1.若全集U=R，集合A={0,1,2,3,4,5}，B={x|x≥3}，則A∩B=( )
A. {0,1,2}B. {3,4,5}C. {0,1,2,3}D. {4,5}
2.若復(fù)數(shù)z=i(2+i)，則|z|=( )
A. 1B. 2C. 5D. 5
3.在下列條件中，一定能使空間中的四點M，A，B，C共面的是( )
A. OM=2OA?OB?OCB. OM=14OA+14OB+14OC
C. OM+OA+OB+OC=0D. OM=16OA+13OB+12OC
4.已知直線l經(jīng)過點P(0,1)，且它的一個方向向量為(1,2)，則直線l的方程為( )
A. 2x?y?1=0B. x+2y?2=0C. 2x?y+1=0D. 2x+y+1=0
5.番禺圖書館新誼是一個集知識、信息、文化為一體的綜合性閱讀場所.在一段時間內(nèi)，若甲同學(xué)前往圖書館新館的概率為0.5，乙前往圖書館新館的頻率為0.8，且甲、乙兩人各自行動，則在此段時間內(nèi)，甲、乙兩人至少有一人稱往番禺圖書館新館的概率是( )
A. 0.9B. 0.8C. 0.5D. 0.4
6.設(shè)點F為雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點，O為坐標(biāo)原點，以O(shè)F為直徑的圓與雙曲線C的漸近線交于A，B兩點(均異于點O).若|AB|=|OF|，則雙曲線C的離心率為( )
A. 2B. 3C. 2D. 5
7.如圖，在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點E在BD上，點F在CB1上，則EF的最小值為( )
A. 1
B. 22
C. 33
D. 12
8.蜜蜂是母系社會生物.蜂后產(chǎn)的卵若能受精則孵化為雌蜂，若不能受精則孵化為雄蜂，即雄蜂是“有母無父”，雌蜂是“有父有母”的.如圖是某只雄蜂的家系圖，規(guī)定：其“父母”為上溯第1代祖輩，其“祖父母”為上溯第2代祖輩，以此類推.記Fn表示該雄蜂上溯第n代的祖輩數(shù)量，例如F1=1.那么，下列結(jié)論中正確的是( )
A. F7+F9>F10B. F8+F10>2F9
C. F8+F9>F7+F10D. 4F5+F9>F10
二、多選題：本題共4小題，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.在等差數(shù)列{an}中，已知a4=8，a12=?8，Sn是其前n項和，則下列選項正確的是( )
A. d=?2B. a8=0C. S15=54D. S33>S44
10.已知函數(shù)f(x)= 32sin2x?cs2x+12(x∈R)，則下列說法正確的是( )
A. 函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱
B. 函數(shù)f(x)的最小正周期為π
C. 點(π6,0)為函數(shù)f(x)圖象的一個對稱中心
D. 函數(shù)f(x)的最大值為1
11.已知O為坐標(biāo)原點，點A(2,0)，動點P滿足OP?PA=0，Q是直線x? 3y+3=0上的點，下列結(jié)論正確的是( )
A. 點P的軌跡是圓B. |PQ|的最大值為3
C. |PQ|的最小值為1D. ∠OQA0且a≠1，試判斷是否存在直線x=x0，使得函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x=x0對稱？若存在，求出x0的值(用a表示)；若不存在，請說明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：全集U=R，集合A={0,1,2,3,4,5}，B={x|x≥3}，
則A∩B={3,4,5}．
故選：B．
利用交集定義直接求解．
本題考查交集定義、不等式性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．
2.【答案】D
【解析】解：z=i(2+i)=?1+2i，
則|z|= (?1)2+22= 5．
故選：D．
根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的四則運算，以及復(fù)數(shù)模公式，即可求解．
本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運算，以及復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題．
