1.已知直線l： 3x+y+3=0，下列結論正確的是( )
A. 直線l的傾斜角為π3B. 直線l的法向量為( 3,?1)
C. 直線l的方向向量為(1, 3)D. 直線l的斜率為? 3
2.若{a,b,c}構成空間的一個基底，則下列向量不共面的是( )
A. b+c，b，b?cB. a，a+b，a?b
C. a+b，a?b，cD. a+b，a+b+c，c
3.關于空間向量，以下說法不正確的是( )
A. 若兩個不同平面α，β的法向量分別是u,ν，且n=(1,2,?2),ν=(2,1,2)，則α⊥β
B. 若直線l的方向向量為e=(1,0,3)，平面α的法向量為n=(?2,0,23)，則直線l/?/α
C. 若對空間中任意一點O，有OP=14OA+14OB+12OC，則P，A，B，C四點共面
D. 兩個非零向量與任何一個向量都不能構成空間的一個基底，則這兩個向量共線
4.如圖，在三棱錐O?ABC中，設OA=a，OB=b，OC=c，若AN=NB，BM=2MC，則MN=( )
A. 12a+16b?23c
B. 12a?16b+23c
C. 12a?16b?13c
D. 12a+16b+13c
5.已知△ABC的頂點A(5,5)，AC邊上的高所在直線方程為3x+2y?7=0，則AC所在直線的方程為( )
A. x?2y+5=0B. 2x?3y+3=0C. x+2y?15=0D. 2x?3y+5=0
6.如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，若AB= 2BB1，則AB1與BC1所成角的大小為( )
A. 60°
B. 90°
C. 105°
D. 75°
7.有很多立體圖形都體現了數學的對稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個棱數為24，棱長為 2的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，可以看成是由一個正方體截去八個一樣的四面體所得.若點E為線段BC上的動點，則直線DE與直線AF所成角的余弦值的取值范圍為( )
A. [13, 22]B. [13, 32]C. [12, 22]D. [12, 32]
8.已知直線l1：kx?y=0過定點A，直線l2：x+ky? 2+2k=0過定點B，l1與l2的交點為C，則|AC|+|BC|的最大值( )
A. 2 6B. 2 5C. 4D. 2 3
二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）
9.已知空間中三點A0,1,0，B2,2,0，C?1,3,1，則下列說法正確的是
( )
A. AB與AC是共線向量
B. 與AB同向的單位向量是2 55, 55,0
C. AB和BC夾角的余弦值是 5511
D. 平面ABC的一個法向量是1,?2,5
10.已知直線l：x?my+m?1=0，則下列說法正確的是( )
A. 直線l的斜率可以等于0
B. 若直線l與y軸的夾角為30°，則m= 33或m=? 33
C. 直線l恒過點(2,1)
D. 若直線l在兩坐標軸上的截距相等，則m=1或m=?1
11.設點A(?2,3)，B(3,2)，若直線ax+y+2=0與線段AB沒有交點，則a的取值可能是( )
A. ?1B. ?2C. 1D. 52
12.如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點M是線段BC1上運動，則下列說法正確的是( )
A. A1M/?/平面ACD1
B. 幾何體A1BC1?ACD1的外接球半徑r= 2
C. 異面直線CD與A1M所成角的正弦值的取值范圍為[ 33, 22]
D. 面A1DM與底面ABCD所成角正弦值的取值范圍為[ 22, 63]
三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）
13.已知直線l1：ax+y+3=0與l2：2x+(a?1)y+a+1=0平行，則a=______．
14.如圖，AO⊥平面α，O為垂足，B∈α，BC⊥BO，BC與平面α所成的角為30°，AO=BO=BC=1，則AC的長等于______．
15.如圖所示，已知PA⊥平面ABC，∠ABC=120°，PA=AB=BC=6，則向量PB在向量BC上的投影向量是______ ．
16.如圖，在直角△ABC中，AB=1，BC=2，D為斜邊AC上異于A，C的動點，若將△ABD沿折痕BD翻折，使點A折至A1處，且二面角A1?BD?C的大小為π3，則線段A1C長度的最小值為______ ．
四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17.(本小題10.0分)
如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點E，F，G分別是AB，AD，CD的中點．設AB=a，AC=b，AD=c．
(1)求證EG⊥AB；
(2)求異面直線AG和CE所成角的余弦值．
18.(本小題12.0分)
求滿足下列條件的直線l的一般式方程：
(1)經過直線l1：2x?y+9=0，l2：3x+2y+3=0的交點P，且經過點(2,4)；
(2)與直線l3：3x?y=0垂直，且點Q(2,?5)到直線l的距離為 10．
19.(本小題12.0分)
如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，E，F分別是AA1，C1D1的中點．
(1)求點B1到平面DEF的距離；
(2)若G是棱AB上一點，當C1G//平面DEF時，求AG的長．
20.(本小題12.0分)
在斜三棱柱ABC?A1B1C1中，△ABC為等腰直角三角形，AB=AC，側面BB1C1C為菱形，且∠B1BC=60°，點E為棱A1A的中點，EB1=EC，平面B1CE⊥平面BB1C1C.
