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2023-2024學(xué)年湖南省長沙一中新華都學(xué)校九年級（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷（參考答案）一、選擇題（在下列各題的四個選項中，只有一個選項是符合題意的。本大題共10個小題，每小題3分，共30分）1．（3分）﹣2023的絕對值是（ ?。?/span>A．﹣2023 B． C． D．2023【答案】D【解答】解：|﹣2023|＝2023，故選：D．【點評】本題考查絕對值的定義及絕對值的性質(zhì)，此為基礎(chǔ)且重要知識點，必須熟練掌握．2．（3分）下列四個圖案中，是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形的是（ ?。?/span>A． B． C． D．【答案】A【解答】解：A、是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形．故本選項符合題意；B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故本選項不合題意；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故本選項不合題意；D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形．故本選項不合題意．故選：A．【點評】本題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合．3．（3分）下列計算正確的是（ ?。?/span>A．6a﹣5a＝1 B．a+2a2＝3a C．﹣（a﹣b）＝﹣a+b D．2（a+b）＝2a+b【答案】C【解答】解：A．6a﹣5a＝a，即A項不合題意，B．a和2a2不是同類項不能合并，即B項不合題意，C．﹣（a﹣b）＝﹣a+b，即C項符合題意，D．2（a+b）＝2a+2b，即D項不合題意，故選：C．【點評】本題考查了整式的加減，整式的加減的實質(zhì)就是去括號、合并同類項．一般步驟是：先去括號，然后合并同類項．4．（3分）如圖，將一塊三角尺的直角頂點放在直尺的一邊上，當(dāng)∠1＝35°時，∠2的度數(shù)為（ ）A．35° B．45° C．55° D．65°【答案】C【解答】解：∵直尺的兩邊互相平行，∠1＝35°，∴∠3＝35°．∵∠2+∠3＝90°，∴∠2＝55°．故選：C．【點評】本題考查的是平行線的性質(zhì)，用到的知識點為：兩直線平行，同位角相等．5．（3分）《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》首次把學(xué)生學(xué)會炒菜納入勞動教育課程，并作出明確規(guī)定．某班有7名學(xué)生已經(jīng)學(xué)會炒的菜品的種數(shù)依次為：2，4，3，2，5，2，3．則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別是（ ）A．2，2 B．2，2.5 C．2，3 D．3，3【答案】C【解答】解：這組數(shù)據(jù)2，2，2，3，3，4，5中2出現(xiàn)3次，次數(shù)最多，所以這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為2，中位數(shù)為3．故選：C．【點評】本題主要考查眾數(shù)和中位數(shù)，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做眾數(shù)．將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕校绻麛?shù)據(jù)的個數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．如果這組數(shù)據(jù)的個數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．6．（3分）如圖，點A、B、C為⊙O上的點，∠AOB＝60°，則∠ACB＝（ ）A．20° B．30° C．40° D．60°【答案】B【解答】解：∵，∴∠ACB∠AOB，∵∠AOB＝60°，∴∠ACB＝30°，故選：B．【點評】本題考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．7．（3分）關(guān)于二次函數(shù)y＝﹣3（x+1）2+7的圖象，下列說法不正確的是（ ?。?/span>A．圖象的開口向下 B．