1．現(xiàn)有兩根木棒，它們的長分別是30cm和70cm，若要釘成一個三角形木架，則應(yīng)選取的第三根木棒長為（ ）
A．40cmB．70cmC．100cmD．130cm
2．如圖，△ABC中，點(diǎn)D是BC上的一點(diǎn)，點(diǎn)E是AD上的一點(diǎn)，若BD：CD＝2：3，DE：AE＝1：4，△ABC的面積是8，則△DEC的面積為（ ）
A．B．1C．D．
3．下列結(jié)論正確的是（ ）
A．三角形的高總在三角形的內(nèi)部
B．△ABC的角平分線AD是自A出發(fā)的一條射線
C．三角形中最大的內(nèi)角不能小于60°
D．三角形的三個外角中，最多只有一個鈍角
4．如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BM是AC邊的中線，作AD⊥BM，垂足為點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)D，且AH平分∠BAC交BM于N，交BC于H，連接DM，則下列結(jié)論：
①∠AMB＝∠CMD；②HN＝HD；③BN＝AD；④∠BNH＝∠MDC；⑤MC＝DC中，正確的有（ ）個．
A．5個B．4個C．3個D．2個
5．如圖，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DM⊥AC交AC的延長線于M，連接CD，給出四個結(jié)論：
①∠ADC＝45°；②BD＝AE；③AC+CE＝AB；④AB﹣BC＝2MC；其中正確的結(jié)論有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
6．如圖，下列條件中，不能證明△ABC≌△DCB的是（ ）
A．AB＝DC，AC＝DBB．AB＝DC，∠ABC＝∠DCB
C．AC＝BD，∠A＝∠DD．BO＝CO，∠A＝∠D
7．在直角坐標(biāo)中有兩點(diǎn)M（a，b），N（a，﹣b），則這兩點(diǎn)（ ）
A．關(guān)于x軸對稱B．關(guān)于y軸對稱
C．關(guān)于原點(diǎn)對稱D．上述結(jié)論都不正確
8．如圖，將等腰直角三角形按圖示方式翻折，若DE＝2，下列說法正確的個數(shù)有（ ）
①△BC′D是等腰三角形；②△CED的周長等于BC的長；③DC′平分∠BDE；④BE長為2+4．
A．1個B．2個C．3個D．4個
9．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，在直線AC或BC上取點(diǎn)M，使得△MAB為等腰三角形，符合條件的M點(diǎn)有（ ）
A．6個B．7個C．8個D．9個
10．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，EF是BC的垂直平分線，P是直線EF上的任意一點(diǎn)，則PA+PB的最小值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
二．填空題（共7小題，滿分21分，每小題3分）
11．已知等腰三角形ABC的一邊等于5cm，一邊等于6cm，則這個三角形的周長為 cm．
12．如圖，在△ABC中，AD、CD是△ABC的角平分線且相交于點(diǎn)D，∠B＝80°，則∠ADC＝ ．
13．在△ABC中，AC＝5，中線AD＝7，則AB邊的取值范圍是 ．
14．如圖，點(diǎn)A在線段DE上，AB⊥AC，垂足為A，且AB＝AC，BD⊥DE，CE⊥DE，垂足分別為D、E，若ED＝12，BD＝8，則CE長為 ．
15．連接軸對稱圖形中任意一對對應(yīng)點(diǎn)的線段都被該圖形的對稱軸 ．
16．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC邊上的點(diǎn)，且DA＝DB，將△ABD沿著AD翻折得到△AED，若∠CDE＝30°，則∠B的度數(shù)為 ．
17．如圖，在△ABC中，BC＝8cm，∠BPC＝118°，BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的平分線，且PD∥AB，PE∥AC，則△PDE的周長是 cm，∠DPE＝ °．
三．解答題（共8小題，滿分62分）
18．（6分）如圖：小亮從A點(diǎn)出發(fā)，沿直線前進(jìn)10米后向左轉(zhuǎn)30度，再沿直線前進(jìn)10米，又向左轉(zhuǎn)30度，…照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)點(diǎn)A點(diǎn)時，一共走了多少米？
