例1 某高校在2021年的自主招生考試成績(jī)中隨機(jī)抽取100名中學(xué)生的筆試成績(jī)，按成績(jī)分組，得到的頻率分布表如下所示．
(1)請(qǐng)先求出頻率分布表中①，②位置的相應(yīng)數(shù)據(jù)，再完成頻率分布直方圖；
(2)為了能選拔出最優(yōu)秀的學(xué)生，高校決定在筆試成績(jī)高的第3,4,5組中用分層抽樣的方法抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，求第3,4,5組每組各抽取多少名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試；
(3)在(2)的前提下，學(xué)校決定在6名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生接受考官A的面試，求第4組至少有一名學(xué)生被考官A面試的概率．
解 (1)①由題可知，第2組的頻數(shù)為0.350×100＝35，②第3組的頻率為eq \f(30,100)＝0.300，頻率分布直方圖如圖所示，
(2)因?yàn)榈?,4,5組共有60名學(xué)生，所以利用分層抽樣的方法在60名學(xué)生中抽取6名學(xué)生進(jìn)入第二輪面試，每組抽取的人數(shù)分別為
第3組：eq \f(30,60)×6＝3(人)，
第4組：eq \f(20,60)×6＝2(人)，
第5組：eq \f(10,60)×6＝1(人)，
所以第3,4,5組分別抽取3人，2人，1人進(jìn)入第二輪面試．
(3)設(shè)第3組的3位同學(xué)為A1，A2，A3，第4組的2位同學(xué)為B1，B2，第5組的1位同學(xué)為C1，則從這六位同學(xué)中抽取兩位同學(xué)有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共15種情況，
其中第4組的2位同學(xué)B1，B2中至少有一位同學(xué)入選的有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共有9種情況，
所以第4組至少有一名學(xué)生被考官A面試的概率為eq \f(9,15)＝eq \f(3,5).
教師備選
某市宣傳部門為了解全民利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”了解國(guó)家動(dòng)態(tài)的情況，從全市抽取2 000名人員進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計(jì)他們每周利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)習(xí)的時(shí)長(zhǎng)，如圖是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的頻率分布直方圖．
(1)試估計(jì)被抽查人員利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)習(xí)的平均時(shí)長(zhǎng)和中位數(shù)；
(2)宣傳部為了解大家利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)習(xí)的具體情況，準(zhǔn)備采用分層抽樣的方法從學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)在[8,10)和[10,12)內(nèi)的人中選取50人了解情況，則應(yīng)從兩組中各選取多少人？再利用分層抽樣的方法從選取的50人中選5人參加一個(gè)座談會(huì)，現(xiàn)從參加座談會(huì)的5人中隨機(jī)選取2人發(fā)言，求學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)在[10,12)內(nèi)的人中至少有1人發(fā)言的概率．
解 (1)設(shè)被抽查人員利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)習(xí)的平均時(shí)長(zhǎng)為eq \x\t(x)，中位數(shù)為y，
則eq \x\t(x)＝0.05×1＋0.1×3＋0.25×5＋0.3×7＋0.15×9＋0.1×11＋0.05×13＝6.8，
0．05＋0.1＋0.25＋0.15×(y－6)＝0.5，
解得y＝eq \f(20,3)，
所以估計(jì)被抽查人員利用“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)習(xí)的平均時(shí)長(zhǎng)為6.8，中位數(shù)為eq \f(20,3).
(2)學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)在[8,10)內(nèi)的人數(shù)為2 000×0.15＝300，設(shè)選取的人數(shù)為a.學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)在[10,12)內(nèi)的人數(shù)為2 000×0.1＝200，設(shè)選取的人數(shù)為b.
則eq \f(a,300)＝eq \f(b,200)＝eq \f(50,500)，
解得a＝30，b＝20，
所以應(yīng)從學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)在[8,10)和[10,12)內(nèi)的人中分別選取30人和20人．
若再?gòu)倪@50人中選取5人，則從學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)在[8,10)內(nèi)的人中選取3人，標(biāo)記為A1，A2，A3，從學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)在[10,12)內(nèi)的人中選取2人，標(biāo)記為B1，B2.