圖象的頂點坐標(biāo)為（﹣1，7） C．圖象的對稱軸為直線x＝1 D．當(dāng)x＞0時，y隨x的增大而減小【答案】C【解答】解：∵二次函數(shù)y＝﹣3（x+1）2+7，∴a＝﹣3＜0，函數(shù)的圖象開口向下，故選項A正確；頂點坐標(biāo)是（﹣1，7），故選項B正確；對稱軸是直線x＝﹣1，故選項C不正確；當(dāng)x＞﹣1時，y隨x的增大而減小，故選項D正確；故選：C．【點評】本題考查二次函數(shù)的圖象、性質(zhì)、最值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．8．（3分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至△A′B′C，使點A′恰好落在AB上，則旋轉(zhuǎn)角度為（ ?。?/span>A．30° B．90° C．60° D．150°【答案】C【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝60°，∵△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)至△A′B′C，使得點A′恰好落在AB上，∴CA′＝CA，∠ACA′等于旋轉(zhuǎn)角，∴△ACA′為等邊三角形，∴∠ACA′＝60°，即旋轉(zhuǎn)角度為60°．故選：C．【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．本題的關(guān)鍵是證明△ACA′為等邊三角形．9．（3分）若方程x2+px+3＝0的一個根是﹣3，則它的另一個根是（ ?。?/span>A．﹣1 B．0 C．1 D．2【答案】A【解答】解：設(shè)方程的另一根為a，由根與系數(shù)的關(guān)系可得﹣3a＝3，解得a＝﹣1，∴方程的另一根為﹣1，故選：A．【點評】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程兩根之和等于、兩根之積等于是解題的關(guān)鍵．10．（3分）下面的三個問題中都有兩個變量：①汽車從A地勻速行駛到B地，汽車的剩余路程y與行駛時間x；②將水箱中的水勻速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y與放水時間x；③用長度一定的繩子圍成一個矩形，矩形的面積y與一邊長x．其中，變量y與變量x之間的函數(shù)關(guān)系可以用如圖所示的圖象表示的是（ ）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【解答】解：汽車從A地勻速行駛到B地，根據(jù)汽車的剩余路程y隨行駛時間x的增加而減小，故①符合題意；將水箱中的水勻速放出，直至放完，根據(jù)水箱中的剩余水量y隨放水時間x的增大而減小，故②符合題意；用長度一定的繩子圍成一個矩形，周長一定時，矩形面積是長x的二次函數(shù)，故③不符合題意；所以變量y與變量x之間的函數(shù)關(guān)系可以用如圖所示的圖象表示的是①②．故選：A．【點評】本題考查了利用函數(shù)的圖象解決實際問題，正確理解函數(shù)圖象表示的意義，理解問題的過程，就能夠通過圖象得到函數(shù)問題的相應(yīng)解決．二、填空（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）11．（3分）若代數(shù)式有意義，則實數(shù)x的取值范圍為 x≠3 ．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由題意得，x﹣3≠0，解得x≠3．故答案為：x≠3．【點評】本題考查了分式有意義的條件，從以下三個方面透徹理解分式的概念：（1）分式無意義?分母為零；（2）分式有意義?分母不為零；（3）分式值為零?分子為零且分母不為零．12．（3分）分解因式：m3﹣16m＝ m（m+4）（m﹣4） ．【答案】m（m+4）（m﹣4）．【解答】解：m3﹣16m＝m（m2﹣16）＝m（m+4）（m﹣4）．故答案為：m（m+4）（m﹣4）．【點評】本題考查了提公因式法與公式法的綜合運用，一定要注意如果多項式的各項含有公因式，必須先提公因式．13．（3分）如圖所示，A，B兩點分別位于一個池塘的兩端，小聰想用繩子測量A，B間的距離，但繩子不夠長，一位同學(xué)幫他想了一個主意：先在地上取一個可以直接到達A，B的點C，找到AC，BC的中點D，E，并且測出DE的長為8m，則A，B間的距離為 16m ．【答案】16m．【解答】解：∵點D，E是AC，BC的中點，DE＝8m，∴AB＝2DE＝16（m），故答案為：16m．