2023-2024學(xué)年廣東省深圳市坪山實(shí)驗(yàn)中學(xué)、坪山中學(xué)九年級(jí)（上）聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（10月份）第I卷（選擇題）一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.下列方程中，是一元二次方程的是(    )A.  B.
C.  D. 2.方程的解是(    )A.  B.
C. ， D. ，3.隨機(jī)擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，正面朝上的概率是(    )A.  B.  C.  D. 4.關(guān)于平行四邊形的敘述，正確的是(    )A. 若，則平行四邊形是菱形
B. 若，則平行四邊形是正方形
C. 若，則平行四邊形是矩形
D. 若，則平行四邊形是正方形5.某校辦廠生產(chǎn)的某種產(chǎn)品，今年產(chǎn)量為件，計(jì)劃通過改革技術(shù)，使今后兩年的產(chǎn)量都比前一年增長(zhǎng)一個(gè)相同的百分?jǐn)?shù)，使得三年的總產(chǎn)量達(dá)到件，若設(shè)這個(gè)百分?jǐn)?shù)為，則可列方程為(    )A.
B.
C.
D. 6.菱形的對(duì)角線長(zhǎng)分別為和，它的面積為(    )A.  B.  C.  D. 7.若關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是(    )A. 且 B. 且 C. 且 D. 8.如圖，在中，且，，點(diǎn)是斜邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，則線段的最小值為(    )
 A.  B.  C.  D. 9.定義：如果一個(gè)三角形有一邊上的中線等于這條邊的一半，那么稱三角形為“智慧三角形”如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的邊，，點(diǎn)，在邊存在點(diǎn)，使得為“智慧三角形”，則點(diǎn)的坐標(biāo)為(    )A. 或
B. 或
C. 或或
D. 或或10.如圖，在正方形中，點(diǎn)為延長(zhǎng)線上任一點(diǎn)，連接過點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)下列結(jié)論：
；
；
；
若，則．
其中正確的個(gè)數(shù)為(    )
 A.  B.  C.  D. 第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）11.在一個(gè)不透明的袋子里裝有紅球、黃球共個(gè)，這些球除顏色外都相同，小紅通過多次試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，摸出紅球的頻率穩(wěn)定在左右，則袋子里紅球的個(gè)數(shù)最有可能是______ ．12.已知是方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為______ ．13.如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，且，則 ______ ．
 14.如圖，菱形的邊長(zhǎng)為，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上若是上動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______ ．
 15.如圖，在矩形中，，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，將沿折疊，使得點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)分別到、的距離分別記為，若，則的長(zhǎng)為______ ．
 三、計(jì)算題（本大題共1小題，共5.0分）16.解方程：．四、解答題（本大題共6小題，共50.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.本小題分
【例】解方程．
解：設(shè)，
則原方程可化為．
解得，．
當(dāng)時(shí)，即，解得；
當(dāng)時(shí)，即，解得．
所以原方程的解為，．
上述解法稱為“整體換元法”．
請(qǐng)運(yùn)用“整體換元法”解方程：．18.本小題分
我校開展“陽(yáng)光體育活動(dòng)”，決定開設(shè)足球、籃球、乒乓球、羽毛球、排球等球類活動(dòng)，為了了解學(xué)生對(duì)這五項(xiàng)活動(dòng)的喜愛情況，隨機(jī)調(diào)查了一些學(xué)生每名學(xué)生必選且只能選擇這五項(xiàng)活動(dòng)中的一種根據(jù)以下統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，請(qǐng)解答下列問題：

本次被調(diào)查的學(xué)生有______名；補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖；
扇形統(tǒng)計(jì)圖中“排球”對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)是______；
學(xué)校準(zhǔn)備推薦甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中的名參加全市中學(xué)生籃球比賽，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法分析甲和乙同學(xué)同時(shí)被選中的概率．19.本小題分
如圖，在菱形中，對(duì)角線、相交于點(diǎn)過點(diǎn)作，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．
求證：四邊形是矩形；
若，，求四邊形的面積．
20.本小題分
超市銷售某種商品，平均每天可售出件，每件盈利元為了擴(kuò)大銷量，增加盈利，該店采取了降價(jià)措施經(jīng)過一段時(shí)間后，發(fā)現(xiàn)銷售單價(jià)每降低元，平均每天可多售出件．
若降價(jià)元，則平均每天銷售數(shù)量為______ 件；
為盡快減少庫(kù)存，要使該商店每天銷售利潤(rùn)為元，每件商品應(yīng)降價(jià)多少元？21.本小題分
在中，，，，點(diǎn)為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以為邊作等邊，與相交于點(diǎn)，連接，將等邊繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．
如圖，當(dāng)點(diǎn)在上，四邊形是平行四邊形時(shí)，求線段的長(zhǎng)；
如圖，當(dāng)點(diǎn)恰好落在上時(shí)，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，連接若，，共線，求線段的長(zhǎng)；
如圖，在等邊在旋轉(zhuǎn)的過程中，所在的直線與相交于點(diǎn)當(dāng)時(shí)，若，，求線段的長(zhǎng)．22.本小題分
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，且滿足，現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)、分別向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，分別得到點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，連接、、．