3.【答案】D
【解析】解：空間中的四點M，A，B，C共面，只需滿足OM=xOA+yOB+zOC，且x+y+z=1即可，
對于A，OM=2OA?OB?OC，其中2?1?1=0，所以四點M，A，B，C不共面，故A錯誤；
對于B，OM=14OA+14OB+14OC，其中14+14+14=34，所以四點M，A，B，C不共面，故B錯誤；
對于C，OM=?OA?OB?OC，其中?1?1?1=?3，所以四點M，A，B，C不共面，故C錯誤；
對于D，OM=16OA+13OB+12OC，其中16+13+12=1，所以四點M，A，B，C共面，故D正確．
故選：D．
空間中的四點M，A，B，C共面，只需滿足OM=xOA+yOB+zOC，且x+y+z=1即可，逐個判斷各個選項即可．
本題主要考查了空間向量共面的判定定理，屬于基礎(chǔ)題．
4.【答案】C
【解析】解：∵直線的一個方向向量為(1,2)，
∴直線l的斜率為k=2，
∴直線l的方程為y?1=2(x?0)，即y=2x+1，即2x?y+1=0．
故選：C．
根據(jù)方向向量可得直線的斜率，進(jìn)而根據(jù)點斜式解方程即可．
本題考查直線方程、直線的方向向量、斜率等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．
5.【答案】A
【解析】解：設(shè)事件A表示“甲同學(xué)前往圖書館新館”，設(shè)事件B表示“乙同學(xué)前往圖書館新館”，
則P(A)=0.5，P(B)=0.8，
∴在此段時間內(nèi)，甲、乙兩人至少有一人稱往番禺圖書館新館的概率是：
P=1?P(A?B?)=1?(1?P(A))(1?P(B))
=1?(1?0.5)(1?0.8)
=0.9．
故選：A．
設(shè)事件A表示“甲同學(xué)前往圖書館新館”，設(shè)事件B表示“乙同學(xué)前往圖書館新館”，則P(A)=0.5，P(B)=0.8，利用相互獨立事件概率乘法公式、對立事件概率計算公式能求出在此段時間內(nèi)，甲、乙兩人至少有一人稱往番禺圖書館新館的概率．
本題考查相互獨立事件概率乘法公式、對立事件概率計算公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是基礎(chǔ)題．
6.【答案】A
【解析】解：如下圖所示：
連接AF、BF，設(shè)AB∩OF=M，
由對稱性可知，M為AB的中點，AB⊥OF，
因為|AB|=|OF|，則線段AB是以O(shè)F為直徑的圓的一條直徑，則M為圓心，
故M為OF的中點，
又因為AB⊥OF，且AB、OF互相垂直且平分，
所以，四邊形OAFB為正方形，
則∠AOF=π4，
所以ba=tanπ4=1，
所以，該雙曲線的離心率為e=ca= a2+b2a2= 1+(ba)2= 2．
故選：A．
作出圖形，分析可知，四邊形OAFB為正方形，可得出∠AOF=π4，求出ba的值，進(jìn)而可求得該雙曲線的離心率的值．
本題考查雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題．
7.【答案】C
【解析】解：以D為坐標(biāo)原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：
，
則可設(shè)E(a,a,0)，其中0≤a≤1，F(xiàn)(b,1,b)，其中0≤b≤1，
根據(jù)圖中可知直線BD和直線B1C為異面直線，
若能取到兩異面直線間的距離，則此時EF距離最小，
根據(jù)異面直線公垂線的定義知EF⊥BD，EF⊥B1C，
EF=(b?a,1?a,b)，DB=(1,1,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，
則B1C=(?1,0,?1)，則EF?BD=b?a+1?a=0，EF?B1C=?b+a?b=0，
解得a=23b=13，滿足a，b范圍，
則此時EF= (a?b)2+(a?1)2+b2= 19+19+19= 33，
則EFmin= 33．
故選：C．
以D為坐標(biāo)原點建立合適的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)E(a,a,0)，0≤a≤1，F(xiàn)(b,1,b)，0≤b≤1，根據(jù)異面直線距離定義利用空間兩點距離公式即可得到答案．
