萬州二中教育集團(tuán)高2023級高一上期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 下列說法正確的是A. 我校愛好足球的同學(xué)組成一個(gè)集合B. 是不大于3的自然數(shù)組成的集合C. 集合和表示同一集合D. 數(shù)1，0，5，，，， 組成的集合有7個(gè)元素【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合的含義逐一分析判斷即可得到答案【詳解】選項(xiàng)A，不滿足確定性，故錯(cuò)誤選項(xiàng)B，不大于3的自然數(shù)組成的集合是，故錯(cuò)誤選項(xiàng)C,滿足集合的互異性，無序性和確定性，故正確選項(xiàng)D，數(shù)1，0，5，，，， 組成的集合有5個(gè)元素，故錯(cuò)誤故選C【點(diǎn)睛】本題考查了集合的含義，利用其確定性、無序性、互異性進(jìn)行判斷，屬于基礎(chǔ)題．2. 若全集且，則集合的真子集共有（    ）A. 個(gè) B. 個(gè) C. 個(gè) D. 個(gè)【答案】C【解析】【分析】先利用補(bǔ)集求得集合A，進(jìn)而得到真子集的個(gè)數(shù).【詳解】解：因?yàn)槿?/span>且，所以,所以集合的真子集共有，故選：C3. “兩個(gè)三角形相似”是“兩個(gè)三角形三邊成比例”的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得，由“兩個(gè)三角形相似”可得到“兩個(gè)三角形三邊成比例”，即充分性成立；反之：由“兩個(gè)三角形三邊成比例”可得到“兩個(gè)三角形相似”，即必要性成立，所以“兩個(gè)三角形相似”是“兩個(gè)三角形三邊成比例”的充分必要條件.故選：C.4. 下列四個(gè)命題為真命題的是（    ）A. 若，則 B. 若，則C. 若，則 D. 若，則【答案】B【解析】【分析】利用特殊值排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，然后證明正確的選項(xiàng).【詳解】取，則，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤.取，則，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤.取，則由解得，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.對于B選項(xiàng)，由得，故B選項(xiàng)正確.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查不等式的性質(zhì)，考查差比較法比較大小，屬于基礎(chǔ)題.5. 設(shè)全集，集合，，則下列運(yùn)算關(guān)系正確的是（    ）．A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】分別求解出集合中表示元素的范圍，則集合可知，然后對選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可，注意每個(gè)集合中的表示元素是哪一個(gè).【詳解】因?yàn)?/span>中，所以，所以；因?yàn)?/span>中，所以，所以；A．，錯(cuò)誤；B．因?yàn)?/span>，所以，錯(cuò)誤；C．，正確；D．因?yàn)?/span>，所以，錯(cuò)誤；故選C.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交并補(bǔ)混合運(yùn)算對錯(cuò)的判斷，難度一般.用描述法表示的集合一定要注意其表示元素是哪一個(gè).6. 若命題“，使得成立”為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（    ）A. [1，+∞) B. [0，+∞) C. (，1) D. (，0]【答案】A【解析】【分析】根據(jù)命題和它的否定命題一真一假，寫出它的否定命題，再根據(jù)否定命題為真命題即可求出的取值范圍.【詳解】命題“，使得成立”為假命題, 則它的否定命題: “，”為真命題所以解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是故選：A.7. 設(shè)，若不等式的解集是，則不等式的解集為（    ）A.  B. C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由題知，且，再解不等式即可.【詳解】解：因?yàn)椴坏仁?/span>的解集是，所以，，2是方程的兩個(gè)根，且，所以，由韋達(dá)定理，即，且，所以，不等式化為，解得，所以，不等式的解集為.故選：D8. 若對任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】分離變量將問題轉(zhuǎn)化為對于任意實(shí)數(shù)恒成立，進(jìn)而求出的最大值，設(shè)及，然后通過基本不等式求得答案.【詳解】由題意可得，對于任意實(shí)數(shù)恒成立，則只需求的最大值即可，，設(shè)，則，再設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得“=”.所以，即實(shí)數(shù)a的最小值為.故選：D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9. 下列關(guān)于符號“”使用正確的有（    ）A.  B. C.  D. 【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)元素與集合、集合與集合的關(guān)系判斷即可.【詳解】對于A：，故A錯(cuò)誤；對于B：，，所以，故B正確；對于C：，故C正確；對于D：或，故D錯(cuò)誤；故選：BC10. 下列命題為真命題的是（    ）A. ，B. 設(shè)全集為，若，則C. “”是“”的必要不充分條件D. “和都是無理數(shù)”是“是無理數(shù)”的必要不充分條件【答案】ABC【解析】【分析】對A，舉例判斷即可；對B，由補(bǔ)集的概念即可判斷；對C，分別判斷必要性與充分性；對D，分別判斷必要性與充分性.