1. 已知點，則直線的傾斜角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出直線的斜率，從而可得直線的傾斜角.
【詳解】由題知直線的斜率，故直線的傾斜角為．
故答案為：A.
【點睛】本題考查直線的傾斜角的求法，可先求出斜率，再根據(jù)兩者之間的關(guān)系求出傾斜角，本題屬于基礎(chǔ)題.
2. 已知圓的方程是，則它的半徑是（ ）
A. 1B. C. 2D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】
將圓的一般方程化為標準方程，可得半徑的長．
【詳解】圓的方程可化簡為
則它半徑是
故選：B
3. 直線和直線平行，則實數(shù)的值等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由直線的斜率存在，可得兩直線平行其斜率相等，且截距不相等；
【詳解】直線的斜率存在，直線和直線平行，
，且，解得，
故選：D.
4. 《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早 多年．在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖 是陽馬，，，，．則該陽馬的外接球的表面積為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題目條件有，則陽馬的外接球與以為長寬高的長方體的外接球相同.
【詳解】因，平面ABCD，平面ABCD，
則，又因四邊形ABCD為矩形，則.
則陽馬的外接球與以為長寬高的長方體的外接球相同.
又，，．則外接球的直徑為長方體體對角線，故外接球半徑為：，
則外接球的表面積為：
故選：B
5. 如圖，平行六面體中，，，，，則與所成角的大小為（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)，表示出，，計算，即可求得答案.
【詳解】設(shè)，則，
三向量的夾角皆為，
由題意可得，，
故
，
即，所以與所成角的大小為，
故選：C
6. 已知直線：過定點，直線：過定點，與相交于點，則（ ）
A. 10B. 12C. 13D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，求得直線過定點，直線恒過定點，結(jié)合，得到，利用勾股定理，即可求解.
【詳解】由直線過定點，
直線可化為，
令，解得，即直線恒過定點，
又由直線和，滿足，
所以，所以，所以.
故選：C.
7. 若平面內(nèi)兩定點，間的距離為2，動點滿足，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)，由可得，即點P的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓.而可看作圓上的點到原點的距離的平方，結(jié)合圓的性質(zhì)即可求解.
【詳解】由題意，設(shè)，
由，得，即，
所以點P的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓.
又，
其中可看作圓上的點到原點的距離的平方，
所以，
所以，即的最大值為.
故選：D.
8. 如圖，已知正方體的棱長為4，是的中點，若，，，若，則面積的最小值為（ ）

