雙流中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第一學(xué)月考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分）1. 復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】化簡復(fù)數(shù)即可判斷.【詳解】因?yàn)閷?duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，所以故選：C.2. 某小區(qū)有500人自愿接種新冠疫苗，其中49~59歲的有140人，18~20歲的有40人，其余為符合接種條件的其他年齡段的居民．在一項(xiàng)接種疫苗的追蹤調(diào)查中，要用分層抽樣的方法從該小區(qū)18~20歲的接種疫苗的人群中抽取4人，則樣本容量為（    ）A. 14 B. 18 C. 32 D. 50【答案】D【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的概念求解.【詳解】設(shè)樣本容量為，由題意得，解得.故選：D.3. 已知，、，則向量與的夾角是（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】設(shè)向量與的夾角為，計(jì)算出向量與的坐標(biāo)，然后由計(jì)算出的值，可得出的值.【詳解】設(shè)向量與的夾角為，，，則，所以，，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查利用向量的坐標(biāo)計(jì)算向量的夾角，考查計(jì)算能力，屬于中等題.4. 兩平行直線與之間的距離為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】利用兩平行線間距離公式即得.【詳解】由，可得，所以兩平行直線的距離為.故選：B.5. 已知，為兩個(gè)不同平面，，為兩條不同直線，則下列說法不正確的是（    ）A. 若，，則 B. 若，，則C. 若，，則 D. 若，，且，則【答案】B【解析】【分析】利用線線，線面以及面面的位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷，即可得解.【詳解】對(duì)于A，，，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知，垂直于同一平面的兩直線平行，選項(xiàng)A正確；對(duì)于B， ，，根據(jù)線面垂直的定義以及線面平行的判定定理可知或，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C， ，，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理以及面面平行的判定定理可得，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，由和可知或，又，則由線面平行的性質(zhì)定理和線面垂直的性質(zhì)定理可知，，故選項(xiàng)D正確.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的性質(zhì)定理，線面平行的性質(zhì)定理，面面平行的性質(zhì)定理，屬于基礎(chǔ)題.6. 平面過棱長為1的正方體的面對(duì)角線，且平面，平面，點(diǎn)在直線上，則的長度為A.  B.  C.  D. 1【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)題意得到平面和平面，從而得到，，即平面.再以為側(cè)棱補(bǔ)作一個(gè)正方體，使得平面與平面共面.因?yàn)?/span>，所以平面，即平面就是平面，再計(jì)算即可.【詳解】在正方體中，平面.平面.又因?yàn)?/span>，所以平面.如圖，以為側(cè)棱補(bǔ)作一個(gè)正方體，使得平面與平面共面.因?yàn)?/span>，所以平面.連接，交于，為的中點(diǎn).所以平面為平面，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要以正方體為載體，考查了線面垂直和線線平行的判定，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于難題.7. 已知圓截軸所得的弦長為，過點(diǎn)且斜率為的直線與圓交于兩點(diǎn)，若，則的值為A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】分析】由軸和直線被圓截得的弦長相等，所以圓心到軸和到直線的距離相等，然后結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【詳解】解：因?yàn)?/span>軸和直線被圓截得的弦長相等，所以圓心到軸和到直線的距離相等，又直線，即，所以圓心到直線的距離，解得，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查考生對(duì)基礎(chǔ)知的掌握情況，考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象．8. 直三棱柱如圖所示，為棱的中點(diǎn)，三棱柱的各頂點(diǎn)在同一球面上，且球的表面積為，則異面直線和所成的角的余弦值為（    ）  A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)已知條件求出側(cè)棱長，然后建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線和的方向向量，從而可求解.