命題人：劉芳 審題人：熊煒
考試時(shí)間：2023年11月2日
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 集合，則的子集的個(gè)數(shù)為（ ）
A. 2B. 5C. 6D. 8
2. 命題“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
3. 下列函數(shù)是其定義域上的奇函數(shù)且在定義域上是增函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 命題“，”為真命題的一個(gè)必要不充分條件是（ ）
A B. C. D.
5. 我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合白般好，隔離分家萬(wàn)事休.”在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中，有時(shí)可憑借函數(shù)的圖象分析函數(shù)解析式的特征.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式可能為（ ）
A. B.
C. D.
6. 是定義域?yàn)樯系钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，為常數(shù)），則
A. B.
C. D.
7. 若函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
8. 定義在R上的函數(shù)滿足：對(duì)任意的（），都有，且，函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，則不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A. 若，則B. 若，，則
C. 若，，則D. 若，，則
10. 下列四個(gè)命題是真命題的是（ ）
A. 若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?br>B. 函數(shù)的值域?yàn)?br>C. 函數(shù)f（x）滿足，則
D. 若方程的兩個(gè)不等實(shí)根都在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
11. 已知，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 的最小值為16B. 的最小值為9C. 的最大值為1D. 的最小值為
12. 若函數(shù)滿足對(duì)?x1，x2∈(1，+∞)，當(dāng)x1≠x2時(shí)，不等式恒成立，則稱在(1，+∞)上為“平方差增函數(shù)”，則下列函數(shù)中，在(1，+∞)上是“平方差增函數(shù)”有（ ）
A. B.
C. D.
三.填空題 本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知函數(shù)，則__________.
14. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則在上的解析式為_(kāi)_____.
15. 已知函數(shù)是上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.
16. 若函數(shù)與對(duì)于任意，都有，則稱函數(shù)與是區(qū)間上的“階依附函數(shù)”．已知函數(shù)與是區(qū)間上的“2階依附函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
四.解答題：本題共6小題，17題10分，剩下每題12分.共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17 已知集合，.
（1）若，求；
（2）設(shè)命題，命題，若p是q成立的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
18. 已知冪函數(shù)在上是減函數(shù)，.
（1）求的解析式；
（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
19. 已知函數(shù).
（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在有解，求實(shí)數(shù)取值范圍.
20. 隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展、醫(yī)療消費(fèi)需求增長(zhǎng)、人們健康觀念轉(zhuǎn)變以及人口老齡化進(jìn)程加快等因素的影響，醫(yī)療器械市場(chǎng)近年來(lái)一直保持了持續(xù)增長(zhǎng)的趨勢(shì).某醫(yī)療器械公司為了進(jìn)一步增加市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，計(jì)劃改進(jìn)技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為200萬(wàn)元，最大產(chǎn)能為100臺(tái).每生產(chǎn)x臺(tái)，需另投入成本萬(wàn)元，且，由市場(chǎng)調(diào)研知，該產(chǎn)品每臺(tái)的售價(jià)為200萬(wàn)元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當(dāng)年能全部銷售完.
（1）寫(xiě)出年利潤(rùn)萬(wàn)元關(guān)于年產(chǎn)量x臺(tái)的函數(shù)解析式（利潤(rùn)銷售收入成本）；
（2）當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
21. 函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)恒有，且當(dāng)時(shí)，.
（1）判斷的奇偶性；
（2）求證：是上的減函數(shù)；
（3）若，解關(guān)于的不等式.
22. 已知函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)，且.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若方程在上有兩個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）令，若對(duì)都有，求實(shí)數(shù)取值范圍.2023—2024學(xué)年度上學(xué)期2023級(jí)
期中考試數(shù)學(xué)試卷
命題人：劉芳 審題人：熊煒
考試時(shí)間：2023年11月2日
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 集合，則的子集的個(gè)數(shù)為（ ）
A 2B. 5C. 6D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】分別對(duì)集合和集合化簡(jiǎn)，然后求出，從而確定子集個(gè)數(shù).
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以的子集的個(gè)數(shù)為.
故選：D.
2. 命題“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】直接根據(jù)全稱命題的否定得到答案.
【詳解】命題“，”的否定是：，.
故選：B.
3. 下列函數(shù)是其定義域上的奇函數(shù)且在定義域上是增函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用奇函數(shù)的定義判斷，結(jié)合分式型函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷各函數(shù)是否符合要求即可.
