南昌一中2023-2024學年度第一學期高一第一次月考試卷數(shù) 學考試時長：120分鐘        試卷總分：150分一、單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1. 以下五個寫法中:① ；②； ③ ；④0；⑤，正確的個數(shù)有（    ）A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個2. 已知集合，，則圖中陰影部分所表示的集合為（    ）A.  B.  C.  D. 3. 設(shè)集合，集合，則（    ）A.  B. C.  D. 4. 已知a，b為非零實數(shù)，且a＞b，則下列不等式成立的是（    ）A.  B.  C.  D. 5. 若關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為（    ）A. 或 B. C. 或 D. 6. 設(shè)，，若，求實數(shù)組成集合的子集個數(shù)有A. 2 B. 3 C. 4 D. 87. “關(guān)于不等式恒成立”的一個必要不充分條件是（    ）A.  B.  C.  D. 或8. 《忠經(jīng)·廣至理章第十二》中有言“不私，而天下自公”，在實際生活中，新時代的青年不僅要有自己“不私”的覺悟，也要有識破“詐公”的智慧.某金店用一桿不準確的天平（兩邊臂不等長）稱黃金，顧客要購買黃金，售貨員先將的砝碼放在左盤，將黃金放于右盤使之平衡后給顧客；然后又將的砝碼放入右盤，將另一黃金放于左盤使之平衡后又給顧客，則顧客實際所得黃金（    ）A. 大于 B. 小于 C. 等于 D. 以上都有可能二、多選題（本大題共4小題，共20分.在每小題有多項符合題目要求）9. 已知，則關(guān)于實數(shù)的取值正確的是（    ）A. 0 B. 1 C.  D. 210. 不等式的解集是，則下列結(jié)論正確的是（    ）A.  B.  C.  D. 11. 下面命題正確的是（    ）A. “”是“”的充分不必要條件B. 命題“任意，則”的否定是“存在，”C. 設(shè)、，則“且”是“”的充分不必要條件D. 設(shè)、，則“”的必要不充分條件是“”12. 給定數(shù)集M，若對于任意a，，有，且，則稱集合M為閉集合，則下列說法中不正確的是（    ）A. 集合為閉集合B. 正整數(shù)集是閉集合C. 集合為閉集合D. 若集合閉集合，則為閉集合三、填空題（本大題共4小題，共20分）13. 設(shè)集合，則集合______．14. 若，則的最小值是___________.15. 已知，，則的取值范圍是__________．16. 某網(wǎng)店統(tǒng)計連續(xù)三天售出商品的種類情況：第一天售出18種商品，第二天售出14種商品，第三天售出19種商品；前兩天都售出的商品有5件，后兩天都售出的商品有6種，則該網(wǎng)店：第一天售出但第二天未售出的商品有______種；這三天售出的商品最少有______種．四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17. 已知集合，，.（1）求；；（2）寫出集合所有非空真子集。18. 設(shè)集合．（1）若，求實數(shù)的值；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．19. 已知命題p：，，命題p為假命題時實數(shù)t的取值集合為A．（1）求集合A；（2）設(shè)集合，若是的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍．20. （1）設(shè)為實數(shù)，比較與值的大?。?/span>（2）若，求證：．21. 為宣傳2023年杭州亞運會，某公益廣告公司擬在一張矩形海報紙（記為矩形ABCD，如圖）上設(shè)計四個等高的宣傳欄（欄面分別為兩個等腰三角形和兩個全等的直角三角形且），宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為．為了美觀，要求海報上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為10cm，設(shè)．（1）當時，求海報紙的面積；（2）為節(jié)約成本，應(yīng)如何選擇海報紙的尺寸，可使用紙量最少（即矩形ABCD的面積最小）？22. 已知函數(shù) （1）解關(guān)于的不等式；（2）若對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