現(xiàn)從這5人中隨機(jī)選取2人，則共有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)10個(gè)基本事件，
其中事件“從學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)在[10,12)內(nèi)的人中至少選取1人”包含7個(gè)基本事件．
故學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)在[10,12)內(nèi)的人中至少有1人發(fā)言的概率為eq \f(7,10).
思維升華 解決抽樣與古典概型的綜合問題的方法
(1)定數(shù)，利用統(tǒng)計(jì)知識(shí)確定頻數(shù)；(2)定型，根據(jù)事件“有限性和等可能性”判斷是否為古典概型；(3)定性，由題意用列舉的方法確定事件的基本事件數(shù)；(4)代入公式求解．
跟蹤訓(xùn)練1 教育部《關(guān)于落實(shí)主體責(zé)任強(qiáng)化校園食品安全管理的指導(dǎo)意見》指出：非寄宿制中小學(xué)、幼兒園原則上不得在校內(nèi)設(shè)置食品小賣部、超市，已經(jīng)設(shè)置的，要逐步退出．為了了解學(xué)生對(duì)校內(nèi)開設(shè)小賣部的意見，某校對(duì)65名住校生30天內(nèi)在小賣部消費(fèi)過(guò)的天數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，情況如下：
(1)用分層抽樣的方法在消費(fèi)天數(shù)不低于15天的住校生中選擇6人進(jìn)行意見調(diào)查，分別求其中消費(fèi)天數(shù)在區(qū)間[15,20)，[20,25)，[25,30]內(nèi)的人數(shù)；
(2)從(1)中選擇的6人中任意抽取2人對(duì)取消校內(nèi)小賣部給出具體意見，求這2人消費(fèi)天數(shù)均在[25,30]內(nèi)的概率．
解 (1)消費(fèi)天數(shù)不低于15天的住校生共有18＋9＋27＝54(人)，
所以抽樣比為eq \f(6,54)＝eq \f(1,9)，
消費(fèi)天數(shù)在區(qū)間[15,20)內(nèi)的人數(shù)為18×eq \f(1,9)＝2，
消費(fèi)天數(shù)在區(qū)間[20,25)內(nèi)的人數(shù)為9×eq \f(1,9)＝1，
消費(fèi)天數(shù)在區(qū)間[25,30]內(nèi)的人數(shù)為27×eq \f(1,9)＝3.
(2)分別記6名消費(fèi)天數(shù)在區(qū)間[15,20)，[20,25)，[25,30]內(nèi)的住校生為a1，a2，b，c1，c2，c3，從中任取2人有
(a1，a2)，(a1，b)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a1，c3)，(a2，b)，(a2，c1)，(a2，c2)，(a2，c3)，(b，c1)，(b，c2)，(b，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)共15種情況，
其中這2人消費(fèi)天數(shù)均在[25,30]內(nèi)的有(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)共3種情況，
故這2人消費(fèi)天數(shù)均在[25,30]內(nèi)的概率為eq \f(3,15)＝eq \f(1,5).
題型二 莖葉圖與概率的綜合
例2 (2022·鷹潭模擬)第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)于2022年2月在中國(guó)北京舉行．為迎接此次冬奧會(huì)，北京市組織大學(xué)生開展冬奧會(huì)志愿者的培訓(xùn)活動(dòng)，并在培訓(xùn)結(jié)束后統(tǒng)一進(jìn)行了一次考核．為了了解本次培訓(xùn)活動(dòng)的效果，從A，B兩所大學(xué)各隨機(jī)抽取10名學(xué)生的考核成績(jī)，并作出如圖所示的莖葉圖．
(1)計(jì)算A，B兩所大學(xué)學(xué)生的考核成績(jī)的平均值；
(2)由莖葉圖判斷A，B兩所大學(xué)學(xué)生考核成績(jī)的穩(wěn)定性；(不用計(jì)算)
(3)將學(xué)生的考核成績(jī)分為兩個(gè)等級(jí)，如下表所示．現(xiàn)從樣本考核等級(jí)為優(yōu)秀的學(xué)生中任取2人，求2人來(lái)自同一所大學(xué)的概率．
解 (1)eq \x\t(x)A＝
eq \f(64＋75＋78＋78＋79＋72＋85＋86＋91＋92,10)
＝eq \f(800,10)＝80，
eq \x\t(x)B＝eq \f(67＋62＋70＋79＋78＋87＋84＋85＋95＋93,10)＝eq \f(800,10)＝80.
