A．8x＝0.2B．8(1－x)＝0.8
C．x8＝0.2D．(1－x)8＝0.8
2．人類已經(jīng)進(jìn)入大數(shù)據(jù)時代．目前，數(shù)據(jù)量已經(jīng)從TB(1TB＝1024GB)級別躍升到PB(1PB＝1024TB)，EB(1EB＝1024PB)乃至ZB(1ZB＝1024EB)級別．國際數(shù)據(jù)公司(IDC)統(tǒng)計了從2008年至2011年全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量如下表：
研究表明，從2008年起，全球產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量y(單位：ZB)與時間x(單位：年)的關(guān)系滿足函數(shù)y＝abx，記b1＝eq \f(1,4)×(0.49＋0.8＋1.2＋1.82)，b2＝eq \f(1,3)×(1.63＋1.50＋1.52)，則下列最符合上述數(shù)據(jù)信息的函數(shù)是( )
A．y＝0.49b eq \\al(\s\up1(x),\s\d1(1)) B．y＝0.49b eq \\al(\s\up1(x－2008),\s\d1(1))
C．y＝0.49b eq \\al(\s\up1(x),\s\d1(2)) D．y＝0.49b eq \\al(\s\up1(x－2008),\s\d1(2))
3．Lgistic模型是常用數(shù)學(xué)模型之一，可應(yīng)用于流行病學(xué)領(lǐng)域，有學(xué)者根據(jù)公布數(shù)據(jù)建立了某地區(qū)某種疾病累計確診病例數(shù)I(t)(t的單位：天)的Lgistic模型：I(t)＝eq \f(K,1＋e－0.24（t－53）)，其中K為最大確診病例數(shù)．當(dāng)I(t)＝0.8K時，則t約為(ln4≈1.39)( )
A.48 B．72C．63 D．59
4．某地為了抑制一種有害昆蟲的繁殖，引入了一種以該昆蟲為食物的特殊動物，已知該動物的繁殖數(shù)量y(只)與引入時間x(年)的關(guān)系為y＝alg2(x＋1)，若該動物在引入一年后的數(shù)量為180只，則15年后它們發(fā)展到( )
A．300只 B．400只C．600只 D．720只
5．(多選)甲、乙兩位股民以相同的資金進(jìn)行股票投資，在接下來的交易時間內(nèi)，甲購買的股票先經(jīng)歷了一次漲停(上漲10%)，又經(jīng)歷了一次跌停(下跌10%)，乙購買的股票先經(jīng)歷了一次跌停(下跌10%)，又經(jīng)歷了一次漲停(上漲10%)，則甲，乙的盈虧情況(不考慮其他費用)為( )
A．甲、乙都虧損B．甲盈利，乙虧損
C．甲虧損，乙盈利D．甲、乙虧損的一樣多
6．(多選)常見的《標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力表》中有兩列數(shù)據(jù)，分別表示五分記錄和小數(shù)記錄數(shù)據(jù)，把小數(shù)記錄數(shù)據(jù)記為x，對應(yīng)的五分記錄數(shù)據(jù)記為y，現(xiàn)有兩個函數(shù)模型：①y＝5＋2lgx；②y＝5－lgeq \f(1,x).(參考數(shù)據(jù)：100.1≈1.25)根據(jù)如圖標(biāo)準(zhǔn)對數(shù)視力表中的數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是( )
A．選擇函數(shù)模型①
B．選擇函數(shù)模型②
C．小明去檢查視力，醫(yī)生告訴他視力為5，則小明視力的小數(shù)記錄數(shù)據(jù)為0.9
D．小明去檢查視力，醫(yī)生告訴他視力為4.9，則小明視力的小數(shù)記錄數(shù)據(jù)為0.8
7．2021年3月20日，國家文物局公布，四川三星堆考古發(fā)掘取得重大進(jìn)展，考古人員在三星堆遺址內(nèi)新發(fā)現(xiàn)6座祭祀坑，經(jīng)碳14測年法測定，這6座祭祀坑為商代晚期遺址，碳14測年法是根據(jù)碳14的衰變程度測度樣本年代的一種測量方法，已知樣本中碳14的原子數(shù)N隨時間t(單位：年)的變化規(guī)律是N＝N02－eq \f(t,5730)，則該樣本中碳14的原子數(shù)由N0個減少到eq \f(N0,4)個時所經(jīng)歷的時間(單位：年)為________．