南昌一中2023-2024學年度第一學期高一第一次月考試卷數(shù)學考試時長：120分鐘        試卷總分：150分一、單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1. 以下五個寫法中:① ；②； ③ ；④0；⑤，正確的個數(shù)有（    ）A. 2個 B. 3個 C. 4個 D. 5個【答案】A【解析】【分析】由集合的概念與運算逐一判斷【詳解】對于①，，故①錯誤，對于②，空集是任何集合的子集，故②正確，對于③，由集合的無序性知③正確，對于④，空集不含任何元素，故④錯誤，對于⑤，，故⑤錯誤，故選：A2. 已知集合，，則圖中陰影部分所表示的集合為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)韋恩圖確定集合的運算關(guān)系為，在根據(jù)補集與交集的運算即可得答案.【詳解】集合，，韋恩圖中表示的集合為，則或，所以.故選：B.3. 設(shè)集合，集合，則（    ）A.  B. C.  D. 【答案】A【解析】【分析】解一元二次不等式得到集合，再根據(jù)并集的定義計算可得.【詳解】由得，解得，所以，又，所以，故選：A.4. 已知a，b為非零實數(shù)，且a＞b，則下列不等式成立的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用不等式性質(zhì)可判斷A；取特殊值可判斷B；取特殊值可判斷C，D【詳解】選項A，若a＞b，利用不等式的性質(zhì)可得，正確；選項B，當時，，不正確；選項C，當時，a＞b，但，不正確;選項D，當時，a＞b，但，不正確;故選：A5. 若關(guān)于不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為（    ）A. 或 B. C. 或 D. 【答案】D【解析】【分析】由題意得出方程的根為，且，然后將不等式變形為，解出該不等式即可.【詳解】由于關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的方程的根為，且，，得.不等式即，等價于，解得.因此，不等式的解集為.故選D.【點睛】本題考查一元一次不等式解集與系數(shù)的關(guān)系，同時也考查了分式不等式的解法，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.6. 設(shè)，，若，求實數(shù)組成的集合的子集個數(shù)有A. 2 B. 3 C. 4 D. 8【答案】D【解析】【分析】先解方程得集合A，再根據(jù)得，最后根據(jù)包含關(guān)系求實數(shù)，即得結(jié)果.【詳解】,因為，所以，因此，對應(yīng)實數(shù)的值為，其組成的集合的子集個數(shù)有，選D.【點睛】本題考查集合包含關(guān)系以及集合子集，考查基本分析求解能力，屬中檔題.7. “關(guān)于不等式恒成立”的一個必要不充分條件是（    ）A.  B.  C.  D. 或【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，先求出不等式恒成立的a的取值范圍，再利用充分條件與必要條件的定義逐項判斷.【詳解】當時，不等式，即恒成立；當時，要使不等式恒成立，則，解得.綜上所述，關(guān)于的不等式恒成立的a的取值范圍是.所以，是的充分不必要條件，故A錯誤；是的充要條件，故B錯誤；是的必要不充分條件，故C正確；或是的既不充分也不必要條件，故D錯誤；故選：C.8. 《忠經(jīng)·廣至理章第十二》中有言“不私，而天下自公”，在實際生活中，新時代的青年不僅要有自己“不私”的覺悟，也要有識破“詐公”的智慧.某金店用一桿不準確的天平（兩邊臂不等長）稱黃金，顧客要購買黃金，售貨員先將的砝碼放在左盤，將黃金放于右盤使之平衡后給顧客；然后又將的砝碼放入右盤，將另一黃金放于左盤使之平衡后又給顧客，則顧客實際所得黃金（    ）A. 大于 B. 小于 C. 等于 D. 以上都有可能【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式的公式，即可求解．詳解】由于天平兩臂不相等，故可設(shè)天平左臂長為，右臂長為（不妨設(shè)，第一次稱出的黃金重為，第二次稱出的黃金重為，由杠桿平衡定理可得，，，則，，，故顧客實際所得黃金大于．故選：．二、多選題（本大題共4小題，共20分.在每小題有多項符合題目要求）9. 已知，則關(guān)于實數(shù)的取值正確的是（    ）A. 0 B. 1 C.  D. 2【答案】BCD【解析】【分析】由元素與集合的關(guān)系求解，并注意驗證集合中元素的互異性.【詳解】由已知，則可能有以下幾類情況：（1）若，則.當時，，滿足題意；當時，，滿足題意；（2）若，則.此時，不符合集合中元素的互異性，不合題意；（3）若，解得（已舍），或當時，，滿足題意.