本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試用時120分鐘.
注意事項：
1.答卷前，考生務必用照色字跡的鋼筆或簽宇筆將自己的姓名和考號等填寫在答題卡上，并用鉛筆在答題卡上的相應位置填涂.
2.回答第I卷時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答家標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.
3.回答第I卷時，必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答卷各題目指定區(qū)域內，不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.
第I卷
一、單選題：本大題共8小題，每小題3分，滿分24分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.
1. 已知，若，則（ ）
A. 4B. 6C. 5D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】等價轉化為,利用空間向量的坐標運算得到關于的方程，解之即可.
【詳解】由得，
又∵，，
,
解得,
故選：A.
2. 己知m，n是兩條不重合的直線，，，是三個不重合的平面，下列命題中正確的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】D
【解析】
【分析】根據空間中位置關系的性質定理和判定定理可判斷各選項的正誤.
【詳解】對于A，若，則或異面，故A錯誤.
對于B，若，則或相交，故B錯誤.
對于C，若，則或相交，故C錯誤.
對于D，由線面垂直的性質可得若，則，故D正確，
故選：D.
3. 直線的傾斜角為（ ）
A. 30°B. 45°C. 120°D. 150°
【答案】A
【解析】
【分析】根據題意得直線的斜率為，再根據斜率與傾斜角的關系求解即可.
【詳解】解：將直線方程轉化為斜截式方程得，
所以，直線的斜率為，
所以，直線的傾斜角為.
故選：A
4. 過點且與直線平行的直線方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題意，設所求直線為，代入A點坐標，求得m值，即可得答案.
【詳解】因所求直線與直線l平行，
所以設所求直線方程為：，
又所求直線過點，代入可得，解得，
所以所求直線為，即.
故選：A
5. 直線與圓的位置關系為（ ）
A. 相離B. 相切C. 相交或相切D. 相交
【答案】C
【解析】
【分析】利用幾何法，判斷圓心到直線的距離與半徑的關系，判斷直線與圓的位置關系即可．
【詳解】由已知得，圓的圓心為（0，0），半徑為，
所以圓心到直線的距離為.
因為，所以
所以圓心到直線的距離為，所以直線與圓相交或相切；
故選：C．
6. 設點，，直線過點且與線段相交，則的斜率的取值范圍是（ ）
A. 或B. 或C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據斜率公式，結合數形結合思想進行求解即可.
【詳解】如圖所示：
因為，
所以當直線過點且與線段相交時，的斜率的取值范圍是或，
故選：B
7. 已知直三棱柱中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】把三棱柱補成四棱柱，如圖所示，即可知異面直線與所成角為（或其補角），再解三角形即可求出．
【詳解】如圖所示，把三棱柱補成四棱柱，由題意得，易知該四棱柱為長方體，，異面直線與所成角為（或其補角），
，，，
∴.
故選：C.
8. 設橢圓＝1（a＞b＞0）的焦點為F1，F2，P是橢圓上一點，且∠F1PF2＝，若△F1PF2的外接圓和內切圓的半徑分別為R，r，當R＝4r時，橢圓的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由正弦定理把用表示，也用表示，設|PF1|＝m，|PF2|＝n，由余弦定理結合橢圓定義可得．然后把面積用兩種方法表示，得出的關系式，求得離心率．
【詳解】解：橢圓的焦點為F1（﹣c，0），F2（c，0），|F1F2|＝2c，
根據正弦定理可得2R＝＝＝，
∴R＝，r＝R＝．
設|PF1|＝m，|PF2|＝n，則m+n＝2a，
由余弦定理得，4c2＝m2+n2﹣2mncs＝(m+n)2﹣3mn＝4a2﹣3mn，
∴mn＝，
∴＝mnsin＝，
又＝(m+n+2c)?r＝，
∴＝，即2a2﹣3c2﹣ac＝0，故3e2+e﹣2＝0，
解得：e＝或e＝﹣1（舍）．
故選：B．
二、多選題：本大題共4小題，每小題3分，滿分12分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求，全部選對得3分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分.
9. 已知直線與圓交于兩點，則（ ）
A.
B. 的面積為
C. 圓上到直線的距離為1的點共有2個
D. 圓C上到直線的距離為1的點共有3個
【答案】BD
【解析】
【分析】根據已知條件，結合點到直線的距離公式，根據垂徑定理以及弦長公式，可得答案．