8．某生物興趣小組自2010年起對一湖泊進(jìn)行監(jiān)測研究，發(fā)現(xiàn)其中某種生物的總數(shù)y(單位：億)與經(jīng)過的時間x(單位：年)的函數(shù)關(guān)系與函數(shù)模型y＝alg2(x＋1)＋b基本擬合．經(jīng)過1年，y為3億，經(jīng)過3年，y為5億，預(yù)計經(jīng)過15年時，此種生物總數(shù)y為________億．
9．每年紅嘴鷗都從西伯利亞飛越數(shù)千公里來到美麗的昆明過冬，科學(xué)家經(jīng)過測量發(fā)現(xiàn)候鳥的飛行速度可以表示為函數(shù)v＝eq \f(1,2)lg3eq \f(x,100)－lgx0，單位是km/min，其中x表示候鳥每分鐘耗氧量的單位數(shù)，常數(shù)x0表示測量過程中候鳥每分鐘的耗氧偏差．(結(jié)果保留到整數(shù)位．參考數(shù)據(jù)：lg5≈0.70，31.4≈4.66)
(1)若x0＝5，候鳥停下休息時，它每分鐘的耗氧量為多少個單位；
(2)若雄鳥的飛行速度為1.3km/min，雌鳥的飛行速度為0.8km/min，那么此時雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘耗氧量的多少倍．
10．為落實中央“精準(zhǔn)扶貧”政策，讓市民吃上放心蔬菜，某企業(yè)于2020年在其扶貧基地投入300萬元研發(fā)資金用于蔬菜的開發(fā)與種植，并計劃今后10年內(nèi)在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金數(shù)比上一年增長10%.
(1)以2021年為第1年，分別計算該企業(yè)第1年、第2年投入的研發(fā)資金數(shù)，并寫出第x年該企業(yè)投入的研發(fā)資金數(shù)y(萬元)與x的函數(shù)關(guān)系式以及函數(shù)的定義域；
(2)該企業(yè)從哪年開始，每年投入的研發(fā)資金數(shù)將超過600萬元？
(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈7.3)
11.“學(xué)如逆水行舟，不進(jìn)則退；心似平原跑馬，易放難收．”源于《增廣賢文》，《增廣賢文》是勉勵人們專心學(xué)習(xí)的，每天進(jìn)步一點點，前進(jìn)不止一小點．我們可以把式子(1＋1%)365中的1%看作是每天的“進(jìn)步”率，一年后的值是1.01365；而把式子(1－1%)365中的1%看作是每天的“退步”率，一年后的值是0.99365.照此計算，大約經(jīng)過多少天“進(jìn)步”后的值是“退步”后的值的10倍？ ( )
(參考數(shù)據(jù)：lg1.01≈0.00432，lg0.99≈－0.00436)
A．100天B．108天
C．115天D．124天
12．“雙碳”戰(zhàn)略倡導(dǎo)綠色、環(huán)保、低碳的生活方式.2020年9月中國明確提出2030年實現(xiàn)“碳達(dá)峰”，2060年實現(xiàn)“碳中和”，為了實現(xiàn)這一目標(biāo)，中國持續(xù)推進(jìn)產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)和能源結(jié)構(gòu)調(diào)整，大力發(fā)展可再生能源，新型動力電池隨之也迎來了蓬勃發(fā)展機(jī)遇．Peukert于1898年提出蓄電池的容量C(單位：A·h)，放電時間t(單位：h)與放電電流I(單位：A)之間關(guān)系的經(jīng)驗公式C＝In0·t，其中n0＝－lgeq \s\d9(\f(2,3))2為Peukert常數(shù)．在電池容量不變的條件下，當(dāng)放電電流I＝15A時，放電時間t＝28h，則當(dāng)放電電流I＝10A時，放電時間為( )
A．14hB．28.5h
C．29hD．56h
13．某科技研發(fā)公司2022年全年投入的研發(fā)資金為300萬元，在此基礎(chǔ)上，計劃每年投入的研發(fā)資金比上一年增加10%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過600萬元的年份是( )
(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.301，lg3≈0.477，lg5≈0.699，lg11≈1.041)
A．2027年B．2028年
C．2029年D．2030年