【點評】本題考查的是三角形中位線定理的應(yīng)用，掌握三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．14．（3分）設(shè)x1、x2，是方程x2﹣3x+2＝0的兩個根，則x1+x2＝ 3 ．【答案】3．【解答】解：∵x1、x2，是方程x2﹣3x+2＝0的兩個根，∴x1+x2＝3．故答案為：3．【點評】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩根時，x1+x2，x1x2．15．（3分）一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的半徑OB＝10，水面寬AB＝16，則截面圓心O到水面的距離OC是 6 ．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵OC⊥AB，OC過圓心O點，∴BC＝ACAB16＝8，在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC6，故答案為：6．【點評】本題考查了勾股定理和垂徑定理的應(yīng)用；由垂徑定理求出BC是解決問題的關(guān)鍵．16．（3分）如圖所示是拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象，其頂點坐標(biāo)為（1，n），且與x軸的一個交點在點（3，0）和（4，0）之間，則下列結(jié)論：①a﹣b+c＞0；②3a+c＞0；③b2＝4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c＝n+1沒有實數(shù)根．其中正確的結(jié)論個數(shù)是 ①②③④ ．【答案】①②③④．【解答】解：∵拋物線頂點坐標(biāo)為（1，n），∴拋物線的對稱軸為直線x＝1，∵與x軸的一個交點在點（3，0）和（4，0）之間，∴當(dāng)x＝﹣1時，y＞0，即a﹣b+c＞0，故①正確；∵拋物線的對稱軸為直線x＝1，即1，∴b＝﹣2a，∵x＝﹣1時，y＝a﹣b+c＞0，∴a+2a+c＞0，即3a+c＞0，故②正確；∵拋物線頂點坐標(biāo)為（1，n），∴拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與直線y＝n有唯一一個交點，即方程ax2+bx+c＝n有兩個相等的實數(shù)根，∴Δ＝b2﹣4a（c﹣n）＝0，∴b2＝4a（c﹣n），故③正確；∵拋物線的開口向下，∴y最大＝n，∴直線y＝n+1與拋物線沒交點，∴一元二次方程ax2+bx+c＝n+1沒實數(shù)根，故④正確；故答案為：①②③④．【點評】本題考查的是二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，圖象開口方向判斷出a，由對稱軸得出b，拋物線與y軸的交點判斷c，拋物線與x軸交點的個數(shù)確定b2﹣4ac．三、解答題（本大題共7個小題，第17、18、19每小題6分，第20、21題每小題6分，第22、23題每小題題9分，第24、25題每小題6分，共72分。解答過程應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算過程）17．（6分）計算：．【答案】．【解答】解：原式|﹣3|+（π﹣2）0+2﹣2＝2﹣3+1．【點評】本題考查了有理數(shù)的混合運算，熟練掌握有理數(shù)運算法則是解題關(guān)鍵．18．（6分）先化簡，再求值：（x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣（2x﹣3）（x﹣1），其中．【答案】3x﹣6，﹣5．【解答】解：（x﹣1）2+（x+2）（x﹣2）﹣（2x﹣3）（x﹣1）＝x2﹣2x+1+x2﹣4﹣2x2+2x+3x﹣3＝3x﹣6，當(dāng)x時，原式＝36＝﹣5．【點評】本題考查了整式的混合運算與求值，掌握整式的運算法則進行化簡是解此題的關(guān)鍵．19．（6分）如圖，方格紙中的每個小方格都是邊長為1個單位長度的正方形，在直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點均在格點上，點C（4，﹣1）．（1）把△ABC向上平移5個單位長度后得到對應(yīng)的△A1B1C1，畫出△A1B1C1，并寫出點C1的坐標(biāo)；（2）以原點O為對稱中心，畫出△ABC關(guān)于原點O對稱的△A2B2C2，并寫出點C2的坐標(biāo)．【答案】（1）見解答，C1的坐標(biāo)為（4，4）；（2）見解答，C2的坐標(biāo)為（﹣4，1）．【解答】解：（1）如圖所示，△A1B1C1即為所求；C1的坐標(biāo)為（4，4）； （2）如圖所示，△A2B2C2即為所求；C2的坐標(biāo)為（﹣4，1）．