19．（6分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，點(diǎn)P為∠ABC、∠ACB的角平分線的交點(diǎn)．
（1）∠BPC的度數(shù)是 ．
（2）請問點(diǎn)P是否在∠BAC的角平分線上？請說明理由．
（3）證明：AB＝PC．
20．（6分）如圖，AC平分∠BCD，AB＝AD，AE⊥BC于點(diǎn)E，AF⊥CD于點(diǎn)F．
（1）若∠ABE＝60°，求∠CDA；
（2）若AE＝2，BE＝1，CD＝3，求四邊形AECD的面積．
21．（8分）如圖，已知點(diǎn)B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，BE＝CF，AC∥DE，∠A＝∠D．
（1）求證：△ABC≌△DFE；
（2）若BF＝20，EC＝8，求BC的長．
22．（8分）如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠C＝50°，∠A＝100°，請僅用無刻度的直尺，分別按下列要求畫圖．（保留畫圖痕跡，不寫畫法）
（1）在圖（1）中，以AD為腰畫一個等腰三角形ADE，且點(diǎn)E與點(diǎn)B不重合；
（2）在圖（2）中畫一個60°的角．
23．（8分）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，△BAP中，∠BAP＝90°，已知∠CBO＝∠ABP，BP交AC于點(diǎn)O，E為AC上一點(diǎn)，且AE＝OC．
（1）求證：△AOP是等腰三角形；
（2）求證：PE⊥AO．
24．（10分）如圖，在△ABC中，AB＝BC＝AC＝BF，∠BAC＝∠ABC＝∠ACB，BD＝DA，∠1＝∠2，求∠BFD的度數(shù)．
25．（10分）如圖①，點(diǎn)M為銳角三角形ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AM、BM、CM．以AB為一邊向外作等邊三角形△ABE，將BM繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN．
（1）求證：△AMB≌△ENB；
（2）若AM+BM+CM的值最小，則稱點(diǎn)M為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．若點(diǎn)M為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，試求此時∠AMB、∠BMC、∠CMA的度數(shù)；
（3）小翔受以上啟發(fā)，得到一個作銳角三角形費(fèi)馬點(diǎn)的簡便方法：如圖②，分別以△ABC的AB、AC為一邊向外作等邊△ABE和等邊△ACF，連接CE、BF，設(shè)交點(diǎn)為M，則點(diǎn)M即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．試說明這種作法的依據(jù)．
參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）
1．解：根據(jù)三角形三邊關(guān)系，
∴三角形的第三邊x滿足：70﹣30＜x＜30+70，即40＜x＜100，
故選：B．
2．解：∵△ABD與△ACD等高，BD：CD＝2：3，
∴S△ACD＝S△ABC＝×8＝，
∵△CDE與△DAE等高，DE：AE＝1：4，
∴S△DEC＝S△ACD＝×＝．
故選：A．
3．解：A、只有銳角三角形的高都在三角形的內(nèi)部，直角三角形的兩條高在三角形的邊上，一條高在三角形的內(nèi)部，鈍角三角形的兩條高在三角形的外部，一條高在三角形的內(nèi)部，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、△ABC的角平分線AD是自A出發(fā)的一條線段，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、三角形的最大的內(nèi)角不能小于60°，故本選項(xiàng)符合題意；
D、三角形的三個外角中，最多有3個鈍角，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
4．解：如圖，作KC⊥CA交AD的延長線于K．
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AH平分∠BAC，