14．(多選)牛頓曾提出了物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：若物體初始溫度是θ0(單位：℃)，環(huán)境溫度是θ1(單位：℃)，其中θ0>θ1、則經(jīng)過t分鐘后物體的溫度θ將滿足θ＝f(t)＝θ1＋(θ0－θ1)·e－kt(k∈R且k>0).現(xiàn)有一杯100℃的熱紅茶置于10℃的房間里，根據(jù)這一模型研究紅茶冷卻情況，下列結(jié)論正確的是( )
(參考數(shù)值ln2≈0.7，ln3≈1.1)
A．若f(3)＝40℃，則f(6)＝20℃
B．若k＝eq \f(1,10)，則紅茶下降到55℃所需時間大約為6分鐘
C．5分鐘后物體的溫度是40℃，k約為0.22
D．紅茶溫度從80℃下降到60℃所需的時間比從60℃下降到40℃所需的時間多
15.有關(guān)數(shù)據(jù)顯示，2022年我國快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾約為400萬噸．有專家預(yù)測，如果不采取措施，快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾年平均增長率將達(dá)到50%.由此可知，如果不采取有效措施，則從________年(填具體年份)開始，快遞行業(yè)產(chǎn)生的年包裝垃圾超過4000萬噸．(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)
16．在國家大力發(fā)展新能源汽車產(chǎn)業(yè)政策影響下，我國新能源汽車的產(chǎn)銷量高速增長．某地區(qū)2019年底新能源汽車保有量為1500輛，2020年底新能源汽車保有量為2250輛，2021年底新能源汽車保有量為3375輛．
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，試從y＝a·bx(a>0，b>0且b≠1)，y＝a·lgbx，(a>0，b>0且b≠1)兩種函數(shù)模型中選擇一個最恰當(dāng)?shù)哪Ｐ蛠砜坍嬓履茉雌嚤Ｓ辛康脑鲩L趨勢(不必說明理由)，設(shè)從2019年底起經(jīng)過x年后新能源汽車保有量為y輛，求出新能源汽車保有量y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
(2)假設(shè)每年新能源汽車保有量按(1)中求得的函數(shù)模型增長，且傳統(tǒng)能源汽車保有量每年下降的百分比相同，2019年底該地區(qū)傳統(tǒng)能源汽車保有量為50000輛，預(yù)計到2024年底傳統(tǒng)能源汽車保有量將下降10%.試估計到哪一年底新能源汽車保有量將超過傳統(tǒng)能源汽車保有量．(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.30，lg3≈0.48)
課時作業(yè)44
1．解析：設(shè)2015年該企業(yè)單位生產(chǎn)總值能耗為a，則2016年該企業(yè)單位生產(chǎn)總值能耗為a(1－x)，
2017年該企業(yè)單位生產(chǎn)總值能耗為a(1－x)2，2018年該企業(yè)單位生產(chǎn)總值能耗為a(1－x)3，
2019年該企業(yè)單位生產(chǎn)總值能耗為a(1－x)4，2020年該企業(yè)單位生產(chǎn)總值能耗為a(1－x)5，
2021年該企業(yè)單位生產(chǎn)總值能耗為a(1－x)6，2022年該企業(yè)單位生產(chǎn)總值能耗為a(1－x)7，
2023年該企業(yè)單位生產(chǎn)總值能耗為a(1－x)8，由題設(shè)可得a(1－x)8＝0.8a即(1－x)8＝0.8.故選D.
答案：D
2．解析：由題得選項AC顯然錯誤，指數(shù)不可能是x.
b1＝eq \f(1,4)×(0.49＋0.8＋1.2＋1.82)≈1.08，
b2＝eq \f(1,3)×(1.63＋1.50＋1.52)＝1.55，
如果選D, y＝0.49×1.55x－2008，2009年的數(shù)據(jù)量為0.49×1.55＝0.7595，
如果選B, y＝0.49×1.08x－2008，2009年的數(shù)據(jù)量為0.49×1.08＝0.5292，
由于0.7595更接近0.8，故選D.
答案：D
3．解析：由題意得：I(t)＝eq \f(K,1＋e－0.24（t－53）)＝0.8K，
即e－0.24(t－53)＝eq \f(1,4)，
兩邊取對數(shù)得－0.24(t－53)＝lneq \f(1,4)＝－ln4≈－1.39，
即0.24(t－53)≈1.39，
解得t≈59，故選D.
