廣東省深圳市南山區(qū)南山實(shí)驗(yàn)教育集團(tuán)南海中學(xué)2023-2024學(xué)年上學(xué)期九年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)試卷-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、選擇題（每題3分，共30分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（）
A．2x+1＝0B．x2+1＝0C．y2+x＝1D．+x2＝1
2．若4m＝5n（m≠0），則下列等式成立的是（）
A．＝B．＝C．＝D．＝
3．一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)小球，其中2個(gè)紅球，1個(gè)綠球，這些小球除顏色外無(wú)其他差別，從袋子中隨機(jī)摸出兩個(gè)球，恰好都是紅球的概率為（）
A．B．C．D．
4．若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的兩個(gè)根，則（）
A．x1+x2＝6B．x1+x2＝﹣6C．x1x2＝D．x1x2＝7
5．根據(jù)下列表格的對(duì)應(yīng)值：
由此可判斷方程x2+12x﹣15＝0必有一個(gè)根滿足（）
A．1＜x＜1.1B．1.1＜x＜1.2C．1.2＜x＜1.3D．x＞1.3
6．如圖，若點(diǎn)D是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AD＞BD），AB＝8，則AD的長(zhǎng)度是（）
A．5B．4﹣4C．2D．4+
7．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，連接OH，若AC＝8，S菱形ABCD＝24，則OH的長(zhǎng)為（）
A．3B．4C．4.8D．5
8．如圖，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊運(yùn)動(dòng)，速度為4cm/s；如果P、Q兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么經(jīng)過(guò)（）秒時(shí)△QBP與△ABC相似．
A．2秒B．4秒C．2或0.8秒D．2或4秒
9．如圖，四邊形OABC是矩形，A（2，1），B（0，5），點(diǎn)C在第二象限，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）
A．（﹣1，3）B．（﹣1，2）C．（﹣2，3）D．（﹣2，4）
10．如圖，在矩形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)，連接CG、BG、BD、DG，下列結(jié)論：①BC＝DF；②∠ABG+∠ADG＝180°；③AC：BG＝：1；④若＝，則4S△BDG＝25S△DGF．正確的有（）
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
二．填空題（共5小題）
11．若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是．
12．已知，則＝．
13．如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，為測(cè)量學(xué)校旗桿高度，小藝同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小藝的眼睛離地面高度為1.6米，同時(shí)量得小藝與鏡子的水平距離為2米，鏡子與旗桿的水平距離為10米，則旗桿的高度為米．
?
14．如圖，在?ABCD中，E為AD邊上的點(diǎn)，AE＝2DE，連接BE交AC于點(diǎn)F，△AEF的面積為4cm2，則△ABC的面積為 cm2．
15．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，其中AE：ED＝1：2．線段BE的垂直平分線分別交AB、BE、CD于點(diǎn)F，G，H，則的值為．
三．解答題（共55分）
16．（12分）解方程：
（1）x2﹣1＝4x；（2）2x2﹣7x+3＝0；
（3）3x（x﹣2）＝4﹣x2；（4）4（x+2）2＝（3x﹣1）2．
17．（6分）△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣1，﹣2），B（﹣3，﹣1），C（﹣2，﹣3），以原點(diǎn)O為位似中心，在第三象限內(nèi)，畫出△ABC的位似圖形△A'B'C'，使△ABC與△A'B'C'的相似比為1：2，并寫出A'，B'，C'的坐標(biāo)．
18．（6分）隨著中國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日“端午節(jié)”的臨近，某商場(chǎng)決定開展“歡度端午，回饋顧客”的讓利促銷活動(dòng)，在商場(chǎng)大廳設(shè)置了如圖所示的兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，在端午節(jié)當(dāng)天消費(fèi)的顧客可以參與轉(zhuǎn)盤活動(dòng)．已知這兩個(gè)轉(zhuǎn)盤都被平均分成了3份，并在每份內(nèi)均標(biāo)有數(shù)字．規(guī)則如下：
①分別轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤A、B；
②兩個(gè)轉(zhuǎn)盤停止后，將兩個(gè)指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字相乘（若指針停止在等份線上，那么重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向某一區(qū)域?yàn)橹梗?，若?shù)字之積為3的倍數(shù)則可以領(lǐng)取3枚粽子；若數(shù)字之積為5的倍數(shù)則可以領(lǐng)取5枚粽子．