綜上所述，.故選：BCD.10. 不等式的解集是，則下列結(jié)論正確的是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖像與性質(zhì)，以及二次不等式關(guān)系，列出不等式組，即可求解.【詳解】因為不等式的解集是，可得，且，所以，所以，所以A、C正確，D錯誤．因為二次函數(shù)的兩個零點為，且圖像開口向下，所以當時，，所以B正確．故選：ABC．11. 下面命題正確的是（    ）A. “”是“”的充分不必要條件B. 命題“任意，則”的否定是“存在，”C. 設(shè)、，則“且”是“”的充分不必要條件D. 設(shè)、，則“”的必要不充分條件是“”【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷ACD，由命題的否定的定義判斷B．【詳解】選項A，時一定有，但時，如，不一定有，A正確；選項B，全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“任意，則”的否定是“存在，”，B錯誤；選項C，且時一定有，但時，且不一定成立，如，C正確；選項D，時，且，但反之，時，若仍然有，所以是的必要不充分條件，D正確，故選：ACD．12. 給定數(shù)集M，若對于任意a，，有，且，則稱集合M為閉集合，則下列說法中不正確的是（    ）A. 集合為閉集合B. 正整數(shù)集是閉集合C. 集合為閉集合D. 若集合為閉集合，則為閉集合【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)集合M為閉集合的定義，對選項進行逐一判斷，可得出答案．【詳解】選項A：當集合時，，而，所以集合M不為閉集合，A選項錯誤；選項B：設(shè)是任意的兩個正整數(shù)，則，當時，是負數(shù)，不屬于正整數(shù)集，所以正整數(shù)集不為閉集合，B選項錯誤；選項C：當時，設(shè)，則，所以集合M是閉集合，C選項正確；選項D：設(shè)，由C可知，集合為閉集合，，而，故不為閉集合，D選項錯誤．故選：ABD．三、填空題（本大題共4小題，共20分）13. 設(shè)集合，則集合______．【答案】【解析】【分析】由得的取值，求出所有滿足題意的即可.【詳解】因為，所以，解得，又，則.即故答案為：.14. 若，則的最小值是___________.【答案】8.【解析】【分析】先判斷和，再根據(jù)基本不等式求的最小值即可.【詳解】解：因為，所以，，所以當且僅當即時，取等號，所以的最小值是8.故答案為：8【點睛】本題考查利用基本不等式求最值，是基礎(chǔ)題.15. 已知，，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)同向不等式相加不等號方向不變的性質(zhì)求解即可.【詳解】因為，所以，又，由不等式的可加性得，所以的取值范圍是.故答案為：.16. 某網(wǎng)店統(tǒng)計連續(xù)三天售出商品的種類情況：第一天售出18種商品，第二天售出14種商品，第三天售出19種商品；前兩天都售出的商品有5件，后兩天都售出的商品有6種，則該網(wǎng)店：第一天售出但第二天未售出的商品有______種；這三天售出的商品最少有______種．【答案】    ①. 13    ②. 27【解析】【分析】由題意求出第一天售出且第二天沒有售出的商品種數(shù)和第三天售出的且第二天未售出的商品種數(shù)，利用集合表示商品種數(shù)，畫出Venn圖容易得出正確的結(jié)果．【詳解】因為前兩天都售出的商品有5種，因此第一天售出且第二天沒有售出的商品有種；同理由后兩天都售出的商品有6種，則第三天售出的商品中有種第二天未售出；所以三天售出商品種數(shù)最少時，即第三天中這13種第二天未售出的商品恰都是第一天售出過的，且第二天未售出的那些即可.用集合分別表示第一、二、三天售出的商品，則商品最少時，即第三天售出的商品均為前兩天售出的，故求解總數(shù)只計集合即可，如圖.此時商品總數(shù)是種.故答案為：；.  四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17. 已知集合，，.（1）求；；（2）寫出集合的所有非空真子集。【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)并集運算計算出；先求解出，再根據(jù)交集運算即可求解出；(2)根據(jù)要求寫出集合的非空真子集(不含空集、不含自身)即可.【詳解】(1)因為，，所以，又因為，，所以；(2)因為，所以集合的非空真子集有：.【點睛】本題考查集合的交、并、補混合運算以及集合的非空真子集求解，難度較易.