【點評】本題主要考查了利用平移變換和旋轉(zhuǎn)變換進行作圖，解題時注意：運用平移變換作圖時要先找到圖形的關(guān)鍵點，分別把這幾個關(guān)鍵點按照平移的方向和距離確定對應(yīng)點后，再順次連接對應(yīng)點即可得到平移后的圖形．20．（8分）已知函數(shù)y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m為常數(shù)），求當(dāng)m為何值時：（1）y是x的一次函數(shù)？（2）y是x的二次函數(shù)？并求出此時縱坐標(biāo)為﹣8的點的坐標(biāo)．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）由y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m為常數(shù)），y是x的一次函數(shù)，得，解得m，當(dāng)m時，y是x的一次函數(shù)；（2）y＝﹣（m+2）xm2﹣2（m為常數(shù)），是二次函數(shù)，得，解得m＝2，m＝﹣2（不符合題意的要舍去），當(dāng)m＝2時，y是x的二次函數(shù)，當(dāng)y＝﹣8時，﹣8＝﹣4x2，解得x，故縱坐標(biāo)為﹣8的點的坐標(biāo)的坐標(biāo)是（，﹣8）．【點評】本題考查了二次函數(shù)的定義，利用了二次函數(shù)的定義，一次函數(shù)的定義，注意二次項的系數(shù)不能為零．21．（8分）運動是一切生命的源泉，運動使人健康、使人聰明、使人快樂，運動不僅能改變?nèi)说捏w質(zhì)，更能改變?nèi)说钠犯?，某初級中學(xué)為了解學(xué)生一周在家運動時長t（單位：小時）的情況，從本校學(xué)生中隨機抽取了部分學(xué)生進行問卷調(diào)查，并將收集到的數(shù)據(jù)整理分析，共分為四組（A．t＜1，B.1≤t＜2，C.2≤t＜3，D.3≤t＜4，其中每周運動時間不少于3小時為達標(biāo)），繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）在這次抽樣調(diào)查中，共調(diào)查了 120 名學(xué)生．（2）請補全頻數(shù)分布直方圖，并計算在扇形統(tǒng)計圖中C組所對應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù)．（3）若該校有學(xué)生1000人，試估計該校學(xué)生一周在家運動時長不足2小時的人數(shù)．（4）根據(jù)調(diào)查結(jié)果，請對該學(xué)校學(xué)生每周在家運動情況作出評價，并提出一條合理化的建議．【答案】（1）120；（2）144°，補全條形統(tǒng)計圖詳見解答；（3）350；（4）需要加強學(xué)生在家體育鍛煉，努力提高身體素質(zhì)．【解答】解：（1）36÷30%＝120（名），故答案為：120；（2）樣本中“C組”的人數(shù)：120﹣6﹣36﹣30＝48（名），扇形統(tǒng)計圖中“C組”所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為：360°144°，補全條形統(tǒng)計圖如圖：（3）1000350（人），答：該校1000名學(xué)生中一周在家運動時長不足2小時的人數(shù)大約有350人；（4）需要加強學(xué)生在家體育鍛煉，努力提高身體素質(zhì)．【點評】本題考查頻數(shù)分布直方圖、扇形統(tǒng)計圖以及樣本估計總體，掌握頻率是正確解答的前提．22．（9分）某中學(xué)為落實《教育部辦公廳關(guān)于進一步加強中小學(xué)生體質(zhì)管理的通知》文件要求，決定增設(shè)籃球、足球兩門選修課程，需要購進一批籃球和足球．已知購買2個籃球和3個足球共需費用510元；購買3個籃球和5個足球共需費用810元．（1）求籃球和足球的單價分別是多少元；（2）學(xué)校計劃采購籃球、足球共50個，并要求籃球不少于30個，且總費用不超過5500元．那么最多采購籃球多少個？【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）設(shè)籃球的單價為a元，足球的單價為b元，由題意可得：，解得，答：籃球的單價為120元，足球的單價為90元；（2）設(shè)采購籃球x個，則采購足球為（50﹣x）個，∵要求籃球不少于30個，且總費用不超過5500元，∴，解得30≤x≤33，∵x為整數(shù)，∴x的值可為30，31，32，33，∴共有四種購買方案，方案一：采購籃球30個，采購足球20個；方案二：采購籃球31個，采購足球19個；方案三：采購籃球32個，采購足球18個；方案四：采購籃球33個，采購足球17個．