湖南省部分校教育聯(lián)盟2022-2023學年高三上學期數(shù)學入學摸底測試試卷一、單選題（共8小題，每小題5分，共40分）1．已知集合，則（　?。?/span>A． B．C． D．2．若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的虛部是（　?。?/span>A． B． C．-1 D．13．從，，，，中任取2個不同的數(shù)分別記作，，則的概率是（　　）A． B． C． D．4．明朝的一個葡萄紋橢圓盤如圖（1）所示，清朝的一個青花山水樓閣紋飾橢圓盤如圖（2）所示，北宋的一個汝窯橢圓盤如圖（3）所示，這三個橢圓盤的外輪廊均為橢圓.已知圖（1）?（2）?（3）中橢圓的長軸長與短軸長的比值分別，設(shè)圖（1）?（2）?（3）中橢圓的離心率分別為，則（　　）A． B． C． D．5．已知的展開式中各項系數(shù)的和為-3，則該展開式中的系數(shù)為（　　）A．0 B．-120 C．120 D．-1606．兩條異面直線所成的角為，在直線上分別取點和點，使，且.已知則線段的長為（　　）A．8 B． C． D．7．已知，則的大小關(guān)系為（　　）A． B． C． D．8．已知是方程的兩根，有以下四個命題：甲：；乙：；丙：；?。?/span>.如果其中只有一個假命題，則該命題是（　　）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁二、多選題（共4小題，每小題5分，共20分）9．下列命題正確的是（　　）A．若甲?乙兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)分別為0.66和-0.85，則乙組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)性更強B．已知樣本數(shù)據(jù)的方差為4，則的標準差是4C．在檢驗與是否有關(guān)的過程中，根據(jù)所得數(shù)據(jù)算得，已知，則有的把握認為和有關(guān)D．對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，有一組觀測數(shù)據(jù)，其線性回歸方程是，且，則實數(shù)的值是10．若函數(shù)在區(qū)間上的最大值為6，則下列結(jié)論正確的是（　　）A．B．是函數(shù)的一個周期C．當時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是D．將函數(shù)的圖像向左移動個單位得到函數(shù)的圖像，則函數(shù)是一個偶函數(shù)11．樹人中學的“希望工程”中，甲?乙兩個募捐小組暑假期間走上街頭分別進行了為期兩周的募捐活動.兩個小組第1天都募得1000元，之后甲小組繼續(xù)按第1天的方法進行募捐，則從第2天起，甲小組每一天得到的捐款都比前一天少50元；乙小組采取了積極措施，從第1天募得的1000元中拿出了600元印刷宣傳材料，則從第2天起，第天募得的捐款數(shù)為元.若甲小組前天募得捐款數(shù)累計為元，乙小組前天募得捐款數(shù)累計為元（需扣除印刷宣傳材料的費用），則（　　）A．B．甲小組募得捐款為9550元C．從第7天起，總有D．且12．在直角坐標系中，拋物線與直線交于兩點，且.拋物線的準線與軸交于點是以為圓心，為半徑的圓上的一點（非原點），過點作拋物線的兩條切線，切點分別為.則（　?。?/span>A． B．直線的方程為C． D．面積的最大值是三、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13．函數(shù)的極大值點是　     　.14．已知拋物線的焦點在軸上，直線與拋物線交于點，且.寫出拋物線的一個標準方程　                                                    　.15．定義在上的奇函數(shù)，當時，，則曲線上的點到直線y=-x+1的最小距離為　     　.16．三棱錐中，，底面是邊長為2的正三角形，分別是的中點，且，若為三棱錐外接球上的動點，則點到平面距離的最大值為　     　.四、解答題（共6題，共70分）17．已知銳角中，角所對的邊分別為.（1）求；（2）若，求的取值范圍.18．如圖，在三棱柱中，平面平面，四邊形是菱形，是的中點.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.19．2022年2月20日，北京冬奧會在鳥巢落下帷幕，中國隊創(chuàng)歷史最佳戰(zhàn)績.北京冬奧會的成功舉辦推動了我國冰雪運動的普及，讓越來越多的青少年愛上了冰雪運動.這場冰雪盛會是運動健兒奮力拼搏的舞臺，也是中外文明交流互鑒的舞臺，詮釋著新時代中國的從容姿態(tài)，傳遞出中華兒女與世界人民“一起向未來”的共同心聲.某學校統(tǒng)計了全校學生觀看北京冬奧會開幕式和閉幕式的時長情況（單位：分鐘），并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)繪制得到右下圖所示的頻率分布直方圖.（1）求頻率分布直方圖中的值，并估計樣本數(shù)據(jù)的90%分位數(shù)；（2）采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣方式，從觀看時長在的學生中抽取9人.若從這9人中隨機抽取3人在全校交流觀看體會，設(shè)抽取的3人中觀看時長在的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望.20．已知數(shù)列滿足，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求證：.21．設(shè)是雙曲線的左?右兩個焦點，為坐標原點，若點在雙曲線的右支上，且的面積為3.（1）求雙曲線的漸近線方程；（2）若雙曲線的兩頂點分別為，過點的直線與雙曲線交于，兩點，試探究直線與直線的交點是否在某條定直線上？若在，請求出該定直線方程；若不在，請說明理由.22．已知函數(shù)，其中.（1）若直線是曲線的切線，求負數(shù)的值；（2）設(shè).（i）討論函數(shù)的單調(diào)性；（ii）若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在零點，證明：當時，.
