華南師大附中2022-2023學(xué)年第一學(xué)期期中考試高二數(shù)學(xué)本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分100分，考試用時(shí)120分鐘.注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必用照色字跡的鋼筆或簽宇筆將自己的姓名和考號(hào)等填寫在答題卡上，并用鉛筆在答題卡上的相應(yīng)位置填涂.2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答家標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).3.回答第I卷時(shí)，必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答卷各題目指定區(qū)域內(nèi)，不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.第I卷一、單選題：本大題共8小題，每小題3分，滿分24分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1. 已知，若，則（    ）A. 4 B. 6 C. 5 D. 3【答案】A【解析】【分析】等價(jià)轉(zhuǎn)化為,利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到關(guān)于的方程，解之即可.【詳解】由得，又∵，，,解得,故選：A.2. 己知m，n是兩條不重合的直線，，，是三個(gè)不重合的平面，下列命題中正確的是（    ）A. 若，則 B. 若，則C. 若，則 D. 若，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間中位置關(guān)系的性質(zhì)定理和判定定理可判斷各選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A，若，則或異面，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，若，則或相交，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，若，則或相交，故C錯(cuò)誤. 對(duì)于D，由線面垂直的性質(zhì)可得若，則，故D正確，故選：D.3. 直線的傾斜角為（    ）A. 30° B. 45° C. 120° D. 150°【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意得直線的斜率為，再根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.【詳解】解：將直線方程轉(zhuǎn)化為斜截式方程得，所以，直線的斜率為，所以，直線的傾斜角為.故選：A4. 過點(diǎn)且與直線平行的直線方程是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】由題意，設(shè)所求直線為，代入A點(diǎn)坐標(biāo)，求得m值，即可得答案.【詳解】因所求直線與直線l平行，所以設(shè)所求直線方程為：，又所求直線過點(diǎn)，代入可得，解得，所以所求直線為，即.故選：A5. 直線與圓的位置關(guān)系為（　?。?/span>A. 相離 B. 相切 C. 相交或相切 D. 相交【答案】C【解析】【分析】利用幾何法，判斷圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系，判斷直線與圓的位置關(guān)系即可．【詳解】由已知得，圓的圓心為（0，0），半徑為，所以圓心到直線的距離為.因?yàn)?/span>，所以所以圓心到直線的距離為，所以直線與圓相交或相切；故選：C．6. 設(shè)點(diǎn)，，直線過點(diǎn)且與線段相交，則的斜率的取值范圍是（    ）A. 或 B. 或 C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)斜率公式，結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖所示：因?yàn)?/span>，所以當(dāng)直線過點(diǎn)且與線段相交時(shí)，的斜率的取值范圍是或，故選：B7. 已知直三棱柱中，，，則異面直線與所成角的余弦值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】把三棱柱補(bǔ)成四棱柱，如圖所示，即可知異面直線與所成角為（或其補(bǔ)角），再解三角形即可求出．【詳解】如圖所示，把三棱柱補(bǔ)成四棱柱，由題意得，易知該四棱柱為長(zhǎng)方體，，異面直線與所成角為（或其補(bǔ)角），，，，∴.故選：C.8. 設(shè)橢圓＝1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)為F1，F2，P是橢圓上一點(diǎn)，且∠F1PF2＝，若△F1PF2的外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為R，r，當(dāng)R＝4r時(shí)，橢圓的離心率為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由正弦定理把用表示，也用表示，設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，由余弦定理結(jié)合橢圓定義可得．