寫出點(diǎn)，的坐標(biāo)并求出四邊形的面積；
在軸上是否存在一點(diǎn)，使得的面積是面積的倍？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；
若點(diǎn)是直線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接、，請(qǐng)直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系．
答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、是分式方程，不符合題意；
B、是一元二次方程，符合題意；
C、是二元二次方程，不符合題意；
D、是一元一次方程，不符合題意．
故選：．
根據(jù)一元二次方程的定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的最高次數(shù)為的整式方程是一元二次方程；即可進(jìn)行解答．
本題主要考查了一元二次方程的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的定義．2.【答案】 【解析】解：，
，，
，，
故選：．
根據(jù)已知得出兩個(gè)一元一次方程，求出方程的解即可．
本題考查了用合適方法解一元二次方程．3.【答案】 【解析】解：拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，等可能的情況有：正面朝上，反面朝上，
則，
故選：．
拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，其等可能的情況有個(gè)，求出正面朝上的概率即可．
此題考查了概率公式，概率發(fā)生的情況數(shù)所有等可能情況數(shù)．4.【答案】 【解析】解：錯(cuò)誤．若，則平行四邊形是矩形；
B.錯(cuò)誤．若，則平行四邊形是菱形；
C.正確．
D.錯(cuò)誤．若，則平行四邊形是菱形；
故選C．
根據(jù)菱形、矩形、正方形的判定方法即可判斷；
本題考查正方形的判定、菱形的判定、矩形的判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．5.【答案】 【解析】解：已設(shè)這個(gè)百分?jǐn)?shù)為．
．
故選：．
根據(jù)題意：第一年的產(chǎn)量第二年的產(chǎn)量第三年的產(chǎn)量且今后兩年的產(chǎn)量都比前一年增長(zhǎng)一個(gè)相同的百分?jǐn)?shù)．
本題考查對(duì)增長(zhǎng)率問題的掌握情況，理解題意后以三年的總產(chǎn)量做等量關(guān)系可列出方程．6.【答案】 【解析】解：菱形的面積為：；
故選：．
根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半，計(jì)算即可．
本題考查菱形的性質(zhì)，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7.【答案】 【解析】解：關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，
且，
解得：且．
故選：．
根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零及根的判別式，即可得出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出結(jié)論．
本題考查了一元二次方程的定義以及根的判別式，根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)非零結(jié)合根的判別式，找出關(guān)于的一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．8.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形面積，由勾股定理求出的長(zhǎng)，再證明四邊形是矩形，可得，根據(jù)垂線段最短和三角形面積即可解決問題．
【解答】
解：，且，，
，
，，
，
四邊形是矩形，

，
當(dāng)時(shí)，的值最小，
此時(shí)，，
，
的最小值為．9.【答案】 【解析】解：如圖，是的中線，，
，
，，
，
“智慧三角形”是直角三角形．
如圖，為“智慧三角形”，且，
四邊形是矩形，，，點(diǎn)，
，，，
，
∽，
，
，
；
如圖、圖，為“智慧三角形”，且，
，
，
∽，
，
，，
，
，
解得或，
或；
點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，
，
，
不能是以為直角的“智慧三角形”，
綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或，
故選：．
先根據(jù)“智慧三角形”的定義及等腰三角形的性質(zhì)證明“智慧三角形”是直角三角形，再分三種情況討論，一是為“智慧三角形”，且，可證明∽，則，可求得，則；二是為“智慧三角形”，且，可證明∽，則，于是得，可求得或，則或；三是說明，則不能是以為直角的“智慧三角形”，于是得到問題的答案．
此題重點(diǎn)考查圖形與坐標(biāo)、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、同角的余角相等、相似三角形的判定與性質(zhì)、數(shù)形結(jié)合與分類討論數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用等知識(shí)與方法，證明∽及∽是解題的關(guān)鍵．10.【答案】 【解析】解：如圖，在上取一點(diǎn)，使，連接、，