【詳解】因?yàn)樵谥比庵?/span>中，所以球心到底面的距離，又因?yàn)?/span>，所以，所以，所以底面外接圓半徑，又因?yàn)榍虻谋砻娣e為，所以，而，所以，  以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)直線和所成的角為，則.故選：A.二、多選題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分）9. 為落實(shí)黨中央的“三農(nóng)”政策，某市組織該市所有鄉(xiāng)鎮(zhèn)干部進(jìn)行了一期“三農(nóng)”政策專題培訓(xùn)，并在培訓(xùn)結(jié)束時(shí)進(jìn)行了結(jié)業(yè)考試．如圖是該次考試成績隨機(jī)抽樣樣本的頻率分布直方圖．則下列關(guān)于這次考試成績的估計(jì)正確的是（    ）A. 眾數(shù)為82.5 B. 80百分位數(shù)為91.7C. 平均數(shù)為88 D. 沒有一半以上干部的成績在80～90分之間【答案】AB【解析】【分析】A根據(jù)直方圖判斷眾數(shù)的位置即可；B利用百分位數(shù)的運(yùn)算方法求出80百分位數(shù)即可；C利用直方圖求出平均數(shù)即可；D求出80~90分之間的頻率，與比較大小即可【詳解】由圖知：眾數(shù)出現(xiàn)在之間，故眾數(shù)為，故A正確；由圖可得該次考試成績在分以下所占比例為，在分以下所占比例為，因此，第百分位數(shù)一定位于內(nèi)，所以第百分位數(shù)為，故B正確；由，C錯(cuò)誤；由，有一半以上干部的成績在80~90分之間，D錯(cuò)誤.故選：AB10. 下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（    ）A. 過點(diǎn)，的直線的傾斜角為B. 若直線與直線垂直，則C. 直線與直線之間的距離是D. 已知，，點(diǎn)P在x軸上，則的最小值是6【答案】ACD【解析】【分析】求出斜率判斷A；利用兩直線垂直關(guān)系求出a判斷B；求出平行線間距離判斷C；利用對(duì)稱思想求出最小值判斷D作答.【詳解】對(duì)于A，直線的斜率，其傾斜角小于，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由直線與直線垂直，得，解得，B正確；對(duì)于C，直線化為，因此兩平行直線的距離，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，連接交x軸于點(diǎn)，點(diǎn)是x軸上任意一點(diǎn)，  連接，于是，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)取等號(hào)，因此，D錯(cuò)誤.故選：ACD11. 已知圓上有且僅有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，則直線的方程可以是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式，結(jié)合圓的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閳A的半徑為，圓心為，圓上有且僅有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，所以圓心到直線的距離為1.A：圓心到直線的距離為，不符合題意；B：圓心到直線的距離為，符合題意；C：圓心到直線的距離為，符合題意；D：圓心到直線的距離為，符合題意，故選：BCD12. 如圖，在長方體中，，點(diǎn)是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，給出下列命題，其中真命題的是（    ）A. 不存在點(diǎn)，使得B. 三棱錐的體積恒為定值C. 存在唯一的點(diǎn)，過三點(diǎn)作長方體的截面，使得截面的周長有最小值D. 為棱上一點(diǎn)，若點(diǎn)滿足，且平面，則為中點(diǎn)【答案】BCD【解析】【分析】選項(xiàng)A. 先證明存在點(diǎn)使得平面，從而可判斷；選項(xiàng)B. 由為定值，根據(jù)可判斷；選項(xiàng)C. 先作出截面，然后將側(cè)面展開，使得面與面在同一平面內(nèi)，從而可判斷；選項(xiàng)D. 在梯形中，兩腰延長必相交，設(shè)交點(diǎn)為,連接，從而可得，從而可判斷.【詳解】選項(xiàng)A. 在底面矩形中，連接交于點(diǎn) ,由，則所以, 所以,為等邊三角形取的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，則 又在長方體中，平面，且平面，則又,所以平面,又平面所以，所以存在點(diǎn)，使得，故選項(xiàng)A不正確.選項(xiàng)B. 在長方體中，平面,所以所以三棱錐的體積恒為定值，故選項(xiàng)B正確.選項(xiàng)C. 在 上取點(diǎn)，使得，連接 則四邊形為平行四邊形,所以過三點(diǎn)作長方體的截面為面將側(cè)面展開，使得面與面在同一平面內(nèi)，連接,交于點(diǎn)，此時(shí)最小，即截面的周長最小所以存在唯一的點(diǎn)，使得截面的周長有最小值，故選項(xiàng)C 正確.選項(xiàng)D. 在梯形中，兩腰延長必相交，設(shè)交點(diǎn)為,連接 由, ,即,所以,即，則平面,面平面 由平面，則又，所以為平行四邊形,則，則 所以為的中點(diǎn). 