∴AH⊥BC，BH＝CH，
∴AH＝BH＝CH，
∵AD⊥BM，
∴∠BHN＝∠AEN＝∠AHD＝90°，
∵∠BNH＝∠ANE，
∴∠HBN＝∠DAH，
∴△BHN≌△AHD（ASA），
∴HN＝DH，BN＝AD，∠BNH＝∠ADH＝∠CDK，故②③正確，
∵∠BAM＝∠ACK＝90°，
∴∠BAE+∠CAK＝90°，∴∠BAE+∠ABM＝90°，
∴∠ABM＝∠CAK，
∵AB＝AC，
∴△ABM≌△CAK（ASA），
∴∠AMB＝∠K，AM＝CK＝CM，
∵∠DCM＝∠DCK＝45°，CD＝CD，
∴△CDM≌△CDK（SAS），
∴∠CDK＝∠CDM，∠K＝∠CMD，
∴∠AMB＝∠CMD，∠BNH＝∠MDC，故①④正確，
假設(shè)MC＝CD，則∠CMD＝∠CDM＝67.5°，推出∠ABM＝22.5°，推出∠ABM＝∠MBH＝22.5°，題目未說明BM是∠ABC的角平分線，故⑤錯誤，
故選：B．
5．解：過E作EQ⊥AB于Q，
∵∠ACB＝90°，AE平分∠CAB，
∴CE＝EQ，
∵∠ACB＝90°，AC＝BC，
∴∠CBA＝∠CAB＝45°，
∵EQ⊥AB，
∴∠EQA＝∠EQB＝90°，
由勾股定理得：AC＝AQ，
∴∠QEB＝45°＝∠CBA，
∴EQ＝BQ，
∴AB＝AQ+BQ＝AC+CE，
∴③正確；
作∠ACN＝∠BCD，交AD于N，
∵∠CAD＝∠CAB＝22.5°＝∠BAD，
∴∠ABD＝90°﹣22.5°＝67.5°，
∴∠DBC＝67.5°﹣45°＝22.5°＝∠CAD，
∴∠DBC＝∠CAD，
∵AC＝BC，∠ACN＝∠DCB，
∴△ACN≌△BCD，
∴CN＝CD，AN＝BD，
∵∠ACN+∠NCE＝90°，
∴∠NCB+∠BCD＝90°，
∴∠CND＝∠CDA＝45°，
∴∠ACN＝45°﹣22.5°＝22.5°＝∠CAN，
∴AN＝CN，
∴∠NCE＝∠AEC＝67.5°，
∴CN＝NE，
∴CD＝AN＝EN＝AE，
∵AN＝BD，
∴BD＝AE，
∴①正確，②正確；
過D作DH⊥AB于H，
∵∠MCD＝∠CAD+∠CDA＝67.5°，
∠DBA＝90°﹣∠DAB＝67.5°，
∴∠MCD＝∠DBA，
∵AE平分∠CAB，DM⊥AC，DH⊥AB，
∴DM＝DH，
在△DCM和△DBH中
∠M＝∠DHB＝90°，∠MCD＝∠DBA，DM＝DH，
∴△DCM≌△DBH，
∴BH＝CM，
由勾股定理得：AM＝AH，
∴＝＝＝＝2，
∴AC+AB＝2AM，
AC+AB＝2AC+2CM，
AB﹣AC＝2CM，
∵AC＝CB，
∴AB﹣CB＝2CM，
∴④正確．
故選：D．
6．解：A、AB＝DC，AC＝DB，BC＝CB，符合全等三角形的判定定理SSS，能推出△ABC≌△DCB，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、AB＝DC，∠ABC＝∠DCB，BC＝CB，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DCB，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、AC＝BD，BC＝CB，∠A＝∠D不能推出△ABC≌△DCB，不符合全等三角形的判定定理，故本選項(xiàng)符合題意．反例如下：
如圖所示，AC＝BD，∠A＝∠D，但△ABC與△DCB不全等；
D、∵OB＝OC，∴∠DBC＝∠ACB．∵∠A＝∠D，∴根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得出∠ABC＝∠DCB．∠A＝∠D，∠ABC＝∠DCB，BC＝BC，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DCB，故本選項(xiàng)不符合題意．
故選：C．
7．解：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，已知兩點(diǎn)M（a，b），N（a，﹣b），則這兩點(diǎn)關(guān)于x軸對稱．
故選：A．
8．解：①∠DC'E＝∠C＝45°＝2∠DBC'，因此（1）的結(jié)論成立；
②正確；
③不成立；
④若DE＝2，可得DC＝DC′＝2，C′E＝2；故AD＝2，可得AC＝2+2，可得BC＝4+2，而根據(jù)圖示知BC≠BE，故④不正確．
故選：B．
9．解：如圖，
①以A為圓心，AB為半徑畫圓，交直線AC有二點(diǎn)M1，M2，交BC有一點(diǎn)M3，（此時AB＝AM）；