【詳解】對A，當(dāng)時(shí)，成立，A正確；對B，全集為，，如圖所示， 由補(bǔ)集的定義可知，成立，故B正確；對C，“”可得“”成立，“”不能推倒得“”成立，所以“”是“”的必要不充分條件，C正確；對D，當(dāng)時(shí)，不是無理數(shù)，不滿足充分性，當(dāng)時(shí)，，不都是無理數(shù)，不滿足必要性，D錯(cuò)誤.故選：ABC11. 已知關(guān)于x的不等式的解集為，則（    ）A. 為定值B. 的最小值為C. 最大值為D. 無最小值【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式的解可得，進(jìn)而代入選項(xiàng)中，結(jié)合基本不等式以及二次函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】由于的解集為，所以，因此，故A正確，，由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故B正確，，由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故C錯(cuò)誤，在單調(diào)遞增，由于，故無最小值，故D正確，故選：ABD12. 已知，且，則下列結(jié)論正確的是（    ）A. 的最大值為 B. 的最大值為C. 的最小值為 D. 【答案】BCD【解析】【分析】利用基本不等式求最值判斷ABC，利用二次函數(shù)性質(zhì)求得的取值范圍判斷D．詳解】，且，，，對于A，利用基本不等式得，化簡得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號成立，所以的最大值為，故A錯(cuò)誤；對于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號成立，所以的最大值為，故B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最小值為，故C正確；對于D，利用二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，，，故D正確；    故選：BCD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 命題“，”的否定是___________.【答案】【解析】【分析】利用含有一個(gè)量詞的命題的否定的定義求解.【詳解】因?yàn)槊}“，”是全稱量詞命題，所以其否定是存在量詞命題，即為，故答案為：14. 含有三個(gè)實(shí)數(shù)的集合既可表示成，又可表示成，則____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)兩個(gè)集合相等的關(guān)系，求得a，b的值，再求a2003+b2004的值．【詳解】解：由題意，0∈{a，，1}及a≠0，可得=0，即b=0，從而{a，0，1}={a，a2，0}，進(jìn)而有a2=1，即a=﹣1或1（舍去）（集合元素的互異性），故a2003+b2004=﹣1，故答案為﹣1．【考點(diǎn)】集合相等和集合元素的互異性．【點(diǎn)睛】集合相等要分類討論，以及利用元素的互異性進(jìn)行取舍是解決本題的關(guān)鍵．15. 已知關(guān)于的不等式，關(guān)于此不等式的解集有下列結(jié)論，其中正確的有__________.①不等式的解集可以是②不等式的解集可以是③不等式的解集可以是④不等式的解集可以是【答案】②④【解析】【分析】在假設(shè)結(jié)論成立時(shí)求出值進(jìn)行判斷①④，舉特例判斷②③．【詳解】①：假設(shè)結(jié)論成立，則，解得，則不等式為，解得，與解集是矛盾，故錯(cuò)誤；②：當(dāng)，時(shí)，不等式恒成立，則解集是，故正確；③：當(dāng)時(shí)，不等式，則解集不可能為，故錯(cuò)誤；④：假設(shè)結(jié)論成立，則，解得，符合題意，故正確；故答案為：②④16. 若正實(shí)數(shù)滿足，且不等式有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍__________.【答案】或##【解析】【分析】要使有解，則大于最小值即可；求出最小值，建立不等式，求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以，當(dāng)時(shí)，等號成立，因?yàn)?/span>，所以此時(shí)，所以的最小值為，由題可得，解得或.故填：或四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. （Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）解不等式．【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）根據(jù)一元二次不等式的解法，直接求解，即可得出結(jié)果；（Ⅱ）先移項(xiàng)通分，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）由得，即，解得或，所以不等式的解集為或；（Ⅱ）由得，即，即，解得，即不等式的解集為；18 已知集合，，.（1）求；（2）若，求m的取值范圍.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）先求出集合A，由交集和并集的定義即可得出答案；（2）由可得，討論和，求解即可.【小問1詳解】，所以.【小問2詳解】因?yàn)?/span>，所以，若，則，解得：，若，則，解得：，所以m的取值范圍為：.19. （1）已知，，求的取值范圍；（2）已知a，b是正常數(shù)，且，，求證：，指出等號成立的條件；【答案】（1）；（2）證明見解析，時(shí)等號成立【解析】【分析】（1）把用和表示后由不等式的性質(zhì)得結(jié)論；（2）作差變形后與0比較，或利用基本不等式證明．【詳解】（1）設(shè)，其中，則，解得，即，因?yàn)?/span>，則，，可得，所以的取值范圍為；（2）解法一：，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.