然后把面積用兩種方法表示，得出的關(guān)系式，求得離心率．【詳解】解：橢圓的焦點(diǎn)為F1（﹣c，0），F2（c，0），|F1F2|＝2c，根據(jù)正弦定理可得2R＝＝＝，∴R＝，r＝R＝．設(shè)|PF1|＝m，|PF2|＝n，則m+n＝2a，由余弦定理得，4c2＝m2+n2﹣2mncos＝(m+n)2﹣3mn＝4a2﹣3mn，∴mn＝，∴＝mnsin＝，又＝(m+n+2c)?r＝，∴＝，即2a2﹣3c2﹣ac＝0，故3e2+e﹣2＝0，解得：e＝或e＝﹣1（舍）．故選：B．二、多選題：本大題共4小題，每小題3分，滿分12分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合要求，全部選對(duì)得3分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9. 已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則（    ）A. B. 的面積為C. 圓上到直線的距離為1的點(diǎn)共有2個(gè)D. 圓C上到直線的距離為1的點(diǎn)共有3個(gè)【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，根據(jù)垂徑定理以及弦長(zhǎng)公式，可得答案．【詳解】圓，即圓心坐標(biāo)為，半徑，如圖所示：圓心到直線的距離，，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤； ，選項(xiàng)B正確； 由，作直線的平行線，使兩直線的距離為1，這樣的平行線有兩條，一條與圓相切，另一條過圓心與圓相交，可知圓上到直線l的距離為1的點(diǎn)共3個(gè)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確.故選：BD10. 設(shè)橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A. 離心率B. 的最小值為C. 的大小可以是D. 滿足為等腰三角形的點(diǎn)有個(gè)【答案】BCD【解析】【分析】由橢圓方程可確定，根據(jù)可知A錯(cuò)誤；由可知B正確；當(dāng)為橢圓上下頂點(diǎn)時(shí)，，由此可得C正確；當(dāng)為橢圓上下頂點(diǎn)時(shí)，可知為等腰三角形，根據(jù)，可知，能成立，結(jié)合橢圓對(duì)稱性可知D正確.【詳解】由橢圓方程知：，，；對(duì)于A，離心率，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，為橢圓左焦點(diǎn)，，B正確；對(duì)于C，當(dāng)為橢圓上下頂點(diǎn)時(shí)，，，，，則當(dāng)在橢圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，，則大小可以是，C正確；對(duì)于D，當(dāng)橢圓上下頂點(diǎn)時(shí)，，滿足為等腰三角形；，即，能成立，根據(jù)橢圓對(duì)稱性知：此時(shí)有點(diǎn)滿足題意；同理可知：時(shí)，有點(diǎn)滿足題意；滿足為等腰三角形的點(diǎn)有個(gè)，D正確.故選：BCD.11. 如圖，在三棱柱中，，分別是，上的點(diǎn)，且，．設(shè)，，，若，，，則下列說法中正確的是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】BD【解析】【分析】利用向量的線性運(yùn)算的幾何表示，向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律逐項(xiàng)分析即得.【詳解】，故A錯(cuò)誤；由題可知，，，∴，∴，故B正確；因?yàn)?/span>，，則，故C錯(cuò)誤，D正確．故選：BD.12. 在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)為棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是長(zhǎng)方形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），且直線，與平面所成角的大小相等，則（    ）A. 平面B. 三棱錐的體積為4C. 存在點(diǎn)，使得D. 線段長(zhǎng)度的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】選項(xiàng)A：由題意得到平面平面，然后根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理即可判斷選項(xiàng)A；選項(xiàng)B：根據(jù)即可判斷選項(xiàng)B；選項(xiàng)C：作交于，連接，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，滿足；選項(xiàng)D：根據(jù)題意分析出當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)或點(diǎn)處時(shí)，線段的長(zhǎng)度取得最大值；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，線段的長(zhǎng)度取得最小值，從而可求出線段的長(zhǎng)度的取值范圍為.