萬(wàn)州二中教育集團(tuán)高2022級(jí)高二（上）期十月質(zhì)量監(jiān)測(cè)  數(shù)學(xué)試題（120分鐘  150分  命題人：數(shù)學(xué)備課組）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的4個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（    ）A.120° B.60° C.150° D.30°2.已知向量，，那么（    ）A. B. C. D.3.已知是空間的一個(gè)基底，下列不能與，構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的是（    ）A. B. C. D.4.直線與直線平行，則a的值為（    ）A. B. C. D.或5.在正三棱錐中，O是的中心，，則（    ）A. B. C. D.6.已知直線過(guò)點(diǎn)，且方向向量為，則點(diǎn)到的距離為（    ）A.4 B. C. D.37.已知，，從點(diǎn)射出的光線經(jīng)x軸反射到直線上，又經(jīng)過(guò)直線反射回到P點(diǎn)，則光線所經(jīng)過(guò)的路程為（    ）A. B. C. D.68.設(shè)球O是棱長(zhǎng)為2的正方體的外接球，M為的中點(diǎn)，點(diǎn)P在球面上運(yùn)動(dòng)，且總有則點(diǎn)的軌跡的周長(zhǎng)為（    ）A. B. C. D.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的4個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.以下四個(gè)命題中錯(cuò)誤的是（    ）A.向量，，若，則B.若空間向量、、，滿足，，則C.對(duì)于空間向量、、，滿足，，則D.對(duì)空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A、B、C，若，則P、A、B、C四點(diǎn)共面10.對(duì)于直線和直線，以下說(shuō)法正確的有（    ）A.直線一定過(guò)定點(diǎn) B.的充要條件是C.若，則  D.點(diǎn)到直線的距離的最大值為511.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面為等邊三角形，，平面平面，點(diǎn)M在線段上運(yùn)動(dòng)（不含端點(diǎn)），則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（    ）A.平面平面B.存在點(diǎn)M使得C.當(dāng)M為線段中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)A，D，M的平面交于點(diǎn)N，則四邊形的面積為D.的最小值為12.在長(zhǎng)方體中，，，E，F分別為，的中點(diǎn)，P是線段（不含端點(diǎn)）上的任意一點(diǎn)，下述說(shuō)法正確的是（    ）A.存在點(diǎn)P，使直線與平面所成角取得最大值B.存在點(diǎn)P，使直線與平面所成角取得最大值C.存在點(diǎn)P，使平面與平面的夾角取得最大值D.存在點(diǎn)P，使平面與平面的夾角取得最大值三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.過(guò)點(diǎn)斜率為3的直線的方程是______.14.已知的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，則的面積為______.15.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，則的值為______.16.如圖，棱長(zhǎng)為1的正方體的八個(gè)頂點(diǎn)分別為，，…，，記正方體12條棱的中點(diǎn)分別為，，…，，6個(gè)面的中心為，，…，，正方體的中心為，記，，其中是正方體的體對(duì)角線.則______.四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知的三個(gè)頂點(diǎn)為，，.（1）求過(guò)點(diǎn)A且平行于的直線方程；（2）求上的中線所在直線方程.18.如圖，在平行六面體中，，，，，，E是的中點(diǎn)，設(shè)，，.（1）用，，表示；（2）求，所成角的余弦值.19.我們學(xué)習(xí)了空間向量基本定理：如果三個(gè)向量，，不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)，使得.其中，叫做空間的一個(gè)基底.，不共線，非零向量，滿足，，，.（1）以為基底證明：：（2）用向量證明：若兩相交平面同時(shí)垂直另一平面，則這兩平面的交線也垂直這個(gè)平面.20.如圖，平面，四邊形是正方形，，M、N分別是、的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求點(diǎn)P到平面的距離.21.在四棱錐中，已知底面為菱形，若，，.（1）求證：平面；（2）若，設(shè)點(diǎn)H滿足，當(dāng)直線與平面所成角的正弦值為時(shí)，求的值.22.如圖，在正方體中，E，F分別為，中點(diǎn)，G，H分別為，中點(diǎn)，O為平面中心，且正方體棱長(zhǎng)為1.（1）證明：平面平面；（2）是否存在過(guò)直線且與正方體的12條棱的夾角均相等的平面?若存在，求出該平面與平面的夾角的余弦值.  參考答案1-4：CBDA      5-8：ABBA8.【詳解】如圖，根據(jù)題意，該正方體的外接球半徑為由題意，取的中點(diǎn)N，連接，，以D為原點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，，則，又，平面，∴平面∴點(diǎn)P的軌跡為平面與外接球的交線設(shè)點(diǎn)O到平面距離為d，則∴O到過(guò)平面距離∴截面圓的半徑∴點(diǎn)P的軌跡周長(zhǎng)為9.ABD    10.ACD    11.BD   12.AC12.