（1）用列表或畫樹狀圖的方法表示出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；
（2）在端午節(jié)當(dāng)天，李老師參與了轉(zhuǎn)盤活動(dòng)，求李老師領(lǐng)取到5枚粽子的概率．
19．（6分）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊CD上，CF＝AE，連接AF，BF．
（1）求證：四邊形BFDE是矩形．
（2）若AF是∠DAB的平分線．若CF＝6，BF＝8，求DC的長(zhǎng)．
20．（8分）如圖，AD是△ABC的高，點(diǎn)E、F在BC邊上，點(diǎn)G在AC邊上，點(diǎn)H在BC邊上，BC＝21cm，高AD＝15cm，四邊形EFGH是△ABC內(nèi)接正方形，
（1）△AHG與△ABC相似嗎？為什么？
（2）求內(nèi)接正方形EFGH邊長(zhǎng)EF．
21．（8分）某公司2月份銷售新上市的A產(chǎn)品20套，由于該產(chǎn)品的經(jīng)濟(jì)適用性，銷量快速上升，4月份該公司銷售A產(chǎn)品達(dá)到45套，并且2月到3月和3月到4月兩次的增長(zhǎng)率相同．
（1）求該公司銷售A產(chǎn)品每次的增長(zhǎng)率；
（2）若A產(chǎn)品每套盈利2萬(wàn)元，則平均每月可售30套，為了盡量減少庫(kù)存，該公司決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，A產(chǎn)品每套每降0.5萬(wàn)元，公司平均每月可多售出20套；若該公司在5月份要獲利70萬(wàn)元，則每套A產(chǎn)品需降價(jià)多少？
22．（9分）已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，D為BC邊上的一點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)D作射線DE⊥DF，分別交邊AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．
問(wèn)題發(fā)現(xiàn)
（1）如圖1，當(dāng)D為BC的中點(diǎn)，且DE⊥AB，DF⊥AC時(shí)，＝；
（2）若D為BC的中點(diǎn)，將∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，＝；
類比探究
（3）如圖3，若改變點(diǎn)D的位置，且時(shí)，求的值，并寫出解答過(guò)程；
問(wèn)題解決
（4）如圖3，連接EF，當(dāng)CD＝時(shí)，△DEF與△ABC相似．
南海中學(xué)九年級(jí)期中參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（）
A．2x+1＝0B．x2+1＝0C．y2+x＝1D．+x2＝1
【解答】解：A、2x+1＝0是一元一次方程，故A錯(cuò)誤；
B、x2+1＝0是一元二次方程，故B正確；
C、y2+x＝1是二元二次方程，故C錯(cuò)誤；
D、+x2＝1是分式方程，故D錯(cuò)誤；
故選：B．
2．若4m＝5n（m≠0），則下列等式成立的是（）
A．＝B．＝C．＝D．＝
【解答】解：A．因?yàn)椋?，所?m＝4n，不符合題意；
B．因?yàn)椋?，所?m＝5n，符合題意；
C．因?yàn)椋?，所?m＝4n，不符合題意；
D．因?yàn)椋?，所以mn＝20，不符合題意．
故選：B．
3．一個(gè)不透明的袋子中裝有3個(gè)小球，其中2個(gè)紅球，1個(gè)綠球，這些小球除顏色外無(wú)其他差別，從袋子中隨機(jī)摸出兩個(gè)球，恰好都是紅球的概率為（）
A．B．C．D．
【解答】解：畫樹狀圖如下：
總計(jì)有6種可能結(jié)果，其中我們關(guān)注的事件兩個(gè)都是紅球的情況有2種，
∴隨機(jī)摸出兩個(gè)球，恰好都是紅球的概率為：＝．
故選：B．
4．若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的兩個(gè)根，則（）
A．x1+x2＝6B．x1+x2＝﹣6C．x1x2＝D．x1x2＝7
【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的兩個(gè)根，
∴x1+x2＝6，x1x2＝﹣7，
故選：A．
5．根據(jù)下列表格的對(duì)應(yīng)值：
由此可判斷方程x2+12x﹣15＝0必有一個(gè)根滿足（）
A．1＜x＜1.1B．1.1＜x＜1.2C．1.2＜x＜1.3D．x＞1.3
【解答】解：∵x＝1.1時(shí)，x2+12x﹣15＝﹣0.59＜0，
x＝1.2時(shí)，x2+12x﹣15＝0.84＞0，
∴1.1＜x＜1.2時(shí)，x2+12x﹣15＝0，
即方程x2+12x﹣15＝0必有一個(gè)解x滿足1.1＜x＜1.2，
故選：B．
6．如圖，若點(diǎn)D是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AD＞BD），AB＝8，則AD的長(zhǎng)度是（）
A．5B．4﹣4C．2D．4+
【解答】解：∵點(diǎn)D是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AD＞BD），
∴，
∵AB＝8，
∴AD＝，
故選：B．
7．如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，連接OH，若AC＝8，S菱形ABCD＝24，則OH的長(zhǎng)為（）
?