答案解析部分1．【答案】D【知識點】交集及其運算【解析】【解答】由得，所以，又，所以，故答案為：D.
【分析】 先解一元二次不等式，對數(shù)不等式求出A、B，再利用交集運算求解出答案.2．【答案】C【知識點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算【解析】【解答】由可得：復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)的虛部是-1，故答案為：C.
【分析】 把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案.3．【答案】D【知識點】列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率【解析】【解答】解：從0，2，4，6，8中任取2個不同的數(shù)，，共有個基本事件， 取出的2個數(shù)之差的絕對值等于有，，，共4個基本事件，所以所求概率為.故答案為：D
【分析】首先求出基本事件總數(shù)，再用列舉法列出取出的2個數(shù)之差的絕對值等于2的事件數(shù)，最后利用對立事件和古典概型的概率公式計算可得答案.4．【答案】B【知識點】橢圓的簡單性質(zhì)【解析】【解答】因為橢圓的離心率，所以橢圓的長軸長與短軸長的比值越大，離心率越大.由，所以.故答案為：B.
【分析】根據(jù)離心率的定義可知，長軸長與短軸長的比值越大，離心率越大，根據(jù)三者的長軸長與短軸長的比值求出答案.5．【答案】A【知識點】二項式定理；二項式系數(shù)的性質(zhì)【解析】【解答】因為的展開式中各項系數(shù)的和為-3，所以令，得，解得，∵的展開式為則展開式中含的項為，故的系數(shù)為0.故答案為：A．
【分析】 由題意，先求出a=2，再利用二項式展開式的通項公式，求出展開式中x的系數(shù).6．【答案】B【知識點】向量的模【解析】【解答】由題意知：，所以，又異面直線所成的角為，則所以，則或（舍去）故答案為：B.
【分析】根據(jù)向量的線性運算可得，兩邊同時平方，利用向最的數(shù)量積運算，結(jié)合題意化簡得到，進而求出答案.7．【答案】A【知識點】函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性【解析】【解答】由題意，可得，所以令，則，令，則，所以在上單調(diào)遞減，，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞減，因為，所以，即，所以，所以，即.故答案為：A.
【分析】化簡變形，由題意可得，構(gòu)造，得到則，再令求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性，即可求解出答案.8．【答案】B【知識點】一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系；兩角和與差的余弦公式；兩角和與差的正弦公式；兩角和與差的正切公式【解析】【解答】因為是方程的兩根，所以，則甲：；丙：.若乙?丁都是真命題，則，所以，，兩個假命題，與題意不符，所以乙?丁一真一假，假設(shè)丁是假命題，由丙和甲得，所以，即，所以，與乙不符，假設(shè)不成立；假設(shè)乙是假命題，由丙和甲得，又，所以，即與丙相符，假設(shè)成立；故假命題是乙，故答案為：．
【分析】根據(jù)韋達定理可得，對乙、丁運算分析可知乙、丁一真一假，分別假設(shè)乙、丁是假命題，逐項進行判斷，可得答案.9．【答案】A,B【知識點】極差、方差與標準差；線性相關(guān)；線性回歸方程；獨立性檢驗的基本思想【解析】【解答】兩個隨機變量的線性相關(guān)性越強，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，故正確；中樣本數(shù)據(jù)的方差為4，則的方差為，標準差為4，B符合題意；C中由6.352，沒有的把握判斷認為和有關(guān)，C不正確；D中，由得，D不正確；故答案為：AB.