本題考查了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，考查異面直線距離定義以及空間兩點距離公式，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．
8.【答案】B
【解析】解：由題意可得，F(xiàn)1=F2=1，
當(dāng)n≥3時，F(xiàn)n=Fn?1+Fn?2，
對于A，F(xiàn)10=F9+F8>F9+F7，故A錯誤；
對于B，F(xiàn)8+F10?2F9=F8+F8+F9?2F9=2F8?F9=2F8?(F8+F7)=F8?F7>0，
∴F8+F10>2F9，故B正確；
對于C，F(xiàn)8+F9=F100，
∴F10>4F5+F9，故D錯誤．
故選：B．
由題意可得，F(xiàn)1=F2=1，當(dāng)n≥3時，F(xiàn)n=Fn?1+Fn?2，從而利用次性質(zhì)，結(jié)合作差法對選項一一進(jìn)行判斷即可．
本題考查數(shù)列的遞推公式，涉及歸納推理的應(yīng)用，屬于中檔題．
9.【答案】ABD
【解析】解：設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，
由a4=8，a12=?8，得a1+3d=8a1+11d=?8，解得d=?2a1=14，
∴a8=a1+7d=14?7×2=0，故選項A，B正確；
∴S15=15a1+15×142d=15×14+15×142×(?2)=0，故選項C錯誤；
∴S33=3×14+3×22×(?2)3=12，S44=4×14+4×32×(?2)4=11，
∴S33>S44，故選項D正確．
故選：ABD．
設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，根據(jù)等差數(shù)列基本量的計算求出a1和d，再結(jié)合等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式判斷各個選項即可．
本題考查等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于基礎(chǔ)題．
10.【答案】BD
【解析】解：函數(shù)f(x)= 32sin2x?cs2x+12= 32sin2x?1+cs2x2+12
= 32sin2x?12cs2x
=sin(2x?π6)(x∈R)，
因為f(x)不是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸不對稱，A錯誤；
由ω=2知，f(x)的最小正周期為π，故B正確；
由f(π6)=sinπ6=12≠0，
∴點(π6,0)不是函數(shù)f(x)圖象的一個對稱中心，C錯誤；
由sin(2x?π6)∈[?1,1]，∴f(x)的最大值是1，D正確．
故選：BD．
化函數(shù)f(x)為正弦型函數(shù)，再依次判斷選項中的命題是否正確．
本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題，屬于基礎(chǔ)題．
11.【答案】ACD
【解析】解：設(shè)P(x,y)，則OP?PA=(x,y)?(2?x,?y)=x(2?x)?y2=0，即(x?1)2+y2=1，
所以P點軌跡是圓，此圓圓心為C(1,0)，半徑為r=1，OA是圓的一條直徑．
因為C點到直線x? 3y+3=0的距離為d=|1?0+3| 12+(? 3)2=2>1，
所以直線與圓相離，所以|PQ|無最大值，最小值為2?1=1，
由于已知直線與以O(shè)A為直徑的圓相離，∠OQAb，則A>B，
所以B=π6；
(2)由a= 3b，c=8，C=π6及余弦定理，
可得c2=a2+b2?2abcsC，
即64=3b2+b2?2 3b2× 32=b2，
解得b=8，a=8 3，
所以S△ABC=12absinC=12×8×8 3×12=16 3．
【解析】(1)由已知及正弦定理，可求得sinB，進(jìn)而求得B；
(2)由已知及余弦定理，可求得b=8，a=8 3，進(jìn)而求得△ABC面積．
本題考查應(yīng)用正、余弦定理解三角形，屬中檔題．
18.【答案】解：(1)由題可知，0.2×(a+1.0+1.5+0.9+a+0.3)=1，
解得a=0.65，
由頻率分布直方圖可得x?=0.3×0.65×0.2+0.5×1.0×0.2+0.7×1.5×0.2+0.9×0.9×0.2+1.1×0.65×0.2+1.3×0.3×0.2=0.732，
因此，這100位客戶最近一年到該超市消費金額的平均數(shù)為0.732萬元；