【點評】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程組和不等式組．23．（9分）如圖，O是矩形ABCD對角線的交點，DE∥AC，CE∥BD．（1）求證：四邊形OCED是菱形；（2）若∠AOD＝120°，DE＝3，求菱形OCED的面積．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解答】（1）證明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四邊形OCED是平行四邊形．∵O是矩形ABCD的對角線的交點，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∴OD＝OC，∴平行四邊形OCED是菱形；（2）解：由（1）得：OD＝OC，四邊形OCED是菱形，∴OD＝DE＝3，∵∠AOD＝120°，∴∠COD＝60°，∴△OCD是等邊三角形，∴CD＝OD＝OC＝3，∴AC＝2OC＝6，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴AD3，∴S菱形OCED＝2S△OCD＝S△ADCAD×CD33．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明四邊形OCED為菱形是解題的關(guān)鍵．24．（10分）約定：若某函數(shù)圖象上至少存在不同的兩點關(guān)于直線y＝x對稱，則把該函數(shù)稱為“對稱函數(shù)”，其圖象上關(guān)于直線y＝x對稱的兩點叫做一對“對稱點”．根據(jù)該約定，完成下列各題：（1）在下列關(guān)于x的函數(shù)中，是“對稱函數(shù)”的，請在相應(yīng)題目后面的橫線中打“√”，不是“對稱函數(shù)”的打“×”．①y＝2x × ；②y＝（x﹣1）2 √ ．（2）關(guān)于x的函數(shù)y＝kx﹣2k+2（k是常數(shù)）是“對稱函數(shù)”嗎？如果是，寫出距離為的一對“對稱點”坐標(biāo)；如果不是，請說明理由；（3）若關(guān)于x的“對稱函數(shù)”y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a＞0）的一對“對稱點”，A、C分別位于x軸、y軸上，求同時滿足下列兩個條件的“對稱函數(shù)”的解析式：①該“對稱函數(shù)”截x軸所得的線段長AB為2；②該“對稱函數(shù)”截直線y＝x所得的線段長MN為．【答案】（1）①×，②√；（2）一對Q點的坐標(biāo)分別為（1，3）與（3，1）；（3）y＝x2﹣4x+3或yx2x．【解答】解：（1）①∵y＝2x不是軸對稱圖形，故不是“Q函數(shù)”；②∵（0，1），（1，0）關(guān)于y＝x對稱滿足定義，是“Q函數(shù)”．故答案為：①×，②√；（2）∵y＝kx﹣2k+2＝k（x﹣2）+2，當(dāng)x＝2時，y＝2，則直線過定點（2，2），根據(jù)定義，其圖象關(guān)于直線y＝x對稱，如圖，設(shè)直線y＝kx﹣2k+2與坐標(biāo)軸分別交于點A，B，根據(jù)定義，A，B關(guān)于y＝x對稱，∴OA＝OB，由y＝kx﹣2k+2，令x＝0，則y＝2﹣2k，令y＝0，則x，∴2﹣2k，解得k＝1或k＝﹣1，∴k＝1或k＝﹣1時，y＝kx﹣2k+2是“Q函數(shù)”，當(dāng)k＝1時，y＝x，當(dāng)k＝﹣1時，y＝﹣x+4，以P為圓心，為半徑作圓，則圓與y＝﹣x+4，y＝x的交點的距離為2，如圖，設(shè)C，D為OP與直線y＝﹣x+4的交點，則C，D即為所求的點，設(shè)C（m，﹣m+4），則PC，即（m﹣2）2+（﹣m+4﹣2）2＝2，解得m1＝1，m2＝3，∴一對Q點的坐標(biāo)分別為（1，3）與（3，1）；（3）∵該Q函數(shù)截x軸所得的線段長AB為2，令ax2+bx+c＝0，設(shè)兩根分別為x1，x2．則|x1﹣x2|＝2，∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝4，即4①，該“Q函數(shù)”截直線y＝x所得的線段長MN為，過點M，N分別作坐標(biāo)軸的垂線交于點D，如圖，∵M，N在y＝x上，則△MND是等腰直角三角形，則DNMN，聯(lián)立，得ax2+（b﹣1）x+c＝0，設(shè)兩根分別為x3，x4，NC＝|x3﹣x4|，∴（x3+x4）2﹣4x3x4＝13，即13②，根據(jù)定義可知一對“Q點“A、C分別位于x軸、y軸上，則OA＝OC，由y＝ax2+bx+c，令y＝0，得ax2+bx+c＝0，解得：x或x，令x＝0，則y＝c，則c或c，即（2ac+b）2＝b2﹣4ac③，聯(lián)立①②③并整理得，，解得：或或，根據(jù)題意a，c≠0，a＞0，∴或．