A．3B．4C．4.8D．5
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，DO＝BO，AO＝OC，
∵AC＝8，S菱形ABCD＝AC?BD＝24，
∴×8?BD＝24，
∴BD＝6，
∵DH⊥BC，
∴∠DHB＝90°，
∵DO＝BO，
∴OH＝BD＝3，
故選：A．
8．如圖，在△ABC中，AB＝8cm，BC＝16cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊運(yùn)動(dòng)，速度為4cm/s；如果P、Q兩動(dòng)點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么經(jīng)過(guò)（）秒時(shí)△QBP與△ABC相似．
A．2秒B．4秒C．2或0.8秒D．2或4秒
【解答】解：設(shè)經(jīng)過(guò)t秒時(shí)，△QBP與△ABC相似，
則AP＝cm，BP＝cm，BQ＝cm，
∵∠PBQ＝∠ABC，
∴當(dāng) 時(shí)，△BPQ∽△BAC，
即，
解得：t＝2，
當(dāng) 時(shí)，△BPQ∽△BCA，
即，
解得：t＝0.8，
綜上所述：經(jīng)過(guò)0.8s或2s秒時(shí)，△QBP與△ABC相似，
故選：C．
9．如圖，四邊形OABC是矩形，A（2，1），B（0，5），點(diǎn)C在第二象限，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）
A．（﹣1，3）B．（﹣1，2）C．（﹣2，3）D．（﹣2，4）
【解答】解：過(guò)C作CE⊥y軸于E，過(guò)A作AF⊥y軸于F，
∴∠CEO＝∠AFB＝90°，
∵四邊形ABCO是矩形，
∴AB＝OC，AB∥OC，
∴∠ABF＝∠COE，
∴△OCE≌△ABF（AAS），
同理△BCE≌△OAF，
∴CE＝AF，OE＝BF，BE＝OF，
∵A（2，1），B（0，5），
∴AF＝CE＝2，BE＝OF＝1，OB＝5，
∴OE＝4，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)是（﹣2，4）；
故選：D．
10．如圖，在矩形ABCD中，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，點(diǎn)G是EF的中點(diǎn)，連接CG、BG、BD、DG，下列結(jié)論：①BC＝DF；②∠ABG+∠ADG＝180°；③AC：BG＝：1；④若＝，則4S△BDG＝25S△DGF．正確的有（）
A．4個(gè)B．3個(gè)C．2個(gè)D．1個(gè)
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，AC＝BD，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴∠F＝∠FAD，
∴AD＝DF，
∴BC＝DF，故①正確；
∵∠BGE＝∠DGC，
∴∠ABG+∠ADG＝∠ABC+∠CBG+∠ADC﹣∠CDG＝∠ABC+∠ADC＝180°，
故②正確；
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∵點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，
∴CG＝EG，∠FCG＝45°，
∴∠BEG＝∠DCG＝135°，
在△DCG和△BEG中，
，
∴△DCG≌△BEG（SAS）．
∴DG＝BG，∠CGD＝∠EGB，
∴∠CGD+∠AGD＝∠EGB+∠AGD＝90°，
∴△DGB是等腰直角三角形，
∴BD＝BG，
∴AC＝BG，
∴AC：BG＝：1，故③正確；
過(guò)點(diǎn)G作GH⊥CD于H，
∵3AD＝4AB，
∴設(shè)AD＝4x＝DF，AB＝3x，
∴CF＝CE＝x，BD＝＝5x，
∵△CFG，△GBD是等腰直角三角形，
∴HG＝CH＝FH＝x，DG＝GB＝x，
∴S△DGF＝DF?HG＝x2，S△DGB＝DG?GB＝x2，
∴4S△BDG＝25S△DGF；故④正確；
故選：A．
二．填空題（共5小題）
11．若關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0無(wú)實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是 k＜﹣1 ．
