段CD上時，并寫出x的取值范圍；
（3）聯(lián)結(jié)DM，當∠NMC＝2∠DMN時，求線段CM的長．
2023-2024學年上海市黃浦區(qū)立達中學九年級（上）期中數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（本大題共6題，每題4分，滿分24分）下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的
1．（4分）如果，且b是a和c的比例中項，那么（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)比例中項的概念可得a：b＝b：c，則可求得b：c值．
【解答】解：∵，b是a和c的比例中項，
即a：b＝b：c，
∴＝．
故選：D．
【點評】本題考查了比例線段，熟練掌握在線段a，b，c中，若b2＝ac，則b是a，c的比例中項是解題的關(guān)鍵．
2．（4分）如圖，D、E分別是△ABC的邊AB、AC上的點，下列各比例式不一定能推得DE∥BC的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理判斷即可．
【解答】解：∵，
∴DE∥BC，故A正確；
∵，
∴DE∥BC，故B正確；
∵，
∴DE∥BC，故D正確，
故選：C．
【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
3．（4分）已知為非零向量，＝2，，不正確的是（ ）
A．||＝||B．＝﹣C．D．
【分析】根據(jù)平面向量的加減運算法則求解即可．
【解答】解：∵為非零向量，，，
∴||＝||，，
∴6，，
∴A、C、D正確，
故選：B．
【點評】本題考查了平面向量，熟記平面向量的運算法則是解題的關(guān)鍵．
4．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，那么csB的值是（ ）
A．B．C．D．2
【分析】根據(jù)勾股定理求出BC的長，然后進行計算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，
∴BC＝＝＝，
∴csB＝＝，
故選：B．
【點評】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，熟練掌握正弦，余弦，正切的定義是解題的關(guān)鍵．
5．（4分）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，那么下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．a(chǎn)c＞0B．當x＞﹣1時，y＞0
C．b＝2aD．9a+3b+c＝0
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象逐一判斷即可．
【解答】解：A．由圖可知：
拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵拋物線與y軸的交點在y軸的正半軸，
∴c＞0，
∴ac＜6，
故A不符合題意；
B．設二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的另一個交點為（m，7），
∵拋物線的對稱軸是直線：x＝1，
∴＝1，
∴m＝3，
∴二次函數(shù)y＝ax8+bx+c（a≠0）的圖象與x軸的另一個交點為（3，7），
∴當﹣1＜x＜3時，y＞8，
故B不符合題意；
C．∵拋物線的對稱軸是直線：x＝1，
∴＝7，
∴b＝﹣2a，
故C不符合題意；
D．由B可得：二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠2）的圖象與x軸的另一個交點為（3，0），
∴把（4，0）代入y＝ax2+bx+c（a≠6）中可得：
9a+3b+c＝4，
故D符合題意；
故選：D．
【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，從圖象中獲取信息并結(jié)合圖象去分析是解題的關(guān)鍵．
