特訓(xùn)05+期中選填壓軸題（第1-3章，2023新題速遞）-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末挑戰(zhàn)滿分沖刺卷（人教A版2019必修第一冊，浙江專用）

這是一份特訓(xùn)05+期中選填壓軸題（第1-3章，2023新題速遞）-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末挑戰(zhàn)滿分沖刺卷（人教A版2019必修第一冊，浙江專用），文件包含三角函數(shù)及解三角形大題專題練習(xí)卷參考答案doc、三角函數(shù)及解三角形專題卷docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共21頁， 歡迎下載使用。
一、單選題
1．（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）已知集合都是的子集，中都至少含有兩個(gè)元素，且滿足：
①對于任意，若，則；
②對于任意，若，則.
若中含有4個(gè)元素，則中含有元素的個(gè)數(shù)是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】C
【分析】令且，，根據(jù)已知條件確定可能元素，進(jìn)而寫出且時(shí)的可能元素，討論、，結(jié)合確定的關(guān)系，即可得集合A、B并求出并集中元素個(gè)數(shù).
【解析】令且，，如下表行列分別表示，
集合可能元素如下：
則，
若，不妨令，下表行列分別表示，
由，而，且，顯然中元素超過4個(gè)，不合題設(shè)；
若，則，下表行列分別表示，
由，而，且，
要使中元素不超過4個(gè)，只需，
此時(shí)，
顯然，即，則，即且，故，
所以，即，
而，故，共7個(gè)元素.
故選：C
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：令且，，結(jié)合已知寫出可能元素，由且時(shí)的可能元素且研究的關(guān)系.
2．（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)、、、、是均含有個(gè)元素的集合，且，，記，則中元素個(gè)數(shù)的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)、、、是集合互不相同的元素，分析可知，然后對的取值由小到大進(jìn)行分析，驗(yàn)證題中的條件是否滿足，即可得解.
【解析】解：設(shè)、、、是集合互不相同的元素，若，則，不合乎題意.
①假設(shè)集合中含有個(gè)元素，可設(shè)，則，
，這與矛盾；
②假設(shè)集合中含有個(gè)元素，可設(shè)，，
，，，滿足題意.
綜上所述，集合中元素個(gè)數(shù)最少為.
故選：A.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查集合元素個(gè)數(shù)的最值的求解，解題的關(guān)鍵在于對集合元素的個(gè)數(shù)由小到大進(jìn)行分類，對集合中的元素進(jìn)行分析，驗(yàn)證題中條件是否成立即可.
3．（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)集合中至少兩個(gè)元素，且滿足：①對任意，若，則 ，②對任意，若，則，下列說法正確的是（ ）
A．若有2個(gè)元素，則有3個(gè)元素
B．若有2個(gè)元素，則有4個(gè)元素
C．存在3個(gè)元素的集合，滿足有5個(gè)元素
D．存在3個(gè)元素的集合，滿足有4個(gè)元素
【答案】A
【解析】不妨設(shè)，由②知集合中的兩個(gè)元素必為相反數(shù)，設(shè)，由①得，由于集合中至少兩個(gè)元素，得到至少還有另外一個(gè)元素，分集合有個(gè)元素和多于個(gè)元素分類討論，即可求解.
【解析】若有2個(gè)元素，不妨設(shè)，
以為中至少有兩個(gè)元素，不妨設(shè)，
由②知，因此集合中的兩個(gè)元素必為相反數(shù)，故可設(shè)，
由①得，由于集合中至少兩個(gè)元素，故至少還有另外一個(gè)元素，
當(dāng)集合有個(gè)元素時(shí)，由②得：，則或.
當(dāng)集合有多于個(gè)元素時(shí)，不妨設(shè)，
其中，
由于，所以，
若，則，但此時(shí)，
即集合中至少有這三個(gè)元素，
若，則集合中至少有這三個(gè)元素，
這都與集合中只有2個(gè)運(yùn)算矛盾，
綜上，，故A正確；
當(dāng)集合有個(gè)元素，不妨設(shè)，
其中，則，所以，
集合中至少兩個(gè)不同正數(shù)，兩個(gè)不同負(fù)數(shù)，即集合中至少個(gè)元素，與矛盾，排除C，D.