(1)證明：平面BB1C1C⊥平面ABC；
(2)求二面角E?B1C?A1的余弦值．
21.(本小題12.0分)
如圖，將一塊直角三角形木板ABO置于平面直角坐標系中，已知AB=OB=1，AB⊥OB，點P(12,14)是三角形木板內一點，現因三角形木板中陰影部分受到損壞，要把損壞部分鋸掉，可用經過點P的任一直線MN將三角形木板鋸成△AMN，設直線MN的斜率為k．
(1)用k表示出直線MN的方程，并求出M、N的坐標；
(2)求鋸成的△AMN的面積的最小值．
22.(本小題12.0分)
如圖1，已知ABFE是直角梯形，EF/?/AB，∠ABF=90°，∠BAE=60°，C、D分別為BF、AE的中點，AB=5，EF=1，將直角梯形ABFE沿CD翻折，使得二面角F?DC?B的大小為60°，如圖2所示，設N為BC的中點．

(1)證明：FN⊥AD；
(2)若M為AE上一點，且AMAE=λ，則當λ為何值時，直線BM與平面ADE所成角的正弦值為5 714．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由題意可得直線的斜率k=? 3，故直線的傾斜角2π3，AC錯誤，D正確；
與直線l： 3x+y+3=0垂直的直線斜率 33，
所以與l垂直的直線的一個方向向量為(1, 33)，
又( 3,?1)與(1, 33)不平行，B錯誤．
故選：D．
結合已知直線方程，分別求出直線的斜率，傾斜角及方向向量，法向量，然后檢驗各選項即可判斷．
本題主要考查了直線的斜率，傾斜角及直線的方向向量及法向量的求解，屬于基礎題．
2.【答案】C
【解析】解：由空間向量基本定理得：
對于A選項，因為b=12(b+c)+12(b?c)，所以b+c，b，b?c三個向量共面，不符合題意；
對于B選項，因為a=12(a+b)+12(a?b)，所以a，a+b，a?b三個向量共面，不符合題意；
對于C選項，假設a+b，a?b，c共面，則c=xa+b+ya?b=x+ya+x?yb，從而可知a，b，c共面，這與已知矛盾，故a+b，a?b，c不共面，符合題意；
對于D選項，a+b+c=(a+b)+(c)，所以三個向量共面，不符合題意；
故選：C．
由空間向量基本定理判斷．
本題考查空間向量基本定理以及共面向量定理的應用，屬于基礎題．
3.【答案】B
【解析】解：對于A，u?ν=2+2+(?2)×2=0，所以u⊥ν，A正確；
對于B，e?n=?2+0+2=0，所以e⊥n，則直線l/?/α或l?α，B錯誤；
對于C，對空間中任意一點O，有OP=14OA+14OB+12OC，滿足14+14+12=1，
則P，A，B，C四點共面，可知C正確；
對于D，兩個非零向量與任何一個向量都不能構成空間的一個基底，
則這兩個向量共線，所以D正確．
故選：B．
由面面垂直的向量表示可判斷A；由線面平行的向量表示可判斷B；根據向量共線定理，可判斷C；由空間向量基底的表示可判斷D．
本題考查面面垂直的向量表示、線面平行的向量表示、向量共線定理、空間向量基底等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．
4.【答案】A
【解析】解：MN=MB+BN=23CB+12BA=23(OB?OC)+12(OA?OB)=12OA+16OB?23OC=12a+16b?23c．
故選：A．
根據向量加法、減法和數乘的幾何意義，以及向量的數乘運算即可用a,b,c表示出MN．
本題考查了向量加法、減法和數乘的幾何意義，向量的數乘運算，考查了計算能力，屬于基礎題．
5.【答案】D
【解析】解：AC邊上的高所在直線方程為3x+2y?7=0，斜率為?32，
則直線AC的斜率為?1?32=23，
∵AC所在直線過頂點A(5,5)，
∴y?5=23(x?5)，即2x?3y+5=0．
故選：D．
根據已知條件，結合直線垂直的性質，以及直線的點斜式公式，即可求解．
本題主要考查直線垂直的性質，以及直線的點斜式公式，屬于基礎題．
6.【答案】B
【解析】解：在正三棱柱ABC?A1B1C1中，向量BA,BC,BB1不共面，AB1=BB1?BA，BC1=BC+BB1，
令|BB1|=a，則|BA|=|BC|= 2a，而BB1⊥BA,BC⊥BB1，
于是得AB1?BC1=(BB1?BA)?(BC+BB1)=BB1?BC+BB12?BA?BC?BA?BB1=a2? 2a? 2acs60°=0，
因此，AB1⊥BC1，
所以AB1與BC1所成角的大小為90°．
故選：B．
可得出AB1=BB1?BA，BC1=BC+BB1，并設|BB1|=a，然后即可求出|BA|=|BC|= 2a，并知道BB1⊥BA,BB1⊥BC，然后即可求出AB1?BC1的值，從而得出答案．
本題考查了用向量求異面直線所成角的方法，向量加法的平行四邊形法則，向量減法的幾何意義，向量的數量積的運算，考查了計算能力，屬于基礎題．
7.【答案】C
【解析】解：如圖，
建立如圖所示空間直角坐標系，則A(2,1,0)，F(2,2,1)，B(1,0,2)，
C(0,1,2)，D(1,2,2)，設CE=λCB=λ(1,?1,0)=(λ,?λ,0)(0≤λ≤1)，
則DE=DC+CE=(?1,?1,0)+(λ,?λ,0)=(λ?1,?λ?1,0)，
AF=(0,1,1)，
∴cs=DE?AF|DE||AF|=?λ?1 2? (λ?1)2+(λ+1)2=?12 1+2λλ2+1=?12 1+2λ+1λ(λ≠0)，
當λ∈(0,1]時，cs∈[? 22,?12)，
當λ=0時，cs=?12，
∴cs∈[? 22,?12]，可得直線DE與直線AF所成角的余弦值的取值范圍為[12, 22].