6．（4分）如圖所示，一座拋物線形的拱橋在正常水位時，水面AB寬為20米，那么CD寬為（ ）
A．4米B．10米C．4米D．12米
【分析】以O點為坐標原點，AB的垂直平分線為y軸，過O點作y軸的垂線，建立直角坐標系，設拋物線的解析式為y＝ax2，由此可得A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），即可求函數(shù)解析式為y＝﹣x2，再將y＝﹣1代入解析式，求出C、D點的橫坐標即可求CD的長．
【解答】解：以O點為坐標原點，AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，
設拋物線的解析式為y＝ax2，
∵O點到水面AB的距離為4米，
∴A、B點的縱坐標為﹣3，
∵水面AB寬為20米，
∴A（﹣10，﹣4），﹣4），
將A代入y＝ax8，
﹣4＝100a，
∴a＝﹣，
∴y＝﹣x2，
∵水位上升3米就達到警戒水位CD，
∴C點的縱坐標為﹣4，
∴﹣1＝﹣x4，
∴x＝±5，
∴CD＝10，
故選：B．
【點評】本題考查二次函數(shù)的應用，根據(jù)題意建立合適的直角坐標系，在該坐標系下求二次函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（本大題共12題，每題4分，滿分48分）
7．（4分）計算：（﹣2）+2＝ + ．
【分析】根據(jù)平面向量的加法法則計算即可．
【解答】解：（﹣6＝﹣+6＝+．
故答案為：+．
【點評】本題考查平面向量的加法法則，解題的關(guān)鍵是掌握平面向量的加法法則，屬于中考?？碱}型．
8．（4分）如果的值是黃金分割數(shù)，那么 ．
【分析】由黃金分割的定義得＝，則2x＝（+1）y，即可得出答案．
【解答】解：∵的值是黃金分割數(shù)，
∴＝，
∴2x﹣2y＝（﹣1）y，
∴2x＝（+1）y，
∴＝，
故答案為：．
【點評】本題考查了黃金分割，熟記黃金分割值是解題的關(guān)鍵．
9．（4分）計算：sin230°+cs245°＝ ．
【分析】由特殊銳角三角函數(shù)值，代入計算即可．
【解答】解：原式＝（）2+（）5
＝+
＝，
故答案為：．
【點評】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，掌握特殊銳角的三角函數(shù)值是正確解答的前提．
10．（4分）拋物線y＝x2﹣2x+1的對稱軸是直線 x＝1 ．
【分析】根據(jù)對稱軸公式x＝﹣，可得答案．
【解答】解：∵﹣＝﹣，
∴拋物線y＝x2﹣2x+6的對稱軸是直線x＝1．
故答案為：x＝1．
【點評】本題考查了對稱軸公式的應用，關(guān)鍵找到拋物線中a和b的值，再進行代入求解．
11．（4分）拋物線y＝（m+3）x2+x﹣1在對稱軸右側(cè)的部分是上升的，那么m的取值范圍是 m＞﹣3 ．
【分析】拋物線開口向上時，拋物線在對稱軸右側(cè)的部分是上升的．
【解答】解：當拋物線對稱軸右側(cè)的部分是上升時，拋物線開口向上，
∴m+3＞0，
∴m＞﹣6，
故答案為：m＞﹣3．
【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．
12．（4分）如圖，飛機在目標B的正上方A處，飛行員測得地面目標C的俯角α＝30°，那么飛機離地面的高度AB等于 千米．（結(jié)果保留根號）
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可求出∠C的度數(shù)，再由特殊角的直角三角形的性質(zhì)即可解答．
【解答】解：如圖所示：
∵AD∥BC，
∴∠C＝∠DAC＝30°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴AB＝BC＝（米），
即飛機離地面的高度AB等于2米，
故答案為：2．
【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，熟練掌握含30°角的直角三角形的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．
13．（4分）如果一個斜坡的坡度i＝1：，那么該斜坡的坡角為 60 度．
【分析】坡度＝坡角的正切值，據(jù)此直接解答．