故選：A.
【點(diǎn)睛】解題技巧：解決以集合為背景的新定義問題要抓住兩點(diǎn)：1、緊扣新定義，首先分析新定義的特點(diǎn)，把心定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，應(yīng)用到具體的解題過程中；2、用好集合的性質(zhì)，解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用的集合的性質(zhì)的一些因素.
4．（2023秋·上海虹口·高一上海市復(fù)興高級中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)a、b是實(shí)數(shù)，定義：.則滿足不等式的實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)，根據(jù)定義分別求出，，，然后解不等式可得.
【解析】
設(shè)，
則，
，
，
解得.
故選：C
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于觀察新定義發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)，結(jié)果與b無關(guān)，于是可設(shè)，然后利用定義即可求解.
5．（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）某市一個(gè)經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)的公路路線圖如圖所示，粗線是大公路，細(xì)線是小公路，七個(gè)公司分布在大公路兩側(cè)，有一些小公路與大公路相連.現(xiàn)要在大公路上設(shè)一快遞中轉(zhuǎn)站，中轉(zhuǎn)站到各公司（沿公路走）的距離總和越小越好，則這個(gè)中轉(zhuǎn)站最好設(shè)在（ ）
A．路口B．路口C．路口D．路口
【答案】B
【分析】根據(jù)給定圖形，用表示7個(gè)公司到大公路最近的小公路距離和，，再求出到路口C，D，E，F(xiàn)的距離總和，比較大小作答.
【解析】觀察圖形知，七個(gè)公司要到中轉(zhuǎn)站，先都必須沿小公路走到小公路與大公路的連接點(diǎn)，
令到、到、到、到、到、到、到的小公路距離總和為，
，
路口為中轉(zhuǎn)站時(shí)，距離總和，
路口為中轉(zhuǎn)站時(shí)，距離總和，
路口為中轉(zhuǎn)站時(shí)，距離總和，
路口為中轉(zhuǎn)站時(shí)，距離總和，
顯然，所以這個(gè)中轉(zhuǎn)站最好設(shè)在路口.
故選：B
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及實(shí)際問題中的大小比較，根據(jù)實(shí)際意義設(shè)元，列式表示出相關(guān)量，再用不等式的相關(guān)性質(zhì)比較即可.
6．（2023秋·江西南昌·高一南昌二中?？茧A段練習(xí)）已知不等式對滿足的所有正實(shí)數(shù)a，b都成立，則正數(shù)x的最小值為（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】先利用基本不等式證得（此公式也可背誦下來），從而由題設(shè)條件證得，結(jié)合題意得到，利用二次不等式的解法解之即可得到正數(shù)的最小值.
【解析】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，
所以，
因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，所以由得，即，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，且，即時(shí)，等號成立，
所以，即，
因?yàn)閷M足的所有正實(shí)數(shù)a，b都成立，
所以，即，整理得，
解得或，由為正數(shù)得，
所以正數(shù)的最小值為.
故選：B.
7．（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先去掉絕對值號，寫成分段函數(shù)的形式，然后根據(jù)題中函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)的信息，分類討論，，的情況下，函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，從而求出的范圍.
【解析】解：
（1）若，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，符合題意；
（2）若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
若在上是單調(diào)函數(shù)，，則；
（3）若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
若在上是單調(diào)函數(shù)，則，所以.
即綜上，的取值范圍是.
故選：A
8．（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，對任意?shí)數(shù)，滿足，且，當(dāng)時(shí)，．給出以下結(jié)論：①；②；③為上減函數(shù)；④為奇函數(shù)；其中正確結(jié)論的序號是（ ）
A．①②④B．①④C．①②D．①②③④
【答案】A
【分析】利用抽象函數(shù)的關(guān)系式，令判斷①的正誤；令，判斷②的正誤；令，可得當(dāng)時(shí)，，再令，結(jié)合單調(diào)性的定義判斷③的正誤；令判斷④的正誤；
【解析】因?yàn)?，則有：
令，可得，
即，解得，故①正確；
令，，可得，
即，解得，
再令，可得，
即，故②正確；
令，可得，
即
因?yàn)?，則，可得，所以，
令，不妨設(shè)，
可得，即，
因?yàn)?，則，則，
可得，即，
所以為上增函數(shù)，故③錯(cuò)誤；
令，可得，
即，整理得，
所以為奇函數(shù)，故④正確；
故選：A．
9．（2023秋·江蘇南京·高一金陵中學(xué)校考階段練習(xí)）已知實(shí)數(shù)，，且滿足恒成立，則的最小值為（ ）
A．2B．1C．D．4
【答案】A
【分析】化簡已知不等式，利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性求得的取值范圍，利用基本不等式求得的最小值.