答案：D
4．解析：由題知，該動物的繁殖數(shù)量y(只)與引入時間x(年)的關(guān)系為y＝alg2(x＋1)，
當(dāng)x＝1，y＝180代入y＝alg2(x＋1)，得180＝alg2(1＋1)，得a＝180，
所以y＝180·lg2(x＋1)，
所以當(dāng)x＝15時，y＝180·lg2(15＋1)＝180·4＝720，
所以15年后它們發(fā)展到720只．故選D.
答案：D
5．解析：設(shè)投資總額為a元，甲先經(jīng)歷一次漲停，再經(jīng)歷一次跌停后的資金為：a(1＋10%)(1－10%)＝0.99a元，
乙先經(jīng)歷一次跌停，再經(jīng)歷一次漲停后的資金為：a(1－10%)(1＋10%)＝0.99a元，故選AD.
答案：AD
6．解析：當(dāng)x＝0.1時，代入y＝5＋2lgx得：y＝5－2＝3，代入y＝5－lgeq \f(1,x)得：y＝5－1＝4.
故選擇函數(shù)模型②.A錯誤；B正確．
對于C：當(dāng)y＝5時，由y＝5－lgeq \f(1,x)解得：x＝1，則小明視力的小數(shù)記錄數(shù)據(jù)為1.0.故C錯誤；
對于D：當(dāng)y＝4.9時，由y＝5－lgeq \f(1,x)解得：x＝0.8，則小明視力的小數(shù)記錄數(shù)據(jù)為0.8.故D正確．故選BD.
答案：BD
7．解析：當(dāng)t＝0時，N＝N0，若N＝eq \f(N0,4)，則2－eq \f(t,5730)＝2－2，所以－eq \f(t,5730)＝－2，t＝11460.
答案：11460
8．解析：由題得，點(1，3)和點(3，5)在函數(shù)y＝alg2(x＋1)＋b上，代入得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3＝alg2（1＋1）＋b,5＝alg2（3＋1）＋b))，解得a＝2，b＝1，則函數(shù)為y＝2lg2(x＋1)＋1，所以預(yù)計經(jīng)過15年時，此種生物總數(shù)y＝2lg2(15＋1)＋1＝9億元．
答案：9
9．解析：(1)將x0＝5，v＝0代入函數(shù)v＝eq \f(1,2)lg3eq \f(x,100)－lgx0，得：eq \f(1,2)lg3eq \f(x,100)－lg5＝0，
因為lg5≈0.70，所以lg3eq \f(x,100)＝2lg5≈1.40，所以eq \f(x,100)＝31.40≈4.66，所以x＝466.所以候鳥停下休息時，它每分鐘的耗氧量約為466個單位．
(2)設(shè)雄鳥每分鐘的耗氧量為x1，雌鳥每分鐘耗氧量為x2，由題意可得：
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1.3＝\f(1,2)lg3\f(x1,100)－lgx0，,0.8＝\f(1,2)lg3\f(x2,100)－lgx0，))
兩式相減可得：eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)lg3eq \f(x1,x2)，所以lg3eq \f(x1,x2)＝1，即eq \f(x1,x2)＝3.
此時雄鳥每分鐘的耗氧量是雌鳥每分鐘耗氧量的3倍．
10．解析：(1)由題設(shè)，第1年研發(fā)資金為：300×(1＋10%)＝330萬元；第2年研發(fā)資金為：300×(1＋10%)2＝363萬元；
∴第x年研發(fā)資金：y＝300·(1＋10%)x且定義域為[1，10].
(2)由(1)知：y＝300·(1＋10%)x>600，即(1.1)x>2，
∴x>lg1.12≈7.3>7，故從第8年即2028年開始，每年投入的研發(fā)資金數(shù)將超過600萬元．
11．解析：假設(shè)經(jīng)過n天，“進(jìn)步”后的值是“退步”后的值的10倍，
則可得(1＋1%)n＝10(1－1%)n，
所以(eq \f(1.01,0.99))n＝10，所以n＝eq \f(1,lg1.01－lg0.99)≈eq \f(1,0.00432－（－0.00436）)≈115，
即經(jīng)過115天，“進(jìn)步”后的值是“退步”后的值的10倍．故選C.