(2)由莖葉圖可知，A所大學(xué)學(xué)生的成績(jī)比B所大學(xué)學(xué)生的成績(jī)穩(wěn)定．
(3)記事件M為“從樣本考核等級(jí)為優(yōu)秀的學(xué)生中任取2人，2人來(lái)自同一所大學(xué)”．樣本中，A?？己说燃?jí)為優(yōu)秀的學(xué)生共有3人，分別記為a，b，c，B?？己说燃?jí)為優(yōu)秀的學(xué)生共有3人，分別記為A，B，C，從這6人中任取2人，所有的基本事件為ab，ac，aA，aB，aC，bc，bA，bB，bC，cA，cB，cC，AB，AC，BC共15個(gè)，而事件M包含的基本事件是ab，ac，bc，AB，AC，BC共6個(gè)，
因此P(M)＝eq \f(6,15)＝eq \f(2,5).
教師備選
(2022·萍鄉(xiāng)模擬)某中學(xué)高三共有男生800人，女生1 200人．現(xiàn)學(xué)校某興趣小組為研究學(xué)生日均消費(fèi)水平是否與性別有關(guān)，采用分層抽樣的方式從高三年級(jí)抽取男女生若干人．記錄其日均消費(fèi)，得到如圖所示男生日均消費(fèi)的莖葉圖和女生日均消費(fèi)的頻率分布直方圖．將所抽取的女生的日均消費(fèi)分為以下五組：(15,20]，(20,25]，(25,30]，(30,35]，(35,40]，規(guī)定日均消費(fèi)不超過(guò)25元的人為“節(jié)儉之星”．
(1)請(qǐng)完成下面2×2的列聯(lián)表；
根據(jù)以上2×2的列聯(lián)表，能否有90%的把握認(rèn)為學(xué)生是否為“節(jié)儉之星”與性別有關(guān)？
(2)現(xiàn)已知學(xué)校某小組有6名“節(jié)儉之星”，其中男生2人，女生4人．現(xiàn)從中選取2人在學(xué)校做勤儉節(jié)約宣講活動(dòng)報(bào)告，求選取的2人中至少有一名男生的概率．
附：K2＝eq \f(n?ad－bc?2,?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?)，其中n＝a＋b＋c＋d.
解 (1)由莖葉圖可知此次抽樣男生共20人，由于采用分層抽樣的方式，抽取女生為30人．依題意，男“節(jié)儉之星”共7人，女“節(jié)儉之星”共18人，填表如下：
從而K2＝eq \f(50×?18×13－12×7?2,25×25×20×30)＝3.000>2.706，
故有90%的把握認(rèn)為學(xué)生是否為“節(jié)儉之星”與性別有關(guān)．
(2)記2名男生分別為A1，A2，記4名女生分別為B1，B2，B3，B4，則從這6名“節(jié)儉之星”選取2名的所有可能有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)，共15種，其中至少有1名男生的情況有9種，
因此，所求概率為P＝eq \f(3,5).
思維升華 在統(tǒng)計(jì)中，一些問題可以通過(guò)圖表獲取信息，然后利用這些信息進(jìn)行計(jì)算．
跟蹤訓(xùn)練2 (2022·安慶模擬)某中學(xué)高一年級(jí)從甲、乙兩個(gè)班級(jí)各選出7名學(xué)生參加學(xué)科測(cè)試，他們?nèi)〉玫某煽?jī)的莖葉圖如圖，其中甲班學(xué)生的平均分是85，乙班學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是83.
(1)求x和y的值，并計(jì)算甲班7位學(xué)生成績(jī)的方差s2；
(2)從成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，求至少有一名學(xué)生是甲班的概率．
解 (1)由題意知85×7＝79＋78＋80＋80＋x＋85＋92＋96，解得x＝5.
