1．（3分）若，則＝（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）若方程ax+bx2+c＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則必須滿足的條件是（ ）
A．a(chǎn)≠0B．b≠0
C．c≠0D．以上答案都不正確
3．（3分）如圖，若菱形ABCD的對角線AC＝6，BD＝8，連接EF、FG、GH、HE，則四邊形EFGH的面積為（ ）
A．10B．11C．12D．24
4．（3分）如圖，AD、BC相交于點O，由下列條件不能判定△AOB與△DOC相似的是（ ）
A．AB∥CDB．∠A＝∠DC．D．
5．（3分）一個不透明的袋中裝有若干個紅球，為了估計袋中紅球的個數(shù)，在袋中放入3個除了顏色外其余均相同的白球，記錄下顏色后，放回袋中并搖勻，摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.15附近，則紅球的個數(shù)為（ ）
A．11B．14C．17D．20
6．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在邊DC上，連接AE交BD點F，則△DEF的周長與△BAF的周長之比為（ ）
A．9：16B．3：4C．9：1D．3：1
7．（3分）若一元二次方程x2+3x﹣m＝0的兩根之和是兩根之積的2倍，則m的值為（ ）
A．3B．C．﹣3D．
8．（3分）如圖，△ABC和△DEF是以點O為位似中心的位似圖形，相似比為2：3（ ）
A．4：9B．9：4C．2：3D．3：2
9．（3分）如圖已知線段AB＝2，點C，D是它的黃金分割點（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）如圖所示，將矩形ABCD的四個角向內(nèi)折起，恰好拼成一個既無縫隙又無重疊的四邊形EFGH，EF＝4，那么線段AD與AB的比等于（ ）
A．25：23B．5：4C．25：24D．4：3
二、填空題（每小題3分，共18分）
11．（3分）若四條線段a、b、c、d是成比例線段，其中a＝3cm，b＝2cm，則d＝ cm．
12．（3分）如圖，△ABC的中線BE、CF交于點O，連接EF，則 ．
13．（3分）關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c2＝0，（b＞0，c＞0）有兩個相等的實數(shù)根，則b：c＝ ．
14．（3分）如圖，為測量學(xué)校旗桿高度，小藝同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端，已知小藝的眼睛離地面高度為1.6米，鏡子與旗桿的水平距離為10米．則旗桿的高度為 米．
15．（3分）電路圖上有S1，S2，S3，S4四個開關(guān)和一個小燈泡，如果同時閉合S1，S2，S3，S4中的兩個開關(guān)，那么使得小燈泡發(fā)亮的概率是 ．
16．（3分）如圖，D是等邊三角形ABC外一點，AD＝3，當(dāng)BD長最大時，△ABC的面積為 ．
三、解答題（共7題，69分）
17．（16分）解下列一元二次方程：
（1）（x﹣1）（2x+3）＝0；
（2）；
（3）3x2﹣2x+5＝4；
（4）4（x﹣3）2＝x2．
18．（5分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，使△ABC∽△DAC．（不寫作法，保留作圖痕跡）
19．（5分）某班計劃選2名學(xué)生去參加校外勞動實踐，甲、乙、丙、丁4名學(xué)生積極報名參加，其中甲是學(xué)生會成員
（1）隨機(jī)抽取1人，甲沒被抽中的概率是 ；
（2）若需從這4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，請用畫樹狀圖法或列表法求出被抽到的兩名學(xué)生都是班級干部的概率．
20．（5分）如圖，在菱形ABCD中，點E是邊AD上一點，使BF＝AE，連接BE、CF．
求證：BE＝CF．
21．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m（m+4）＝0．
（1）求證：該無論m取何值，方程總有兩個實數(shù)根；
（2）若方程的一個根是另一個根的3倍，求m的值．