，
，
四邊形是正方形，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
四邊形是平行四邊形，
，
；故正確；
連接，
由知：，，

，，
，，
四邊形是平行四邊形，
，，
，
，即，
，
；故錯(cuò)誤；
連接交于，如圖：

四邊形是正方形，
，
，，
≌，
，
，
，即，故錯(cuò)誤；
設(shè)，，則，
，，
，，
，
若，則，
，
即，故正確，
故選：．
在上取一點(diǎn)，使，連接、，證明≌，可得，，有，進(jìn)而可得四邊形是平行四邊形，，可判斷正確；連接，證明四邊形是平行四邊形，得，，可得；判定錯(cuò)誤；連接交于，可證明≌得，從而判斷錯(cuò)誤；設(shè)，，則，可得，，若，則，即可得，判斷正確．
本題考查正方形性質(zhì)及應(yīng)用，涉及全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)及應(yīng)用等，解題的關(guān)鍵是適當(dāng)作輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．11.【答案】 【解析】解：設(shè)袋子中紅球有個(gè)，
根據(jù)題意得，
解得，
袋子中紅球的個(gè)數(shù)最有可能是個(gè)．
故答案為．
設(shè)袋子中紅球有個(gè)，根據(jù)摸出紅球的頻率穩(wěn)定在左右列出關(guān)于的方程，求出的值，從而得出答案．
本題主要考查利用頻率估計(jì)概率．12.【答案】 【解析】解：是方程的一個(gè)實(shí)數(shù)根，
，
，
，
故答案為：．
根據(jù)題意可得：，從而可得，然后代入式子中進(jìn)行計(jì)算，即可解答．
本題考查了一元二次方程的解，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．13.【答案】 【解析】解：點(diǎn)是的中點(diǎn)，，
，
，
，
故答案為：．
利用直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，即可解答．
本題考查了直角三角形斜邊上的中線，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14.【答案】 【解析】解：菱形的邊長(zhǎng)為，，
，，
是等邊三角形，
點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，
，，
．
故答案為：．
首先根據(jù)菱形的性質(zhì)得出是等邊三角形以及連接后與的交點(diǎn)即為點(diǎn)，進(jìn)而利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出的長(zhǎng)即可得出答案．
此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)和銳角三角函數(shù)的應(yīng)用等知識(shí)，熟練利用菱形性質(zhì)是解題關(guān)鍵．15.【答案】或 【解析】解：如右圖，當(dāng)點(diǎn)在矩形內(nèi)，
過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，
則四邊形是矩形，
，
，
，，
，，
由折疊可知：，，
，
設(shè)，
由折疊可知：，
在中，根據(jù)勾股定理得：
，
，
解得；
如圖，當(dāng)點(diǎn)在矩形外，
過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，
則四邊形是矩形，
，
，
，
，，
由折疊可知：，，
，
設(shè)，
由折疊可知：，
在中，根據(jù)勾股定理得：
，
，
解得；
綜上所述：的長(zhǎng)為或．
故答案為：或．
根據(jù)題意分兩種情況畫圖：如圖，當(dāng)點(diǎn)在矩形內(nèi)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，如圖，當(dāng)點(diǎn)在矩形外，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，然后分別根據(jù)矩形和翻折的性質(zhì)即可解決問題．
本題屬于中考填空題的壓軸題，考查的是矩形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)、勾股定理，掌握矩形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16.【答案】解：

，
，． 【解析】本題考查的是一元二次方程的解法，掌握因式分解法解一元二次方程的一般步驟是解題的關(guān)鍵．屬于基礎(chǔ)題．
利用因式分解法解出方程．17.【答案】解：，
解：設(shè)，
則原方程可化為，
．
解得，．
當(dāng)時(shí)，即，解得；
當(dāng)時(shí)，即，解得．
所以原方程的解為：，． 【解析】設(shè)，先把原方程化為關(guān)于的一元二次方程，求出它的根，再代入設(shè)中求出．
本題考查了一元二次方程，掌握一元二次方程的因式分解法和換元法的一般步驟是解決本題的關(guān)鍵．18.【答案】   【解析】解：本次被調(diào)查的學(xué)生人數(shù)為名．
故答案為：．
選擇“足球”的人數(shù)為名．
補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下：