又因?yàn)橐野鄬W(xué)生成績(jī)的中位數(shù)是83，所以y＝3.
s2＝eq \f(1,7)[(79－85)2＋(78－85)2＋(80－85)2＋(85－85)2＋(85－85)2＋(92－85)2＋(96－85)2]＝40.
(2)設(shè)甲班成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生為A，B，
乙班成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生為C，D，E.
從成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩名學(xué)生，
共有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE,10種情況，其中至少有一名學(xué)生是甲班的學(xué)生共有7種情況，
記“至少有一名學(xué)生是甲班的學(xué)生”為事件M，
則P(M)＝eq \f(7,10).
題型三 頻率分布直方圖與獨(dú)立性檢驗(yàn)
例3 (2022·齊齊哈爾模擬)已知某體育學(xué)校有學(xué)生2 000人，其中男生1 200人，女生800人．現(xiàn)按性別采用分層抽樣的方法抽取了200名學(xué)生，并記錄他們每天的平均跑步時(shí)間(單位：min)得到如下頻率分布表：
(1)根據(jù)頻率分布表，求實(shí)數(shù)m，n，p的值，完成如圖所示的頻率分布直方圖；
(2)若在被抽取的200名學(xué)生中有100名男生每天的平均跑步時(shí)間不低于40 min，完成下列2×2列聯(lián)表，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的情況下，認(rèn)為該學(xué)校學(xué)生每天的平均跑步時(shí)間不低于40 min與性別有關(guān)？
附：K2＝eq \f(n?ad－bc?2,?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?)，其中n＝a＋b＋c＋d.
解 (1)n＝1－0.05－0.20－0.15－0.25－0.05＝0.30，
p＝200×0.30＝60，
m＝200×0.20＝40，
頻率分布直方圖如圖．
(2)2×2列聯(lián)表：
所以K2＝eq \f(200×?20×50－30×100?2,50×150×80×120)≈11.111，
又因?yàn)?1.111>10.828，
所以能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的情況下認(rèn)為該校學(xué)生每天的平均跑步時(shí)間不低于40 min與性別有關(guān)．
教師備選
(2022·廣元模擬)某中學(xué)調(diào)查了該校某班全部40名同學(xué)參加棋藝社團(tuán)和武術(shù)社團(tuán)的情況，數(shù)據(jù)如下表：(單位：人)
(1)能否有95%的把握認(rèn)為參加棋藝社團(tuán)和參加武術(shù)社團(tuán)有關(guān)？
(2)已知在參加武術(shù)社團(tuán)且未參加棋藝社團(tuán)的10人中，從2到11進(jìn)行編號(hào)，從中抽取一人．先后兩次拋擲一枚骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為被抽取的序號(hào)，試求抽到6號(hào)或7號(hào)的概率．
附：K2＝eq \f(n?ad－bc?2,?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?)，其中n＝a＋b＋c＋d.
解 (1)由K2＝eq \f(40×?8×15－7×10?2,15×25×22×18)≈0.673 4，
則K26.635，
∴有99%的把握認(rèn)為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值與設(shè)備改造有關(guān)．
(2)用頻率估計(jì)概率，1 000件產(chǎn)品中大約有960件合格品，40件不合格品，
則獲利約為180×960－100×40＝168 800(元)，
因此，該企業(yè)大約能獲利168 800元．
課時(shí)精練
1．(2022·東三省四市聯(lián)考)在一個(gè)文藝比賽中，5名專業(yè)人士和5名觀眾代表各組成一個(gè)評(píng)委小組，給參賽選手打分．下面是兩組評(píng)委對(duì)同一名選手的打分：
(1)請(qǐng)判斷小組A與小組B哪一個(gè)更像是由專業(yè)人士組成的？
(2)若從A組的5位評(píng)委中任選2名評(píng)委，求其中恰有一位評(píng)委打分為95分的概率．
解 (1)由表格數(shù)據(jù)，知
eq \x\t(x)A＝eq \f(92＋95＋93＋95＋90,5)＝93，
eq \x\t(x)B＝eq \f(98＋80＋90＋85＋97,5)＝90，
∴seq \\al(2,A)＝eq \f(1,5)eq \i\su(i＝1,5, )(xAi－eq \x\t(x)A)2＝3.6b，))
解得a＝400，b＝100.