【解答】解：∵tanα＝＝＝，
∴∠α＝60°，
故答案為：60．
【點評】此題考查的是坡度和坡角的關(guān)系，坡角的正切等于坡度，坡角越大，坡度也越大，坡面越陡．
14．（4分）如圖，過△ABC的重心G作上ED∥AB分別交邊AC、BC于點E、D，聯(lián)結(jié)AD，AB＝6，那么EC＝ 8 ．
【分析】連接CG并延長，交AB于F．根據(jù)三角形重心的定義及性質(zhì)可得，AF＝BF＝AB＝3，CG：GF＝2：1，即＝．根據(jù)平行線分線段成比例定理得出＝＝，求出DG＝EG＝2，那么DE＝4．利用角平分線定義及平行線的性質(zhì)得出∠ADE＝∠DAC，那么AE＝DE＝4．再根據(jù)平行線分線段成比例定理即可求出CE＝8．
【解答】解：如圖，連接CG并延長．
∵G為△ABC的重心，
∴AF＝BF＝AB＝，CG：GF＝2：7，即＝．
∵ED∥AB，
∴＝＝，即＝＝，解得DG＝EG＝2，
∴DE＝DG+EG＝2+6＝4．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
∵DE∥AB，
∴∠ADE＝∠BAD，
∴∠ADE＝∠DAC，
∴AE＝DE＝4．
∵ED∥AB，
∴＝＝，即＝，解得CE＝8．
故答案為：6．
【點評】本題考查了三角形重心的定義及性質(zhì)，三角形的重心是三角形三邊中線的交點．重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1．也考查了平行線分線段成比例定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識．求出AE是解題的關(guān)鍵．
15．（4分）如圖，AD是△ABC的中線，E是AD的中點，那么＝ ．
【分析】作DH∥BF交AC于H，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到AF＝FH＝HC，得到答案．
【解答】解：作DH∥BF交AC于H，
∵DH∥BF，AD是△ABC的中線，
∴CH＝HF，
∵DH∥BF，E是AD中點，
∴AF＝FH，
∴AF＝FH＝HC，
∴AF：CF＝1：2，
故答案為：．
【點評】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運用定理、找準對應關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
16．（4分）如圖，已知一張三角形紙片ABC，AB＝5，AC＝4，點M在AC邊上．如果過點M剪下一個與△ABC相似的小三角形紙片，設AM＝x，那么x的取值范圍是 3≤x＜4 ．
【分析】依據(jù)相似三角形的對應邊成比例，即可得到x的取值范圍．
【解答】解：如圖所示，過M作MD∥AB交BC于D或ME∥BC交AB于E，
此時0＜x＜4；
如圖所示，過M作∠AMF＝∠B交AB于F，
此時5＜x≤4；
如圖所示，過M作∠CMG＝∠CBA交BC于G，
此時，△CMG∽△CBA，
當點G與點B重合時，CB2＝CM×CA，即22＝CM×4，
∴CM＝5，AM＝3，
∴此時，3≤AM＜8；
綜上所述，x的取值范圍是3≤x＜4．
故答案為：7≤x＜4．
【點評】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等．
17．（4分）如圖，將正方形紙片進行如下操作：對折正方形ABCD得折痕EF，連接CE，點B對應點H，得折痕CG，則＝ ．
【分析】延長EA，CG交于點M，先由折疊的性質(zhì)可知，∠ECM＝∠BCG，得出∠EMC＝∠ECM，則EM＝EC，根據(jù)勾股定理求出CE的長，再由銳角三角函數(shù)的定義可出tan∠BCG，即可得出結(jié)論．
【解答】解：延長EA，CG交于點M
∵四邊形ABCD為正方形，
∴DM∥BC，AB＝BC＝AD＝CD，
∴∠EMC＝∠BCG，
由折疊的性質(zhì)可知，∠ECM＝∠BCG，
∴∠EMC＝∠ECM，
∴EM＝EC，
由折疊的性質(zhì)得：DE＝AD＝，
∴EC＝＝＝，
∴EM＝
∴DM＝AB+AB，
∴tan∠DMC＝＝＝，
∴tan∠BCG＝，
即，
∴，
∴BG＝，
∴AG＝AB﹣BG＝AB，