【詳解】圓，即圓心坐標為，半徑，如圖所示：
圓心到直線的距離，，所以A選項錯誤；
，選項B正確；
由，作直線的平行線，使兩直線的距離為1，這樣的平行線有兩條，一條與圓相切，另一條過圓心與圓相交，可知圓上到直線l的距離為1的點共3個，C選項錯誤，D選項正確.
故選：BD
10. 設橢圓的左，右焦點分別為，點是橢圓上的動點，則下列結論正確的是（ ）
A. 離心率
B. 的最小值為
C. 的大小可以是
D. 滿足為等腰三角形的點有個
【答案】BCD
【解析】
【分析】由橢圓方程可確定，根據可知A錯誤；由可知B正確；當為橢圓上下頂點時，，由此可得C正確；當為橢圓上下頂點時，可知為等腰三角形，根據，可知，能成立，結合橢圓對稱性可知D正確.
【詳解】由橢圓方程知：，，；
對于A，離心率，A錯誤；
對于B，為橢圓左焦點，，B正確；
對于C，當為橢圓上下頂點時，，，
，，
則當在橢圓上運動時，，則大小可以是，C正確；
對于D，當橢圓上下頂點時，，滿足為等腰三角形；
，即，
能成立，根據橢圓對稱性知：此時有點滿足題意；
同理可知：時，有點滿足題意；
滿足為等腰三角形的點有個，D正確.
故選：BCD.
11. 如圖，在三棱柱中，，分別是，上的點，且，．設，，，若，，，則下列說法中正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用向量的線性運算的幾何表示，向量數量積的定義及運算律逐項分析即得.
【詳解】
，故A錯誤；
由題可知，，，
∴，
∴，故B正確；
因為，，
則
，故C錯誤，D正確．
故選：BD.
12. 在長方體中，，點為棱上靠近點的三等分點，點是長方形內一動點（含邊界），且直線，與平面所成角的大小相等，則（ ）
A. 平面
B. 三棱錐的體積為4
C. 存在點，使得
D. 線段長度的取值范圍為
【答案】ACD
【解析】
【分析】選項A：由題意得到平面平面，然后根據面面平行的性質定理即可判斷選項A；
選項B：根據即可判斷選項B；
選項C：作交于，連接，當為中點時，滿足；
選項D：根據題意分析出當點在點或點處時，線段的長度取得最大值；當點在點處時，線段的長度取得最小值，從而可求出線段的長度的取值范圍為.
【詳解】平面平面，平面，平面，故正確；
，故錯誤；
連接，作交于，連接，
平面，為與平面所成的角，
平面，為與平面所成角．
直線，與平面所成角的大小相等，，
所以，
又，，所以點在的中垂線上，即點在線段上運動，
當點與點重合時，，故正確；
，為棱上靠近的三等分點，，，，
，，
當點在點或點處時，線段的長度取得最大值，最大值為；
當點在點處時，線段的長度取得最小值，最小值為，
線段的長度的取值范圍為，故正確．
故選：．
第II卷
三、填空題：本大題共4小題，每小題4分，滿分16分.
13. 已知直線，圓，則圓關于直線對稱的圓的方程為__________.
【答案】
【解析】
【分析】設圓心的對稱點的坐標，由直線為線段中垂線，求出對稱點的坐標，可得對稱圓的方程
【詳解】設圓心關于直線對稱圓心為，由直線為線段中垂線，
可得，解得，，
得對稱圓心為，圓的半徑為1，
所以圓關于直線對稱的圓的方程為.
故答案：
14. 已知正四棱錐，底面邊長為4，高為2，則該四棱錐外接球的體積為__________．
【答案】
【解析】
【分析】由題意，正四棱錐的外接球的球心在它的高上，構造直角，令結合勾股定理，即得解
【詳解】
由題意得，正四棱錐的外接球的球心在它的高上，
記球心為，則，
令
則或（此時在的延長線上），
在直角中，，
解得，
所以球的體積為.
故答案為：
15. 已知橢圓的左、右焦點分別為，過坐標原點的直線交于兩點，且，且，則的標準方程為____________.
【答案】
【解析】
【分析】連接，根據，，得到四邊形是矩形，設，由求解.
【詳解】如圖所示：
連接，
因為，
所以四邊形是平行四邊形，
所以，
又因為，
所以平行四邊形是矩形，
設，
由題意得，
解得，
則，
故答案為：.
16. 已知過的直線與圓交于兩點，（點在軸上方），若，圓的切線.則直線與切線的距離是__________.
【答案】和
【解析】
【分析】設出直線的方程，聯(lián)立直線與圓的方程，由求解直線方程，根據圓心與切線關系判斷直線與切線距離.
【詳解】因為，所以點在圓內，即點在弦上，
因為點在軸上，點在軸上方，所以點在軸下方，則可作出圖象如下圖所示.
則直線必不可能與軸垂直，可設方程為，
則，整理得，
由直線與圓相交兩個不同的點可得，該方程有兩個不相等的實數根，
設，由題意知，則，
因為，所以，即，
則，即，由可得，
所以，整理得，
解得，根據可得，
則直線的方程為，一般式為，
則圓心到直線距離為，
因為圓心到與直線平行的圓的切線距離是半徑，
所以直線到與其平行的圓的兩條切線距離分別是和.
故答案為：和
四、解答題：本大題共6小題，滿分48分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算過程.
17. （1）已知直線的方程為，若直線在軸上的截距為，且，求直線的方程；
（2）已知，若直線過點，且原點到直線的距離為，求直線的方程.
【答案】（1）2x-y-3=0 （2）x+y-1=0或x+7y+5=0
【解析】
【分析】（1）根據兩直線垂直關系，求出的斜率，代入點斜式方程；