【解析】依題意，，
即，
設(shè)，是奇函數(shù)且在上遞增，
所以，即，
由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
所以的最小值為.
故選：A
【點(diǎn)睛】利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性求解不等式恒成立問題，關(guān)鍵點(diǎn)是根據(jù)題目所給不等式進(jìn)行化簡，轉(zhuǎn)化為“規(guī)范”的形式，如本題中，結(jié)構(gòu)一致，從而可利用構(gòu)造函數(shù)法來對問題進(jìn)行求解.
10．（2023春·浙江·高一期中）已知函數(shù)的定義域均為，且為偶函數(shù)，函數(shù)滿足，對于，均有，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)可知是以6為周期的函數(shù)，則，根據(jù)函數(shù)的對稱性可得.由可得.
結(jié)合、計(jì)算求出和即可.
【解析】，
兩式相減，得，所以函數(shù)是周期函數(shù)，周期，
有.
因?yàn)闉榕己瘮?shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，
將的圖象上的點(diǎn)橫坐標(biāo)擴(kuò)大3倍，縱坐標(biāo)不變，得，圖象關(guān)于y軸對稱，
再向左平移一個(gè)單位長度，得，圖象關(guān)于對稱，
有.
又，令，則，即.
當(dāng)時(shí)，，
則①，，
所以，即②，
由①②，得，解得，所以，
又，所以.
故選：A.
【點(diǎn)睛】方法定睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對稱性，在解題中根據(jù)問題的條件通過變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題．
11．（2023春·新疆省直轄縣級單位·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覟槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，且對任意的，且，都有，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的為（ ）
A．是偶函數(shù)B．
C．的圖象關(guān)于對稱D．
【答案】D
【分析】由已知奇偶性得出函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱且關(guān)于直線對稱，再得出函數(shù)的單調(diào)性，然后由對稱性變形判斷ABC，結(jié)合單調(diào)性判斷D．
【解析】為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱且關(guān)于直線對稱，，，，
，所以是周期函數(shù)，4是它的一個(gè)周期．
，
，B正確；
，是偶函數(shù)，A正確；
因此的圖象也關(guān)于點(diǎn)對稱，C正確；
對任意的，且，都有，即時(shí)，，所以在是單調(diào)遞增，
，，，
，∴，D錯(cuò)．
故選：D．
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：（1）的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，也關(guān)于點(diǎn)對稱，則是周期函數(shù)，是的一個(gè)周期；
（2）的圖象關(guān)于直線對稱，也關(guān)于直線對稱，則是周期函數(shù)，是的一個(gè)周期；
（1）的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，也關(guān)于直線對稱，則是周期函數(shù)，是的一個(gè)周期．
12．（2023秋·河北邯鄲·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，為偶函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，（且），且．則（ ）
A．16B．20C．24D．28
【答案】C
【分析】由條件可知有對稱軸，對稱中心，推出具有周期性，由求得的值，可分別計(jì)算，結(jié)合周期性計(jì)算即可.
【解析】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，所以，
所以函數(shù)關(guān)于直線對稱，
又因?yàn)椋裕?br>所以，所以關(guān)于點(diǎn)中心對稱，
由及得
所以
所以函數(shù)的周期為，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，（且），且，
所以，解得：或，因?yàn)榍?，所?
所以當(dāng)時(shí)，，
所以，，，
，，，
，所以，
所以,
故選：.