【詳解】則，，，，，，設(shè)，，則，，，，，，取平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，，取，設(shè)平面的法向量為，則，取，設(shè)平面的法向量為，則，取，A：設(shè)直線與平面所成角為，則，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，即P是中點(diǎn)的時(shí)候，取最大值，故A正確.B：設(shè)直線與平面所成角為，則，∵時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，沒(méi)有最大值，故B錯(cuò)誤.C：設(shè)平面與平面的夾角為，則下面研究函數(shù)在上的單調(diào)性；令，，，，，則，∴，，，在遞減，在遞增，且，又在時(shí)遞增，故由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷原理可知在遞減，在遞增，則在時(shí)取最小值，此時(shí)最大，即平面與平面的夾角取到了最大值，故C正確.D：設(shè)平面與平面的夾角為，則，即為定值，故D錯(cuò)誤.故選：AC.13..【分析】根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，列方程即可.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線的點(diǎn)斜式方程，是基礎(chǔ)題.14.2415.2.【分析】根據(jù)兩直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，即可根據(jù)和，利用斜率得垂直關(guān)系即可分情況求解.【解答】解：直線過(guò)定點(diǎn)，過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，兩直線的斜率分別為，，，故，從而；當(dāng)時(shí)，易求得，此時(shí)，綜上可知，.故答案為：2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的位置關(guān)系相關(guān)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.16./40.5【分析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，可求的值.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)向量，而，故，故表示各點(diǎn)的坐標(biāo)和的和.現(xiàn)各點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為X，縱坐標(biāo)之和為Y，豎坐標(biāo)之和為Z，根據(jù)對(duì)稱性可得，故，故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于一些較為復(fù)雜的計(jì)算問(wèn)題，如果直接算比較麻煩，則可以換一個(gè)等價(jià)的計(jì)算方法，從而使得問(wèn)題得以簡(jiǎn)化.17.（1） （2）【詳解】（1）由B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)可得，因?yàn)榇笾本€與直線平行，故其斜率為由點(diǎn)斜式方程可得目標(biāo)直線方程為整理得.（2）中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以兩點(diǎn)式方程為，所以直線方程為.18.【詳解】（1）（2）19.（1）令∴又∵，，∴方法一：∴又∵，不共線，∴∴即， 方法二：若y，z不全為0，不妨設(shè)由①②可得：∴∴，即 ，共線∴∴即， （2）已知：如圖，，，，求證：.證明：如圖，取平面的法向量，平面的法向量，平面的法向量，直線a的方量向量.∵，∴，又∵，∴，且，不共線所以根據(jù)（1）結(jié)論，.所以.20.（1）證明見解析    （2）【詳解】（1）證明：∵平面，，平面，四邊形為正方形，∴，，，即，，兩兩垂直，分別以，，所在直線為x軸，y軸，z軸建立如題所示空間直角坐標(biāo)系：則，，，，，，，∴，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則令得，，∴，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，有滿足，∵，∴，∴平面平面；（2）由（1）知為平面的一個(gè)法向量，且，所以P到平面的距離.21.（1）證明見解析    （2）【詳解】（1）由底面為菱形，得，又，，、平面，∴平面，∵平面，∴，又，，、平面，∴平面，∵平面，∴，又，、平面，∴平面；（2）由（1）結(jié)論，可以以點(diǎn)E坐標(biāo)原點(diǎn)，以向量，，的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，取，則，由，則，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由，取，則，，所以平面的一個(gè)法向量為，直線的方向向量為，記直線與平面所成角為，則，解得或（舍），∴.22.（1）略（2）存在，以為基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.∴，，設(shè)該平面法向量為∴∴∴，，∴又∵該平面過(guò)直線，∴，∴∴，，∴，，設(shè)平面法向量為∴，∴，取，∴，∴.設(shè)該平面與平面夾角為，①若，取，∴②若，取，?∴所以該平面存在，且與平面夾角的余弦值為或.   

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