1．（2022秋?南通期末）下列二次根式中是最簡(jiǎn)二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的定義即可求解．
【解答】解：A.，故不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；
B.是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意；
C.，故不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意；
D． ，故不是最簡(jiǎn)二次根式，不符合題意．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查最簡(jiǎn)二次根式的判斷，解題的關(guān)鍵是熟知最簡(jiǎn)二次根式的定義．
2．（2022秋?徐匯區(qū)期末）下列根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】A選項(xiàng)的被開(kāi)方數(shù)中含有分母；B、D選項(xiàng)的被開(kāi)方數(shù)中含有能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式；因此這三個(gè)選項(xiàng)都不是最簡(jiǎn)二次根式．
所以只有C選項(xiàng)符合最簡(jiǎn)二次根式的要求．
【解答】解：因?yàn)椋篈、；
B、2；
D、|b|；
所以這三項(xiàng)都可化簡(jiǎn)，不是最簡(jiǎn)二次根式．
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】在判斷最簡(jiǎn)二次根式的過(guò)程中要注意：
（1）在二次根式的被開(kāi)方數(shù)中，只要含有分?jǐn)?shù)或小數(shù)，就不是最簡(jiǎn)二次根式；
（2）在二次根式的被開(kāi)方數(shù)中的每一個(gè)因式（或因數(shù)），如果冪的指數(shù)大于或等于2，也不是最簡(jiǎn)二次根式．
3．（2022秋?如皋市校級(jí)期末）下列各式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】判定一個(gè)二次根式是不是最簡(jiǎn)二次根式的方法，就是逐個(gè)檢查最簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)條件是否同時(shí)滿足，同時(shí)滿足的就是最簡(jiǎn)二次根式，否則就不是．
【解答】解：A．，被開(kāi)方數(shù)不含分母，被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)符合題意；
B．，被開(kāi)方數(shù)含分母，不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；
C．，被開(kāi)方數(shù)含能開(kāi)得盡得因數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；
D． ，被開(kāi)方數(shù)含能開(kāi)得盡得因數(shù)，不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查最簡(jiǎn)二次根式，判定一個(gè)二次根式是不是最簡(jiǎn)二次根式的方法必須滿足兩條，就是（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式．
4．（2022春?宜興市期末）下列計(jì)算正確的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)，進(jìn)而判斷得出答案．
【解答】解：A．（）2＝3，故此選項(xiàng)不合題意；
B．，故此選項(xiàng)不合題意；
C．，故此選項(xiàng)不合題意；
D．22，故此選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的乘除，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．
5．（2022秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期末）已知1＜p＜2，化簡(jiǎn)（）2＝（ ）
A．1B．3C．3﹣2pD．1﹣2p
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．
【解答】解：∵1＜p＜2，
∴1﹣p＜0，2﹣p＞0，
∴原式＝|1﹣p|+2﹣p
＝p﹣1+2﹣p
＝1．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，解決本題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì)．
6．（2022春?東海縣期末）下列關(guān)于的表述錯(cuò)誤的是（ ）
A．它是最簡(jiǎn)二次根式B．它是無(wú)理數(shù)
C．它就是D．它大于5
【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式、無(wú)理數(shù)的定義，估算無(wú)理數(shù)的大小，逐一判斷即可解答．
【解答】解：A、是最簡(jiǎn)二次根式，故A不符合題意；
B、是無(wú)理數(shù)，故B不符合題意；
C、就是2，故C不符合題意；
D、∵（2）2＝24，52＝25，
∴25，
故D符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式，無(wú)理數(shù)，熟練掌握這些數(shù)學(xué)概念是解題的關(guān)鍵．
7．（2022春?江陰市期末）下列二次根式中，屬于最簡(jiǎn)二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的概念：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式判斷即可．
【解答】解：A選項(xiàng)，是最簡(jiǎn)二次根式，故該選項(xiàng)符合題意；
B選項(xiàng)，原式，故該選項(xiàng)不符合題意；
C選項(xiàng)，原式＝|a|，故該選項(xiàng)不符合題意；
D選項(xiàng)，原式，故該選項(xiàng)不符合題意；
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式，掌握最簡(jiǎn)二次根式的概念：（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式是解題的關(guān)鍵．
8．（2022春?靖江市校級(jí)期末）我們把形如ab（a，b為有理數(shù)，為最簡(jiǎn)二次根式）的數(shù)叫做型無(wú)理數(shù)，如31是型無(wú)理數(shù)，則（）2是（ ）
A．型無(wú)理數(shù)B．型無(wú)理數(shù)C．型無(wú)理數(shù)D．型無(wú)理數(shù)
【分析】根據(jù)完全平方公式展開(kāi)，化簡(jiǎn)二次根式即可得出答案．
【解答】解：原式＝2+210
＝2×212
＝412，
它屬于型無(wú)理數(shù)，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式，掌握（a±b）2＝a2±2ab+b2是解題的關(guān)鍵．
二．填空題（共10小題）
9．（2023?鼓樓區(qū)一模）計(jì)算的結(jié)果是 2 ．
【分析】根據(jù)二次根式乘法法則計(jì)算．
【解答】解：