【詳解】平面平面，平面，平面，故正確；，故錯(cuò)誤；連接，作交于，連接，平面，為與平面所成的角，平面，為與平面所成角．直線，與平面所成角的大小相等，，所以，又，，所以點(diǎn)在的中垂線上，即點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，故正確；，為棱上靠近的三等分點(diǎn)，，，，，，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)或點(diǎn)處時(shí)，線段的長(zhǎng)度取得最大值，最大值為；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，線段的長(zhǎng)度取得最小值，最小值為，線段的長(zhǎng)度的取值范圍為，故正確．故選：．第II卷三、填空題：本大題共4小題，每小題4分，滿分16分.13. 已知直線，圓，則圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)圓心的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，由直線為線段中垂線，求出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，可得對(duì)稱圓的方程【詳解】設(shè)圓心關(guān)于直線對(duì)稱圓心為，由直線為線段中垂線，可得，解得，，得對(duì)稱圓心為，圓的半徑為1，所以圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為.故答案：14. 已知正四棱錐，底面邊長(zhǎng)為4，高為2，則該四棱錐外接球的體積為__________．【答案】【解析】【分析】由題意，正四棱錐的外接球的球心在它的高上，構(gòu)造直角，令結(jié)合勾股定理，即得解【詳解】由題意得，正四棱錐的外接球的球心在它的高上，記球心為，則，令則或（此時(shí)在的延長(zhǎng)線上），在直角中，，解得，所以球的體積為.故答案為：15. 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，且，且，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為____________.【答案】【解析】【分析】連接，根據(jù)，，得到四邊形是矩形，設(shè)，由求解.【詳解】如圖所示：連接，因?yàn)?/span>， 所以四邊形是平行四邊形，所以，又因?yàn)?/span>，所以平行四邊形是矩形，設(shè)，由題意得，解得，則，故答案為：.16. 已知過的直線與圓交于兩點(diǎn)，（點(diǎn)在軸上方），若，圓的切線.則直線與切線的距離是__________.【答案】和【解析】【分析】設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線與圓的方程，由求解直線方程，根據(jù)圓心與切線關(guān)系判斷直線與切線距離.【詳解】因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，即點(diǎn)在弦上，因?yàn)辄c(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上方，所以點(diǎn)在軸下方，則可作出圖象如下圖所示.則直線必不可能與軸垂直，可設(shè)方程為，則，整理得，由直線與圓相交兩個(gè)不同的點(diǎn)可得，該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，設(shè)，由題意知，則，因?yàn)?/span>，所以，即，則，即，由可得，所以，整理得，解得，根據(jù)可得，則直線的方程為，一般式為，則圓心到直線距離為，因?yàn)閳A心到與直線平行的圓的切線距離是半徑，所以直線到與其平行的圓的兩條切線距離分別是和.故答案為：和四、解答題：本大題共6小題，滿分48分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算過程.17. （1）已知直線的方程為，若直線在軸上的截距為，且，求直線的方程；（2）已知，若直線過點(diǎn)，且原點(diǎn)到直線的距離為，求直線的方程.【答案】（1）2x-y-3=0   （2）x+y-1=0或x+7y+5=0【解析】【分析】（1）根據(jù)兩直線垂直關(guān)系，求出的斜率，代入點(diǎn)斜式方程；（2）討論直線的斜率是否存在，分別設(shè)出直線方程，若斜率存在，根據(jù)距離求出斜率.【詳解】（1）由已知得，直線的斜率為，所以直線的斜率為2.又直線經(jīng)過點(diǎn)，所以直線的點(diǎn)斜式方程為：，即2x-y-3=0. （2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，方程為：x=2.原點(diǎn)到的距離為2，與已知矛盾，舍去；所以，直線斜率存在，設(shè)為k，則直線的點(diǎn)斜式方程為：y+1=k(x-2)，可化為kx-y-2k-1=0.又原點(diǎn)到直線的距離為，即，解得k=-1或.代入直線方程整理可得，直線的方程為x+y-1=0或x+7y+5=0.18. 的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知 （1）求角C；（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng)．【答案】（1）    （2）5【解析】分析】（1）由正弦定理可得，再由余弦定理可得，即可求解角C；（2）結(jié)合（1）可得，再由的面積為，可解得，進(jìn)而可得，即可求解的周長(zhǎng).【小問1詳解】解：由已知由正弦定理，得，即．所以，又，所以；【小問2詳解】解：由（1）知．所以，又，所以，所以，即．所以的周長(zhǎng)為.19. 如圖，四棱錐中，，，，平面CDP，E為PC中點(diǎn).（1）證明：平面PAD；（2）若平面PAD，，求三棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析    （2）【解析】【分析】（1）取PD中點(diǎn)F，連接EF，AF，然后可證明四邊形ABEF是平行四邊形，得到即可；（2）首先可得，算出，然后利用可算出答案.【小問1詳解】取PD中點(diǎn)F，連接EF，AF