二、多選題
13．（2023秋·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中?？茧A段練習(xí)）已知集合P，Q中都至少有兩個(gè)元素，并且滿足下列條件：
①集合P，Q中的元素都為正數(shù)；②，，都有；
③，，都有；
則下列說法正確的是（ ）
A．若P有2個(gè)元素，則Q有3個(gè)元素B．若P有2個(gè)元素，則有3個(gè)元素
C．若P有2個(gè)元素，則有1個(gè)元素D．存在滿足條件且有3個(gè)元素的集合P
【答案】BC
【分析】若P有2個(gè)元素，設(shè)，根據(jù)集合的性質(zhì)和題設(shè)進(jìn)行分析推導(dǎo)，可以判定；假若P有3個(gè)元素，設(shè)，根據(jù)題設(shè)條件推導(dǎo)，可以得到還會(huì)有第四個(gè)元素，得到矛盾，從而判定.
【解析】若P有2個(gè)元素，設(shè)，則. 根據(jù)題意，則.
∵至少有2個(gè)元素，∴集合中至少還有一個(gè)元素，
設(shè)，則,且,
若，則，
∵, ，∴，矛盾，
故，∴或.
若，則，∴，
若，則，與矛盾,∴，同理.
此時(shí),，；
若，則，∴，
若，則，與矛盾,∴，同理.
此時(shí)，, ；
綜上，若P有2個(gè)元素，則有2個(gè)元素，有3個(gè)元素，有1個(gè)元素，
故A錯(cuò)誤，B正確，C正確；
假若P有3個(gè)元素，設(shè)，則為互不相等的正數(shù).
根據(jù)③，有.
由于都是正數(shù)，且兩兩不相等，所以兩兩不相等.
由條件②可得，都是集合的元素.
∵為互不相等的正數(shù)，∴都是不等于1的正數(shù).
∴.
∵為不相等的正實(shí)數(shù)，∴，，
若，則為互不相等的正數(shù)，
由兩邊取到數(shù)得，又∵，
∴是與三個(gè)不等正數(shù)都不相等的正數(shù)，
由于它們都是集合的元素，從而集合至少有四個(gè)元素，與初始假設(shè)矛盾；
∴，于是.同理,
由此,從而，這與集合P的元素的互異性矛盾.
故“P有3個(gè)元素”是不可能的，故D錯(cuò)誤.
故選：BC
14．（2023秋·遼寧丹東·高一丹東市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）對于一個(gè)非空集合，如果滿足以下四個(gè)條件：
①
②
③，若且，則
④，若且，則
就稱集合B為集合A的一個(gè)“偏序關(guān)系”，以下說法正確的是（ ）
A．設(shè)，則滿足是集合A的一個(gè)“偏序關(guān)系”的集合共有4個(gè)
B．設(shè)，則集合是集合A的一個(gè)“偏序關(guān)系”
C．設(shè)，則含有四個(gè)元素且是集合A的“偏序關(guān)系”的集合B共有6個(gè)
D．是實(shí)數(shù)集的一個(gè)“偏序關(guān)系
【答案】BCD
【分析】根據(jù)“偏序關(guān)系”的定義逐個(gè)分析判斷即可
【解析】對于A，因?yàn)椋杂伞捌蜿P(guān)系”可知集合，或，或，共3個(gè)，所以A錯(cuò)誤，
對于B，因?yàn)?，所以由“偏序關(guān)系”可知集合是集合A的一個(gè)“偏序關(guān)系”，所以B正確，
對于C，由②可知集合B中必須含有，由③可知與，與，與不能同時(shí)出現(xiàn)，
所以再從，，，，，中取一個(gè)，共6個(gè)，即含有四個(gè)元素且是集合A的“偏序關(guān)系”的集合B共有6個(gè)，所以C正確，
對于D，滿足①②，
因?yàn)?，所以滿足③，
因?yàn)椋?，所以，滿足④，
所以是實(shí)數(shù)集的一個(gè)“偏序關(guān)系，所以D正確，
故選：BCD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：此題考查集合的新定義，解題的關(guān)鍵是正確理解集合B為集合A的一個(gè)“偏序關(guān)系”的定義，考查理解能力，屬于較難題.
15．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若，x，y，．，則以下說法正確的有（ ）
A．的最大值為
B．的最大值為
C．的最大值為0
D．恒小于0
【答案】CD
【分析】由可得，而，可判斷C正確；從而得到中至少有一個(gè)為，不妨令，則且，從而可判斷A,B,D選項(xiàng).