＝2．
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的乘法法則，靈活轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．
10．（2023春?棲霞區(qū)校級(jí)月考）計(jì)算的結(jié)果是 2 ．
【分析】利用二次根式的乘法法則計(jì)算即可．
【解答】解：原式

＝2．
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的運(yùn)算，掌握二次根式的乘法法則是解決本題的關(guān)鍵．
11．（2022秋?常德期末）使式子有意義的x的取值范圍是 x＞4 ．
【分析】直接利用二次根式有意義的條件分析得出答案．
【解答】解：使式子有意義，
則x﹣4＞0，
解得：x＞4．
故答案為：x＞4．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確掌握二次根式定義是解題關(guān)鍵．
12．（2023?沭陽(yáng)縣模擬）使得有意義的x的取值范圍是 x＞2 ．
【分析】根據(jù)二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為0列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由題意得：x﹣2＞0，
解得：x＞2，
故答案為：x＞2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次根式有意義的條件，熟記二次根式的被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)、分母不為0是解題的關(guān)鍵．
13．（2022春?江寧區(qū)期末）計(jì)算：（）2＝ 9 ； 9 ．
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求出答案．
【解答】解：（）2＝9，
9，
故答案為：9，9．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的加減運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次根式的加減運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題．
14．（2022春?江陰市期末）寫(xiě)出一個(gè)二次根式，使它與的積是有理數(shù)．這個(gè)二次根式是 ．
【分析】根據(jù)有理化因式的定義：兩個(gè)根式相乘的積不含根號(hào)，即可判斷．
【解答】解：2；
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】考查了正確選擇二次根式，使它們的積是有理數(shù)是解答問(wèn)題的關(guān)鍵．
15．（2022春?南京期末）計(jì)算：（）2＝ 2 ； 2 ．
【分析】利用二次根式的乘法的法則及化簡(jiǎn)的法則進(jìn)行求解即可．
【解答】解：（）22；
．
故答案為：2，2．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次根式的乘法，二次根式的化簡(jiǎn)，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．
16．（2023春?海安市月考）計(jì)算： 4a ．
【分析】先根據(jù)二次根式被開(kāi)方數(shù)的非負(fù)性確定a的取值范圍，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)．
【解答】解：∵2a≥0，
∴a≥0
∴原式|4a|＝4a，
故答案為：4a．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次根式的乘除法，掌握二次根式的化簡(jiǎn)是解題的關(guān)鍵．
17．（2023?天寧區(qū)校級(jí)模擬）若（2）（2+m）的積是有理數(shù)，則無(wú)理數(shù)m的值為 ．
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合平方差公式特征確定出無(wú)理數(shù)m的值即可．
【解答】解：（2）（2）
＝22﹣（）2
＝4﹣3
＝1，
則（2）（2+m）的積是有理數(shù)時(shí)，無(wú)理數(shù)m的值為．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分母有理化，以及無(wú)理數(shù)，熟練掌握平方差公式是解本題的關(guān)鍵．
18．（2022秋?姑蘇區(qū)校級(jí)期中） 2 ．
【分析】利用二次根式的性質(zhì)進(jìn)行乘除運(yùn)算．
【解答】解：
＝3
＝3×2
＝6
＝2，
故答案為：2．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次根式的乘除運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的乘除運(yùn)算法則和分母有理化．
三．解答題（共9小題）
19．（2022春?宜興市校級(jí)月考）計(jì)算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化簡(jiǎn)，再進(jìn)行二次根式的乘法運(yùn)算即可；
（2）先通分，再把除法轉(zhuǎn)為乘法，最后約分即可．
【解答】解：（1）