【詳解】A：函數(shù)定義域?yàn)镽，且，故為奇函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，而在上遞減，上遞增，
故在上遞增，上遞減，易知：定義域上不是增函數(shù)，不符合；
B：函數(shù)定義域?yàn)?，顯然不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不為奇函數(shù)，不符合；
C：函數(shù)定義域?yàn)镽，且，故為奇函數(shù)，函數(shù)單調(diào)遞增，符合；
D：函數(shù)定義域?yàn)?，且，故為奇函?shù)，函數(shù)分別在、上遞增，整個(gè)定義域不遞增，不符合.
故選：C
4. 命題“，”為真命題的一個(gè)必要不充分條件是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)條件，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成在上恒成立，從而得到，再利用充分條件與必要條件的判定方法即可求出結(jié)果.
【詳解】由“，”為真命題，得對(duì)于恒成立，
令，易知，時(shí)，，所以，，
故“”是命題“，”為真命題的一個(gè)必要不充分條件，
故選：A．
5. 我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合白般好，隔離分家萬(wàn)事休.”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，有時(shí)可憑借函數(shù)的圖象分析函數(shù)解析式的特征.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式可能為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)圖象函數(shù)奇函數(shù)，排除D；再根據(jù)函數(shù)定義域排除B；再根據(jù)時(shí)函數(shù)值為正排除A；即可得出結(jié)果.
【詳解】由題干中函數(shù)圖象可知其對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，
而D中的函數(shù)為偶函數(shù)，故排除D；
由題干中函數(shù)圖象可知函數(shù)的定義域不是實(shí)數(shù)集，故排除B；
對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，不滿足圖象；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，滿足圖象.
故排除A，選C.
故選：C
6. 是定義域?yàn)樯系钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，為常數(shù)），則
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【詳解】試題分析：因?yàn)槭嵌x域?yàn)榍沂瞧婧瘮?shù)，所以，所以，，，故選D.
考點(diǎn)：1、函數(shù)的奇偶性；2、分段函數(shù)的解析式.
7. 若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由，然后分和判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求出其最小值，從而可求出其值域，進(jìn)而可求出的取值范圍
【詳解】解：，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
所以，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，由，
當(dāng)且僅當(dāng)，即 時(shí)取等號(hào)，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
若的值域?yàn)?，則有，即，則，
綜上，，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)值域的求法，考查基本不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是對(duì)函數(shù)變形為，然后分和討論函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于中檔題
8. 定義在R上的函數(shù)滿足：對(duì)任意的（），都有，且，函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，則不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意得到在上單調(diào)遞減，且為偶函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，分和，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性求出解集.
【詳解】因?yàn)閷?duì)任意的（），都有，
所以在上單調(diào)遞減，
因?yàn)殛P(guān)于直線對(duì)稱，所以關(guān)于軸對(duì)稱，即為偶函數(shù)，
所以在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋裕?br>當(dāng)時(shí)，，令得，即，
所以，所以，
當(dāng)時(shí)，，令得，即，
所以，所以，
綜上，的解集為.
故選：C
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A. 若，則B. 若，，則
C. 若，，則D. 若，，則
【答案】AC
【解析】
【分析】利用不等式的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】對(duì)于A，由，得，則，A正確；
對(duì)于B，由，得，而，則，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由，得，而，則，C正確；
對(duì)于D，由，知，D錯(cuò)誤.
故選：AC
10. 下列四個(gè)命題是真命題的是（ ）
A. 若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)?br>B. 函數(shù)的值域?yàn)?br>C. 函數(shù)f（x）滿足，則
D. 若方程的兩個(gè)不等實(shí)根都在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為
【答案】AD
【解析】
【分析】A. 利用抽象函數(shù)的定義域求解判斷；B.利用函數(shù)的單調(diào)性求解判斷；C. 由得到，聯(lián)立求解判斷；D.令，利用方程根的分布判斷.
【詳解】A. 因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?，解?，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋适钦婷}；
B. 函數(shù)的定義域?yàn)椋以诙x域上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的值域?yàn)椋什皇钦婷}；
C. 由，得，聯(lián)立解得，故不是真命題；
D.令，因?yàn)榈膬蓚€(gè)不等實(shí)根都在區(qū)間內(nèi)，
所以，即，
解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故是真命題；
故選：AD
11. 已知，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 的最小值為16B. 的最小值為9C. 的最大值為1D. 的最小值為
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用基本不等式即可判斷A；根據(jù)基本不等式中“1”的整體代換即可判斷B；利用消元法即可判斷C；利用消元法結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋?br>所以（舍去），所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為16，故A正確；
對(duì)于B，因?yàn)椋?br>所以，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為9，故B正確；
對(duì)于C，由B得，則，
則，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，
當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，
所以當(dāng)時(shí)，的最小值為，故D正確.
故選：ABD.