22．（8分）某市唐朝古塔（圖1）所示，我校社會實踐小組為了測量塔的高度AB，這時地面上的點E，標(biāo)桿的頂端點C，測得DE＝3米，將標(biāo)桿CD沿BD方向平移14米到點H處（DH＝14米），標(biāo)桿的頂端點C，塔尖點A正好又在同一直線上，點F，H，E，D與塔底處的點B在同一直線上，CD⊥BF，GH⊥BF．請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)
24．（12分）（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4．若點P是邊AC上一點．則BP的最小值為 ．
（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠B＝90°，點E是BC的中點．若點P是邊AC上一點，求PB+PE的最小值．
（3）公園內(nèi)有一條四邊形ABCD型環(huán)湖路，如圖③．若AD＝2000米，CD＝1000米，∠B＝90°，∠C＝150°．為滿足市民健身需求，EF，F(xiàn)C連接而成的步行景觀道，AD上．為了節(jié)省成本，要使所修的這條步行景觀道最短，求此時BE，DF的長．（路面寬度忽略不計）
2023-2024學(xué)年陜西省漢中市南鄭區(qū)龍崗中學(xué)九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（每小題3分，共30分）
1．（3分）若，則＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)得a＝b，再代入所求的式子計算即可．
【解答】解：∵，
∴a＝b，
∴＝＝．
故選：D．
【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，熟練掌握比例的性質(zhì)是關(guān)鍵．
2．（3分）若方程ax+bx2+c＝0是關(guān)于x的一元二次方程，則必須滿足的條件是（ ）
A．a(chǎn)≠0B．b≠0
C．c≠0D．以上答案都不正確
【分析】形如ax2+bx+c＝0（a≠0）的方程即為關(guān)于x的一元二次方程，據(jù)此即可求得答案．
【解答】解：∵方程ax+bx2+c＝0是關(guān)于x的一元二次方程，
∴b≠4，
故選：B．
【點評】本題考查一元二次方程，熟練掌握其定義是解題的關(guān)鍵．
3．（3分）如圖，若菱形ABCD的對角線AC＝6，BD＝8，連接EF、FG、GH、HE，則四邊形EFGH的面積為（ ）
A．10B．11C．12D．24
【分析】連接AC、BD交于O，根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得到EH∥BD，F(xiàn)G∥BD，EF∥AC，HG∥AC，推出四邊形EFGH是平行四邊形，求得∠HEF＝90°，得到四邊形EFGH是矩形，解直角三角形得到AC＝AB＝6，BD＝6，于是得到結(jié)論．
【解答】解：設(shè)AC、BD交于O，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵點E、F、G、H分別是邊AB、CD和DA的中點，
∴EH∥BD，F(xiàn)G∥BD，HG∥AC，
∴EH∥FG，EF∥HG，
∴四邊形EFGH是平行四邊形，
∵AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∴∠BAO+∠ABO＝90°，
∵∠AEH＝∠ABO，∠BEF＝∠EAO，
∴∠AEO+∠BEF＝90°，
∴∠HEF＝90°，
∴四邊形EFGH是矩形，
∵AC＝6，BD＝8，
∴EH＝＝5＝3，
∴四邊形EFGH的面積為3×7＝12，
故選：C．
【點評】本題考查的是中點四邊形，掌握菱形的性質(zhì)、三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵．
4．（3分）如圖，AD、BC相交于點O，由下列條件不能判定△AOB與△DOC相似的是（ ）
A．AB∥CDB．∠A＝∠DC．D．
【分析】本題中已知∠AOB＝∠DOC是對頂角，應(yīng)用兩三角形相似的判定定理，即可作出判斷．
【解答】解：A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC．
B、由∠AOB＝∠DOC，故本選項不符合題意．
C、由、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC．
D、已知兩組對應(yīng)邊的比相等：，不能判定△AOB與△DOC相似．
故選：D．