（2）討論直線的斜率是否存在，分別設出直線方程，若斜率存在，根據距離求出斜率.
【詳解】（1）由已知得，直線的斜率為，所以直線的斜率為2.
又直線經過點，所以直線的點斜式方程為：，即2x-y-3=0.
（2）當直線斜率不存在時，方程為：x=2.原點到的距離為2，與已知矛盾，舍去；
所以，直線斜率存在，設為k，則直線的點斜式方程為：y+1=k(x-2)，
可化為kx-y-2k-1=0.
又原點到直線的距離為，即，解得k=-1或.
代入直線方程整理可得，直線的方程為x+y-1=0或x+7y+5=0.
18. 的內角的對邊分別為，已知
（1）求角C；
（2）若，的面積為，求的周長．
【答案】（1）
（2）5
【解析】
分析】（1）由正弦定理可得，再由余弦定理可得，即可求解角C；
（2）結合（1）可得，再由的面積為，可解得，進而可得，即可求解的周長.
【小問1詳解】
解：由已知
由正弦定理，得，
即．
所以，
又，
所以；
【小問2詳解】
解：由（1）知．
所以，
又，
所以，
所以，即．
所以的周長為.
19. 如圖，四棱錐中，，，，平面CDP，E為PC中點.
（1）證明：平面PAD；
（2）若平面PAD，，求三棱錐的體積.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取PD中點F，連接EF，AF，然后可證明四邊形ABEF是平行四邊形，得到即可；
（2）首先可得，算出，然后利用可算出答案.
【小問1詳解】
取PD中點F，連接EF，AF
則且
又∵且
∴且
∴四邊形ABEF是平行四邊形∴
∵平面PAD,平面PAD
∴平面PAD
【小問2詳解】
∵平面PAD, 平面，∴
又∵，，∴
因為平面CDP，
所以
20. 已知圓的圓心在直線上，且與直線相切于點.
（1）求圓的方程；
（2）若過點的直線被圓截得的弦長為，求直線的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）求得過點與直線垂直的直線方程，聯(lián)立此直線方程與直線可求得圓心，從而可得出答案；
（2）分直線斜率存在和不存在兩種情況討論，根據弦長即可得出答案.
【小問1詳解】
解：過點與直線垂直的直線的斜率為，
所以直線的方程為，即.
由，解得圓心.
所以半徑.
故圓的方程為：；
【小問2詳解】
解：①若斜率存在，設過點的直線斜率為，
則直線方程為：，
即，
圓心到直線的距離，
又，
，整理得，
解得，此時直線的方程為；
②若斜率不存在，直線方程為，弦心距為，半徑，
弦長為，符合題意，
綜上，直線的方程為或.
21. 如圖甲，在矩形中，為線段的中點，沿直線折起，使得，如圖乙.
（1）求證：平面；
（2）線段上是否存在一點，使得平面與平面所成的角為？若不存在，說明理由；若存在，求出點的位置.
【答案】（1）證明見解析
（2）存在，點是線段的中點
【解析】
【分析】（1）作出輔助線，得到，，從而得到線面垂直，得到面面垂直，再由，面面垂直的性質得到線面垂直；
（2）建立空間直角坐標系，設出的坐標，求出平面的法向量，從而列出方程，求出的值，確定點位置.
【小問1詳解】
證明：連接，取線段的中點，連接，
在Rt中，，
，
在中，，
由余弦定理可得：，
在中，
，
又平面，
平面，
又平面
∴平面平面，
在中，，
∵平面平面平面，
平面.
【小問2詳解】
過作的平行線，以為原點，分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
，
平面的法向量，
在平面直角坐標系中，直線的方程為，
設的坐標為，
則，
設平面的法向量為，
，
所以，
令，則，
由已知，
解之得：或9（舍去），
所以點是線段的中點.
22. 已知橢圓（）的左、右焦點分別為、，設點，在中，，周長為.
（1）求橢圓的方程；
（2）設不經過點的直線與橢圓相交于、兩點，若直線與的斜率之和為，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標；
（3）記第（2）問所求的定點為，點為橢圓上的一個動點，試根據面積的不同取值范圍，討論存在的個數，并說明理由.
【答案】（1）；（2）過定點；（3）見解析.
【解析】
【詳解】試題分析：(1)由題意布列關于的方程組，從而得到橢圓方程；(2) 設直線方程：，聯(lián)立方程可得：，利用根與系數的關系及，得到過定點.（3）設直線與橢圓相切，，兩切線到的距離分別為，根據面積的不同取值范圍，討論存在的個數.
試題解析：
（1）由得： ，所以………①
又周長為，所以………②
解①②方程組，得
所以橢圓方程為
（2）設直線方程：，交點


依題：即：

過定點.
（3），
設直線與橢圓相切，

得兩切線到的距離分別為

當時，個數為0個
當時，個數為1個
當時，個數為2個
當時，個數為3個
當時，個數為4個
點睛：定點、定值問題通常是通過設參數或取特殊值來確定“定點”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉化為代數式或三角問題，證明該式是恒定的. 定點、定值問題同證明問題類似，在求定點、定值之前已知該值的結果，因此求解時應設參數，運用推理，到最后必定參數統(tǒng)消，定點、定值顯

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