12. 若函數(shù)滿足對(duì)?x1，x2∈(1，+∞)，當(dāng)x1≠x2時(shí)，不等式恒成立，則稱在(1，+∞)上為“平方差增函數(shù)”，則下列函數(shù)中，在(1，+∞)上是“平方差增函數(shù)”有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】
令，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為判斷在上是增函數(shù)，分別對(duì)各個(gè)選項(xiàng)判斷即可．
【詳解】若函數(shù)滿足對(duì)，，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，
則，
令，則，，，且，
在上是增函數(shù)，
對(duì)于，則，對(duì)稱軸是，
故在遞增，在遞減，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，則，是對(duì)勾函數(shù)，
故在遞增，故正確；
對(duì)于，故，對(duì)稱軸是，
故在遞增，故正確；
對(duì)于，則，
故在遞減，故錯(cuò)誤；
故選：BC
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)的新定義問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，考查轉(zhuǎn)化思想，關(guān)鍵在于恒成立可轉(zhuǎn)化為新函數(shù)滿足上恒成立，即在上是增函數(shù)，屬于中檔題．
三.填空題 本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知函數(shù)，則__________.
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)性質(zhì)可得，又，即可得.
【詳解】由分段函數(shù)解析式可知，將代入可得，
再將代入可得，
即可計(jì)算出.
故答案為：2
14. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則在上的解析式為_(kāi)_____.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合奇函數(shù)的定義與性質(zhì)運(yùn)算求解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上奇函數(shù)，則，
當(dāng)時(shí)，則，可得，
所以.
故答案為：.
15. 已知函數(shù)是上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
【分析】利用分段函數(shù)是上的減函數(shù)，直接建立的不等關(guān)系，從而求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是上的減函數(shù)，
所以，解得，
故答案為：.
16. 若函數(shù)與對(duì)于任意，都有，則稱函數(shù)與是區(qū)間上的“階依附函數(shù)”．已知函數(shù)與是區(qū)間上的“2階依附函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】由題意得在上恒成立，又，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，，設(shè)，研究的最小值即可．
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)與是區(qū)間上的“2階依附函數(shù)”，
所以在上恒成立，
又在上單調(diào)遞增，則，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
，
令，，設(shè)，
，則在上單調(diào)遞增，
所以，
所以．
故答案為：．
四.解答題：本題共6小題，17題10分，剩下每題12分.共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
17. 已知集合，.
（1）若，求；
（2）設(shè)命題，命題，若p是q成立的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）或；
（2）.
【解析】
【分析】（1）化簡(jiǎn)集合，求出即得解；
（2）由題意可得集合B是集合A的真子集，列不等式組解不等式組即得解.
【小問(wèn)1詳解】
（1），
當(dāng)時(shí)，，或，
∴或；
【小問(wèn)2詳解】
由題意可得集合B是集合A的真子集，
∵，∴或，解得，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
18. 已知冪函數(shù)在上是減函數(shù)，.
（1）求的解析式；
（2）若，求實(shí)數(shù)取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)，可列出關(guān)于m的方程，結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性確定m的值，即可求得答案；
（2）結(jié)合（1）中m的值，再結(jié)合冪函數(shù)的定義域以及單調(diào)性，可得相應(yīng)不等式組，即可求得答案.
【小問(wèn)1詳解】
由于函數(shù)是冪函數(shù)，故，
解得或，
當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)，不合題意；
當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，符合題意，
故.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，則，
結(jié)合冪函數(shù)在上為增函數(shù)，
得，解得，
即.
19. 已知函數(shù).
（1）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）轉(zhuǎn)化為恒成立，分與，得到不等式，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）轉(zhuǎn)化為在上有解，所以只需，構(gòu)造函數(shù)，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)得到，從而得到實(shí)數(shù)的取值范圍.
【小問(wèn)1詳解】
，
故恒成立，
當(dāng)時(shí)，不恒成立，舍去，
當(dāng)時(shí)，要想恒成立，
則要滿足，解得，
綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為；
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在有解，
即在上有解，
所以在上有解，所以只需，
令，
因?yàn)?，所以?br>由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知，在，即上單調(diào)遞減，在，即上單調(diào)遞增，
由于，，
由于，故，
故，解得，
實(shí)數(shù)的取值范圍是.