【解析】，，
對于C，
，
，C正確；
由C選項(xiàng)可知，，
所以中至少有一個(gè)為，不妨令，則且，
對于A，，
所以，A錯(cuò)誤；
對于D，，而，
所以，即，D正確；
對于B，
而，所以，
即，B錯(cuò)誤.
故選：CD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：
這道題的關(guān)鍵是先由可得，從而得到，進(jìn)而得到中至少有一個(gè)為，其他兩個(gè)互為相反數(shù)，從而可解.
16．（2023秋·福建廈門·高一廈門一中?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)（為常數(shù)）的對稱軸為，其圖像如圖所示，則下列選項(xiàng)正確的有（ ）
A．
B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為
C．關(guān)于的不等式的解為或
D．若關(guān)于的函數(shù)與關(guān)于的函數(shù)有相同的最小值，則
【答案】ACD
【分析】A選項(xiàng)，由開口方向，與軸交點(diǎn)，及對稱軸，求出的正負(fù)，得到A正確；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，數(shù)形結(jié)合得到函數(shù)隨著的增大而減小，從而求出最大值；C選項(xiàng)，結(jié)合，化簡不等式，求出解集；D選項(xiàng)，配方得到兩函數(shù)的最小值，從而得到，求出.
【解析】A選項(xiàng)，二次函數(shù)圖象開口向上，故，
對稱軸為，故，
圖象與軸交點(diǎn)在軸正半軸，故，
所以，故，A正確；
B選項(xiàng)，因?yàn)椋剩?br>因?yàn)?，所以?br>當(dāng)時(shí)，隨著的增大而減小，
所以時(shí)，取得最大值，最大值為，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)，因?yàn)椋裕?br>，
故不等式變形為，
因?yàn)?，，解得：或，故C正確；
D選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，
，當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，
所以，即，所以，
即，故D正確.
故選：ACD
17．（2023秋·江蘇南通·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）定義（其中表示不小于的最小整數(shù)）為“向上取整函數(shù)”.例如，.以下描述正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．是上的奇函數(shù)
D．若，則
【答案】ABD
【分析】結(jié)合對“向上取整函數(shù)”定義的理解，可得AD；B項(xiàng)整體換元求解方程；C項(xiàng)取特值即可.
【解析】由表示不小于的最小整數(shù)，
則有且，即，
A項(xiàng)，，
則，
即， 則，故A正確；
B項(xiàng)，令，則，解得，又為整數(shù)，
則，或，
當(dāng)時(shí)，即，則；
當(dāng)時(shí)，即，則，
故，則，故B正確；
C項(xiàng)，，則，，
則不是上的奇函數(shù)，故C錯(cuò)誤；
D項(xiàng)， ，
若，則，
即，則，
又，由不等式的性質(zhì)，，
則，故D正確.
故選：ABD.
18．（2023秋·浙江杭州·高一杭十四中?？计谀┖瘮?shù)，以下四個(gè)結(jié)論正確的是（ ）
A．的值域是
B．對任意，都有
C．若規(guī)定，則對任意的
D．對任意的，若函數(shù)恒成立，則當(dāng)時(shí)，或
【答案】ABC
【分析】由函數(shù)解析式可得函數(shù)圖象即可知其值域；構(gòu)造函數(shù)判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可判斷選項(xiàng)B；根據(jù)C中的描述結(jié)合歸納法可推得結(jié)論成立；由函數(shù)不等式恒成立，利用變換主元法、一元二次不等式的解法即可求參數(shù)范圍.
【解析】由函數(shù)解析式可得，有如下函數(shù)圖象：
∴的值域是，故該選項(xiàng)正確；
對于B，由題得，所以函數(shù)是奇函數(shù).
因?yàn)?，不妨設(shè)，只需證明，只需證明，設(shè)，只需證明函數(shù)單調(diào)遞減.
所以，所以函數(shù)是上的奇函數(shù).
所以只要證明函數(shù)在上單調(diào)遞減. ,
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性原理得函數(shù)在上單調(diào)遞減.所以該選項(xiàng)正確.