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2+2x﹣k＝0無(wú)實(shí)數(shù)根，
∴Δ＝22﹣4×1×（﹣k）＜0，
解得k＜﹣1，
故答案為：k＜﹣1．
12．已知，則＝ 5 ．
【解答】解：設(shè)，
∴x＝2k，y＝3k，z＝4k，
∴．
故答案為：5．
13．如圖，數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，為測(cè)量學(xué)校旗桿高度，小藝同學(xué)在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端．已知小藝的眼睛離地面高度為1.6米，同時(shí)量得小藝與鏡子的水平距離為2米，鏡子與旗桿的水平距離為10米，則旗桿的高度為 8 米．
【解答】解：由題意得：∠ABO＝∠CDO＝90°，∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴＝，
∵AB＝1.6米，OB＝2米，OD＝10米，
∴＝，
解得：CD＝8，
∴旗桿的高度為8米，
故答案為：8．
14．如圖，在?ABCD中，E為AD邊上的點(diǎn)，AE＝2DE，連接BE交AC于點(diǎn)F，△AEF的面積為4cm2，則△ABC的面積為 15 cm2．
【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠AEF＝∠CBF，∠EAF＝∠BCF，
∴△AEF∽△CBF，
∴＝＝，
∵AE＝2DE，
∴AE＝AD，
∴＝＝＝，
∴＝，＝＝，
∵S△AEF＝4（cm2），
∴S△AFB＝S△AEF×＝4×＝6（cm2），
S△CBF＝×S△AEF＝×4＝9（cm2），
∴S△ABC＝S△AFB+S△CBF＝6+9＝15（cm2），
故答案為：15．
15．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊AD上一點(diǎn)，其中AE：ED＝1：2．線段BE的垂直平分線分別交AB、BE、CD于點(diǎn)F，G，H，則的值為 2 ．
?
【解答】解：過(guò)H點(diǎn)作HM⊥AB于M點(diǎn)，交BE于N，如圖，設(shè)AE＝x，ED＝2x，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB＝BC＝AD＝3x，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，在Rt△ABE中，BE＝＝＝x，
∵FH垂直平分BE，
∴∠BGF＝90°，BG＝BE＝x，
∵∠GBF＝∠ABE，∠BGF＝∠A＝90°，
∴△BGF∽△BAE，
∴BF：BE＝BG：BA，即BF：x＝x：3x，
解得BF＝x，
∴AF＝AB﹣BF＝3x﹣x＝x，
∵∠HMB＝∠MBC＝∠C＝90°，
∴四邊形BCHM為矩形，
∴MH＝BC，HC＝BM，
∴AB＝MH，
∵∠NMB＝∠HGN，∠BNM＝∠HNG，
∴∠MBN＝∠NHG，
在△MHF和△ABE中，
，
∴△MHF≌△ABE（ASA），
∴FM＝AE＝x，
∴BM＝BF﹣FM＝x﹣x＝x，
∴HC＝x，
∴＝＝2．
故答案為：2．
三．解答題（共7小題）
16．解方程：
（1）x2﹣1＝4x（公式法）；
（2）2x2﹣7x+3＝0（配方法）；
（3）3x（x﹣2）＝4﹣x2；
（4）4（x+2）2＝（3x﹣1）2．
【解答】解：（1）（1）x2﹣1＝4x，
整理，得x2﹣4x﹣1＝0，
這里a＝1，b＝﹣4，c＝﹣1，
∵Δ＝b2﹣4ac＝16+4＝20＞0，
∴x＝＝，
∴，；
（2）2x2﹣7x+3＝0，
2x2﹣7x＝﹣3，
，
，
，
，
x＝，
∴x1＝3，；
（3）3x（x﹣2）＝4﹣x2；
3x（x﹣2）+（x+2）（x﹣2）＝0，
（x﹣2）（3x+x+2）＝0，
x﹣2＝0或4x+2＝0，
∴x1＝2，；
（4）4（x+2）2＝（3x﹣1）2．
[2（x+2）]2﹣（3x﹣1）2＝0，
[2（x+2）+（3x﹣1）][2（x+2）﹣（3x﹣1）]＝0，
（5x+3）（﹣x+5）＝0，
5x+3＝0或﹣x+5＝0，
∴，x2＝5．