故選項(xiàng)D正確.故選：BCD第2卷非選擇題（90分）三、填空題（本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分）13. 用一平面去截球所得截面的面積為cm2，已知球心到該截面的距離為1 cm，則該球的體 積是_______cm3．【答案】【解析】【分析】由截面的面積為cm2，可得截面的半徑，進(jìn)而可得球半徑，再由球的體積公式計(jì)算即可.【詳解】解：設(shè)截面圓半徑為，則，，球半徑為，則，所以，所以（）.故答案為：14. 甲、乙兩人約定進(jìn)行乒乓球比賽，采取三局兩勝制（在三局比賽中，優(yōu)先取得兩局勝利的一方獲勝，無平局），乙每局比賽獲勝的概率都為，則最后甲獲勝的概率是______________．【答案】【解析】【分析】判斷甲獲勝的情況為前兩局勝或第一局勝第二局輸?shù)谌謩倩虻谝痪州數(shù)诙謩俚谌謩?，根?jù)互斥事件的概率加法公式即可求得答案.【詳解】因?yàn)槠古仪虮荣惖囊?guī)則是三局兩勝制（無平局），由題意知甲每局比賽獲勝的概率都為，因此甲獲勝的情況為前兩局勝或第一局勝第二局輸?shù)谌謩倩虻谝痪州數(shù)诙謩俚谌謩伲?/span>所以最后甲獲勝的概率,故答案為：15. 在y軸上有一點(diǎn)，使得以，和P為頂點(diǎn)的三角形面積為6，則b的值為___________.【答案】或7##7或【解析】【分析】首先求出點(diǎn)到直線的距離，然后根據(jù)兩點(diǎn)間的距離求出，從而可表示出三角形的面積，根據(jù)三角形的面積為即可求出的值.【詳解】易知，所以直線方程為，即，點(diǎn)到直線的距離，又，所以，解得或.故答案為：或7.16. 已知，，過x軸上一點(diǎn)P分別作兩圓的切線，切點(diǎn)分別是M，N，當(dāng)取到最小值時(shí)，點(diǎn)P坐標(biāo)為______.【答案】【解析】【分析】，則，可看成點(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離和，而兩點(diǎn)在軸的兩側(cè)，所以連線與軸的交點(diǎn)就是所求點(diǎn).【詳解】的圓心為，半徑，的圓心為，半徑，設(shè)，則，所以，取，則，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)，此時(shí)直線：令，則，，故答案為：  【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查距離公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到兩定點(diǎn)，的距離和的最小值，結(jié)合圖形求解，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.三、解答題（本大題共6個(gè)大題，共70分）17. 已知復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是．（1）當(dāng)為何值時(shí)，的模取得最大值，并求此最大值；（2）若，設(shè)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是，若復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P在直線，求的值．【答案】（1），最大值為    （2）或【解析】【分析】（1）由復(fù)數(shù)模的定義可得：，利用三角函數(shù)求最值；（2）表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入，求出或.【小問1詳解】由復(fù)數(shù)模的定義可得：，顯然當(dāng)時(shí)最大，即，故最大值為.【小問2詳解】由（1）知點(diǎn)P的坐標(biāo)是，代入，得，即，又因?yàn)?/span>，所以或.18. 某中學(xué)為研究本校高三學(xué)生在市聯(lián)考中的語文成績，隨機(jī)抽取了100位同學(xué)的語文成績作為樣本，得到以分組的樣本頻率分布直方圖如圖．（1）求直方圖中的值；（2）請估計(jì)本次聯(lián)考該校語文成績的眾數(shù)、中位數(shù)；（3）樣本內(nèi)語文分?jǐn)?shù)在的兩組學(xué)生中，用分層抽樣的方法抽取5名學(xué)生，再從這5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，求選出的兩名學(xué)生中恰有一人成績在中的概率．【答案】（1）    （2）105；105.7    （3）【解析】【分析】（1）利用頻率之和為1可求；（2）眾數(shù)取出現(xiàn)分?jǐn)?shù)頻率最多的分?jǐn)?shù)段，取橫坐標(biāo)中間值即可，當(dāng)頻率值和累計(jì)到時(shí)的橫坐標(biāo)值可求中位數(shù)；（3）結(jié)合古典概型概率公式即可求解.【小問1詳解】由頻率分布直方圖可知，解得【小問2詳解】由圖可知，語文成績的眾數(shù)為；語文成績在的頻率為，在的頻率為，在的頻率為，，故語文成績的中位數(shù)落在，設(shè)為，則滿足，解得，故語文成績的中位數(shù)為；【小問3詳解】由圖可知，按分層抽樣法，5名學(xué)生中分?jǐn)?shù)在的學(xué)生應(yīng)抽4名，設(shè)為，在的學(xué)生應(yīng)抽1名，設(shè)為，則所有抽取情況有共10種，符合題意的有共4種，則這5名學(xué)生中隨機(jī)選出2人，恰有一人成績在中的概率為.19. 