扇形統(tǒng)計(jì)圖中“排球”對(duì)應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)為．
故答案為：．
畫樹狀圖如下：

共有種等可能的結(jié)果，其中甲和乙同學(xué)同時(shí)被選中的結(jié)果有種，
甲和乙同學(xué)同時(shí)被選中的概率為．
用選擇“籃球”的人數(shù)除以其所占百分比，可得本次被調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)；求出選擇“足球”的人數(shù)，再補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖即可．
用選擇“排球”的人數(shù)除以本次被調(diào)查的學(xué)生總?cè)藬?shù)再乘以即可．
畫樹狀圖得出所有等可能的結(jié)果數(shù)，以及甲和乙同學(xué)同時(shí)被選中的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．
本題考查列表法與樹狀圖法、條形統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖，能夠讀懂條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖，掌握列表法與樹狀圖法以及概率公式是解答本題的關(guān)鍵．19.【答案】證明：，，
四邊形是平行四邊形，
四邊形是菱形，
，
，
平行四邊形為矩形；
解：四邊形是菱形，
，，，，
，
是等邊三角形，
，
，
，
由可知，四邊形是矩形，
矩形的面積． 【解析】先證四邊形是平行四邊形，再由菱形的性質(zhì)得，則，即可得出結(jié)論；
由菱形的性質(zhì)得，，，，再證是等邊三角形，得，則，然后由勾股定理得，即可求解．
本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，掌握矩形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．20.【答案】 【解析】解：由題意得，若降價(jià)元，則平均每天銷售數(shù)量為件，
故答案為：；
設(shè)每件商品應(yīng)降價(jià)元，
由題意得，，
整理得：，
解得或，
要盡快減少庫(kù)存，
，
每件商品應(yīng)降價(jià)元．
根據(jù)在每天銷售件的基礎(chǔ)上銷售單價(jià)每降低元，平均每天可多售出件進(jìn)行求解即可；
設(shè)每件商品應(yīng)降價(jià)元，則每天的銷售量為件，再根據(jù)總利潤(rùn)單件利潤(rùn)銷售量列出方程求解即可．
本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，有理數(shù)四則運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意找到等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．21.【答案】解：，，
，
四邊形是平行四邊形，
，，
，
是等邊三角形，
，，
；
如圖，

作于，
，
是等邊三角形，
，，
，，
，
，，
，
，
在中，，，
，
，
，
，，
，
；
如圖，

將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，
，，，，
是等邊三角形，
，，
，
，
，
． 【解析】可得出，，，解直角三角形求得結(jié)果；
可得出，，，解直角三角形求得，解斜三角形求得；
將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，連接，可得出，，，，從而得出是等邊三角形，于是可求得，，從而得出，從而求得，進(jìn)一步得出結(jié)果．
本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)作輔助線．22.【答案】解：點(diǎn)，的坐標(biāo)分別是一，，，
現(xiàn)同時(shí)將點(diǎn)、分別向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
四邊形的面積；
存在，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
的面積是面積的倍，
，
解得或，
點(diǎn)的坐標(biāo)為和；
當(dāng)點(diǎn)在線段上，作，如圖，

，
，
，
，
，
；
當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，作，如圖，

，
，
，
，
，
；
同樣得到當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，得到． 【解析】根據(jù)點(diǎn)平移的規(guī)律易得點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出面積；
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)的面積是面積的倍和三角形面積公式求得，然后寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；
分類討論：當(dāng)點(diǎn)在線段上，作，根據(jù)平行線的性質(zhì)由得，由得到，則，所以；同樣得到當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，；當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，得到．
本題考查了坐標(biāo)與圖形性質(zhì)：利用點(diǎn)的坐標(biāo)得到線段的長(zhǎng)和線段與坐標(biāo)軸的關(guān)系和平行線的性質(zhì)綜合問題，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分類討論的思想．

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這是一份廣東省深圳市坪山新區(qū)2023-2024學(xué)年九上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考模擬試題含答案，共9頁(yè)。試卷主要包含了考生必須保證答題卡的整潔，方程的解是等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2023-2024坪山實(shí)驗(yàn)中學(xué)初三數(shù)學(xué)月考（10月）：

這是一份2023-2024坪山實(shí)驗(yàn)中學(xué)初三數(shù)學(xué)月考（10月），共6頁(yè)。

廣東省深圳市東北師范大學(xué)深圳坪山實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試題和答案詳解：

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