(2)記“幸運客戶中恰有1人來自區(qū)間(0.3,0.4]”為事件A，
因為區(qū)間(0.4,0.6]和(0.6,0.8]頻率之比為2：3，采用分層抽樣的方法抽取5人進(jìn)行電話訪談，
故從分組區(qū)間(0.4,0.6]中抽取2人，分別記為A1，A2，從分組區(qū)間(0.6,0.8]中抽取3人，分別記為B1，B2B3，
從這5個人中隨機選擇2人作為“幸運客戶”，
則樣本空間Ω={(A1,A2)，(A1,B1)(A1,B2)，(A1,B3)，(A2,B1)(A2,B2)，(A2,B3)，(B1,B2)，(B1,B3)，(B2,B3)}，共10個樣本點，
A={(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,B3)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,B3)}，共6個樣本點，
所以P(A)=610=35．
【解析】(1)由題得，0.2×(a+1.0+1.5+0.9+a+0.3)=1，求得a=0.65，再利用平均數(shù)公式求解；
(2)先利用分層抽樣得到分組區(qū)間(0.4,0.6]中抽取2人，分組區(qū)間(0.6,0.8]中抽取3人，再由古典概型的概率公式求解．
本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查了古典概型的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．
19.【答案】解：(1)∵3a1，2a2，a3成等差數(shù)列，
∴2×2a2=3a1+a3，
∴4a1q=3a1+a1q2，
化為q2?4q+3=0，q≠1，
解得q=3．
∴an=3n．
(2)∵數(shù)列{bn}的前n項和Sn=n2，
∴n≥2時，bn=Sn?Sn?1=n2?(n?1)2=2n?1，
n=1時，b1=S1=1，滿足上式，
∴bn=2n?1，
an?bn=(2n?1)?3n，
∴數(shù)列{an?bn}的前n項和Tn=3+3×32+5×33+…+(2n?1)?3n，
3Tn=32+3×33+…+(2n?3)?3n+(2n?1)?3n+1，
相減可得：?2Tn=3+2×(32+33+…+3n)?(2n?1)?3n+1=3+2×9×(3n?1?1)3?1?(2n?1)?3n+1，
化為：Tn=(n?1)?3n+1+3．
【解析】(1)由3a1，2a2，a3成等差數(shù)列，可得2×2a2=3a1+a3，利用通項公式即可得出結(jié)論．
(2)由數(shù)列{bn}的前n項和Sn=n2，n≥2時，bn=Sn?Sn?1，n=1時，b1=S1，可得bn，利用錯位相減法即可得出數(shù)列{an?bn}的前n項和Tn．
本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及求和公式、錯位相減法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
20.【答案】解：(1)證明：因為三棱柱ABC?A1B1C1為直三棱柱，
所以AA1⊥平面ABC，
因為BC?平面ABC，
所以AA1⊥BC，
又因為AD⊥平面A1BC，BC?平面A1BC，
所以AD⊥BC，
又因為AA1∩AD=A，AA1?平面A1AB，AD?平面A1AB，
所以BC⊥平面A1AB，
又因為A1B?平面A1AB，
所以BC⊥A1B；
(2)由(1)知BC⊥平面A1AB，
因為AB?平面A1AB，所以BC⊥AB．
所以BA，BC，BB1兩兩互相垂直，
以B為坐標(biāo)原點，BC，BA，BB1所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則B(0,0,0)，C(2,0,0)，A(0,2,0)，B1(0,0,4)，P(1,1,0)，A1(0,2,2 3)，
所以BA1=(0,2,2 3)，BP=(1,1,0)，
設(shè)平面A1PB的法向量為m=(x,y,z)，
則m?BA1=2y+2 3z=0m?BP=x+y=0，
令z= 3，得y=?3，x=3，所以n=(3,?3, 3)，
由題知，平面PBC的一個法向量為n=(0,0,1)，
設(shè)平面A1PB與平面PBC的夾角為θ，
則csθ=|cs?m,n?|=|m?n||m||n|= 3 21= 77，
所以平面A1PB與平面PBC的夾角的余弦值為 77．
【解析】(1)由線面垂直的判定定理證明即可；