②以B為圓心，BA為半徑畫圓，交直線BC有二點(diǎn)M5，M4，交AC有一點(diǎn)M6（此時BM＝BA）．
③AB的垂直平分線交AC一點(diǎn)M7（MA＝MB），交直線BC于點(diǎn)M8；
∴符合條件的點(diǎn)有8個，
故選：C．
10．解：當(dāng)P為EF與AC交點(diǎn)時，連接BP，如圖，
∵EF是BC的垂直平分線，
∴BP＝CP，
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短知，PA+PB＝PA+PC＝AC，其值最小，
所以PA+PB的最小值即為AC的長，
∵∠A＝90°，BC＝10，AB＝6，
∴AC＝，
所以PA+PB的最小值為8．
故選：B．
二．填空題（共7小題，滿分21分，每小題3分）
11．解：當(dāng)腰長是5cm時，三邊分別是：5cm，5cm，6cm，則周長是：5+5+6＝16cm；
當(dāng)腰長是6cm時，三邊分別是：5cm，6cm，6cm，則周長是：5+6+6＝17cm．
故答案是：16或17．
12．解：∵AD、CD是△ABC的角平分線，
∴∠CAD＝∠CAB，∠ACD＝∠ACB，
∴∠ADC＝180°﹣（∠CAD+∠ACD）
＝180°﹣（∠CAB+ACB）
＝180°﹣（180°﹣∠B）
＝90°+∠B
＝90°+×80°
＝130°，
故答案為：130°．
13．解：延長AD到E使DE＝AD，連接BE，
∵D是BC的中點(diǎn)，
∴CD＝BD．
在△ACD和△EBD中，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC＝EB＝5．
∵AD＝7，
∴AE＝14．
由三角形的三邊關(guān)系為：
14﹣5＜AB＜14+5，
即9＜AB＜19．
故答案為：9＜AB＜19．
14．解：∵BD⊥DE，CE⊥DE，
∴∠D＝∠E＝90°，∠ABD+∠BAD＝90°，
∵AB⊥AC，
∴∠BAD+∠EAC＝90°，
∴∠ABD＝∠EAC，
在△ABD和△CAE中，，
∴△ABD≌△CAE（ASA），
∴BD＝AE＝8，AD＝CE，
∴AD＝ED﹣AE＝12﹣8＝4，
∴CE＝4
故答案為：4．
15．解：連接軸對稱圖形中任意一對對應(yīng)點(diǎn)的線段都被該圖形的對稱軸垂直平分．
故答案為：垂直平分．
16．解：∵DA＝DB，
∴∠BAD＝∠B，
∴∠ADC＝∠BAD+∠B＝2∠B，
∵將△ABD沿著AD翻折得到△AED，
∴∠ADE＝∠ADB＝∠ADC+∠CDE，
∵∠CDE＝30°，
∴∠ADB＝∠ADC+30°＝2∠B+30°，
∵∠ADB+∠ADC＝180°，
∴2∠B+30°+2∠B＝180°，
∴∠B＝37.5°，
故答案為：37.5°．
17．解：（1）∵BP、CP分別是∠ABC和∠ACB的角平分線，
∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE，
∵PD∥AB，PE∥AC，
∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE，
∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，
∴BD＝PD，CE＝PE，
∴△PDE的周長＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝8cm．
故答案為8
（2）∵∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，∠BPC＝118°，
∴∠DPE＝118°﹣∠PBC﹣∠PCB
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°，
∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣118°，
∴∠DPE＝118°﹣（∠PBC+∠PCB）＝118°﹣180°+118°＝56°．
故答案為56．
三．解答題（共8小題，滿分62分）
18．解：∵小亮每次都是沿直線前進(jìn)10米后向左轉(zhuǎn)30度，
∴他走過的圖形是正多邊形，
∴邊數(shù)n＝360°÷30°＝12，
∴他第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時，一共走了12×10＝120（米）．
故他一共走了120米．
19．解：（1）∵P點(diǎn)是∠ABC和∠ACB角平分線的交點(diǎn)，
∴∠CBP＝∠ABP＝∠ABC，∠BCP＝∠ACP＝∠ACB，
