2023-2024學(xué)年河南省駐馬店市西平縣九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng)）1.下列關(guān)于的方程中，一定是一元二次方程的是(    )A.  B.
C.  D. 2.用配方法解方程，下列變形結(jié)果正確的是(    )A.  B.  C.  D. 3.若是方程的一個(gè)根，則的值為(    )A.  B.  C.  D. 4.下列關(guān)于的函數(shù)中，不是二次函數(shù)的是(    )A.  B.
C.  D. 5.對(duì)于拋物線，下列說法錯(cuò)誤的是(    )A. 拋物線開口向下 B. 當(dāng)時(shí)，
C. 拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn) D. 當(dāng)時(shí)，有最小值為6.定義運(yùn)算：，例如：，則方程的根的情況為(    )A. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C. 無實(shí)數(shù)根 D. 只有一個(gè)實(shí)數(shù)根7.若，，為二次函數(shù)的圖象上的三個(gè)點(diǎn)，則，，的大小關(guān)系是(    )A.  B.  C.  D. 8.若，是方程的兩個(gè)根，則的值為(    )A.  B.  C.  D. 9.拋物線可以由拋物線平移得到，則下列平移過程正確的是(    )A. 先向左平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位
B. 先向左平移個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位
C. 先向右平移個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位
D. 先向右平移個(gè)單位，再向上平移個(gè)單位10.在同一坐標(biāo)系內(nèi)，一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象可能是(    )A.  B.
C.  D. 二、填空題（本大題共5小題，共15.0分）11.關(guān)于的方程是一元二次方程，則的值是______ ．12.拋物線的對(duì)稱軸是直線，則的值為______ ．13.如圖，拋物線與直線的交點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是______ ．
 14.把方程化為一元二次方程的一般形式為______ ．15.二次函數(shù)的圖象如圖所示下列結(jié)論：；；；若且，則其中結(jié)論正確的是______ ．
 三、解答題（本大題共8小題，共75.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.本小題分
解方程：
；
．17.本小題分
已知關(guān)于的一元二次方程，其中，，為的三邊．
若是方程的根，判斷的形狀，并說明理由；
若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，判斷的形狀，并說明理由．18.本小題分
定義：如果關(guān)于的一元二次方程滿足，那么我們稱這個(gè)方程為“黃金方程”．
判斷一元二次方程是否為“黃金方程”，并說明理由．
已知是關(guān)于的“黃金方程”，若是此方程的一個(gè)根，則的值為多少？19.本小題分
拋物線的圖象開口向上，且經(jīng)過點(diǎn)．
當(dāng)取何值時(shí)，有最小值？并求出這個(gè)最小值．
利用計(jì)算判斷點(diǎn)是否在這個(gè)函數(shù)的圖象上．20.本小題分
提出問題：
為解方程，我們可以令，于是原方程可轉(zhuǎn)化為，解此方程，得，不符合要求，舍去．
當(dāng)時(shí)，，．
原方程的解為，．
以上方法就是換元法解方程，從而達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．
解決問題：
運(yùn)用上述換元法解方程：．21.本小題分
年杭州亞運(yùn)會(huì)吉祥物一經(jīng)開售，就深受大家的喜愛，某商店以每件元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)某款亞運(yùn)會(huì)吉祥物，以每件元的價(jià)格出售，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，年月份的銷售量為件，年月份的銷售量為件．
求該款吉祥物年月份到月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率．
從月份起，商場(chǎng)決定采用降價(jià)促銷的方式回饋顧客，經(jīng)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)該款吉祥物每降價(jià)元，月銷售量就會(huì)增加件，當(dāng)該款吉祥物降價(jià)多少元時(shí)，月銷售利潤(rùn)達(dá)元？22.本小題分
根據(jù)多項(xiàng)式乘法可知從而我們可得干字相乘法進(jìn)行因式分解的公式，比如：，據(jù)此回答下列問題：
將二次三項(xiàng)式分解因式．
解一元二次方程．
某數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)二次項(xiàng)系數(shù)不是的一元二次方程也可以借助此方法解如：，方程分解為，從而可以快速求出方程的解請(qǐng)你利用此方法嘗試解方程．23.本小題分
如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．
求拋物線的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；
線段上有一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸的平行線，交拋物線于點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)用表示；
在直線上方的拋物線上存在點(diǎn)，使得四邊形面積最大，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)和四邊形面積的最大值．

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：，當(dāng)時(shí)，不是一元二次方程，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
B.等號(hào)左邊不是整式，不是一元二次方程，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
C.化簡(jiǎn)后不含二次項(xiàng)，不是一元二次方程，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
D.，是一元二次方程，故該選項(xiàng)正確，符合題意；
故選：．
根據(jù)一元二次方程的定義進(jìn)行判斷即可．
本題考查了一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．一元二次方程定義，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)是的整式方程叫做一元二次方程．2.【答案】 【解析】解：，
，
，
配方，得，
．
故選：．
先移項(xiàng)，再方程兩邊除以，最后配方后找出選項(xiàng)即可．
本題考查了解一元二次方程，能正確配方是解此題的關(guān)鍵．3.【答案】 【解析】解：是方程的一個(gè)根，
，
，
，