對于C，有，若，
∴當(dāng)時(shí)，，故有.所以該選項(xiàng)正確.
對于D，上，若函數(shù)恒成立，即有，恒成立，令，即上，
∴時(shí)，，有或（舍去）；
時(shí)，，故恒成立；
時(shí)，，有或（舍去）；
綜上，有或或；所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：ABC
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：1、對于簡單的分式型函數(shù)式畫出函數(shù)圖象草圖判斷其值域、單調(diào)性； 2、利用函數(shù)不等式恒成立，綜合變換主元法、一次函數(shù)性質(zhì)、一元二次不等式解法求參數(shù)范圍.
三、填空題
19．（2023秋·吉林四平·高一校考階段練習(xí)）已知集合，對它的非空子集，將中的每個(gè)元素都乘以再求和，如，可求得和為，試對的所有非空子集，求這些和的總和 .
【答案】
【分析】考慮集合中的元素在總和中出現(xiàn)的次數(shù)，根據(jù)不含“”的子集共有個(gè)，則可得含“”的子集共有個(gè)，從而可根據(jù)題意可求得結(jié)果.
【解析】考慮集合中的元素在總和中出現(xiàn)的次數(shù)，
因?yàn)榈淖蛹灿袀€(gè)，其中不含“”的子集共有個(gè)，
所以含“”的子集共有個(gè)，
所以，由題意得這些和的總和為
，
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查集合非空子集的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是求出含“”的子集的個(gè)數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于較難題.
20．（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）Q是有理數(shù)集，集合，在下列集合中：
①；②；
③；④．
與集合M相等的集合序號是 ．
【答案】①②④
【分析】集合相等條件為集合元素相同，根據(jù)此條件分別判斷①②③④四個(gè)集合中元素是否與集合M一致即可.
【解析】對于①.，設(shè)，則，故①的集合與M相等；
對于②.令 ，則，其中，故②的集合與M相等；
對于③.當(dāng) 時(shí)，，故③的集合與M不相等；
對于④.令，
，
其中，故④的集合與M相等；
故答案為:①②④
21．（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）函數(shù)，，最大值為，則的最小值是
【答案】4
【分析】變換得到，計(jì)算，，考慮，，，四種情況，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性分別函數(shù)最值得到答案.
【解析】，
，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，
設(shè)，，，
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
則，
當(dāng)，即時(shí)等號成立，；
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
，則；
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，則；
當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，
則；
綜上可知
故答案為：4
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的最值問題，雙勾函數(shù)性質(zhì)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中分類討論求最值是解題的關(guān)鍵.
22．（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)、、、、、是六個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)，則在以下六個(gè)式子中：，，，，，，能同時(shí)取到150的代數(shù)式最多有 個(gè)．
【答案】2
【分析】由作差法比較大小后判斷
【解析】不妨設(shè)，，
記為①式，為②式，以此類推，
由，故①>②，
，故②>③，
，故①>④，
同理得，①>⑤，②>⑥，③>⑤，④>③，④>⑥，⑥>⑤，
綜上可知①>②>③>⑤，①>④>③>⑤，且②>⑥>⑤，④>⑥>⑤，
最多有②④或③⑥兩項(xiàng)可同時(shí)取150，
令，
得其一組解為，
故答案為：2
23．（2023秋·上海靜安·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)二次函數(shù)，若函數(shù)的值域?yàn)?，且，則的取值范圍為 .
【答案】[1,13]
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和已知條件得到m與n的關(guān)系，化簡后利用不等式即可求出其范圍.
【解析】二次函數(shù)f(x)對稱軸為，
∵f(x)值域?yàn)椋?br>∴且，n＞0.
，
∵
====
∴，，
∴∈[1,13].
故答案為：[1,13].
24．（2023秋·福建三明·高一三明一中?？茧A段練習(xí)）表示不超過x的最大整數(shù)，如，，，已知且滿足，則 .
【答案】7
【分析】根據(jù)題意判斷中只有21個(gè)數(shù)是大于或等于1，由此可求得m的范圍，即可求得答案.