∴＝．
故答案為：．
【點評】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義等知識，熟練掌握翻折變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
三、解答題（本大題共7題，滿分78分）
19．（10分）計算：﹣+2cs245°．
【分析】把特殊角的三角函數(shù)值代入進行計算即可．
【解答】解：﹣+2cs245°
＝﹣|）2
＝﹣+8
＝．
【點評】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．
20．（10分）如圖，已知在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，且DE＝BC．
（1）如果AC＝6，求AE的長；
（2）設＝，＝，試用、的線性組合表示向量．
【分析】（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出等式求解即可；
（2）根據(jù)平面向量的加減運算法則即可求解．
【解答】解：（1）∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵DE＝，
∴AE＝3；
（2）由（1）知，，
∴DE＝，
∵，
∴＝．
【點評】本題考查了平面向量，相似三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握平面向量的加減運算法則是解題的關(guān)鍵．
21．（10分）如圖，已知拋物線y＝a（x﹣2）2﹣4（a≠0）與x軸交于原點O與點A，頂點為點B．
（1）求拋物線的表達式以及點A的坐標；
（2）已知點P（2，m）（m＞0），若△PAB的面積為6，求點P的坐標．
【分析】（1）根據(jù)拋物線y＝a（x﹣2）2﹣4（a≠0）與x軸交于原點O，可知點O（0，0）在該函數(shù)圖象上，從而可以求得a的值，再令y＝0求出相應的x的值，即可得到點A的坐標；
（2）根據(jù)（1）中的函數(shù)解析式，可以得到點B的坐標，再根據(jù)點P（2，m）（m＞0），△PAB的面積為6，點A（4，0），即可求得m的值，從而可以寫出點P的坐標．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝a（x﹣2）2﹣7（a≠0）與x軸交于原點O，
∴0＝a（2﹣2）2﹣5，
解得a＝1，
∴拋物線的表達式為y＝（x﹣2）3﹣4，
當y＝0時，8＝（x﹣2）2﹣5，
解得x1＝0，x3＝4，
∴點A的坐標為（4，7）；
（2）∵y＝（x﹣2）2﹣6，頂點為B，
∴點B的坐標為（2，﹣4），
∵點P（4，m）（m＞0），點A（4，
∴＝6，
解得m＝2，
∴點P的坐標為（3，2）．
【點評】本題考查拋物線與x軸的交點、二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
22．（10分）圖①是一種手機平板支架，由托板、支撐板和底座構(gòu)成，手機放置在托板上，托板長AB＝115mm，支撐板長CD＝70mm，且CB＝35mm，托板AB可繞點C轉(zhuǎn)動，∠CDE＝60°．
（1）若∠DCB＝70°時，求點A到直線DE的距離（計算結(jié)果精確到個位）；
（2）為了觀看舒適，把（1）中∠DCB＝70°調(diào)整為90°，再將CD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)，求CD旋轉(zhuǎn)的角度．
（參考數(shù)據(jù)：sin50°≈0.8，cs50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin26.6°≈0.4，cs26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5，≈1.7）
【分析】（1）過點C作CG∥DE，過點A作AH⊥CG于H，過點C作CF⊥DE于點F，則點A到直線DE的距離為：AH+CF；在Rt△CDF中，解直角三角形可得CF的長，在Rt△ACH中，解直角三角形可得AH的長．
