安徽省桐城中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期第二次月考數(shù)學(xué)（理）（考試總分：150 分 考試時(shí)長(zhǎng)：  120  分鐘）一、 單選題 （本題共計(jì)12小題，總分60分）1. 命題“，”的否定是（    ）A. ， B. ，C. ， D. ，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)全程量詞命題的否定直接判斷即可.【詳解】命題“，”為全稱量詞命題，其否定為存在量詞命題，故選：C.2. 已知，為實(shí)數(shù)，則“，”是“”的（    ）A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】分析命題“若，，則”與“若，則，”的真假即可得解.【詳解】因，為實(shí)數(shù)，且，，則由不等式性質(zhì)知，命題“若，，則”是真命題，當(dāng)成立時(shí)，“，”不一定成立，比如，，滿“”，而不滿足“，”，即命題“若，則，”是假命題，所以“，”是“”的充分不必要條件.故選：A3. 已知全集，則集合（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)集合并集和補(bǔ)集的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，因此，故選：C4. 若，則（    ）A.  B.  C. 1 D. 【答案】C【解析】【分析】由已知表示出，再由換底公式可求.【詳解】，，.故選：C.5. 函數(shù)的定義域都為，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，設(shè)，則下列結(jié)論中正確的是A. 的圖象關(guān)于對(duì)稱 B. 的圖象關(guān)于對(duì)稱C. 的圖象關(guān)于對(duì)稱 D. 的圖象關(guān)于對(duì)稱【答案】D【解析】【分析】由題意結(jié)合函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的平移特性即可確定后函數(shù)的性質(zhì)【詳解】首先考查函數(shù)，其定義域?yàn)?/span>，且，則函數(shù)為偶函數(shù)，其圖像關(guān)于軸對(duì)稱，將的圖像向左平移一個(gè)單位可得函數(shù)的圖像，據(jù)此可知的圖象關(guān)于對(duì)稱.故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性，函數(shù)圖像的平移變換等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.6. 已知分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且，則（    ）A. 8 B. -8 C. 16 D. -16【答案】C【解析】【分析】由已知，根據(jù)的奇偶性可得，進(jìn)而求.【詳解】由題意，，∴，即，∴.故選：C7. 函數(shù)的部分圖象大致是（    ）A.  B. C.  D. 【答案】C【解析】【分析】確定奇偶性排除兩個(gè)選項(xiàng)，再由函數(shù)值的正負(fù)排除一個(gè)后可得結(jié)論．【詳解】本題考查函數(shù)的圖象與性質(zhì).∵，是偶函數(shù)，∴排除A，B選項(xiàng)，又∵當(dāng)時(shí)，，∴排除D選項(xiàng).故選：C．8. 若函數(shù)y＝f(x)的定義域是[0，2020]，則函數(shù)的定義域是（    ）A. [－1，2019] B. [－1，1)∪(1，2019]C. [0，2020] D. [－1，1)∪(1，2020]【答案】B【解析】【分析】求的定義域轉(zhuǎn)化為求與分式定義域的交集．【詳解】使函數(shù)f(x＋1)有意義，則0≤x＋1≤2 020，解得－1≤x≤2019，故函數(shù)f(x＋1)定義域?yàn)?/span>[－1，2019]．所以函數(shù)g(x)有意義的條件是解得－1≤x<1或1<x≤2019.故函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?/span>[－1，1)∪(1，2 019] ．故選：B．【點(diǎn)睛】對(duì)于抽象函數(shù)定義域的求解，（1） 若已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，則復(fù)合函數(shù) 的定義域由不等式 .（2）若復(fù)合函數(shù) 的定義域?yàn)?/span>，則函數(shù)的定義域?yàn)?/span>在上的值域．9. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時(shí)，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由題設(shè)條件可得是周期為4的周期函數(shù)，結(jié)合給定區(qū)間解析式，利用周期性、奇偶性求的值.【詳解】由題意，在上奇函數(shù)，且，得，∴，則，即，∴，即是周期為4的周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則.故選：B.10. 已知是定義在上的單調(diào)函數(shù)，對(duì)于，均有，則“”是“在上恒成立”的（    ）A. 充分不必要條件 B. 充要條件C. 必要不充分條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】令，由題可求得，得出，因?yàn)?/span>“在上恒成立”等價(jià)轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值，得到其充分必要條件，然后即可判斷.【詳解】令，則．由，，即，是的單調(diào)遞增函數(shù)，且，，，“在上恒成立”等價(jià)于對(duì)于恒成立．令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減,，故“在上恒成立”等價(jià)于．是的充分不必要條件，∴“”是“在上恒成立”充分不必要條件，故選：A．11. 設(shè)，其中，則的最小值為（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】由表示兩點(diǎn)與點(diǎn)的距離，而點(diǎn)在拋物線上，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，則表示與的距離和與準(zhǔn)線的距離的和加上1，由拋物線的定義可得表示與的距離和加上1，畫(huà)出圖象，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，可求得最小值.【詳解】詳解：由題意，，由表示兩點(diǎn)與點(diǎn)的距離，而點(diǎn)在拋物線上，拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線為，則表示與的距離和與準(zhǔn)線的距離的和加上1，由拋物線的定義可得表示與的距離和加上1，由圖象可知三點(diǎn)共線時(shí)，且為曲線的垂線，此時(shí)取得最小值，即為切點(diǎn)，設(shè)，由，可得，設(shè)，則遞增，且，可得切點(diǎn)，即有，則的最小值為，故選：B.12. 若，恒成立，則的最大值為A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】設(shè),則，原不等式等價(jià)于恒成立,通過(guò)求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而得到函數(shù)的最值，得到參數(shù)值.