20. 隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展、醫(yī)療消費(fèi)需求增長(zhǎng)、人們健康觀念轉(zhuǎn)變以及人口老齡化進(jìn)程加快等因素的影響，醫(yī)療器械市場(chǎng)近年來(lái)一直保持了持續(xù)增長(zhǎng)的趨勢(shì).某醫(yī)療器械公司為了進(jìn)一步增加市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，計(jì)劃改進(jìn)技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為200萬(wàn)元，最大產(chǎn)能為100臺(tái).每生產(chǎn)x臺(tái)，需另投入成本萬(wàn)元，且，由市場(chǎng)調(diào)研知，該產(chǎn)品每臺(tái)的售價(jià)為200萬(wàn)元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當(dāng)年能全部銷售完.
（1）寫(xiě)出年利潤(rùn)萬(wàn)元關(guān)于年產(chǎn)量x臺(tái)的函數(shù)解析式（利潤(rùn)銷售收入成本）；
（2）當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
【答案】（1）
（2）綜上可知，該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為70臺(tái)時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1760萬(wàn)元.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合利潤(rùn)=銷售收入-成本的公式，分，兩種情況討論，即可求解．
（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，以及基本不等式，分別求解分段函數(shù)的最大值，再通過(guò)比較大小，即可求解．
【小問(wèn)1詳解】
由題意可得：當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
故．
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)時(shí)，，
得時(shí)萬(wàn)元；
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
此時(shí)萬(wàn)元.
綜上可知，該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為70臺(tái)時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1760萬(wàn)元.
21. 函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)恒有，且當(dāng)時(shí)，.
（1）判斷的奇偶性；
（2）求證：是上的減函數(shù)；
（3）若，解關(guān)于的不等式.
【答案】（1）奇函數(shù) （2）證明見(jiàn)解析
（3）答案見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題設(shè)條件，利用特殊值法、奇偶性的定義分析運(yùn)算即可得解.
（2）根據(jù)題設(shè)條件，利用單調(diào)性的定義分析運(yùn)算即可得證；
（3）根據(jù)題設(shè)條件將不等式轉(zhuǎn)化為一元二次不等式，利用一元二次不等式的解法、分類討論法運(yùn)算即可得解.
【小問(wèn)1詳解】
解：由題意，函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)恒有，
令得，解得：.
取，則由得，
∴，即，
∴函數(shù)是奇函數(shù).
【小問(wèn)2詳解】
證明：任取，且，則，
∵當(dāng)時(shí)，，∴，
由得，
∴，
∴，
∴是上的減函數(shù).
【小問(wèn)3詳解】
解：由得，
由得，
則，
∴不等式可化為，
∵是上的減函數(shù)，
∴，即………①.
（i）當(dāng)時(shí)，不等式①式即為，解得：，即原不等式解集為；
（ii）當(dāng)時(shí)，不等式①式化為，即，
若，上式不等式即，解得：，即原不等式解集為；
若，則，原不等式解集為；
若，則，原不等式解集為；
（iii）當(dāng)時(shí)，不等式①式化為，即，
∵此時(shí)，∴原不等式解集為；
綜上，當(dāng)時(shí)，原不等式解集為；
當(dāng)時(shí)，原不等式解集為；
當(dāng)時(shí)，原不等式解集為；
當(dāng)時(shí)，原不等式解集為；
當(dāng)時(shí)，原不等式解集為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：
1.解一元二次不等式的一般步驟：（1）化為標(biāo)準(zhǔn)形式；（2）確定判別式的符號(hào)，若，則求出該不等式對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根；若，則該不等式對(duì)應(yīng)的一元二次方程無(wú)根；（3）結(jié)合二次函數(shù)的圖象得出不等式的解集，特別地，若一元二次不等式左邊的二次三項(xiàng)式能分解因式，則可直接寫(xiě)出不等式的解集.
2.含有參數(shù)的一元二次不等式的求解，首先需要對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)討論，再比較相應(yīng)方程的根的大小，注意分類討論思想的應(yīng)用.
22. 已知函數(shù)是定義域上的奇函數(shù)，且.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若方程在上有兩個(gè)不同的根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）令，若對(duì)都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意得到，，從而得到，再解方程組即可.
（2）根據(jù)題意得到在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，從而得到，再解不等式組即可.
（3）根據(jù)題意得到，設(shè)，得到，根據(jù)，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到，，從而得到，解不等式即可.
【小問(wèn)1詳解】
∵，又是奇函數(shù)，∴，
，∴解得，∴.
經(jīng)驗(yàn)證，函數(shù)滿足定義域，成立，
所以.
【小問(wèn)2詳解】
方程在上有兩個(gè)不同的根，
即在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
需滿足，解得.
【小問(wèn)3詳解】
有題意知，
令
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴
∵函數(shù)的對(duì)稱軸為，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
即，
又∵對(duì)都有恒成立，
∴，
即，
解得，又∵，
∴的取值范圍是.

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