一個集合中含有個元素，則該集合的非空真子集個數(shù)為：個.18. 設(shè)集合．（1）若，求實數(shù)的值；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）    （2）或【解析】【分析】（1）轉(zhuǎn)化為，由二次方程最多兩個根可得，由韋達定理可解；（2）由，得，根據(jù)是否為空集分類討論.【小問1詳解】∵∴，又∵，∴，又中最多有兩個元素，∴，∴是方程的兩個根，由韋達定理得，解得，驗證知滿足題意；【小問2詳解】∵∴，∵，又由，得．①當時，，即，滿足；②當時，即，或；當，此時，滿足；當，此時，不合題意；當或時，則方程有兩個不等的實數(shù)根，即中有兩個元素，要使，則，由可知；綜上所述或.19. 已知命題p：，，命題p為假命題時實數(shù)t的取值集合為A．（1）求集合A；（2）設(shè)集合，若是的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）借助全稱命題與存在性命題的意義即可解決；（2）借助充分不必要條件與集合之間的關(guān)系，即可解決.【小問1詳解】命題p：，，則：，使.當命題p為假命題時，為真命題.即關(guān)于的方程有實數(shù)根,則,解得,因此，命題p為假命題時，實數(shù)t的取值集合為.【小問2詳解】若是的充分不必要條件，則，當時，即時，集合為空集，符合題意；當時，若，則,解得．綜上所述，若是的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍是.20. （1）設(shè)為實數(shù)，比較與的值的大?。?；（2）若，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）作差比較即可；（2）式子左邊通分變形再利用重要不等式可證.【詳解】（1）因為，，故．（2）證明：因為，所以，又，因為，所以有，當時，等號成立，此時，證畢．21. 為宣傳2023年杭州亞運會，某公益廣告公司擬在一張矩形海報紙（記為矩形ABCD，如圖）上設(shè)計四個等高的宣傳欄（欄面分別為兩個等腰三角形和兩個全等的直角三角形且），宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為．為了美觀，要求海報上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為10cm，設(shè)．（1）當時，求海報紙的面積；（2）為節(jié)約成本，應(yīng)如何選擇海報紙的尺寸，可使用紙量最少（即矩形ABCD的面積最?。?？【答案】（1）    （2）選擇長寬分別為的海報紙.【解析】【分析】（1）先表示出陰影部分的面積，代入，可求出陰影部分的高，進而得到海報紙的面積；（2）表示出各自的關(guān)系式，轉(zhuǎn)化為條件下的最值問題，最后運用基本不等式可得答案.【小問1詳解】設(shè)陰影部分直角三角形的高為所以陰影部分的面積：，所以即：，由圖像知：，【小問2詳解】由（1）知：，當且僅當即，即等號成立.綜上，選擇長寬分別為的海報紙.22. 已知函數(shù) （1）解關(guān)于的不等式；（2）若對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（Ⅰ）答案不唯一，具體見解析.（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）將原不等式化為，分類討論可得不等式的解.（Ⅱ）若則；若，則參變分離后可得在恒成立，利用基本不等式可求的最小值，從而可得的取值范圍.【詳解】（Ⅰ） 即， ，（ⅰ）當時，不等式解集為；（ⅱ）當時，不等式解集為；（ⅲ）當時，不等式解集，綜上所述，（?。┊?/span>時，不等式解集為；（ⅱ）當時，不等式解集為；（ⅲ）當時，不等式解集為 .（Ⅱ）對任意的恒成立，即恒成立，即對任意的，恒成立.①時，不等式為恒成立，此時；   ②當時，， ， ， ，當且僅當時，即，時取“”, .綜上 .【點睛】含參數(shù)的一元二次不等式，其一般的解法是：先考慮對應(yīng)的二次函數(shù)的開口方向，再考慮其判別式的符號，其次在判別式于零的條件下比較兩根的大小，最后根據(jù)不等號的方向和開口方向得到不等式的解．含參數(shù)的不等式的恒成立問題，優(yōu)先考慮參變分離，把恒成立問題轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的新函數(shù)的最值問題，后者可用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式來求.

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