【詳解】設(shè),則，原不等式等價(jià)于恒成立，設(shè)是單調(diào)遞增的，零點(diǎn)為,在，函數(shù)y的最小值為1，故，，零點(diǎn)是 在上單調(diào)遞增，故，故.故答案為C.【點(diǎn)睛】對(duì)于函數(shù)恒成立或者有解求參的問(wèn)題，常用方法有：變量分離，參變分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題；或者直接求函數(shù)最值，使得函數(shù)最值大于或者小于0；或者分離成兩個(gè)函數(shù)，使得一個(gè)函數(shù)恒大于或小于另一個(gè)函數(shù)．二、 填空題 （本題共計(jì)4小題，總分20分）13. 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是________【答案】【解析】【分析】先求函數(shù)定義域，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性確定單調(diào)增區(qū)間.【詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，而也單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞增，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性、對(duì)數(shù)函數(shù)定義域，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.14. 已知冪函數(shù)過(guò)定點(diǎn)，且滿足，則的范圍為________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)所過(guò)的點(diǎn)求出解析式，利用奇偶性和單調(diào)性去掉轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式即可求解.【詳解】設(shè)冪函數(shù)，其圖象過(guò)點(diǎn)，所以，即，解得：，所以，因?yàn)?/span>，所以為奇函數(shù)，且在和上單調(diào)遞減，所以可化為，可得，解得：，所以的范圍為，故答案為：．15. 已知方程表示是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，:對(duì)任意，直線與圓恒有公共點(diǎn).若是假命題，是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)可得需在圓內(nèi)或圓上，即可求解為真命題的范圍，進(jìn)而根據(jù)橢圓的性質(zhì)求解為真，分兩種情況，，一真一假即可求解.【詳解】若為真命題，則，由于直線恒過(guò)定點(diǎn)，故直線與圓恒有公共點(diǎn).，則在圓內(nèi)或圓上，故或，故為真命題時(shí)，則或，由于是假命題，是真命題，故中一真一假，當(dāng)真假時(shí)，則，解得，當(dāng)真假時(shí)，則，解得或，綜上可知：或或，故答案為：16. 已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有下列結(jié)論：①函數(shù)在上單調(diào)遞增；②函數(shù)的圖象與直線有且僅有個(gè)不同的交點(diǎn)；③若關(guān)于的方程恰有個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則這個(gè)實(shí)數(shù)根之和為；④記函數(shù)在上的最大值為，則數(shù)列的前項(xiàng)和為.其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是___________.【答案】①④【解析】【分析】作出函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合思想依次判斷選項(xiàng)①②③，利用等比數(shù)列求和判斷選項(xiàng)④；【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不滿足方程；若，則，即若，則，即作出函數(shù)在時(shí)的圖像，如圖所示，    對(duì)于①，由圖可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由奇函數(shù)性質(zhì)知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故①正確；對(duì)于②，可知函數(shù)在時(shí)的圖像與與直線有1個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性知，的圖象與直線有3個(gè)不同的交點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，設(shè)，則關(guān)于的方程等價(jià)于，解得：或    當(dāng)時(shí)，即對(duì)應(yīng)一個(gè)交點(diǎn)為；方程恰有4個(gè)不同的根，可分為兩種情況：（1），即對(duì)應(yīng)3個(gè)交點(diǎn)，且，，此時(shí)4個(gè)實(shí)數(shù)根的和為8；（2），即對(duì)應(yīng)3個(gè)交點(diǎn)，且，，此時(shí)4個(gè)實(shí)數(shù)根的和為4，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，函數(shù)在上的最大值為，即，由函數(shù)的解析式及性質(zhì)可知，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)和為，故④正確.故答案為：①④【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解三、 解答題 （本題共計(jì)6小題，總分70分）17. 已知數(shù)列為等差數(shù)列，且公差不為0，，是與的等比中項(xiàng)．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)之和．【答案】(1)；(2)．【解析】【分析】(1)利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式結(jié)合已知條件列方程求數(shù)列的首項(xiàng)和公差，由此可得數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)由(1)可得，利用裂項(xiàng)相消法求.【詳解】解：(1)設(shè)數(shù)列的公差為，由已知得：即，又∴∴(2)∵∴18. 已知集合是函數(shù)的定義域，集合是不等式的解集.：，：.（1）若，求的取值范圍；（2）若：，且是的充分不必要條件，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）分別求函數(shù)的定義域和不等式的解集化簡(jiǎn)集合，由得到區(qū)間端點(diǎn)值之間的關(guān)系，解不等式組得到的取值范圍；（2）求出對(duì)應(yīng)的的取值范圍，由是的充分不必要條件得到對(duì)應(yīng)集合之間的關(guān)系，由區(qū)間端點(diǎn)值的關(guān)系列不等式組求解的范圍．【詳解】解：（1）由條件得：，或，若，則必須滿足，解得，所以的取值范圍為：；（2）由：，可得：：或，∵是的充分不必要條件，∴或是或的真子集，則且等號(hào)不同時(shí)成立，解得，∴的取值范圍為：.19. 