【解析】因?yàn)楸硎静怀^x的最大整數(shù)，，
且，
所以該式中只有21個(gè)數(shù)是大于或等于1，
因?yàn)椋?br>故從開始，其值為1，
所以，且，
則，故
故，
故答案為：7
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)的含義結(jié)合已知等式，判斷出該式中只有21個(gè)數(shù)是大于或等于1，由此即可求解.
25．（2023春·新疆阿克蘇·高一?？茧A段練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)，滿足，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，且對任意的，不等式恒成立，給出如下結(jié)論：①是奇函數(shù)；②；③在上單調(diào)遞增；④不等式的解集為，其中正確的結(jié)論是 （填序號）
【答案】①④
【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，求得的對稱中心，即可得判斷①；構(gòu)造，判斷其奇偶性，單調(diào)性，零點(diǎn)，根據(jù)單調(diào)性，判斷的正負(fù)，進(jìn)而判斷的值即可判斷②；對利用單調(diào)性定義判斷，可知無法判斷單調(diào)性，即可判斷③；分段判斷函數(shù)在各區(qū)間上函數(shù)值的正負(fù)，進(jìn)而判斷的解集，代入中，解出的取值范圍即可判斷④．
【解析】對①，由題知的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，
則將圖象向左平移一個(gè)單位后得，所以關(guān)于中心對稱，
因?yàn)槎x域?yàn)镽，所以為奇函數(shù)，故①正確；
對②，記，
當(dāng)時(shí)， ，即，
則當(dāng)時(shí)， 即，所以在上單調(diào)遞減，
因?yàn)椋?br>所以是在R上為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋?br>則，即，則，故②錯(cuò)誤；
對③，，，
，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以，
則與0的大小關(guān)系不確定，故無法確定在上的單調(diào)性，故③錯(cuò)誤；
對④，因?yàn)椋?br>是在R上為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)，單調(diào)遞減，，而，所以，
當(dāng)，單調(diào)遞減，，而，所以，
當(dāng)，單調(diào)遞增，，而，所以，
當(dāng)，單調(diào)遞增，，而，所以，
所以不等式的解為：或，解得或，所以④正確．
故答案為：①④．
26．（2023秋·湖南常德·高一漢壽縣第一中學(xué)校考期末）已知，函數(shù)的最小值為，則由滿足條件的的值組成的集合是 .
【答案】
【分析】討論與、的大小關(guān)系，判斷函數(shù)在、上的單調(diào)性與最小值，根據(jù)函數(shù)的最小值列方程解出實(shí)數(shù)的值.
【解析】分以下三種情況討論：
①若時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，
當(dāng)時(shí)，，
所以，解得，
②若時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，.
，所以，整理可得，
，解得（舍去）；
③當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，.
因?yàn)椋?，整理可得?br>，解得或（舍去）.
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值集合為.
故答案為：.
27．（2023·全國·高一專題練習(xí)）定義在上函數(shù)滿足且當(dāng)時(shí)，，則使得在上恒成立的m的最小值是 ．
【答案】8
【分析】根據(jù)給定條件，依次求出函數(shù)在上的最大值、最小值，再借助函數(shù)圖象求解作答.
【解析】定義在上函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，，
當(dāng)時(shí)，，，，
當(dāng)時(shí)，，，，
當(dāng)時(shí)，，，，
由得，，因此當(dāng)時(shí)，恒成立，
觀察圖象知，，則有，所以m的最小值是8.
故答案為：8
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及由抽象的函數(shù)關(guān)系及給定區(qū)間上的解析式求解析式，在所求解析式的區(qū)間上任取變量，再變換到已知解析式的區(qū)間上是解題的關(guān)鍵.
28．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若函數(shù)與對于任意，都有，則稱函數(shù)與是區(qū)間上的“階依附函數(shù)”．已知函數(shù)與是區(qū)間上的“2階依附函數(shù)”，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】由題意得在上恒成立，又，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，，設(shè)，研究的最小值即可．
【解析】因?yàn)楹瘮?shù)與是區(qū)間上的“2階依附函數(shù)”，
所以在上恒成立，
又在上單調(diào)遞增，則，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
，
令，，設(shè)，
，則在上單調(diào)遞增，
所以，
所以．
故答案為：．
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