∵∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，
∴∠PBC+∠PCB＝∠ABC+∠ACB＝30°+20°＝50°，
∴∠BPC＝180°﹣50°＝130°，
故答案為：130°；
（2）答：點(diǎn)P在∠BAC的角平分線上，理由如下：
過點(diǎn)p分別作三角形三邊的垂線，垂足分別為D、E、F，
∵PB、PC分別是∠ABC、∠ACB 的角平分線，
∴PD＝PE PE＝PF，
∴PD＝PF，
∴點(diǎn)P在∠BAC的角平分線上；
（3）證明：延長AP，在AP延長線上取PG＝PC，連接GC，
∵AP、CP分別為∠BAC、∠ACB的平分線，
∴∠PAC＝40°，∠ACP＝20°，
∴∠GPC＝∠PAC+∠ACP＝60°，
∴△PGC為等邊三角形，
∴∠G＝60°＝∠ABC，PC＝CG，
在△ABC和△CGA中，
∴△ABC≌△CGA（AAS），
∴AB＝CG，
又∵PC＝CG，
故AB＝PC．
20．解：（1）∵AC平分∠BCD，AE⊥BC，AF⊥CD，
∴AF＝AE，∠AFD＝∠AEB＝90°，
在Rt△AFD和Rt△AEB中，
∴Rt△AFD≌Rt△AEB（HL），
∴∠ABE＝∠FAD＝60°，
∵∠AFD＝90°，
∴∠CDA＝∠FAD+∠AFD＝150°；
（2）∵Rt△AFD≌Rt△AEB，
∴DF＝BE＝1，AF＝AE＝2，
∴CF＝CD+DF＝3+2＝5，
∵CA平分∠BCD，
∴∠ACF＝∠ACE，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AFC＝∠AEC＝90°，
在Rt△AFC和Rt△AEC中，
∴Rt△AFC≌Rt△AEC（HL），
∴CF＝CE＝3+1＝4，
∴四邊形AECD的面積S＝S△AEC+S△ADC＝×CE×AE+×CD×AF＝×4×2+×3×2＝7．
21．（1）證明：∵AC∥DE，
∴∠ACB＝∠DEF，
∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，
即BC＝FE，
在△ABC和△DFE中，
∴△ABC≌△DFE（AAS）．
（2）解：∵BF＝20，EC＝8，
∴BE+CF＝20﹣8＝12，
∵BE＝CF，
∴BE＝CF＝6，
∴BC＝BE+EC＝6+8＝14．
22．解：（1）如圖1，△ADE為所作；
（2）如圖2，∠BDF為所作．
23．證明：（1）∵∠C＝90°，∠BAP＝90°，
∴∠CBO+∠BOC＝90°，∠ABP+∠APB＝90°，
又∵∠CBO＝∠ABP，
∴∠BOC＝∠APB，
∵∠BOC＝∠AOP，
∴∠AOP＝∠APB，
∴AP＝AO，
∴△AOP是等腰三角形；
（2）證明：如圖，過點(diǎn)O作OD⊥AB于D，
∵∠CBO＝∠ABP，OC⊥BC，OD⊥BA，
∴CO＝DO，
∵AE＝OC，
∴AE＝OD，
∵∠AOD+∠OAD＝90°，∠PAE+∠OAD＝90°，
∴∠AOD＝∠PAE，
在△AOD和△PAE中，
∴△AOD≌△PAE（SAS），
∴∠AEP＝∠ADO＝90°，
∴PE⊥AO．
24．解：連接AD，
∵在△ADC和△BDC中，
∴△ADC≌△BDC（SSS），
∴∠ACD＝∠BCD，
∵∠BAC＝∠ABC＝∠ACB，
∴∠ACB＝60°，
∴∠BCD＝30°，
在△BDF和△BDC中，
∴△BFD≌△BCD（SAS），
∴∠BFD＝∠BCD＝30°．
25．解：（1）證明：∵△ABE為等邊三角形，
∴AB＝BE，∠ABE＝60°．
而∠MBN＝60°，
∴∠ABM＝∠EBN．
在△AMB與△ENB中，
∵，
∴△AMB≌△ENB（SAS）．
（2）連接MN．由（1）知，AM＝EN．
∵∠MBN＝60°，BM＝BN，
∴△BMN為等邊三角形．
∴BM＝MN．
∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM．
∴當(dāng)E、N、M、C四點(diǎn)共線時，AM+BM+CM的值最?。?br>此時，∠BMC＝180°﹣∠NMB＝120°；
∠AMB＝∠ENB＝180°﹣∠BNM＝120°；
∠AMC＝360°﹣∠BMC﹣∠AMB＝120°．
（3）由（2）知，△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)在線段EC上，同理也在線段BF上．
因此線段EC與BF的交點(diǎn)即為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．

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