 則且又∵且∴且∴四邊形ABEF是平行四邊形∴∵平面PAD,平面PAD∴平面PAD【小問2詳解】∵平面PAD, 平面，∴又∵，，∴因?yàn)?/span>平面CDP，所以20. 已知圓的圓心在直線上，且與直線相切于點(diǎn).（1）求圓的方程；（2）若過點(diǎn)的直線被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程.【答案】（1）    （2）或【解析】【分析】（1）求得過點(diǎn)與直線垂直的直線方程，聯(lián)立此直線方程與直線可求得圓心，從而可得出答案；（2）分直線斜率存在和不存在兩種情況討論，根據(jù)弦長(zhǎng)即可得出答案.【小問1詳解】解：過點(diǎn)與直線垂直的直線的斜率為，所以直線的方程為，即.由，解得圓心.所以半徑.故圓的方程為：；【小問2詳解】解：①若斜率存在，設(shè)過點(diǎn)的直線斜率為，則直線方程為：，即，圓心到直線的距離，又，，整理得，解得，此時(shí)直線的方程為；②若斜率不存在，直線方程為，弦心距為，半徑，弦長(zhǎng)為，符合題意，綜上，直線的方程為或.21. 如圖甲，在矩形中，為線段的中點(diǎn)，沿直線折起，使得，如圖乙.（1）求證：平面；（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面所成的角為？若不存在，說明理由；若存在，求出點(diǎn)的位置.【答案】（1）證明見解析    （2）存在，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)【解析】【分析】（1）作出輔助線，得到，，從而得到線面垂直，得到面面垂直，再由，面面垂直的性質(zhì)得到線面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出的坐標(biāo)，求出平面的法向量，從而列出方程，求出的值，確定點(diǎn)位置.【小問1詳解】證明：連接，取線段的中點(diǎn)，連接，在Rt中，，，在中，，由余弦定理可得：，在中，，又平面，平面，又平面∴平面平面，在中，，∵平面平面平面，平面.【小問2詳解】過作的平行線，以為原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，平面的法向量，在平面直角坐標(biāo)系中，直線的方程為，設(shè)的坐標(biāo)為，則，設(shè)平面的法向量為，，所以，令，則，由已知，解之得：或9（舍去），所以點(diǎn)是線段的中點(diǎn).22. 已知橢圓（）的左、右焦點(diǎn)分別為、，設(shè)點(diǎn)，在中，，周長(zhǎng)為.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)不經(jīng)過點(diǎn)的直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，若直線與的斜率之和為，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）記第（2）問所求的定點(diǎn)為，點(diǎn)為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試根據(jù)面積的不同取值范圍，討論存在的個(gè)數(shù)，并說明理由.【答案】（1）；（2）過定點(diǎn)；（3）見解析.【解析】【詳解】試題分析：(1)由題意布列關(guān)于的方程組，從而得到橢圓方程；(2) 設(shè)直線方程：，聯(lián)立方程可得：，利用根與系數(shù)的關(guān)系及，得到過定點(diǎn).（3）設(shè)直線與橢圓相切，，兩切線到的距離分別為，根據(jù)面積的不同取值范圍，討論存在的個(gè)數(shù).試題解析：（1）由得： ，所以………①又周長(zhǎng)為，所以………②解①②方程組，得所以橢圓方程為 （2）設(shè)直線方程：，交點(diǎn)    依題：即： 過定點(diǎn).（3）， 設(shè)直線與橢圓相切， 得兩切線到的距離分別為 當(dāng)時(shí)，個(gè)數(shù)為0個(gè)當(dāng)時(shí)，個(gè)數(shù)為1個(gè)當(dāng)時(shí)，個(gè)數(shù)為2個(gè)當(dāng)時(shí)，個(gè)數(shù)為3個(gè)當(dāng)時(shí)，個(gè)數(shù)為4個(gè)點(diǎn)睛：定點(diǎn)、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒定的. 定點(diǎn)、定值問題同證明問題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn).
 

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