【點評】此題考查了相似三角形的判定：①有兩個對應(yīng)角相等的三角形相似；②有兩個對應(yīng)邊的比相等，且其夾角相等，則兩個三角形相似；③三組對應(yīng)邊的比相等，則兩個三角形相似．
5．（3分）一個不透明的袋中裝有若干個紅球，為了估計袋中紅球的個數(shù)，在袋中放入3個除了顏色外其余均相同的白球，記錄下顏色后，放回袋中并搖勻，摸到白球的頻率穩(wěn)定在0.15附近，則紅球的個數(shù)為（ ）
A．11B．14C．17D．20
【分析】根據(jù)口袋中有3個白球，利用小球在總數(shù)中所占比例得出與實驗比例應(yīng)該相等求出即可．
【解答】解：設(shè)紅球的個數(shù)為x個，根據(jù)題意得：
∴＝5.15，
解得：x＝17，
經(jīng)檢驗x＝17是原方程的解，
則紅球的個數(shù)為17個．
故選：C．
【點評】此題主要考查了用樣本估計總體，根據(jù)已知得出小球在總數(shù)中所占比例得出與實驗比例應(yīng)該相等是解決問題的關(guān)鍵．
6．（3分）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在邊DC上，連接AE交BD點F，則△DEF的周長與△BAF的周長之比為（ ）
A．9：16B．3：4C．9：1D．3：1
【分析】由平行四邊形的性質(zhì)推出AB＝DC，DE∥AB，由DE：EC＝3：1，得到DE：DC＝3：4，因此DE：AB＝3：4，由DE∥AB，推出△DEF∽△BAF，得到△DEF的周長與△BAF的周長之比＝DE：AB＝3：4．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB＝DC，DE∥AB，
∵DE：EC＝3：1，
∴DE：DC＝8：4，
∴DE：AB＝3：6，
∵DE∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴△DEF的周長與△BAF的周長之比＝DE：AB＝3：4．
故選：B．
【點評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，關(guān)鍵是由△DEF∽△BAF，得到△DEF的周長與△BAF的周長之比＝DE：AB＝3：4．
7．（3分）若一元二次方程x2+3x﹣m＝0的兩根之和是兩根之積的2倍，則m的值為（ ）
A．3B．C．﹣3D．
【分析】先設(shè)一元二次方程x2+3x﹣m＝0的兩根為x1，x2，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出兩根之和與兩根之積，由兩根之和是兩根之積的2倍，列出關(guān)于m的方程，求出m即可．
【解答】解：設(shè)一元二次方程x2+3x﹣m＝8的兩根為x1，x2，
∴x8+x2＝﹣3，x3?x2＝﹣m，
∵一元二次方程x2+6x﹣m＝0的兩根之和是兩根之積的2倍，
∴﹣4m＝﹣3，
∴，
故選：B．
【點評】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解題關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．
8．（3分）如圖，△ABC和△DEF是以點O為位似中心的位似圖形，相似比為2：3（ ）
A．4：9B．9：4C．2：3D．3：2
【分析】根據(jù)位似圖形的概念得到△ABC∽△DEF，再根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計算即可．
【解答】解：∵△ABC和△DEF是以點O為位似中心的位似圖形，
∴△ABC∽△DEF，
∵△ABC和△DEF的相似比為2：3，
∴△DEF與△ABC和的相似比為7：2，
∴△DEF和△ABC的面積比為9：5，
故選：B．
【點評】本題考查的是位似變換、相似三角形的性質(zhì)，熟記相似三角形的面積比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．
9．（3分）如圖已知線段AB＝2，點C，D是它的黃金分割點（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)黃金分割的定義進(jìn)行計算，即可解答．
【解答】解：∵點C是AB的黃金分割點，AC＞BC，
∴＝，
∴AC＝AB＝，
∵點D是AB的黃金分割點，BD＞AD
∴＝，
∴BD＝AB＝，
∴CD＝AC+BD﹣AB＝﹣1+﹣4，
故選：A．