在四棱錐中，平面，，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)．（1）線段的中點(diǎn)為，求證平面；（2）若異面直線與所成角的余弦值為，求二面角的平面角的余弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析    （2）【解析】【分析】（1）先證明面面平行，再由面面平行得線面平行；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角的平面角的余弦值即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，平面．因?yàn)?/span>，分別為，的中點(diǎn)，所以．因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面．因?yàn)?/span>，所以四邊形為平行四邊形，所以．因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面．因?yàn)?/span>，平面，所以平面平面．因?yàn)?/span>平面，所以平面．【小問(wèn)2詳解】取的中點(diǎn)為．由已知可得，．因?yàn)?/span>平面，平面，所以，，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸的正方向，為y軸的正方向，為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系．，，，．設(shè)，則，則，，所以，解得或（舍）．因?yàn)?/span>，所以，所以點(diǎn)，，，，．設(shè)平面的法向量為，則 令，則．設(shè)平面的法向量為，則 令，則，所以，由圖易知二面角為銳角，所以二面角的平面角的余弦值為．20. 已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)恰有四個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間，單調(diào)減區(qū)間或；（2）.【解析】【分析】(1)求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定函數(shù)單調(diào)性.(2)設(shè)轉(zhuǎn)換為二次方程，確定二次方程有兩個(gè)不同解，根據(jù)方程的兩個(gè)解與極值關(guān)系得到范圍.【詳解】解：(1)令，得，故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間為或  （2）令因?yàn)殛P(guān)于的方程至多有兩個(gè)實(shí)根，①當(dāng)顯然無(wú)零點(diǎn)，此時(shí)不滿足題意；②當(dāng)有且只有一個(gè)實(shí)根，結(jié)合函數(shù)的圖像，可得此時(shí)至多上零點(diǎn)也不滿足題意          ③當(dāng)，此時(shí)有兩個(gè)不等實(shí)根設(shè)若要有四個(gè)零點(diǎn)則而，所以解得又故【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，綜合性大，計(jì)算較難，意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合靈活運(yùn)用和計(jì)算能力.21. 已知橢圓：的焦距為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）斜率為的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，若橢圓上存在點(diǎn)，使得四邊形為平行四邊形（其中是坐標(biāo)原點(diǎn)），求平行四邊形的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由橢圓的焦距為2，且橢圓C過(guò)點(diǎn)，列出方程求出a，b，由此能求出橢圓C的方程；（2）設(shè)直線的方程為，由，消去得.利用韋達(dá)定理可得，點(diǎn)P在橢圓上可得表示平行四邊形面積即可.【詳解】解：（1）由題意可知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，又橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，即，所以，即， 又，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. （2）設(shè)直線的方程為，由，消去得.設(shè)，，，則有，即，又， 因?yàn)樗倪呅?/span>為平行四邊形，所以，故， ，所以， 由點(diǎn)在橢圓上可得，化簡(jiǎn)得 而 .又因?yàn)?/span>，所以，所以，所以. 又點(diǎn)到直線的距離，故的面積. 所以平行四邊形的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求法，考查平行四邊形面積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式、韋達(dá)定理、中點(diǎn)公式、弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用．22. 已知函數(shù)其中a>0.（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-2，0）內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；（3）當(dāng)a=1時(shí)，設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間[t,t+3]上的最大值為M（t），最小值為m（t）,記g(t)=M(t)-m(t),求函數(shù)g(t)在區(qū)間[-3，-1]上的最小值．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間是，；單調(diào)遞減區(qū)間是（2）（3）【解析】【詳解】（1）解：由，得當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表：x
 
 -1
 
 a
 
 
 +
 0
 -
 0
 +
 
 
 極大值
 
 極小值
 
 故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，；單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）解：由（1）知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，從而函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)，解得.所以，a的取值范圍是.（3）解：a=1時(shí)，.由（1）知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（1）當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因此，在上的最大值，而最小值為與中的較小者.由知，當(dāng)時(shí)，，故，所以.而在上單調(diào)遞增，因此.所以在上的最小值為.（2）當(dāng)時(shí)，，且.下面比較的大小由在，上單調(diào)遞增，有又由，，從而，所以 綜上，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為    

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