本試卷共4頁，22題，滿分150分．考試時(shí)間120分鐘．
注意事項(xiàng)：
1．答卷前，考生務(wù)必用黑色鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在答題卡上．將條形碼橫貼在答題卡上“條形碼粘貼處”。
2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上把對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再涂其他答案．答案不能答在試卷上．
3．非選擇題必須用0.5毫米黑色字跡簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答無效．
4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．直線的傾斜角為（ ）
A．B．C．D．
2．向量，若與垂直，則的值為（ ）
A．B．1C．D．3
3．直線與兩坐標(biāo)軸所圍成三角形的面積為（ ）
A．B．C．3D．6
4．在四面體中，，為的重心，點(diǎn)在線段上，且，則（ ）
A．B．
C．D．
5．若點(diǎn)在圓上，則直線與圓的位置關(guān)系是（ ）
A．相離B．相切C．相交D．不確定
6．已知圓與圓外離，則的取值范圍（ ）
A．B．C．或D．
7．在空間四邊形中，，則在上的投影向量為（ ）
A．B．C．D．
8．已知，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．在正方體中，分別為的中點(diǎn)，則下列說法不正確的是（ ）
A．平面平面B．平面平面
C．平面平面D．平面平面
10．已知圓，直線，直線與圓交于兩點(diǎn)，則（ ）
A．直線恒過定點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，最長
C．當(dāng)時(shí)，弦最短D．最短弦長
11．在正四棱臺(tái)中，，點(diǎn)分別在直線與上，則（ ）
A．該四棱臺(tái)的體積為B．該四棱臺(tái)外接球的表面積為
C．線段長度的最小值為D．點(diǎn)到平面的距離為
12．已知，點(diǎn)滿足，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，則（ ）
A．過點(diǎn)作曲線的切線，切線長為B．當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，則
C．在上存在點(diǎn)，使得D．的最小值為
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．已知三點(diǎn)共線，則__________．
14．直線與直線之間的距離為__________．
15．已知空間向量，若共面，則的最小值為__________．
16．已知圓與圓，則
①當(dāng)時(shí)，兩圓的公切線方程為__________．
②若兩圓相交于兩點(diǎn)，且，則__________．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．（10分）
中，．
（1）求邊上的高所在直線的方程；
（2）求的外接圓的方程．
18．（12分）
已知平行六面體中，底面是邊長為的正方形，側(cè)棱長為2，．
（1）求證：；
（2）求異面直線與所成角．
19．（12分）
已知點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線，
（1）求曲線的軌跡方程．
（2）過點(diǎn)作曲線的切線，求切線的方程．
20．（12分）
如圖，正三棱柱的所有棱長均為2，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．
（1）證明：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
21．（12分）
如圖1，在邊長為4的菱形中，，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，沿將翻折到，連接，得到如下圖2的五棱錐，且．
圖1 圖2
（1）求證：平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值．
22．（12分）
已知圓，過圓上一點(diǎn)作直線分別與圓交于兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為．
（1）若圓的切線在軸和軸上的截距相等，求切線方程；
（2）若，求證：直線恒過定點(diǎn)．
唐山市十縣一中聯(lián)盟2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期期中考試
高二數(shù)學(xué)參考答案
一．選擇題（單選）：
1-4．CCDA 5-8．BDBB
二．選擇題（多選）：
9．BCD 10．AC 11．BD 12．ABD
三．填空題：
13．0 14． 15． 16．；或（第一空2分，第二空3分）
四．解答題：
17．解：（1）直線的斜率
所以邊上的高所在直線的斜率為，
所以邊上的高所在直線的方程為．
（2）設(shè)的外接圓的方程為，
則
解得
所以的外接圓的方程為．
18．解：
設(shè)，則，
．
．
（1），
，
，即．
（2）
，
，
，
異面直線與所成角為．
19．解：
（1）設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，
所以
即
因?yàn)辄c(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，
所以，
化簡得，
所以曲線的軌跡方程為．
（2）由（1）知曲線的軌跡為以為圓心，1為半徑的圓，
當(dāng)切線斜率不存在時(shí)：，滿足題意；
當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)，即．
由與圓相切，得，解得．
所以切線的方程為，即．
綜上，切線的方程為或．
20．解：（1）取的中點(diǎn)，連接，
分別為的中點(diǎn)，
，且，
又且，
且，
四邊形為平行四邊形，則，
平面平面，
平面．
（2）取的中點(diǎn)，則．
以為原點(diǎn)，以為軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．
則，
．
所以，
設(shè)平面的法向量為．
則即
取，則．
又，
設(shè)直線與平面所成的角為，則，
故與平面所成角的正弦值為．
21．解：（1）點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，
．
菱形的對(duì)角線互相垂直，．
．
．
平面平面，
平面．
平面．
（2）設(shè)，連接，
為等邊三角形．
．
在中，，
在中，，
．
平面，平面，
平面．
以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則．
．
設(shè)平面的法向量為，
由，得
令，得．
平面的一個(gè)法向量為．
由（1）知平面的一個(gè)法向量為，
設(shè)平面與平面的夾角為，
則．
平面與平面的夾角的余弦值．
22．解：（1）設(shè)切線的方程為．
所以圓心到切線的距離為，
即，解得，
所求的切線方程為或．
（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線．
將直線代入圓的方程得，
則．
，
即，
，
，
整理得，
即，
所以或．
當(dāng)時(shí)，直線恒過點(diǎn)，不滿足題意，舍去．
當(dāng)時(shí)，由得．
直線恒過點(diǎn)，滿足題意．
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)直線，
則．
則，
所以與圓無交點(diǎn)，不滿足題意，舍去．
所以直線恒過點(diǎn)．

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