【點評】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金分割的定義是解題的關(guān)鍵．
10．（3分）如圖所示，將矩形ABCD的四個角向內(nèi)折起，恰好拼成一個既無縫隙又無重疊的四邊形EFGH，EF＝4，那么線段AD與AB的比等于（ ）
A．25：23B．5：4C．25：24D．4：3
【分析】設(shè)點A的對應(yīng)點為點K，點C的對應(yīng)點為點L，由矩形的性質(zhì)得∠A＝∠B＝∠D＝90°，由折疊得KE＝AE＝BE，∠KEH＝∠AEH＝∠AEK，∠KEF＝∠BEF＝∠BEK，可證明∠HEF＝∠EHG＝90°，由EH＝3，EF＝4，根據(jù)勾股定理得FH＝＝5，再由×5EK＝×3×4＝S△EFH，求得EK＝，則AH＝KH＝＝，BF＝KF＝＝，由AE＝BE＝KE＝，求得AB＝，再證明△DGH≌△BEF，則DH＝BF＝，所以AD＝AH+DH＝5，則＝，于是得到問題的答案．
【解答】解：設(shè)點A的對應(yīng)點為點K，點C的對應(yīng)點為點L，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝∠D＝90°，
由折疊得KE＝AE＝BE，∠KEH＝∠AEH＝，∠KEF＝∠BEF＝，
∴∠HEF＝∠KEH+∠KEF＝（∠AEK+∠BEK）＝90°，
同理∠EHG＝90°，
∵EH＝3，EF＝4，
∴FH＝＝＝8，
∵∠EKH＝∠A＝90°，∠EKF＝∠B＝90°，∠GLH＝∠D＝90°，
∴H、K、L、F四點在同一條直線上，
∴EK⊥FH，
∴×8EK＝△EFH，
∴EK＝，
∴AH＝KH＝＝＝，BF＝KF＝＝＝，
∵AE＝BE＝KE＝，
∴AB＝2×＝，
∵DG＝CG＝LG＝CDAB，
∴DG＝BE，
∵∠DGH+∠DHG＝90°，∠BEF+∠AEH＝90°，
∴∠DGH＝∠BEF，
∵∠D＝∠B，
∴△DGH≌△BEF（ASA），
∴DH＝BF＝，
∴AD＝AH+DH＝+＝5，
∴＝＝，
故選：C．
【點評】此題重點考查矩形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、根據(jù)面積等式求線段的長度、勾股定理、等角的余角相等、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識與方法，證∠HEF＝∠EHG＝90°并且求得EK＝是解題的關(guān)鍵．
二、填空題（每小題3分，共18分）
11．（3分）若四條線段a、b、c、d是成比例線段，其中a＝3cm，b＝2cm，則d＝ 6 cm．
【分析】根據(jù)成比例線段的定義ad＝cb，將a，b及c的值代入即可求得d．
【解答】解：已知a，b，c，d是成比例線段，
根據(jù)比例線段的定義得a：b＝c：d，即ad＝cb，
代入a＝3cm、b＝2cm，
得5d＝2×9，
解得：d＝7（cm）．
故答案為：6．
【點評】本題考查了比例線段，掌握成比例線段的定義是解決問題的關(guān)鍵．
12．（3分）如圖，△ABC的中線BE、CF交于點O，連接EF，則 ．
【分析】先根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得到EF∥BC，EF＝BC，再根據(jù)平行線分線段成比例定理得到＝＝，然后利用比例的性質(zhì)得到的值．
【解答】解：∵△ABC的中線BE、CF交于點O，
∴EF為△ABC的中位線，
∴EF∥BC，EF＝，
∴＝＝，
∴＝．
故答案為：．
【點評】本題考查了三角形的重心：靈活運用三角形中位線性質(zhì)和平行線分線段成比例定理是解決問題的關(guān)鍵．
13．（3分）關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c2＝0，（b＞0，c＞0）有兩個相等的實數(shù)根，則b：c＝ 2 ．
【分析】根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c2＝0有兩個相等的實數(shù)根，可得b2﹣4c2＝0，又b＞0，c＞0，故b＝2c，即可得到答案．
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+c2＝5有兩個相等的實數(shù)根，
∴Δ＝0，
即b2﹣5c2＝0，
∴（b+3c）（b﹣2c）＝0，
∵b＞2，c＞0，
∴b﹣2c＝5，即b＝2c，
∴b：c＝（2c）：c＝2；
故答案為：2．