如圖直線過點(diǎn)，且與直線和分別相交于，兩點(diǎn).（1）求過與交點(diǎn)，且與直線垂直的直線方程；（2）若線段恰被點(diǎn)平分，求直線的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】本題考查直線方程的基本求法：垂直直線的求法、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱、點(diǎn)在直線上的待定系數(shù)法．【詳解】（1）由題可得交點(diǎn)，所以所求直線方程為，即；（2）設(shè)直線與直線相交于點(diǎn)，因?yàn)榫€段恰被點(diǎn)平分，所以直線與直線的交點(diǎn)的坐標(biāo)為．將點(diǎn)，的坐標(biāo)分別代入，的方程，得方程組解得由點(diǎn)和點(diǎn)及兩點(diǎn)式，得直線的方程為，即．【點(diǎn)睛】直線的考法主要以點(diǎn)的對(duì)稱和直線的平行與垂直為主．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱，直線關(guān)于直線的對(duì)稱，是重點(diǎn)考察內(nèi)容．20. 已知圓.（1）若直線，證明:無論為何值，直線都與圓相交；（2）若過點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，求的面積的最大值，并求此時(shí)直線的方程.【答案】（1）見詳解；    （2）的面積的最大值為，此時(shí)直線方程為或.【解析】【分析】（1）只要證明直線過圓內(nèi)一點(diǎn)即可；（2）根據(jù)題意，故設(shè)直線方程，可得圓心到直線的距離，又，代入，利用函數(shù)求最值即可得解.【小問1詳解】轉(zhuǎn)化的方程可得：，由，解得，所以直線恒過點(diǎn)，由，故點(diǎn)在圓內(nèi)，即直線恒過圓內(nèi)一點(diǎn)，所以無論為何值，直線都與圓相交；【小問2詳解】由的圓心為，半徑，易知此時(shí)直線斜率存在且不為，故設(shè)直線方程，一般方程為，圓心到直線的距離，所以 所以，令，可得，當(dāng)時(shí)，所以的面積的最大值為，此時(shí)由，解得，解得或，符合題意，此時(shí)直線方程或.21. 如圖，等腰梯形ABCD中，，，現(xiàn)以AC為折痕把折起，使點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)P的位置，且.（1）證明：平面平面ADC；（2）若M為PD上一點(diǎn)，且三棱錐的體積是三棱錐體積的2倍，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析    （2）【解析】【分析】（1）在梯形中，取的中點(diǎn)，證明四邊形為平行四邊形，再根據(jù)圓的性質(zhì)得出，利用面面垂直的判定定理證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由得出，利用向量法即可得出二面角的余弦值.【小問1詳解】在梯形ABCD中取AD中點(diǎn)N，連接CN，則由BC平行且等于AN知ABCN為平行四邊形，所以，由知C點(diǎn)在以AD為直徑的圓上，所以.又，，平面平面又平面平面平面.【小問2詳解】取AC中點(diǎn)O，連接PO，由，可知，再由面面ACD，AC為兩面交線，所以面ACD，以O為原點(diǎn)，OA為x軸，過O且與OA垂直的直線為y軸，OP為z軸建立直角坐標(biāo)系，令，則，，，，由，得，所以，設(shè)平面ACM的法向量為，則由得，取得，，所以，而平面PAC的法向量，所以.又因?yàn)槎娼?/span>為銳二面角，所以其余弦值為.22. 已知圓，直線過點(diǎn)且與圓相切 .（I）求直線的方程； （II）如圖，圓與軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是圓上異于的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)且與軸垂直的直線為，直線交直線于點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，求證：以為直徑的圓與軸交于定點(diǎn)，并求出點(diǎn)的坐標(biāo) .【答案】（1）.（2）證明見解析；定點(diǎn)或.【解析】【分析】（1）由已知中直線過點(diǎn)，我們可以設(shè)出直線的點(diǎn)斜式方程，化為一般式方程后，代入點(diǎn)到直線距離公式，根據(jù)直線與圓相切，圓心到直線的距離等于半徑，可以求出k的值，進(jìn)而得到直線的方程；（2）由已知我們易求出P,Q兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，我們可以得到點(diǎn)P與Q的坐標(biāo)，進(jìn)而得到以為直徑的圓的方程，根據(jù)圓的方程即可判斷結(jié)論.【詳解】(Ⅰ)由題意得，直線的斜率存在. 設(shè)直線的方程為.因?yàn)橹本€與圓相切，所以.所以.所以直線方程為.                          (Ⅱ)由題意得，點(diǎn)，點(diǎn).設(shè)點(diǎn)，則直線的方程為.所以直線與直線的交點(diǎn)為點(diǎn).直線的方程為.所以直線與直線的交點(diǎn)為點(diǎn). 設(shè)點(diǎn).則，.因?yàn)橐?/span>為直徑的圓與軸交于定點(diǎn),所以解得.所以定點(diǎn)或.

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