解法二：，，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立.20. 已知集合，集合.（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）命題：，命題：，若是的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）把代入化簡，求解一元二次不等式化簡，再由交集運(yùn)算得答案；（2）由是的充分條件，得．然后對分類求解，再由兩集合端點(diǎn)值間的關(guān)系列不等式組求解．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，．；（2），，若是的充分條件，則．因?yàn)?/span>當(dāng)時(shí)，，顯然成立；當(dāng)時(shí)，，，，解得；當(dāng)時(shí)，，，，解得．實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查交集及其運(yùn)算，考查充分必要條件的判定及其應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬于中檔題．21. 某學(xué)校要建造一個(gè)長方體形的體育館，其地面面積為，體育館高，如果甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)為：館頂每平方米的造價(jià)為100元，體育館前后兩側(cè)墻壁平均造價(jià)為每平方米150元，左右兩側(cè)墻壁平均造價(jià)為每平方米250元，設(shè)體育館前墻長為米．（1）當(dāng)前墻的長度為多少時(shí)，甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)最低？（2）現(xiàn)有乙工程隊(duì)也參與該校的體育館建造競標(biāo)，其給出的整體報(bào)價(jià)為元，若無論前墻的長度為多少米，乙工程隊(duì)都能競標(biāo)成功，試求的取值范圍．【答案】（1）當(dāng)前墻的長度為20米時(shí)，甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)最低為84000元    （2）當(dāng)時(shí)，無論前墻的長度為多少米，乙工程隊(duì)都能競標(biāo)成功【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出報(bào)價(jià)的表達(dá)式，再根據(jù)基本不等式即可得解；（2）根據(jù)題意可知對任意的恒成立，分離參數(shù)可得對任意的恒成立，分類常數(shù)結(jié)合基本不等式求出的最小值，即可得解.【小問1詳解】因?yàn)轶w育館前墻長為米，地面面積為，所以體育館的左右兩側(cè)墻的長度均為米，設(shè)甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)為元，所以，因，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以當(dāng)前墻的長度為20米時(shí)，甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)最低為84000元；【小問2詳解】根據(jù)題意可知對任意的恒成立，即對任意的恒成立，所以對任意的恒成立，因?yàn)?/span>，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，所以，故當(dāng)時(shí)，無論前墻的長度為多少米，乙工程隊(duì)都能競標(biāo)成功．22. 設(shè)集合，集合，如果對于任意元素，都有或，則稱集合為的自鄰集.記為集合的所有自鄰集中最大元素為的集合的個(gè)數(shù).（1）直接判斷集合和是否為的自鄰集；（2）比較和的大小，并說明理由；（3）當(dāng)時(shí)，求證：.【答案】（1）不是的自鄰集，是的自鄰集；（2），理由見解析；（3）證明見解析【解析】【分析】（1）利用自鄰集的定義直接判斷即可；（2）利用自鄰集的定義求出的自鄰集中最大元集分別為6，5，3的所有自鄰集，從而可得答案；（3）記集合所有子集中自鄰集的個(gè)數(shù)為，可得，然后分：①自鄰集中含這三個(gè)元素，②自鄰集中含有這兩個(gè)元素，不含，且不只有這兩個(gè)元素，③自鄰集只含有這兩個(gè)元素，三種情況求解即可【詳解】解：（1）因?yàn)?/span>，所以和，因?yàn)?/span>，所以不是的自鄰集，因?yàn)?/span>所以是的自鄰集，（2），則其自鄰集中最大元素為6的集合中必含5和6，則有{5，6}，{4，5，6}，{3，4，5，6}，{2，3，5，6}，{1，2，5，6}，{2，3，4，5，6}，{1，2，3，5，6}，{1，2，4，5，6}，{1，2，3，4，5，6}共9個(gè)，即其自鄰集中最大元素為5的集合中必含4和5，則有{4，5}，{3，4，5}，{2，3，4，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}共5個(gè)， 其自鄰集中最大元素為3的集合中必含2和3，則有{2，3}，{1，2，3}共2個(gè)， 所以（3）證明：記集合所有子集中自鄰集的個(gè)數(shù)為，由題意可得當(dāng)時(shí)， ，，顯然 ①自鄰集中含這三個(gè)元素，記去掉這個(gè)自鄰集中的元素后的集合為，因?yàn)?/span>，所以仍是自鄰集，且集合中的最大元素為，所以含有這三個(gè)元素的自鄰集的個(gè)數(shù)為，②自鄰集中含有這兩個(gè)元素，不含，且不只有這兩個(gè)元素，記自鄰集除之外最大元素為，則，每個(gè)自鄰集中去掉這兩個(gè)元素后，仍為自鄰集，此時(shí)的自鄰集的最大元素為，可將此時(shí)的自鄰集分為種情況：含有最大數(shù)為2的集合個(gè)數(shù)為含有最大數(shù)為3的集合個(gè)數(shù)為……，含有最大數(shù)為的集合個(gè)數(shù)為則這樣的集合共有，③自鄰集只含有這兩個(gè)元素，這樣自鄰集只有1個(gè)，綜上可得因?yàn)?/span>，， 所以，所以，所以

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