，
故選：．
先根據(jù)已知條件求出的值，從而求出的值，最后把所求的值整體代入所求代數(shù)式進(jìn)行解答即可．
本題主要考查了一元二次方程的解，解題關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程解的定義．4.【答案】 【解析】解：、，是二次函數(shù)，故A不符合題意；
B、，不是二次函數(shù)，故B不符合題意；
C、，二次函數(shù)，故C不符合題意；
D、，是二次函數(shù)，故D不符合題意；
故選：．
根據(jù)二次函數(shù)的一般形式：形如為常數(shù)且，逐一判斷即可解答．
本題考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握二次函數(shù)的一般形式是解題的關(guān)鍵．5.【答案】 【解析】解：，
拋物線開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，拋物線與軸有個(gè)交點(diǎn)，時(shí)隨增大而減小，當(dāng)時(shí)有最大值為，
選項(xiàng)A，，C正確，D錯(cuò)誤，
故選：．
根據(jù)二次函數(shù)解析式可得拋物線開口方向，拋物線與軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)及二次函數(shù)的最值，從而確定正確的選項(xiàng)．
本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．6.【答案】 【解析】解：，
，即，
，
，，，
，
方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
故選：．
先根據(jù)已知條件中的定義，把方程化成一般形式，利用一元二次方程根的判別式判斷方程根的情況即可．
本題主要考查了新定義和一元二次方程根的判別式，解題關(guān)鍵是熟練掌握利用根的判別式判斷方程根的情況．7.【答案】 【解析】解：拋物線，
拋物線的開口向下，對(duì)稱軸是直線，
當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，
與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，且，
．
故選：．
求得拋物線對(duì)稱軸為直線，然后根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性和增減性即可得到答案．
本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8.【答案】 【解析】解：，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
，，
．
故選：．
把式子變形，再利用根與系數(shù)的關(guān)系，代入數(shù)據(jù)求值即可．
本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．9.【答案】 【解析】解：拋物線向左平移個(gè)單位可得到拋物線，
拋物線，再向下平移個(gè)單位即可得到拋物線．
故平移過程為：先向左平移個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位．
故選：．
分析：根據(jù)“左加右減，上加下減”的原則進(jìn)行解答即可．
本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．10.【答案】 【解析】解：一次函數(shù)與軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)為，
與選項(xiàng)不正確；
當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)經(jīng)過一、三象限，二次函數(shù)的開口向上，
選項(xiàng)不正確；
故選：．
由兩個(gè)函數(shù)與軸的交點(diǎn)是相同，由此確定與不正確；當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)經(jīng)過一、三象限，二次函數(shù)的開口向上，可求確定不正確．
本題考查一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象；熟練掌握函數(shù)圖象的特點(diǎn)，能夠通過函數(shù)的交點(diǎn)情況、二次函數(shù)開口方向、一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限情況綜合分析解題是關(guān)鍵．11.【答案】 【解析】解：關(guān)于的方程是一元二次方程，
，，
解得：，
故答案為：．
根據(jù)一元二次方程的定義，二次項(xiàng)系數(shù)不為，最高次數(shù)為，得出，，即可求解．
本題考查了一元二次方程的定義，掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．12.【答案】 【解析】解：
，
對(duì)稱軸為，
拋物線的對(duì)稱軸為，
，解得
故答案為：．
利用對(duì)稱軸公式可得到關(guān)于的方程，可求得的值．
本題主要考查拋物線的性質(zhì)，掌握拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為是解題的關(guān)鍵．13.【答案】 【解析】解：從圖象看，當(dāng)時(shí)，直線在拋物線的上方，
即，
故答案為：．
觀察函數(shù)圖象即可求解．
本題考查二次函數(shù)與不等式、二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．14.【答案】 【解析】解：，
去括號(hào)，得，
移項(xiàng)，得，
合并同類項(xiàng)，得，
故答案為：．
先去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得出即可．
本題考查了一元二次方程的一般形式，能熟記一元二次方程的一般形式，其中、、為常數(shù)，是解此題的關(guān)鍵．15.【答案】 【解析】解：拋物線開口向下，
，
拋物線對(duì)稱軸為，即，
，
拋物線與軸的交點(diǎn)在軸上方，
，
，所以錯(cuò)誤；
，
，所以正確；
拋物線與軸的交點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離大于，
拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)與之間，
拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)與之間，
時(shí)，，
，所以錯(cuò)誤；
當(dāng)，則，
和所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，
，
，所以正確；
故答案為：．
根據(jù)拋物線的對(duì)稱性得到拋物線的對(duì)稱軸為直線，根據(jù)拋物線對(duì)稱軸方程得到，則可對(duì)進(jìn)行判斷；由拋物線開口方向得到，由得到，由拋物線與軸的交點(diǎn)在軸上方得到，則可對(duì)進(jìn)行判斷；根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性得到拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)在點(diǎn)與之間，則時(shí)，，于是可對(duì)進(jìn)行判斷；由得到，則可判斷和所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相等，則，于是可對(duì)進(jìn)行判斷．
本題考查了二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系：對(duì)于二次函數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)決定拋物線的開口方向和大小：當(dāng)時(shí)，拋物線向上開口；拋物線向下開口；一次項(xiàng)系數(shù)和二次項(xiàng)系數(shù)共同決定對(duì)稱軸的位置：當(dāng)與同號(hào)時(shí)即，對(duì)稱軸在軸左；當(dāng)與異號(hào)時(shí)即，對(duì)稱軸在軸右．常數(shù)項(xiàng)決定拋物線與軸交點(diǎn)：拋物線與軸交于．16.【答案】解：，
，，，
，
，
所以，；
，
，
，
或，
所以，． 【解析】先計(jì)算出根的判別式的值，然后利用根的判別式的值得到方程的解；
先移項(xiàng)得到，再利用因式分解法把方程轉(zhuǎn)化為或，然后解兩個(gè)一次方程即可．
本題考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．17.【答案】解：把代入方程得，
，
化簡(jiǎn)得，
則該三角形的形狀為等腰三角形．
由題意可得方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
則方程的判別式，
，
，
化簡(jiǎn)可得，
則該三角形的形狀為直角三角形． 【解析】根據(jù)方程的解把代入方程得到，即，于是由等腰三角形的判定即可得到是等腰三角形；
根據(jù)根的判別式得出，，的關(guān)系，即可根據(jù)勾股定理的逆定理判斷的形狀．
本題考查了根的判別式以及一元二次方程、等腰三角形的判定、直角三角形的判定，掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．18.【答案】解：方程是“黃金方程”，理由如下：
，，，


