2024屆高三數(shù)學(xué)試題（文科）考生注意：1．本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分．考試時間120分鐘．2．請將各題答案填寫在答題卡上．3．本試卷主要考試內(nèi)容：小題按照必修1，必修4，必修5，選修1—1第一、三章出題，大題按照高考范圍出題．第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若集合，則（    ）A． B． C． D．2．已知向量，且，則（    ）A． B．1 C． D．23．曲線在處的切線的斜率大于1，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．4．若滿足約束條件則的最小值為（    ）A． B． C． D．25．若，則（    ）A． B． C． D．6．已知甲的年齡大于乙的年齡，則“丙的年齡大于乙的年齡”是“乙和丙的年齡之和大于甲的年齡的兩倍”的（    ）A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知是定義在上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，單調(diào)遞增，要確保的零點(diǎn)唯一，則的值可以為（    ）A． B．0 C． D.58．定義矩陣運(yùn)算，則（    ）A． B． C． D．9．在四邊形中，，對角線相交于點(diǎn)，若，則（    ）A．12 B．10 C．6 D.510．在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的部分圖象不可能為（    ）A．  B．C．  D．11．某公司計劃在10年內(nèi)每年某產(chǎn)品的銷售額（單位：萬元）等于上一年的1.2倍再減去2．已知第一年（2022年）該公司該產(chǎn)品的銷售額為100萬元，則按照計劃該公司從2022年到2031年該產(chǎn)品的銷售總額約為（參考數(shù)據(jù)：）（    ）A．2135.5萬元 B．2235.5萬元 C．2335.5萬元 D．2435.5萬元12．已知，則（    ）A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡的相應(yīng)位置．13．命題“若，則不都小于1”的逆否命題為______．14．在正項(xiàng)等差數(shù)列中，，則公差的取值范圍是______．15．將曲線各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>2倍，再將所得曲線向左平移個單位長度，得到曲線．寫出曲線的一條對稱軸的方程：______．16．如圖，已知平面五邊形的周長為12，若四邊形為正方形，且，則當(dāng)的面積取得最大值時，______．三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（12分）某工廠的工人生產(chǎn)內(nèi)徑為的一種零件，為了了解零件的生產(chǎn)質(zhì)量，在某次抽檢中，從該廠的1000個零件中抽出60個，測得其內(nèi)徑尺寸（單位：）如下：                        這里用表示有個尺寸為的零件，均為正整數(shù)．若從這60個零件中隨機(jī)抽取1個，則這個零件的內(nèi)徑尺寸小于的概率為．（1）求的值．（2）已知這60個零件內(nèi)徑尺寸的平均數(shù)為，標(biāo)準(zhǔn)差為，且，在某次抽檢中，若抽取的零件中至少有的零件內(nèi)徑尺寸在內(nèi)，則稱本次抽檢的零件合格．試問這次抽檢的零件是否合格？說明你的理由．18．（12分）如圖，幾何體為三棱臺．（1）證明：平面．（2）已知平面平面，求三棱臺的體積．參考公式：臺體的體積，其中分別為臺體的上底面面積、下底面面積，為臺體的高．19．（12分）分別為內(nèi)角的對邊，已知．（1）求；（2）若在線段上，，且的面積，求的周長．20．（12分）已知函數(shù)，其中為正整數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)的極值點(diǎn)為，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）證明：．21．（12分）以坐標(biāo)原點(diǎn)為對稱中心，坐標(biāo)軸為對稱軸的橢圓過點(diǎn)．（1）求橢圓的方程．（2）設(shè)是橢圓上一點(diǎn)（異于），直線與軸分別交于兩點(diǎn)．證明在軸上存在兩點(diǎn)，使得是定值，并求此定值．（二）選考題：共10分．請考生從第22，23兩題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一個題目計分．22．[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標(biāo)系中，直線的方程為，直線的方程為．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為．（1）求點(diǎn)的直角坐標(biāo)與圓的直角坐標(biāo)方程（化為標(biāo)準(zhǔn)方程）；（2）若為曲線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，過點(diǎn)作直線的垂線，垂足為，求矩形周長的最大值．23．[選修4—5：不等式選講]（10分）已知．（1）若均為正數(shù)，證明：．（2）若均為實(shí)數(shù)，求的最小值．2024屆高三數(shù)學(xué)試題參考答案（文科）1．A  【解析】本題考查集合的并集，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．因?yàn)?/span>，所以．2．D  【解析】本題考查平面向量的垂直，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．由，可得，解得．3．A  【解析】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．設(shè)函數(shù)，則，所以，解得．4．A  【解析】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．作出可行域（圖略），當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時，取得最小值，且最小值為．5．