答案：C
12．解析：n0＝－lgeq \s\d9(\f(2,3))2＝lgeq \s\d9(\f(3,2))2，因為電池容量不變，則有10n0t＝15n0×28，
即有t＝eq \f(15n0,10n0)×28＝(eq \f(3,2))n0×28＝(eq \f(3,2))lgeq \s\d9(\f(3,2))2×28＝56，
所以當(dāng)放電電流I＝10A時，放電時間為56h．故選D.
答案：D
13．解析：設(shè)n(n∈N*)年后公司全年投入的研發(fā)資金為y，
則根據(jù)題意有y＝300(1＋0.1)n，
研發(fā)資金開始超過600萬元，即y＝300(1＋0.1)n>600，解得n>eq \f(lg2,lg11－1)≈7.341，
則n的最小值為8，
則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過600萬元的年份是2022＋8＝2030年．故選D.
答案：D
14．解析：由題知θ＝f(t)＝10＋90e－kt，
A選項：若f(3)＝40℃，即40＝10＋90e－3k，所以e－3k＝eq \f(1,3)，則f(6)＝10＋90e－6k＝10＋90(e－3k)2＝10＋90×(eq \f(1,3))2＝20℃，A正確；
B選項：若k＝eq \f(1,10)，則10＋90·e－eq \f(1,10)t＝55，則e－eq \f(1,10)t＝eq \f(1,2)，兩邊同時取對數(shù)得－eq \f(1,10)t＝lneq \f(1,2)＝－ln2，所以t＝10ln2≈7，所以紅茶下降到55℃所需時間大約為7分鐘，B錯誤；
C選項：5分鐘后物體的溫度是40℃，即10＋90·e－5k＝40，則e－5k＝eq \f(1,3)，得－5k＝lneq \f(1,3)＝－ln3，所以k＝eq \f(1,5)ln3≈0.22，故C正確；
D選項：f(t)為指數(shù)型函數(shù)，如圖，可得紅茶溫度從80℃下降到60℃所需的時間(t2－t1)比從60℃下降到40℃所需的時間(t3－t2)少，故D錯誤．
故選AC.
答案：AC
15．解析：設(shè)快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾為y萬噸，n表示從2022年開始增加的年份數(shù)，由題意可得y＝400×(1＋50%)n＝400×(eq \f(3,2))n，400×(eq \f(3,2))n>4000，得(eq \f(3,2))n>10，
兩邊取對數(shù)可得n(lg3－lg2)>1，∴n(0.4771－0.3010)>1，得0.176n>1，解得n>5.682，∴從2022＋6＝2028年開始，快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾超過4000萬噸.
答案：2028
16．解析：(1)根據(jù)該地區(qū)新能源汽車保有量的增長趨勢知，應(yīng)選擇的函數(shù)模型是y＝a·bx(a>0，b>0且b≠1)，
由題意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a·b0＝1500,a·b1＝2250))，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1500,b＝\f(3,2)))，
所以y＝1500·(eq \f(3,2))x.
(2)設(shè)傳統(tǒng)能源汽車保有量每年下降的百分比為r，
依題意得，50000(1－r)5＝50000(1－10%)，解得1－r＝0.9eq \s\up6(\f(1,5))，
設(shè)從2019年底起經(jīng)過x年后的傳統(tǒng)能源汽車保有量為y輛，
則有y＝50000(1－r)x＝50000(0.9eq \s\up6(\f(1,5)))x，
設(shè)從2019年底起經(jīng)過x年后新能源汽車的數(shù)量將超過傳統(tǒng)能源汽車，
則有1500·(eq \f(3,2))x>50000(0.9eq \s\up6(\f(1,5)))x，
化簡得3·(eq \f(3,2))x>100(0.9eq \s\up6(\f(1,5)))x，
所以lg3＋x(lg3－lg2)>2＋eq \f(x,5)(2lg3－1)，
解得x>eq \f(2－lg3,\f(1,5)＋\f(3,5)lg3－lg2)≈8.09，
故從2019年底起經(jīng)過9年后，即2028年底新能源汽車的數(shù)量將超過傳統(tǒng)能源汽車．
基礎(chǔ)強(qiáng)化
時間/年
2008
2009
2010
2011
數(shù)據(jù)量/ZB
0.49
0.8
1.2
1.82
增長比例
1.63
1.50
1.52
能力提升

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高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)必修 第一冊電子課本

數(shù)學(xué)建模 建立函數(shù)模型解決實際問題

版本： 人教A版 (2019)

年級： 必修 第一冊

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