思維導(dǎo)圖
知識梳理
一般地，若a>f(x)對x∈D恒成立，則只需a>f(x)max；若af(x)min；若存在x0∈D，使a0，f(x)是增函數(shù)；在(a，＋∞)上，f′(x)0時，f(x)有極大值f(a)＝aln a－a＋1，無極小值．
(2)由(1)知當(dāng)a≤0，f(x)是減函數(shù)，
令b＝eeq \s\up6(\f(a,2))，b0時，當(dāng)x＝a時，f(x)取得極大值也是最大值，
所以f(x)max＝f(a)＝aln a－a＋1，
要使得對任意x>0，f(x)≤eq \f(1,2)(a2－1)成立，
即aln a－a＋1≤eq \f(1,2)(a2－1)，
則aln a＋eq \f(3,2)－a－eq \f(1,2)a2≤0成立，
令u(a)＝aln a＋eq \f(3,2)－a－eq \f(1,2)a2(a>0)，
所以u′(a)＝ln a＋1－1－a＝ln a－a，
令k(a)＝u′(a)＝ln a－a，
k′(a)＝eq \f(1,a)－1，令k′(a)＝eq \f(1－a,a)＝0，得a＝1，
在(0,1)上，k′(a)>0，k(a)＝u′(a)是增函數(shù)，在(1，＋∞)上，k′(a)0，,x>0))得00時，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2m)))，單調(diào)遞減區(qū)間為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2m)，＋∞)).
(2)若m＝eq \f(1,2e2)，則f(x)＝eq \f(1,2)ln x－eq \f(1,2e2)x.
對?x1，x2∈[2,2e2]都有g(shù)(x1)≥f(x2)成立，
等價于對?x∈[2,2e2]都有g(shù)(x)min≥f(x)max，
由(1)知在[2,2e2]上f(x)的最大值為f(e2)＝eq \f(1,2)，
又g′(x)＝1＋eq \f(a,x2)>0(a>0)，x∈[2,2e2]，所以函數(shù)g(x)在[2,2e2]上是增函數(shù)，所以g(x)min＝g(2)＝2－eq \f(a,2).
由2－eq \f(a,2)≥eq \f(1,2)，得a≤3，又a>0，所以a∈(0,3]，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0,3]．
【跟蹤訓(xùn)練3-1】(2019·湖南百所重點(diǎn)名校大聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝－aln x＋x＋eq \f(1－a,x).
(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；
(2)設(shè)g(x)＝ex＋mx2－2e2－3，當(dāng)a＝e2＋1時，對任意x1∈[1，＋∞)，存在x2∈[1，＋∞)，使g(x2)≤f(x1)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【解】 (1)由題意知f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，
f′(x)＝－eq \f(a,x)＋1＋eq \f(a－1,x2)＝eq \f(?x－1??x－a＋1?,x2)，
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝a－1.
當(dāng)a≤1時，a－1≤0，由f′(x)

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