＝﹣4；
（2）


．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二次根式的乘除法，分式的混合運(yùn)算，解答的關(guān)鍵是對(duì)相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握與運(yùn)用．
20．（2022春?黃岡期中）已知等式成立，化簡(jiǎn)|x﹣6|的值．
【分析】先根據(jù)二次根式有意義的條件求出x的值，再將x代入化簡(jiǎn)即可求值．
【解答】解：由題意得，，
∴3＜x≤5，
∴|x﹣6|
＝6﹣x+x﹣2
＝4．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次根式有意義的條件，熟記二次根式有意義的條件是解題的關(guān)鍵．
21．（2022春?亭湖區(qū)校級(jí)月考）若實(shí)數(shù)p在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)下列式子：（）2
【分析】直接利用數(shù)軸得出p的取值范圍，再利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)得出答案．
【解答】解：由數(shù)軸可得：2＜p＜3，
則原式4﹣p
＝3﹣p+4﹣p
＝7﹣2p．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)、實(shí)數(shù)與數(shù)軸等知識(shí)，正確化簡(jiǎn)二次根式是解題關(guān)鍵．
22．（2020秋?高邑縣期末）觀察下列一組等式，然后解答后面的問(wèn)題
（1）（1）＝1，
（）（）＝1，
（）（）＝1，
（）（）＝1……
（1）觀察以上規(guī)律，請(qǐng)寫(xiě)出第n個(gè)等式： （）（）＝1 （n為正整數(shù)）．
（2）利用上面的規(guī)律，計(jì)算：
（3）請(qǐng)利用上面的規(guī)律，比較與的大?。?br>【分析】（1）歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，寫(xiě)出即可；
（2）原式利用得出的規(guī)律計(jì)算即可求出值；
（3）利用得出的規(guī)律比較即可．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得：第n個(gè)等式為（）（）＝1；
故答案為：（）（）＝1；
（2）原式11＝10﹣1＝9；
（3），，
∵，
∴．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分母有理化，實(shí)數(shù)比較大小，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．
23．（2023?阜陽(yáng)模擬）觀察下列各式及其驗(yàn)算過(guò)程：
2，驗(yàn)證：2；
3，驗(yàn)證：3．
（1）按照上述兩個(gè)等式及其驗(yàn)證過(guò)程的基本思路，猜想的變形結(jié)果并進(jìn)行驗(yàn)證；
（2）針對(duì)上述各式反映的規(guī)律，寫(xiě)出用n（n為大于1的整數(shù)）表示的等式并給予驗(yàn)證．
【分析】（1）根據(jù)材料中的方法即可求解．，將左右兩邊按照二次根式的性質(zhì)計(jì)算即可驗(yàn)證；
（2）由（1）中的式子可得規(guī)律：．
【解答】解：（1）∵2 ，3 ，
∴4 4 ，
驗(yàn)證：，正確；
（2）由（1）中的規(guī)律可知3＝22﹣1，8＝32﹣1，15＝42﹣1，
∴，
驗(yàn)證：，正確．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查算術(shù)平方根以及數(shù)字的變化類，通過(guò)具體數(shù)值的計(jì)算，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
24．（2023春?海淀區(qū)校級(jí)期中）我們規(guī)定用（a，b）表示一對(duì)數(shù)對(duì)，給出如下定義：記，（其中a＞0，b＞0），將（m，n）與（n，m）稱為數(shù)對(duì)（a，b）的一對(duì)“和諧數(shù)對(duì)”．例如：（4，1）的一對(duì)“和諧數(shù)對(duì)”為（，1）和（1，）．
（1）數(shù)對(duì)（16，5）的一對(duì)“和諧數(shù)對(duì)”是 （，）和（，） ；
（2）若數(shù)對(duì)（9，b）的一對(duì)“和諧數(shù)對(duì)”相同，則b的值為 ；
（3）若數(shù)對(duì)（a，b）的一個(gè)“和諧數(shù)對(duì)”是（2，1），直接寫(xiě)出ab的值 或4 ．
【分析】（1）根據(jù)新定義即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)新定義，列等式，解方程進(jìn)而得出結(jié)論；
（4）根據(jù)新定義，列方程組，解出進(jìn)而得出結(jié)論．
【解答】解：（1）∵m，n，
∴數(shù)對(duì)（16，5）的一對(duì)“和諧數(shù)對(duì)”是（，）和（，）．
故答案為：（，）和（，）；
（2）∵數(shù)對(duì)（9，b）的一對(duì)“和諧數(shù)對(duì)”相同，
∴
∴m．
故答案為：；
（3）∵數(shù)對(duì)（a，b）的一個(gè)“和諧數(shù)對(duì)”是（2，1），
∴或，
解得或，
∴xy或4．
故答案為：或4．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分母有理化，涉及到新定義，解方程組，解方程，理解和應(yīng)用新定義是解本題的關(guān)鍵．
25．（2023春?連江縣期中）觀察下列等式：
2；3；4；5；……
（1）請(qǐng)你按上述規(guī)律寫(xiě)出第5個(gè)等式： 6 ；
（2）用含字母n（n為正整數(shù)）的等式表示這一規(guī)律，并給出證明．
【分析】（1）根據(jù)所給式子的形式進(jìn)行求解；
（2）根據(jù)所給式子的形式不難看出式子的值與序號(hào)之間的關(guān)系：第n個(gè)等式：n+1．
【解答】解：（1）∵2；3；4；5；……
∴第5個(gè)等式：6，
故答案為：6；
（2）第n個(gè)等式：n+1，
證明：