A. 4B. 8C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由題意知點M在平面內(nèi)，建立如圖空間直角坐標系，設(shè)，根據(jù)空間向量的數(shù)量積的坐標表示可得，取AB的中點N，連接，則點M的軌跡為線段，過點B作，結(jié)合線面垂直的性質(zhì)即可求解.
【詳解】由，知點M在平面內(nèi)，
以所在直線為坐標軸建立如圖空間直角坐標系，
則，設(shè)，
則，
由，得，即，
取AB的中點N，連接，則點M的軌跡為線段，
過點B作，則，
又平面，故，
所以的最小值為.
故選：C.
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9. 已知向量，，則下列正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量的坐標運算逐項計算判斷作答.
【詳解】向量，，則，A正確；
顯然，B正確；
由數(shù)量積的定義得，C錯誤；
顯然，則，即有，D錯誤.
故選：AB
10. 下列說法錯誤的是（ ）
A. 經(jīng)過，兩點的直線可以用方程表示
B. 經(jīng)過點，傾斜角為的直線方程為
C. 直線一定經(jīng)過第一象限
D. 截距相等直線都可以用方程表示
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，直線的兩點式和截距式方程形式，以及直線系方程，逐項判定，即可求解.
【詳解】對于A中，經(jīng)過，兩點的直線，只有時，才可以用方程表示，所以A錯誤；
對于B中，經(jīng)過點，傾斜角為且時，直線方程為，所以B不正確；
對于C中，直線，可化為，
由，解得，所以直線恒過點位于第一象限，
所以直線一定經(jīng)過第一象限，所以C正確；
對于D中，當(dāng)直線在坐標軸上的截距為時，不能用方程表示，所以D錯誤.
故選：ABD.
11. 已知梯形，，，，是線段上的動點；將沿著所在的直線翻折成四面體，翻折的過程中下列選項中正確的是（ ）
A. 不論何時，與都不可能垂直
B. 存在某個位置，使得平面
C. 當(dāng)平面平面時，四面體體積的最大值為
D. 當(dāng)平面平面時，四面體的外接球的表面積為
【答案】AD
【解析】
【分析】假設(shè)，可得，與為直角矛盾，即可判斷A；假設(shè)存在某個位置，使得平面，可得與當(dāng)且僅當(dāng)在BC上時，矛盾，即可判斷B；如圖，由面面垂直的性質(zhì)可得平面，則四面體的最大體積為，結(jié)合錐體的體積公式計算即可判斷C；由選項C的分析，由圖形可得O為四面體的外接球的球心，半徑，結(jié)合球的表面積公式計算即可判斷D.
【詳解】A：如圖1，取DB的中點E，連接，則，
假設(shè)，有平面，得，與為直角矛盾，故A正確；
B：假設(shè)存在某個位置，使得平面，則，，
又，所以，如圖2，
當(dāng)且僅當(dāng)在BC上時，不符合題意，故B錯誤；
C：如圖3，取BD的中點E，連接，則，
由平面平面，平面平面，得平面，
所以四面體的最大體積為，故C錯誤；
D：如圖4，取BC的中點O，連接，則，
由選項C的分析可得平面，又平面，所以，
由，平面，
所以平面，故平面，
則O為四面體的外接球的球心，半徑，
故四面體的外接球表面積為，故D正確.
故選：AD.
12. 瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（LenharEuler）1765年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心?重心?垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.若已知的頂點，，其歐拉線方程為，則下列正確的是（ ）
A. 重心的坐標為或
B. 垂心的坐標為或
C. 頂點C的坐標為或
D. 歐拉線將分成的兩部分的面積之比為
【答案】BCD
【解析】
【分析】由題意先求出AB的中垂線方程，再與歐拉線方程聯(lián)立可求出的外心，設(shè)，則可得三角形的重心為，代入歐拉線方程，再結(jié)合三角形的外心可求出頂點的坐標是或，從而可得三角形的重心坐標，結(jié)合圖形可求出垂心的坐標和歐拉線將分成的兩部分的面積之比
【詳解】AB中點為，AB的中垂線方程為，即，
聯(lián)立，解得.
∴的外心為，
設(shè)，由重心坐標公式得，
三角形的重心為，代入歐拉線方程得：，整理得：①
又外心為，
所以，
整理得：②聯(lián)立①②得：，或，，
所以頂點的坐標是或.
重心的坐標為或；
由于或，所以垂心的坐標為或.
因為直線與歐拉線平行，所以兩部分的面積之比是或.
故選：BCD
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知圓的方程是，則圓心到原點的距離為_________．
【答案】
【解析】
【分析】首先根據(jù)題意得到圓心為，再利用點到直線的距離公式求解即可.
【詳解】，圓心，半徑.
圓心到原點的距離.
故答案為：
14. 如圖，在直三棱柱中，，點是的中點，則點到平面的距離是____________．
【答案】
【解析】
【分析】點到平面的距離即三棱錐的高，利用三棱錐等體積即列式可得解.
【詳解】
，
是等邊三角形，
又是中點，所以，
因為三棱柱是直三棱柱，
所以平面，可得，
又，是平面內(nèi)兩條相交直線，
所以平面，
，即三角形是直角三角形，又，，
，，
因為是中點，所以點到平面的距離為，
，
，解得，
即點到平面的距離為.
故答案為：.
15. 直線分別交軸和于點，，為直線上一點，則的最大值是__________．
【答案】.
【解析】
【分析】根據(jù)題意，得到，求得關(guān)于直線的對稱點為，結(jié)合，結(jié)合當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，等號成立，即可求解.
【詳解】由直線分別交軸和于點，可得，
如圖所示，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，
則，解得，即，
又由，即，則，
當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，等號成立，
即的最大值為，即的最大值為.
故答案：.
16. 定義：，則的最小值為___________．
【答案】
【解析】
【分析】由可得，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】對，，
所以.
則，
又，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，
即的最小值為.
故答案為：.
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知的三個頂點分別為，，，其中點在直線上
（1）若，求的邊上的中線所在的直線方程：
（2）若，求實數(shù)的值．
【答案】（1）
（2）6
【解析】
【分析】（1）由題意可得，AB的中點，利用兩點求斜率公式和直線的點斜式方程即可求解；
（2）設(shè)，進而可得的坐標表示，結(jié)合和平面數(shù)量積的坐標表示列出方程，解之即可求解.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，AB的中點為，
則，由直線的點斜式方程得MC的方程為
，即；
【小問2詳解】
設(shè)，，則，
當(dāng)時，，即，解得.
18. 如圖，多面體中，平面，且，，，是的中點．
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的大小．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取CA的中點N，連接MN，BN，易證四邊形為平行四邊形，得，結(jié)合線面平行的判定定理即可證明；
（2）分別取AB、EF的中點O、D，連接OD，OC，利用線面垂直的判定定理和性質(zhì)證明OC、OA、OD兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標系，結(jié)合空間向量法求線面角即可求解.
【小問1詳解】
由題意，取CA的中點N，連接MN，BN，則且，
又且，所以且，
所以四邊形為平行四邊形，得，
又平面，平面，所以平面；
【小問2詳解】
分別取AB、EF的中點O、D，連接OD，OC，則，
由平面，得平面，則，
又為正三角形，所以，
因為平面，平面，得，
而平面，所以平面，
故OC、OA、OD兩兩垂直，建立如圖空間直角坐標系，
則，
得，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，令，得，得，
設(shè)ME與平面所成角為，，
則，所以，
故ME與平面所成角為.