【點評】本題考查一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是掌握ax2+bx+c＝0（a≠0）有兩個相等的實數(shù)根，需滿足Δ＝0．
14．（3分）如圖，為測量學(xué)校旗桿高度，小藝同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端，已知小藝的眼睛離地面高度為1.6米，鏡子與旗桿的水平距離為10米．則旗桿的高度為 8 米．
【分析】證明△AOB∽△COD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到＝，把已知數(shù)據(jù)代入計算即可．
【解答】解：由題意得：∠ABO＝∠CDO＝90°，∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴＝，
∵AB＝1.6米，OB＝7米，
∴＝，
解得：CD＝8，
∴旗桿的高度為8米，
故答案為：6．
【點評】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
15．（3分）電路圖上有S1，S2，S3，S4四個開關(guān)和一個小燈泡，如果同時閉合S1，S2，S3，S4中的兩個開關(guān)，那么使得小燈泡發(fā)亮的概率是 ．
【分析】根據(jù)列表法求概率即可求解．
【解答】解：列表如下，
共有12種等可能結(jié)果，符合題意的有8種，
∴使得小燈泡發(fā)亮的概率是，
故答案為：．
【點評】本題考查了列表法求概率，掌握求概率的方法是解題的關(guān)鍵．
16．（3分）如圖，D是等邊三角形ABC外一點，AD＝3，當(dāng)BD長最大時，△ABC的面積為 ．
【分析】以CD為邊作等邊△DCE，連接AE．利用全等三角形的性質(zhì)證明BD＝AE，利用三角形的三邊關(guān)系，可得BD的最大值為5，利用直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可求AB2，即可求解．
【解答】解：如圖1，以CD為邊作等邊△DCE．
∵BC＝AC，CD＝CE，
∴∠BCD＝∠ACE，
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS），
∴BD＝AE，
在△ADE中，
∵AD＝3，DE＝CD＝8，
∴AE≤AD+DE，
∴AE≤5，
∴AE的最大值為5，
∴BD的最大值為6，
此時點D在AE上，
如圖2，過點A作AF⊥BD于F，
∵△BCD≌△ACE，
∴∠BDC＝∠E＝60°，
∴∠ADF＝60°，
∵AF⊥BD，
∴∠DAF＝30°，
∴DF＝AD＝DF＝，
∴BF＝，
∴AB3＝AF2+BF2＝19，
∴△ABC的面積＝AB2＝，
故答案為：．
【點評】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．
三、解答題（共7題，69分）
17．（16分）解下列一元二次方程：
（1）（x﹣1）（2x+3）＝0；
（2）；
（3）3x2﹣2x+5＝4；
（4）4（x﹣3）2＝x2．
【分析】（1）根據(jù)方程得出兩個關(guān)于x的一元一次方程，再進(jìn)一步求解即可；
（2）利用分配方法求解即可；
（3）利用公式法求解即可；
（4）先移項，再利用平方差公式將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個關(guān)于x的一元一次方程，再進(jìn)一步求解即可．
【解答】解：（1）（x﹣1）（2x+5）＝0，
∴x﹣1＝8或2x+3＝7，
解得x1＝1，x6＝﹣；
（2）x4﹣2x+8＝0，
x2﹣4x+2＝﹣4+2，
（x﹣）5＝1，
x﹣＝4或x﹣，
解得x1＝+1，x2＝﹣1；
（3）3x2﹣2x+5＝3，
3x2﹣6x+1＝0，
a＝6，b＝﹣2，
∴Δ＝（﹣2）7﹣4×3×5＝﹣8＜0，
∴原方程無解；
（4）∵6（x﹣3）2＝x2，
∴4（x﹣3）8﹣x2＝0，
則（6x﹣6+x）（2x﹣7﹣x）＝0，
∴3x﹣5＝0或x﹣6＝4，
解得x1＝2，x3＝6．
【點評】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)方程的特點選擇簡便的方法．
18．（5分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，使△ABC∽△DAC．（不寫作法，保留作圖痕跡）
【分析】作線段AC的垂直平分線交BC于點D，連接AD，點D即為所求．