∴同時滿足兩個條件的“Q函數(shù)”的解析式為y＝x2﹣4x+3或yx2x．【點評】本題考查函數(shù)綜合運用，主要考查了新定義，待定系數(shù)法求解析式，一次函數(shù)的性質(zhì)，反比例函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，理解新定義是解題關(guān)鍵．25．（10分）如圖，二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+a與x軸相交于點A，B，點A在x軸負半軸，過點A的直線y＝x+b交該拋物線于另一點D，交y軸正半軸于點H．（1）如圖1，若OH＝1，求該拋物線的解析式；（2）如圖1，若點P是線段HD上一點，當(dāng)時，求點P的坐標(biāo)（用含b的代數(shù)式表示）；（3）如圖2，在（1）的條件下，設(shè)拋物線交y軸于點C，過A，B，C三點作⊙Q，經(jīng)過點Q的直線y＝hx+q交⊙Q于點F，I，交拋物線于點E，G．當(dāng)EI＝GI+FI時，求2h2的值．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）點P的坐標(biāo)為（，）；（3）2h213．【解答】解：（1）∵OH＝1，∴H（0，1），把H（0，1）代入y＝x+b，得b＝1，∴y＝x+1，令y＝0，得x+1＝0，解得：x＝﹣1，∴A（﹣1，0），把A（﹣1，0）代入y＝（x﹣1）2+a，得0＝（﹣1﹣1）2+a，解得：a＝﹣4，∴y＝（x﹣1）2﹣4，即該拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3；（2）在y＝x+b中，令x＝0，得y＝b，令y＝0，得x＝﹣b，∴A（﹣b，0），H（0，b），∴OA＝OH＝b，∴△AOH是等腰直角三角形，∴∠HAO＝45°，AHb，如圖1，設(shè)P（x，x+b），過點P作PK⊥AB于點K，則PK＝x+b，∠AKP＝∠ALD＝90°，∴△APK和△ADL均為等腰直角三角形，∴APPK（x+b），ADAL（xD﹣xA），由y＝（x﹣1）2+a和y＝x+b聯(lián)立，得：（x﹣1）2+a＝x+b，整理得：x2﹣3x+a﹣b+1＝0，∴xA+xD＝3，∴xD＝3﹣xA＝3+b，∴xD﹣xA＝3+b﹣（﹣b）＝3+2b，即AD（3+2b），∵，∴，∴x，x+b，∴點P的坐標(biāo)為（，）；（3）由題意得：y＝x2﹣2x﹣3，C（0，﹣3），當(dāng)y＝0時，x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵⊙Q經(jīng)過A、B、C三點，∴點Q在線段AB的垂直平分線上，即點Q的橫坐標(biāo)為1，∵點Q也在線段BC的垂直平分線上，OB＝OC＝3，∴點Q在第二、四象限角平分線上，即點Q的橫縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，∴Q（1，﹣1），如圖，過點Q作QH⊥x軸于點H，連接BQ，則QH＝1，BH＝3﹣1＝2，∴BQ，∴FI＝2BQ＝2，∵EI＝GI+FI，EI＝EF+FI，∴EF＝GI，∴EF+FG＝FG+GI，即EG＝FI＝2，∴EG2＝20，∵直線y＝hx+q經(jīng)過點Q（1，﹣1），∴﹣1＝h+q，∴q＝﹣h﹣1，∴y＝hx﹣h﹣1，與y＝x2﹣2x﹣3聯(lián)立，得x2﹣2x﹣3＝hx﹣h﹣1，整理得：x2﹣（h+2）x+h﹣2＝0，∴xE+xG＝h+2，xE?xG＝h﹣2，∴yE＝h?xE﹣h﹣1，yG＝h?xG﹣h﹣1，∵EG2＝（xE﹣xG）2+（yE﹣yG）2＝（1+h2）（xE﹣xG）2＝（1+h2）[（xE+xG）2﹣4xE?xG]＝（1+h2）[（h+2）2﹣4（h﹣2）]＝（h2+1）（h2+12），∴（h2+1）（h2+12）＝20，∴h2，∴2h213．【點評】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象與拋物線交點，一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，勾股定理，等腰直角三角形性質(zhì)，圓的性質(zhì)等，本題綜合性較強，涉及知識點較多，難度較大，對學(xué)生運算能力要求較高．
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