，
一元二次方程是“黃金方程”；
是關(guān)于的“黃金方程”，
，，，
，
，
，
原方程可化為，
是此方程的一個(gè)根，
，即，
解得或． 【解析】根據(jù)已知條件中的新定義，找出，，的值，代入判斷是否為即可；
根據(jù)已知條件中的新定義，找出，，的值，求出，的關(guān)系式，然后把化成，代入方程，得到關(guān)于的方程，進(jìn)行解答即可．
本題主要考查了一元二次方程的根，解題關(guān)鍵是理解已知條件中的新定義．19.【答案】解：由拋物線過，代入，得
，，即．
拋物線開口向上，
，
拋物線的解析式為；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)值最?。?/span>
點(diǎn)，把代入到中，得，
，
點(diǎn)不在這個(gè)函數(shù)的圖象上． 【解析】由待定系數(shù)法求出函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而求解；
點(diǎn)，把代入到中，得，即可求解．
本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，涉及到待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式、解絕對(duì)值、確定點(diǎn)的位置等，難度不大．20.【答案】解：，
設(shè)，則原方程可化為，
，
或，
解得，：，，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
所以原方程的解為，，，． 【解析】設(shè)，則原方程可化為，求出的值，再代入求出即可．
本題考查了用換元法解方程和解一元二次方程，能正確換元是解此題的關(guān)鍵．21.【答案】解：設(shè)該款吉祥物年月份到月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率為，
根據(jù)題意得：，
解得：，不符合題意，舍去，
答：該款吉祥物年月份到月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率為；
設(shè)該款吉祥物降價(jià)元，則每件的利潤(rùn)為元，月銷售量為件，
根據(jù)題意得：，
整理得：，
解得：，不符合題意，舍去，
答：當(dāng)該款吉祥物降價(jià)元時(shí)，月銷售利潤(rùn)達(dá)元． 【解析】設(shè)該款吉祥物年月份到月份銷售量的月平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)年月份的銷售量為件，年月份的銷售量為件．列出一元二次方程，解之取其符合題意的值即可；
設(shè)該款吉祥物降價(jià)元，則每件的利潤(rùn)為元，月銷售量為件，根據(jù)月銷售利潤(rùn)達(dá)元，列出一元二次方程，解之取其符合題意的值即可．
本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．22.【答案】解：；
．
利用十字相乘法，得
．
或．
，．
．
利用十字相乘法，得
．
或．
，． 【解析】利用十字相乘法進(jìn)行分解；
把方程左邊分解因式，則原方程可轉(zhuǎn)化為或，然后解兩個(gè)一次方程即可；
把方程左邊分解因式，則原方程可轉(zhuǎn)化為或，然后解兩個(gè)一次方程即可．
本題考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡(jiǎn)便易用，是解一元二次方程最常用的方法．23.【答案】解：，
拋物線的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
在中，令，得，
解得，，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
設(shè)直線的解析式為，
把點(diǎn)，分別代入得：
，
解得，
直線的解析式為，
點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，
；
；
過作軸交于，如圖：

，，
，
設(shè)，則，
，
，
，
，
當(dāng)時(shí)，取最大值，
此時(shí)的坐標(biāo)為
點(diǎn)的坐標(biāo)為，四邊形面積的最大值為． 【解析】由，可得拋物線的對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
求出點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，可得直線的解析式為，故點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，即知；
過作軸交于，由，，可得，設(shè)，則，即可得，由二次函數(shù)性質(zhì)可得答案．
本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，三角形面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)線段的長(zhǎng)度．

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