17．△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣1，﹣2），B（﹣3，﹣1），C（﹣2，﹣3），以原點(diǎn)O為位似中心，在第三象限內(nèi)，畫出△ABC的位似圖形△A'B'C'，使△ABC與△A'B'C'的相似比為1：2，并寫出A'，B'，C'的坐標(biāo)．
【解答】解：如圖，△A'B'C'即為所作．
由圖可知A'（﹣2，﹣4），B'（﹣6，﹣2），C'（﹣4，﹣6）．
18．隨著中國(guó)傳統(tǒng)節(jié)日“端午節(jié)”的臨近，某商場(chǎng)決定開展“歡度端午，回饋顧客”的讓利促銷活動(dòng)，在商場(chǎng)大廳設(shè)置了如圖所示的兩個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤，在端午節(jié)當(dāng)天消費(fèi)的顧客可以參與轉(zhuǎn)盤活動(dòng)．已知這兩個(gè)轉(zhuǎn)盤都被平均分成了3份，并在每份內(nèi)均標(biāo)有數(shù)字．規(guī)則如下：
①分別轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤A、B；
②兩個(gè)轉(zhuǎn)盤停止后，將兩個(gè)指針?biāo)竻^(qū)域內(nèi)的數(shù)字相乘（若指針停止在等份線上，那么重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向某一區(qū)域?yàn)橹梗?，若?shù)字之積為3的倍數(shù)則可以領(lǐng)取3枚粽子；若數(shù)字之積為5的倍數(shù)則可以領(lǐng)取5枚粽子．
（1）用列表或畫樹狀圖的方法表示出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；
（2）在端午節(jié)當(dāng)天，李老師參與了轉(zhuǎn)盤活動(dòng)，求李老師領(lǐng)取到5枚粽子的概率．
【解答】解：（1）每次游戲可能出現(xiàn)的所有結(jié)果列表如下：
（2）（1）中表格中共有9種等可能的結(jié)果，
則李老師領(lǐng)取到5枚粽子的結(jié)果數(shù)有三種，
其概率為＝．
19．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊CD上，CF＝AE，連接AF，BF．
（1）求證：四邊形BFDE是矩形．
（2）若AF是∠DAB的平分線．若CF＝6，BF＝8，求DC的長(zhǎng)．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∵CF＝AE，
∴DF＝BE，
又∵DF∥BE，
∴四邊形DFBE是平行四邊形，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴平行四邊形DFBE是矩形；
（2）解：由（1）可知，四邊形BFDE是矩形，
∴∠BFD＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∴BC＝＝＝10，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC＝10，AB∥DC，
∴∠BAF＝∠DFA，
∵AF是∠DAB的平分線，
∴∠BAF＝∠DAF，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴DF＝DA＝10，
∴DC＝DF+CF＝10+6＝16．
20．如圖，AD是△ABC的高，點(diǎn)E、F在BC邊上，點(diǎn)G在AC邊上，點(diǎn)H在BC邊上，BC＝21cm，高AD＝15cm，四邊形EFGH是△ABC內(nèi)接正方形，
（1）△AHG與△ABC相似嗎？為什么？
（2）求內(nèi)接正方形EFGH邊長(zhǎng)EF．
【解答】解：（1）相似，理由如下：
∵四邊形EFGH是△ABC內(nèi)接正方形，
∴HG∥BC，
∴△AHG∽△ABC；
（2）設(shè)AD與HG的交點(diǎn)為M，
∵△AHG∽△ABC，
∴，
，
解得：，
故內(nèi)接正方形EFGH的邊長(zhǎng)為．
21．某公司2月份銷售新上市的A產(chǎn)品20套，由于該產(chǎn)品的經(jīng)濟(jì)適用性，銷量快速上升，4月份該公司銷售A產(chǎn)品達(dá)到45套，并且2月到3月和3月到4月兩次的增長(zhǎng)率相同．