(2)建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法求平面與平面的夾角即可．
本題考查線線垂直的證明和平面與平面所成角，屬于中檔題．
21.【答案】解：(1)設(shè)動點M(x,y)，依題意有yx?2?yx+2=m4(m≠0)，
整理得x24?y2m=1,m≠0，
∴動點M的軌跡方程為x24?y2m=1，
當(dāng)m>0時，軌跡是焦點在x軸上的雙曲線，
當(dāng)m∈(?4,0)時，軌跡是焦點在x軸上的橢圓，
當(dāng)m=?4時，軌跡是圓，
當(dāng)m∈(?∞,?4)時，軌跡是焦點在y軸上的橢圓，且點A1(?2,0)，A2(2,0)不在曲線上；
(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+t，E(x1,y1)，F(xiàn)(x2,y2)，
由y=kx+tx24+y2=1，解得(1+4k2)x2+8ktx+4(t2?1)=0，
由韋達(dá)定理有x1+x2=?8kt1+4k2，x1x2=4t2?41+4k2且Δ=16(1+4k2?t2)>0，
∵k1，k，k2構(gòu)成等比數(shù)列，
∴k2=k1k2=(kx1+t)(kx2+t)x1x2，即kt(x1+x2)+t2=0，
由韋達(dá)定理代入化簡得k2=14，∵k>0，∴k=12．
【解析】(1)設(shè)動點M(x,y)，依題意有yx?2?yx+2=m4(m≠0)，由此能求出動點M的軌跡方程，并能指出隨m變化時方程所表示的曲線的形狀；
(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+t，E(x1,y1)，F(xiàn)(x2,y2)，由y=kx+tx24+y2=1，得(1+4k2)x2+8ktx+4(t2?1)=0，由此利用韋達(dá)定理、等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解k的值．
本題主要考查軌跡方程的求法，直線與圓錐曲線的綜合，考查運算求解能力，屬于中檔題．
22.【答案】解：(1)根據(jù)題意，當(dāng)a=?1時，f(x)=2lg(10x?1)，
必有10x?1>0，解可得x>0，即f(x)的定義域為(0,+∞)；
(2)當(dāng)a=1時，f(x)=2lg(10x+1)，則g(x)=2lg(10x+1)?x，其定義域為R，
g(?x)=2lg(10?x+1)+x=2lg(1+10x10x)+x=2lg(10x+1)?x=g(x)，
則函數(shù)g(x)為偶函數(shù)；
(3)根據(jù)題意，假設(shè)存在直線x=x0，使得函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x=x0對稱，
則有g(shù)(x0+x)=g(x0?x)，即2lg(10x0+x+a)?(x0+x)=2lg(10x0?x+a)?(x0?x)，
則有2lg(10x0+x+a)?2lg(10x0?x+a)=2x，
化簡可得：lg(10x0+x+a10x0?x+a)=x，則有10x0+x+a10x0?x+a=10x，
進(jìn)而可得10x0+x+a=(10x0?x+a)×10x，
變形可得(10x0?a)(10x+1)=0，必有10x0=a，即x0=lga，
故存在直線x=lga，使得函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x=lga對稱．
【解析】(1)根據(jù)題意，由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得10x?1>0，解可得答案；
(2)根據(jù)題意，求出g(x)的解析式，進(jìn)而分析可得答案；
(3)根據(jù)題意，先假設(shè)存在直線x=x0，使得函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于直線x=x0對稱，由此可得g(x0+x)=g(x0?x)，即2lg(10x0+x+a)?(x0+x)=2lg(10x0?x+a)?(x0?x)，變形分析可得x0=lga，即可得結(jié)論．
本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于中檔題．

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