（2）畫出符合題意的圖形，在Rt△B′C′D中，解直角三角形可得∠B′DC′的度數(shù)，則CD旋轉(zhuǎn)的角度等于∠CDE﹣∠B′DC′．
【解答】解：（1）過點C作CG∥DE，過點A作AH⊥CG于H，
則點A到直線DE的距離為：AH+CF．
在Rt△CDF中，
∵sin∠CDE＝，
∴CF＝CD?sin60°＝70×＝35．
∵∠DCB＝70°，
∴∠ACD＝180°﹣∠DCB＝110°，
∵CG∥DE，
∴∠GCD＝∠CDE＝60°．
∴∠ACH＝∠ACD﹣∠DCG＝50°．
在Rt△ACH中，
∵sin∠ACH＝，
∴AH＝AC?sin∠ACH＝（115﹣35）×sin50°≈80×0.8＝64（mm）．
∴點A到直線DE的距離為AH+CF＝59.4+64≈123.5≈124（mm）．
（2）如圖所示，虛線部分為旋轉(zhuǎn)后的位置，C的對應點為C′，
則B′C′＝BC＝35 mm，DC′＝DC＝70 mm．
在Rt△B′C′D中，
∵tan∠B′DC′＝＝0.8，
∴∠B′DC′＝26.6°．
∴CD旋轉(zhuǎn)的角度為∠CDC′＝∠CDE﹣∠B′DC′＝60°﹣26.6°＝33.2°．
【點評】本題主要考查了解直角三角形的應用，平行線的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，直角三角形的邊角關(guān)系．正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學模型，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題是解題的關(guān)鍵．
23．（12分）已知四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD邊上的點
（1）如圖①，若四邊形ABCD是矩形，且DE⊥CF．求證：＝；
（2）如圖②，若四邊形ABCD是平行四邊形．試探究：當∠B與∠EGC滿足什么關(guān)系時，使得＝
【分析】（1）根據(jù)矩形性質(zhì)得出∠A＝∠FDC＝90°，求出∠CFD＝∠AED，證出△AED∽△DFC即可得結(jié)論；
（2）當∠B+∠EGC＝180°時，DE?CD＝CF?AD成立，證△DFG∽△DEA，得出，證△CGD∽△CDF，得出，即可得出答案．
【解答】（1）證明：如圖（1），∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠FDC＝90°，
∵CF⊥DE，
∴∠DGF＝90°，
∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，
∴∠CFD＝∠AED，
∵∠A＝∠CDF，
∴△AED∽△DFC，
∴；
（2）當∠B+∠EGC＝180°時，＝成立．
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴∠B＝∠ADC，AD∥BC，
∴∠B+∠A＝180°，
∵∠B+∠EGC＝180°，
∴∠A＝∠EGC＝∠FGD，
∵∠FDG＝∠EDA，
∴△DFG∽△DEA，
∴，
∵∠B＝∠ADC，∠B+∠EGC＝180°，
∴∠CGD＝∠CDF，
∵∠GCD＝∠DCF，
∴△CGD∽△CDF，
∴＝，
∴，
∴＝
即當∠B+∠EGC＝180°時，＝成立．
【點評】本題考查了矩形性質(zhì)和判定，勾股定理，平行四邊形的性質(zhì)和判定，相似三角形的性質(zhì)和判定的應用，主要考查學生綜合運用性質(zhì)和定理進行推理的能力，題目比較好．
24．（12分）在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（5，0）（如圖），經(jīng)過點A的拋物線y＝x2+bx+5與y軸相交于點B，頂點為點C．
（1）求此拋物線表達式與頂點C的坐標；
（2）求∠ABC的正弦值；
（3）將此拋物線向上平移，所得新拋物線的頂點為D，且△DCA與△ABC相似
【分析】（1）將A（5，0）代入y＝x2+bx+5可得表達式，配方即得頂點坐標；
（2）設BC與x軸交于F，過F作FE⊥AB于E，求出EF、BF即可得出答案；
（3）設D坐標，用三邊對應成比例列方程，求出D的坐標即可得出答案．