【分析】根據(jù)兩個隨機變量的線性相關(guān)性，即可判斷A；根據(jù)方差與標準差，即可判斷B；根據(jù)獨立性檢驗，即可判斷C；根據(jù)線性回歸方程，即可判斷D.10．【答案】B,D【知識點】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的性質(zhì)；函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換【解析】【解答】，當時，則，所以當時，的最大值為6，即，所以，A不正確；∵的最小正周期，則是函數(shù)的一個周期，B符合題意；當時，，所以不等式恒成立，則，解得，選項不正確；函數(shù)的圖像向左移動個單位得到函數(shù)，函數(shù)是一個偶函數(shù)，選項正確.故答案為：BD．
【分析】將函數(shù)恒等變形化簡，由在上的最大值為6，可得m的值，進而求出函數(shù)的解析式，進而逐一判斷，可得答案.11．【答案】A,C【知識點】等差數(shù)列的通項公式；等差數(shù)列的前n項和【解析】【解答】由題可知且， 設(shè)代表第天甲小組募得捐款，且，對于甲小組，，所以，所以，所以且，所以，B不正確；設(shè)代表第天乙小組募得捐款，由題可知，，所以，，D不符合題意；因為，故該A符合題意；C，令，所以，而當時，，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，因此，所以，C符合題意.故答案為：AC
【分析】利用等差數(shù)列求和公式求出甲小組兩周的募捐的錢數(shù)，判斷B；利用等比數(shù)列求和公式及分組求和，得到乙小組兩周募捐的錢數(shù)，判斷D；計算S6， T6，比較大小，判斷A；令，，判斷C.12．【答案】B,C,D【知識點】直線與圓錐曲線的綜合問題【解析】【解答】依題意可設(shè)，則，因為，所以，故.又，所以，故拋物線的方程為，所以選項不正確，；不妨設(shè)在第一象限，在第四象限，由可得，，所以直線的斜率為，則直線的方程為，化簡為；同理求得的方程為，因為點在直線，上，所以 ，由此可知，的坐標都滿足，由于兩點確定一條直線，故可得直線AB的方程為，所以B選項正確；由A的分析可知拋物線的準線方程為，故，所以以為圓心，為半徑的圓的方程為 ，由于為圓上動點（非原點），故，C符合題意；聯(lián)立方程組，整理得， ，則，故，點到直線的距離，故的面積，由題可知，，則圓的方程為，故，因為，所以，所以，故面積的最大值為為，D符合題意；故答案為：BCD
【分析】利用向量的數(shù)量積等于0可求得p=2，判斷A；確定拋物線方程，利用導(dǎo)數(shù)表示出拋物線切線方程，結(jié)合兩點確定一條直線可得AB方程，判斷B；求出以M為圓心，|OM |為半徑的圓的方程，即可知，判斷C；求出弦長AB，求出點到直線AB的距離，即可表示出△ABG面積，從而求得其最大值，判斷D.13．【答案】【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值【解析】【解答】由題意，函數(shù)，可得，令，即，解得，當時，，故在上為單調(diào)遞增函數(shù)，當時，，故在上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以函數(shù)的極大值點是.故答案為：.
【分析】求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的符號求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值點的概念，即可求解出的極大值點.14．【答案】或或或（寫出一個即可）【知識點】拋物線的定義【解析】【解答】設(shè)所求焦點在軸上的拋物線的方程為，， 由拋物線定義得.又∵或，故所求拋物線方程為或.故答案為：或或或．（寫出一個即可）
【分析】由已知可設(shè)拋物線的標準方程為，進而求出A點的坐標，結(jié)合拋物線的性質(zhì)，求出滿足條件的p值，可得答案.15．【答案】【知識點】平面內(nèi)點到直線的距離公式【解析】【解答】由對稱性可知，只需要比較與時的距離.設(shè)，因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以，則設(shè)點，則，解得：此時點到直線y=-x+1的距離，設(shè)，則原點到直線y=-x+1的距離，因為，所以曲線上的點到直線y=-x+1的最小距離為.故答案為：．
【分析】先根據(jù)奇函數(shù)定義求時 的解析式，此時斜率為1的點到直線的距離最小，再與原點到直線的距離相比較，求出曲線上的點到直線y=-x+1的最小距離.16．【答案】【知識點】棱柱、棱錐、棱臺的體積【解析】【解答】為邊長為2的等邊三角形，為正三棱錐，，又分別為中點，，，又平面平面，為正方體一部分，故，即，∵為三棱錐外接球上的動點，∴當位于正方體的如圖所示的頂點處，點到平面距離最大，設(shè)為，∴可求得三棱錐的體積為：，∴，解得：故答案為：
【分析】先證得平面，再求得，從而得 為正方體一部分，進而知正方體的體對角線即為球直徑，從而求解出點到平面距離的最大值 .17．【答案】（1）解：由及正弦定理得所以，又，因為，所以，所以.因為，所以（2）解：由正弦定理得，所以.因為是銳角三角形，所以，解得.因為在上單調(diào)遞增，所以.從而，所以，即的取值范圍是.【知識點】正弦定理【解析】【分析】(1)由題意，利用正弦定理、兩角和的正弦公式，求得cosB的值，可得B的值；
(2)由題意，利用正弦定理，先求出a的表達式以及角C的范圍，再利用正切函數(shù)的值域，求得 的取值范圍.18．【答案】（1）證明：連接，因為四邊形是菱形，則，因為，故為等邊三角形，所以.因為平面平面，平面平面平面，所以平面，平面，所以.因為，所以.又，所以平面.（2）解：連接，因為是的中點，所以.又因為平面平面，平面平面平面，所以平面.設(shè)，因為，以點為坐標原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，.設(shè)平面的法向量是，則，取，可得.設(shè)直線與平面所成角為所以，∴直線與平面所成角的正弦值是.【知識點】直線與平面垂直的判定；用空間向量研究直線與平面所成的角【解析】【分析】(1)根據(jù)題意利用面面垂直的性質(zhì)定理可證得 平面，再結(jié)合線面垂直的判定定理證明出 平面；