【解答】解：如圖，點D即為所求．
理由：由作圖可知DA＝DC，
∴∠C＝∠DAC，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝∠DAC，
∴△ABC∽△DAC．
【點評】本題考查作圖﹣相似變換，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．
19．（5分）某班計劃選2名學(xué)生去參加校外勞動實踐，甲、乙、丙、丁4名學(xué)生積極報名參加，其中甲是學(xué)生會成員
（1）隨機(jī)抽取1人，甲沒被抽中的概率是 ；
（2）若需從這4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，請用畫樹狀圖法或列表法求出被抽到的兩名學(xué)生都是班級干部的概率．
【分析】（1）直接利用概率公式可得答案．
（2）畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及被抽到的兩名學(xué)生都是班級干部的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）由題意得，隨機(jī)抽取1人．
故答案為：．
（2）畫樹狀圖如下：
共有12種等可能的結(jié)果，其中被抽到的兩名學(xué)生都是班級干部的結(jié)果有：（乙，（乙，（丙，（丙，（丁，（丁，共8種結(jié)果，
∴被抽到的兩名學(xué)生都是班級干部的概率為＝．
【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、概率公式，熟練掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．
20．（5分）如圖，在菱形ABCD中，點E是邊AD上一點，使BF＝AE，連接BE、CF．
求證：BE＝CF．
【分析】由菱形的性質(zhì)得出AD∥BC，AB＝BC，得出∠A＝∠CBF，證明△ABE≌△BCF（SAS），即可得出BE＝CF．
【解答】證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AB＝BC，
∴∠A＝∠CBF，
在△ABE和△BCF中，，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴BE＝CF．
【點評】本題考查了菱形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握菱形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．
21．（8分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m（m+4）＝0．
（1）求證：該無論m取何值，方程總有兩個實數(shù)根；
（2）若方程的一個根是另一個根的3倍，求m的值．
【分析】（1）利用一元二次方程的根的判別式即可求解；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系建立關(guān)于m的方程即可求解．
【解答】（1）證明：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m（m+3）＝0，
∴Δ＝（﹣4）3﹣4×1×[﹣m（m+5）]
＝4（m2+7m+4）
＝4（m+3）2≥0，
∴該無論m取何值，方程總有兩個實數(shù)根；
（2）解：∵方程的一個根是另一個根的5倍，
∴設(shè)方程的一個根為x，則另一個根為3x，
∴根據(jù)韋達(dá)定理得：x+3x＝3，
∴x＝1，
∴x?3x＝﹣m（m+5）＝3，
∴m＝﹣1或﹣5．
【點評】此題主要考查了一元二次方程的判別式及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是利用根與系數(shù)的關(guān)系建立關(guān)于m的方程解決問題．
22．（8分）某市唐朝古塔（圖1）所示，我校社會實踐小組為了測量塔的高度AB，這時地面上的點E，標(biāo)桿的頂端點C，測得DE＝3米，將標(biāo)桿CD沿BD方向平移14米到點H處（DH＝14米），標(biāo)桿的頂端點C，塔尖點A正好又在同一直線上，點F，H，E，D與塔底處的點B在同一直線上，CD⊥BF，GH⊥BF．請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)