B  【解析】本題考查正切的和差公式與同角的三角函數(shù)的關(guān)系，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．因?yàn)?/span>，所以．6．B  【解析】本題考查充分必要條件的判斷，考查邏輯推理的核心素養(yǎng)．設(shè)甲、乙、丙的年齡分別為，根據(jù)已知條件得．若丙的年齡大于乙的年齡，則，則，因?yàn)?/span>，所以未必成立．若乙和丙的年齡之和大于甲的年齡的兩倍，則，則，即，所以丙的年齡大于乙的年齡．故“丙的年齡大于乙的年齡”是“乙和丙的年齡之和大于甲的年齡的兩倍”的必要不充分條件．7．C  【解析】本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，考查邏輯推理與直觀想象的核心素養(yǎng)．因?yàn)?/span>是定義在上的奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，要確保的零點(diǎn)唯一，數(shù)形結(jié)合可得．8．B  【解析】本題考查指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．．9．C  【解析】本題考查平面向量的基本定理與數(shù)量積，考查直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．（方法一）由題意可知，與相似，所以，所以，所以．（方法二）．10．C  【解析】本題考查三角函數(shù)圖象的識別，考查邏輯推理與直觀想象的核心素養(yǎng)．，故選C．11．D  【解析】本題考查數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)與應(yīng)用意識．設(shè)該公司在2022年，2023年，…，2031年的銷售額（單位：萬元）分別為．依題意可得，則，所以數(shù)列是首項(xiàng)為90，公比為1.2的等比數(shù)列，則，即，則，故從2022年到2031年該產(chǎn)品的銷售總額約為2435.5萬元．12．A  【解析】本題考查基本初等函數(shù)與比較大小，考查直觀想象與邏輯推理的核心素養(yǎng)．由，得，作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示，由圖可知．13．若都小于1，則  【解析】本題考查命題的逆否命題，考查邏輯推理的核心素養(yǎng)．原命題的逆否命題要將原命題的條件和結(jié)論都否定后再將所得條件與結(jié)論對換，“不都小于1”的否定為“都小于．14．  【解析】本題考查等差數(shù)列，考查邏輯推理的核心素養(yǎng)．依題意可得，且，所以．15．（本題答案不唯一，只要的值滿足即可）  【解析】本題考查三角函數(shù)圖象的變換與對稱性，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．依題意可得，令，得．16．  【解析】本題考查導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)．過點(diǎn)作，垂足為．設(shè)，則，因?yàn)?/span>，所以，則．由，得．在中，．記的面積為，則．設(shè)函數(shù)，則，令，得或．當(dāng)時，；當(dāng)時，．故當(dāng)時，取得最大值，則取得最大值，此時．17．解：（1）依題意可得解得（2）將每個數(shù)據(jù)都減去28.50后所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，所以，所以，所以這60個零件內(nèi)徑尺寸在內(nèi)的個數(shù)為．因?yàn)?/span>，所以這次抽檢的零件不合格．18．（1）證明：根據(jù)三棱臺的幾何性質(zhì)可知，，因?yàn)?/span>平面平面，所以平面．（2）解：根據(jù)三棱臺的幾何性質(zhì)可知，．過作的垂線，垂足為．因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，所以平面．所以平面．因?yàn)?/span>，所以，，則三棱臺的高為．因?yàn)?/span>，所以的面積為．又，所以的面積為．故三棱臺的體積．19．解：（1）由正弦定理及，得．因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，即，因?yàn)?/span>，所以．又，所以．（2），因?yàn)?/span>，所以．又，所以．由余弦定理得，則所以．所以的周長為．20．（1）解：，當(dāng)時，；當(dāng)時，．所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）解：由（1）知，當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，．故（3）證明：要證，只需證，即證．設(shè)函數(shù)，則的導(dǎo)函數(shù)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時，，所以在上存在唯一零點(diǎn)．因?yàn)?/span>，所以．所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以．又，所以，所以．設(shè)函數(shù)，則在上單調(diào)遞減，所以，因?yàn)?/span>為正整數(shù)，所以，所以，所以．21．（1）解：設(shè)橢圓方程為，則解得所以橢圓的方程為．注：若直接設(shè)得到，扣1分．（2）證明：設(shè)，直線，令，得．直線．令，得．．令，令，得，則．故存在和，使得是定值，且定值為．22．解：（1）設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，則，所以點(diǎn)的直角坐標(biāo)為．由，得，所以圓的直角坐標(biāo)方程為．（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為．矩形PACB的周長為，當(dāng)時，矩形的周長取得最大值，且最大值為．23．（1）證明：，因?yàn)?/span>均為正數(shù)，所以由柯西不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故．（2）解：因?yàn)?/span>，所以，所以．設(shè)函數(shù)，則當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．

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