(2) 以點為坐標原點，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標系， 先求出平面的法向量，再根據(jù) ， 計算可求出直線與平面所成角的正弦值.19．【答案】（1）解：由題意，，解得.由頻率分布直方圖知，觀看時長在200分鐘以下占比為.觀看時長在240分鐘以下占比為.所以90%分位數(shù)位于內(nèi)，分位數(shù)為.（2）解：由題意，觀看時長[200，240）?[240，280]對應(yīng)的頻率分別為0.16和0.08，所以采用分層隨機抽樣的方式在兩個區(qū)間中應(yīng)分別抽取6人和3人.于是抽取的3人中觀看時長在中的人數(shù)X的所有可能取值為.所以，的分布列為0123P所以，.【知識點】頻率分布直方圖；離散型隨機變量及其分布列；離散型隨機變量的期望與方差【解析】【分析】 (1)先由頻率和為1解得a，按百分位數(shù)的定義求出樣本數(shù)據(jù)的90%分位數(shù)；
(2)利用分層隨機抽樣求出在兩個區(qū)間中應(yīng)分別抽取6人和3人，得到X的所有可能取值為0，1， 2， 3，分別求出對應(yīng)的概率，寫出分布列，求出 的分布列和數(shù)學期望.20．【答案】（1）解：由得，兩式相除得，所以都是公比為2的等比數(shù)列，由及得，所以為奇數(shù)時，，為偶數(shù)時，，所以（2）證明：，則，兩式相減得，所以，因為，所以單調(diào)遞增所以成立，所以.【知識點】數(shù)列的求和；數(shù)列的遞推公式【解析】【分析】(1)由 ，且 可得 ， ， 相除可得 ，可得數(shù)列 的奇數(shù)項與偶數(shù)項都成等比數(shù)列，通過分類討論，利用等比數(shù)列的通項公式即可得出數(shù)列的通項公式；
(2) ，利用錯位相減法即可得出Sn，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性即可證出結(jié)論 .21．【答案】（1）解：由得，且所以即解得又，故雙曲線的漸近線方程為（2）解：由（1）可知雙曲線的方程為.（i）當直線的斜率不存在時，，直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得，（ii）當直線的斜率存在時，易得直線l不和漸近線平行，且斜率不為0，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得：，兩邊平方得，又滿足，.，，或，（舍去.綜上，在定直線上，且定直線方程為.【知識點】雙曲線的定義；雙曲線的簡單性質(zhì)；直線與圓錐曲線的綜合問題【解析】【分析】(1)由 ，得P在以F1F2為直徑的圓上，則 ，由△PF1F2的面積，勾股定理及雙曲線的定義列式求得a，再由隱含條件求解b，則求出雙曲線的漸近線方程；
(2) （i）當直線的斜率不存在時，，求出直線與直線的方程，聯(lián)立直線與直線的方程求出點Q的坐標，（ii）當直線的斜率存在時，易得直線l不和漸近線平行，且斜率不為0，設(shè)直線的方程為 由(1)求得雙曲線方程為 ， 聯(lián)立直線方程與雙曲線方程，聯(lián)立兩直線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得Q點的橫坐標為定值，即可得到直線與直線的交點在定直線上 .22．【答案】（1）解：因為，所以由直線是曲線的切線可知，即又，所以，則切點坐標為，所以故.（2）解：（i）.①若即的解為，所以當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增；②若即的解為或，所以當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減③若即恒成立，所以在上單調(diào)遞增；④若即的解為或，所以當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減.綜上所述：若，當時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增；若，當時，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減；若在上單調(diào)遞增；若，當時，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減.（ii）證明：∵在區(qū)間上存在零點，設(shè)零點為，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增故設(shè)，則，設(shè)，則在內(nèi)單調(diào)遞減，又，故在上恒成立，故在內(nèi)單調(diào)遞減，所以，故當時，.【知識點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程【解析】【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義運算求解，可得負數(shù)的值；
(2) (i)根據(jù)題意整理可得 ，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系分類討論可得函數(shù)的單調(diào)性；
（ii）結(jié)合(i)分析可知 ，，構(gòu)建新函數(shù) ， 利用導(dǎo)數(shù)求F(x)min，即可得證.

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