故選：C．
把多面體放入正方體中，建立空間直角坐標系，再由空間向量求解．
本題考查空間中異面直線所成角的求法，考查空間想象能力與思維能力，考查運算求解能力，是中檔題．
8.【答案】D
【解析】解：對于直線l1：kx?y=0過定點A(0,0)，
對于直線l2：x+ky? 2+2k=0，即x? 2+k(2+y)=0，
則x? 2=02+y=0，可得x= 2，y=?2，故定點B( 2,?2)，
直線l1：kx?y=0與直線l2：x+ky? 2+2k=0中，
∵k×1+(?1)×k=0，
∴l(xiāng)1⊥l2，
∵l1與l2的交點為C，
∴|CA|2+|CB|2=|AB|2=2+4=6，
∴(|CA|+|CB|2)2=|CA|2+|CB|2+2|CA|?|CB|4≤12(|CA|2+|CB|2)=3，
∴|CA|+|CB|2≤ 3，
∴|CA|+|CB|≤2 3，
當且僅當|CA|=|CB|= 3時，|CA|+|CB|的最大值為2 3，
故選：D．
由動直線的方程可得動點A，B的坐標，并且可得兩條直線互相垂直，由勾股定理可得|CA|2+|CB|2的值，再由基本不等式可得|AC|+|BC|的最大值．
本題考查的知識要點：直線的方程，定點直線系，主要考查學生的理解能力和計算能力，屬于中檔題．
9.【答案】BD
【解析】【分析】
利用空面向量坐標運算法則、共線向量、向量夾角公式、法向量直接求解．
本題考查命題真假的判斷，考查空面向量坐標運算法則、共線向量、向量夾角公式、法向量等基礎知識，考查運算求解能力等數學核心素養(yǎng)，是基礎題．
【解答】
解：空間中三點A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(?1,3,1)，
對于A，AB=(2,1,0)，AC=(?1,2,1)，
∴AB與AC不是共線向量，故A錯誤；
對于B，AB=(2,1,0)，AB|AB|=(2 55, 55,0)，故B正確；
對于C，AB=(2,1,0)，BC=(?3,1,1)，
∴AB和BC夾角的余弦值是：
cs=AB?BC|AB|?|BC|=?5 5? 11=? 5511，故C錯誤；
對于D，AB=(2,1,0)，AC=(?1,2,1)，
設平面ABC的法向量n=(x,y,z)，
則n?AB=2x+y=0n?AC=?x+2y+z=0，取x=1，得n=(1,?2,5)，故D正確．
故選：BD．
10.【答案】BD
【解析】【分析】
本題考查直線過定點問題，直線的斜率與傾斜角的關系，直線方程的應用，屬于較易題．
根據題意由直線的相關知識，逐個分析即可．
【解答】
解：當m=0時，直線l的斜率不存在，
當m≠0時，直線l的斜率為1m，不可能等于0，故A選項錯誤；
∵直線l與y軸的夾角為30°，
∴直線l的傾斜角為60°或120°，
∴直線l的斜率為1m，
∴1m=tan60°= 3或1m=tan120°=? 3，
∴m= 33或m=? 33，
故B選項正確；
直線l的方程可化為(x?1)?m(y?1)=0，
所以直線l過定點(1,1)，故C選項錯誤；
當m=0時，直線l在y軸上的截距不存在，
當m≠0時，令x=0，得y=m?1m，令y=0，得x=1?m，
令m?1m=1?m，得m=±1，故D選項正確，
故選BD．
11.【答案】AC
【解析】解：易知直線ax+y+2=0過定點P(0,?2)，kPA=3?(?2)?2?0=?52，kPB=2?(?2)3?0=43，
直線ax+y+2=0的斜率為?a，由圖知?a≥43或?a≤?52，
所以a≤?43或a≥52時有交點，
因此當?43

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