19. 已知的頂點，邊上的高所在的直線方程為.
（1）求直線的一般式方程；
（2）在下列兩個條件中任選一個，求直線的一般式方程.
①角A的平分線所在直線方程為；
②邊上的中線所在的直線方程為.
（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.）
【答案】（1）
（2）答案詳見解析
【解析】
【分析】（1）求得直線的斜率，進而求得直線的一般式方程.
（2）若選①，先求得點的坐標，求得關(guān)于直線對稱點的坐標，從而求得直線的一般式方程.
若選②，先求得點的坐標，根據(jù)線段的中點在直線以及在直線上求得點的坐標，從而求得直線的一般式方程.
【小問1詳解】
邊上的高所在的直線方程為，斜率為，
所以直線的斜率為，
所以直線的方程為，
整理得.
【小問2詳解】
若選①，角A的平分線所在直線方程為，
，故.
設(shè)是點關(guān)于直線的對稱點，
則，解得，即，
由于是直線上的點，
所以，
所以直線的方程為，
整理得直線的一般式方程為.
若選②，邊上的中線所在的直線方程為，
，故.
設(shè)，則的中點在直線上，
即，整理得，
在直線，即，
，即，
所以，
所以直線的方程為，
整理得直線的一般式方程為.
20. 如圖，在四棱錐中，底面是正方形，是棱的中點，設(shè)，，．
（1）試用，，表示向量；
（2）若交平面于，用，，表示向量．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)空間向量基本定理結(jié)合棱錐的性質(zhì)求解即可；
（2）連接，交于點，連接，則可得，由三點共線，設(shè),由三點共線，設(shè),而，代入化簡可求出的值，從而可表示出.
【小問1詳解】
因為在四棱錐中，底面是正方形，是棱的中點，設(shè)，，，
所以
【小問2詳解】
連接，交于點，連接，則平面平面，
因為交平面于，平面，所以，
因為底面是正方形，所以為的中點，
所以,
因為三點共線，所以設(shè),
所以，所以，
因為三點共線，所以設(shè),
所以,
所以，
因為不共線，所以，解得，
所以
21. 如圖，在四棱錐中，側(cè)面等邊三角形，底面為等腰梯形，且
（1）證明：平面平面；
（2）若點在棱上，且二面角的大小為，求的值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）通過證明和可得平面即可證明；
（2）以為原點建立空間直角坐標系，求出平面和平面的法向量，利用向量關(guān)系即可建立關(guān)系求解.
【小問1詳解】
設(shè)的中點為，連接，
在等邊中，可得，
在等腰梯形中，有
又因為，所以，所以，即，
又因為，所以平面
又因為在平面內(nèi)，所以平面平面
【小問2詳解】
如圖所示，以為原點建立空間直角坐標系，
各點坐標依次為：，，
設(shè)，平面的一個法向量為，
因為，
由，令，得，
易知平面的法向量為，
由，解得或（舍）.
所以，故.
22. 正方形ABCD中，，點O為正方形內(nèi)一個動點，且，設(shè)
（1）當(dāng)時，求的值；
（2）若P為平面ABCD外一點，滿足，記，求的取值范圍.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）構(gòu)建平面直角坐標系得到，坐標，進而寫出、坐標，應(yīng)用向量模長的坐標表示求目標式的值.
（2）以A為原點構(gòu)建空間直角坐標系，確定的坐標，利用向量夾角的坐標表示得到，結(jié)合換元法及三角函數(shù)、二次函數(shù)性質(zhì)求范圍.
【小問1詳解】
構(gòu)建如下圖示的平面直角坐標系，則，，

當(dāng)，則，故，，
所以，，
則.
【小問2詳解】
由題設(shè)，構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標系，

所以且，
則，
所以，
令，則，可得，
若，則，此時在上遞增，
所以

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