【解答】解：（1）將A（5，0）代入y＝x3+bx+5得：
0＝25+5b+5，解得b＝﹣6，
∴拋物線表達式為y＝x3﹣6x+5，
∵y＝x5﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴頂點C的坐標為（5，﹣4）；
（2）設BC與x軸交于F，過F作FE⊥AB于E
拋物線y＝x2﹣8x+5與y軸交于B（0，2），
設BC解析式為y＝mx+n，
將B（0，5），﹣6）代入得：
，解得，
∴BC解析式為y＝﹣4x+5，
令y＝0得x＝，
∴F（，0），
∴AF＝OA﹣OF＝，
∵B（8，5），0），
∴OA＝OB＝7，AB＝5，
∴AE＝AF?cs45°＝＝EF，
∴BE＝AB﹣AE＝，
∴BF＝＝，
∴sin∠ABC＝＝＝；
（3）拋物線向上平移，所得新拋物線的頂點為D，m）2+m，
且CD＝m﹣（﹣4）＝m+4，AD＝＝7，BC＝5，
若△DCA與△ABC相似，只需三邊對應成比例，
故分三種情況：
①若△ABC∽△DCA，如圖：
，即，
解得：m＝﹣，
∴D（3，m），
∴平移后的新拋物線的表達式y(tǒng)＝（x﹣3）8﹣＝x2﹣6x+，
②若△ABC∽△DAC，
則，即，無解，
③若△ABC∽△ACD，如圖：
，即，
解得m＝2，
∴D（4，2），
∴平移后的新拋物線的表達式y(tǒng)＝（x﹣3）2+2＝x2﹣4x+11；
綜上所述，△DCA與△ABC相似2﹣6x+或y＝x2﹣6x+11．
【點評】本題考查二次函數(shù)、三角函數(shù)及相似三角形的綜合知識，難度較大，解題的關(guān)鍵是求出平移后拋物線的頂點坐標．
25．（14分）如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝42，csB＝，以點C為圓心，CM為半徑的⊙C交射線CD于點N，交射線CA于點G．
（1）求線段AD的長；
（2）設線段CM＝x，＝y(tǒng)，當點N在線段CD上時，并寫出x的取值范圍；
（3）聯(lián)結(jié)DM，當∠NMC＝2∠DMN時，求線段CM的長．
【分析】（1）過點A作AH⊥BC于H，過點D作DE⊥AC于E，首先利用，得出BH的長，從而得出AH、CH、AC的長，再根據(jù)，可得答案；
（2）延長MN交AD的延長線于點F．根據(jù)AD∥BC，得，，表示出DF的長，從而得出AF的長，即可得出答案；
（3）分兩種情形，當點N在CD上時，可得DN＝MN＝25﹣x，再利用三角函數(shù)表示出MG的長，從而得出答案，當點N在CD的延長線上時，DN＝x﹣25，延長DA交射線MN于點P．同理可得答案．
【解答】解：（1）過點A作AH⊥BC于H，過點D作DE⊥AC于E，
∵在Rt△ABH中，∠AHB＝90°，，
∴BH＝10，AH＝24，
∴CH＝BC﹣BH＝32．
∵在Rt△AHC中，∠AHC＝90°，
，
∵AD＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，．
∵AD∥BC，
∴∠DAC＝∠ACB＝∠DCA，
在Rt△ADE中，，
∴AD＝CD＝25；
（2）延長MN交AD的延長線于點F．
∵AD∥BC，
∴，，
∵CM＝CN＝x，CD＝AD＝25，
∴DN＝25﹣x，
∴，
∴DF＝25﹣x，
∴AF＝50﹣x，
∴；
（3）當點N在CD上時，
∵CM＝CN，
∴∠NMC＝∠MNC．
∵∠NMC＝6∠DMN，∠MNC＝∠DMN+∠MDN，
∴∠DMN＝∠MDN．
∴DN＝MN＝25﹣x，
∵，，
∴．
∴，
∴，
即CM＝；
當點N在CD的延長線上時，DN＝x﹣25，
延長DA交射線MN于點P．
∵∠NMC＝2∠DMN，
∴∠NMD＝∠DMC，
∵AD∥BC，∠NMC＝∠MNC，
∴∠NPD＝∠MNC，，
∴DN＝PD＝x﹣25．
∵AD∥BC，
∴∠PDM＝∠DMC，
∴∠NMD＝∠PDM．
∴PM＝PD＝x﹣25．
∴，
∴x＝55，即CM＝55，
綜上所述，線段CM的長為．
【點評】本題是圓的綜合題，主要考查了圓的相關(guān)性質(zhì)，三角函數(shù)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識，運用分類思想是解決問題（3）的關(guān)鍵．