＝|n+1|，
∵n為正整數(shù)，
∴n+1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，掌握將數(shù)字與序號(hào)建立數(shù)量關(guān)系或者與前后數(shù)字進(jìn)行簡(jiǎn)單運(yùn)算，從而得出通項(xiàng)公式是解題關(guān)鍵．
26．（2021秋?金牛區(qū)校級(jí)月考）已知x，y．
（1）求x2+y2﹣xy的值；
（2）若x的整數(shù)部分是a，y的小數(shù)部分是b，求5a2021+（x﹣b）2﹣y的值．
【分析】（1）利用分母有理化化簡(jiǎn)x和y，并將所求式變形后代入可答案；
（2）根據(jù)無(wú)理數(shù)的估算可知0＜21，3＜24，可得a和b的值，代入所求式可得答案．
【解答】解：（1）∵x2，y2，
∴x2+y2﹣xy
＝（x+y）2﹣3xy
＝（22）2﹣3（2）（2）
＝16﹣3
＝13；
（2）∵12，
∴0＜21，3＜24，
∴a＝0，b＝231，
∴5a2021+（x﹣b）2﹣y
＝5×0+（21）2﹣（2）
＝（3﹣2）2﹣2
＝9﹣1212﹣2
＝19﹣13．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了分母有理化，二次根式的混合運(yùn)算，掌握完全平方公式和分母有理化是解本題的關(guān)鍵．
27．（2022春?鋼城區(qū)期末）閱讀下列解題過(guò)程：
1；
．
請(qǐng)回答下列問(wèn)題：
（1）歸納：觀察上面的解題過(guò)程，請(qǐng)直接寫(xiě)出下列各式的結(jié)果．
① ；② ；
（2）應(yīng)用：求的值；
（3）拓廣： ﹣1 ．
【分析】（1）①直接利用找出分母有理化因式進(jìn)而化簡(jiǎn)求出答案；
②直接利用找出分母有理化因式進(jìn)而化簡(jiǎn)求出答案；
（2）直接利用找出分母有理化因式進(jìn)而化簡(jiǎn)求出答案；
（3）直接利用找出分母有理化因式進(jìn)而化簡(jiǎn)求出答案．
【解答】解：（1）①；
②；
故答案為：；；
（2）
1
1；
（3）



＝﹣1．
故答案為：﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分母有理化，正確找出分母有理化因式是解題關(guān)鍵．

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蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)期末復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練專題04 分式及分式的基本性質(zhì)（含解析）

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蘇科版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)期末復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練專題01 圖形的旋轉(zhuǎn)與中心對(duì)稱（含解析）

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