【分析】根據(jù)垂直的定義和相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵BA⊥AF，DC⊥AF，
∴∠ABC＝∠CDE＝∠GHF＝90°，
∵∠DEC＝∠BEA，
∴△EDC∽△EBA，
∴＝，
∴＝，
∵∠HFG＝∠BFA，
∴△HFG∽△BFA，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∴BD＝42，
∴＝，
∴AB＝30（米），
答：此塔的高度有30米．
【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握A字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．
24．（12分）（1）如圖①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝4．若點P是邊AC上一點．則BP的最小值為 ．
（2）如圖②，在Rt△ABC中，∠B＝90°，點E是BC的中點．若點P是邊AC上一點，求PB+PE的最小值．
（3）公園內(nèi)有一條四邊形ABCD型環(huán)湖路，如圖③．若AD＝2000米，CD＝1000米，∠B＝90°，∠C＝150°．為滿足市民健身需求，EF，F(xiàn)C連接而成的步行景觀道，AD上．為了節(jié)省成本，要使所修的這條步行景觀道最短，求此時BE，DF的長．（路面寬度忽略不計）
【分析】（1）過B作BP⊥AC于P，由垂線段最短可知，BP⊥AC時，BP的值最小，由面積法即可求解；
（2）作E關(guān)于直線AC的對稱點E'，連接CE'，EE'，BE'，BE'交AC于P，由E，E'關(guān)于直線AC對稱，可知PB+PE＝PB+PE'，而B，P，E'共線，故此時PB+PE最小，最小值為BE'的長度，根據(jù)∠B＝90°，AB＝BC＝2，點E是BC的中點，可得CE＝CE'＝1，∠BCE'＝90°，再用勾股定理可得答案；
（3）作C關(guān)于AD的對稱點M，連接DM，CM，CM交AD于H，作C關(guān)于AB的對稱點N，連接BN，延長DC，AB交于G，連接NG，連接MN交AB于E，交AD于F，由C，N關(guān)于AB對稱，C，M關(guān)于AD對稱，CE＝NE，CF＝MF，又N，E，F(xiàn)，M共線，知此時CE+EF+CF最小，根據(jù)∠A＝60°，∠ABC＝90°，∠BCD＝150°，可得∠ADC＝60°，∠MCD＝∠CMD＝30°，即得DH＝CD＝500米，CH＝MH＝DH＝500米，CM＝1000米，由∠ADC＝60°，∠A＝60°，知△ADG是等邊三角形，從而CG＝DG﹣CD＝1000米，同理可得CG＝NG＝1000米，∠BNG＝∠BCG＝30°，即得BG＝CG＝500米，BC＝BN＝BG＝500米，故CN＝1000米＝CM，知∠CNM＝∠CMN＝30°，在Rt△BNE中，BE＝＝＝500米，在Rt△MHF中，F(xiàn)H＝＝＝500米，即得DF＝FH+DH＝1000米．
【解答】解：（1）過B作BP⊥AC于P，如圖：
由垂線段最短可知，BP⊥AC時，
∵∠ABC＝90°，AB＝3，
∴AC＝＝5，
∵S△ABC＝AB?BC＝，
∴BP＝＝
故答案為：；
（2）作E關(guān)于直線AC的對稱點E'，連接CE'，BE'，如圖：
∵E，E'關(guān)于直線AC對稱，
∴PE＝PE'，
∴PB+PE＝PB+PE'，
∵B，P，E'共線，
∴此時PB+PE最小，最小值為BE'的長度，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，
∴∠ACB＝45°，
∵點E是BC的中點，
∴CE＝2，
∵E，E'關(guān)于直線AC對稱，
∴∠ACE'＝∠ACB＝45°，CE＝CE'＝1，
∴∠BCE'＝90°，
在Rt△BCE'中，
BE'＝＝＝，
∴PB+PE的最小值為；
（3）作C關(guān)于AD的對稱點M，連接DM，CM交AD于H，連接BN，AB交于G，連接MN交AB于E，如圖：
∵C，N關(guān)于AB對稱，C，
∴CE＝NE，CF＝MF，
∴CE+EF+CF＝NE+EF+MF，
∵N，E，F(xiàn)，M共線，
∴此時CE+EF+CF最小，
∵∠A＝60°，∠ABC＝90°，
∴∠ADC＝60°，
∵C，M關(guān)于AD對稱，
∴∠MDH＝∠CDH＝60°，∠CHD＝∠MHD＝90°，
∴∠MCD＝∠CMD＝30°，