（1）求該公司銷售A產(chǎn)品每次的增長(zhǎng)率；
（2）若A產(chǎn)品每套盈利2萬(wàn)元，則平均每月可售30套，為了盡量減少庫(kù)存，該公司決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，A產(chǎn)品每套每降0.5萬(wàn)元，公司平均每月可多售出20套；若該公司在5月份要獲利70萬(wàn)元，則每套A產(chǎn)品需降價(jià)多少？
【解答】解：（1）設(shè)該公司銷售A產(chǎn)品每次的增長(zhǎng)率為x，
依題意，得：20（1+x）2＝45，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合題意，舍去）．
答：該公司銷售A產(chǎn)品每次的增長(zhǎng)率為50%．
（2）設(shè)每套A產(chǎn)品需降價(jià)y萬(wàn)元，則平均每月可售出（30+×20）套，
依題意，得：（2﹣y）（30+×20）＝70，
整理，得：4y2﹣5y+1＝0，
解得：y1＝，y2＝1．
答∵盡量減少庫(kù)存，
∴y＝1．
答：每套A產(chǎn)品需降價(jià)1萬(wàn)元．
22．已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝4，D為BC邊上的一點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)D作射線DE⊥DF，分別交邊AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)．
?
問(wèn)題發(fā)現(xiàn)
（1）如圖1，當(dāng)D為BC的中點(diǎn)，且DE⊥AB，DF⊥AC時(shí)，＝ 2 ；
（2）若D為BC的中點(diǎn)，將∠EDF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到圖2位置時(shí)，＝ 2 ；
類比探究
（3）如圖3，若改變點(diǎn)D的位置，且時(shí)，求的值，并寫出解答過(guò)程；
問(wèn)題解決
（4）如圖3，連接EF，當(dāng)CD＝或時(shí)，△DEF與△ABC相似．
【解答】解：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∠A＝90°，
∴DE∥AC，DF∥AB，
∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴DE，DF是△ABC的中位線，
∴，，則，
故答案為：2；
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M，作DN⊥AC于點(diǎn)N，
則∠DME＝∠DNF＝∠A＝90°，
∴∠MDN＝90°，即∠MDE+∠EDN＝90°，
∵DE⊥DF，∴∠EDF＝90°，即∠EDN+∠NDF＝90°，
∴∠MDE＝∠NDF，∴△DME∽△DNF，∴，
由（1）知，，∴；
（3）如圖，過(guò)點(diǎn)P作DP⊥AB于點(diǎn)P，DQ⊥AC于點(diǎn)Q，
∴∠DPA＝∠DQA＝∠A＝90°，
∴四邊形APDQ是矩形，
∴DP＝AQ，DQ＝AP，
∵，∴，
∵DP∥AC，DQ∥AB，
∴△DQC∽△BAC，△DPB∽△CAB，∴，．
∴，
∴，
故答案為：；
（4）∵∠EDF＝∠A＝90°，
∴△DEF與△ABC相似有如下兩種情況：
當(dāng)△DEF∽△ACB時(shí)，則，即，整理，得：a＝b，
∴；
當(dāng)△DEF∽△ABC時(shí)，則，即，整理，得：a＝4b，
∴；
綜上，當(dāng) 或時(shí)，△DEF與△ABC相似，
故答案為：或．x
1
1.1
1.2
1.3
x2+12x﹣15
﹣2
﹣0.59
0.84
2.29
x
1
1.1
1.2
1.3
x2+12x﹣15
﹣2
﹣0.59
0.84
2.29
轉(zhuǎn)盤B的數(shù)字
轉(zhuǎn)盤A的數(shù)字
4
5
6
1
（1，4）
（1，5）
（1，6）
2
（2，4）
（2，5）
（2，6）
3
（3，4）
（3，5）
（3，6）

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