∴DH＝CD＝500米DH＝500米，
∴CM＝1000米，
∵∠ADC＝60°，∠A＝60°，
∴△ADG是等邊三角形，
∴DG＝AD＝2000米，
∴CG＝DG﹣CD＝1000米，
∵∠BCD＝150°，
∴∠BCG＝30°，
∵C，N關(guān)于AB對稱，
∴C，B，N共線，∠BNG＝∠BCG＝30°，
∴BG＝CG＝500米BG＝500米，
∴CN＝1000米＝CM，
∴∠CNM＝∠CMN，
∵∠BCD＝150°，∠MCD＝30°，
∴∠NCM＝120°，
∴∠CNM＝∠CMN＝30°，
在Rt△BNE中，
BE＝＝＝500米，
在Rt△MHF中，
FH＝＝＝500米，
∴DF＝FH+DH＝500+500＝1000（米），
答：BE的長為500米，DF的長為1000米．
【點評】本題是四邊形綜合題，考查了直角三角形性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，等邊三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是作對稱，根據(jù)兩點之間線段最短解決問題．S1
S2
S6
S4
S1
S7S2
S1S5
S1S4
S3
S2S1
S8S3
S2S3
S3
S3S7
S3S2
S2S4
S4
S8S1
S4S6
S4S3

相關(guān)試卷

陜西省漢中市南鄭區(qū)2023-2024學(xué)年七年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題(無答案)：

這是一份陜西省漢中市南鄭區(qū)2023-2024學(xué)年七年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題(無答案)，共4頁。試卷主要包含了選擇題，填空題.，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

陜西省漢中市南鄭區(qū)2023—2024學(xué)年上學(xué)期七年級數(shù)學(xué)期末測試卷+：

這是一份陜西省漢中市南鄭區(qū)2023—2024學(xué)年上學(xué)期七年級數(shù)學(xué)期末測試卷+，共6頁。

2023-2024學(xué)年陜西省漢中市城固縣九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷(含解析)：

這是一份2023-2024學(xué)年陜西省漢中市城固縣九年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷(含解析)，共29頁。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2023-2024學(xué)年陜西省漢中市南鄭區(qū)龍崗中學(xué)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年陜西省漢中市南鄭區(qū)龍崗中學(xué)八年級（上）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）
浙江省杭州市余杭區(qū)樹蘭中學(xué)2023-—2024學(xué)年上學(xué)期九年級期中數(shù)學(xué)試卷

浙江省杭州市余杭區(qū)樹蘭中學(xué)2023-—2024學(xué)年上學(xué)期九年級期中數(shù)學(xué)試卷
上海市楊浦區(qū)2023-—2024學(xué)年上學(xué)期九年級期中數(shù)學(xué)試卷

上海市楊浦區(qū)2023-—2024學(xué)年上學(xué)期九年級期中數(shù)學(xué)試卷
陜西省漢中市南鄭區(qū)2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含詳細(xì)答案）

陜西省漢中市南鄭區(qū)2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含詳細(xì)答案）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期中專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗證碼 獲取驗證碼

手機(jī)驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部