(2)由題意可知，在抽取的5人中，有3人是消費(fèi)主力軍，分別記為a1，a2，a3，有2人是消費(fèi)潛力軍，分別記為b1，b2.記“這2人中至少有一人是消費(fèi)潛力軍”為事件A.
從這5人中抽取2人所有可能的情況為(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，共10種．
符合事件A的有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，共7種．
故所求概率為P(A)＝eq \f(7,10).
3．(2022·畢節(jié)模擬)某校為了解同學(xué)們選擇“網(wǎng)頁(yè)制作”選修課的情況，隨機(jī)調(diào)查文、理科同學(xué)各50名，每位同學(xué)對(duì)是否選擇這門課程做出“選擇”和“不選擇”的答案，統(tǒng)計(jì)得如下列聯(lián)表：
(1)完成列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為選擇“網(wǎng)頁(yè)制作”選修課與文、理科類別有關(guān)？
(2)從文科同學(xué)中按分層抽樣的方法選取5人，再?gòu)倪@5人中任選3人，求這3人中至多有1人不選擇“網(wǎng)頁(yè)制作”選修課的概率．
附：K2＝eq \f(n?ad－bc?2,?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?)，其中n＝a＋b＋c＋d.
解 (1)列聯(lián)表為
K2＝eq \f(100×?40×20－30×10?2,50×50×30×70)＝eq \f(100,21)>3.841，
∴有95%的把握認(rèn)為選擇“網(wǎng)頁(yè)制作”選修課與文、理科類別有關(guān)．
(2)由題意得，5名文科同學(xué)中有3人做出“選擇”，設(shè)為A1，A2，A3；有2人“不選擇”，
設(shè)為B1，B2，從中選3人的總體情況有
A1A2A3，A1A2B1，A1A2B2，A1A3B1，A1A3B2，A1B1B2，A2A3B1，A2A3B2，A2B1B2，A3B1B2，共10種，
至多有1人不選擇“網(wǎng)頁(yè)制作”選修課有7種，
∴概率為P＝eq \f(7,10).
4．近年來(lái)，國(guó)資委、黨委高度重視扶貧開發(fā)工作，堅(jiān)決貫徹落實(shí)中央扶貧工作重大決策部署，在各個(gè)貧困縣全力推進(jìn)定點(diǎn)扶貧各項(xiàng)工作，取得了積極成效，某貧困縣為了響應(yīng)國(guó)家精準(zhǔn)扶貧的號(hào)召，特地承包了一塊土地，已知土地的使用面積以及相應(yīng)的管理時(shí)間的關(guān)系如下表所示：
并調(diào)查了某村300名村民參與管理的意愿，得到的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：
(1)求y關(guān)于x的線性回歸方程；(計(jì)算結(jié)果保留兩位小數(shù))
(2)是否有99.9%的把握認(rèn)為村民的性別與參與管理的意愿具有相關(guān)性？
參考公式：eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )?xi－\x\t(x)??yi－\x\t(y)?,\i\su(i＝1,n, )?xi－\x\t(x)?2)，eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x)，K2＝eq \f(n?ad－bc?2,?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?)，
其中n＝a＋b＋c＋d.
臨界值表：
解 (1)依題意得，eq \x\t(x)＝eq \f(1＋2＋3＋4＋5,5)＝3，
eq \x\t(y)＝eq \f(8＋10＋13＋25＋24,5)＝16，
故eq \i\su(i＝1,5, )(xi－eq \x\t(x))(yi－eq \x\t(y))＝(－2)×(－8)＋(－1)×(－6)＋1×9＋2×8＝47，
eq \i\su(i＝1,5, )(xi－eq \x\t(x))2＝4＋1＋1＋4＝10,
則eq \(b,\s\up6(^))＝eq \f(\(∑,\s\up6(5),\s\d5(i＝1)) ?xi－\x\t(x)??yi－\x\t(y)?,\(∑,\s\up6(5),\s\d5(i＝1))?xi－\x\t(x)?2)＝eq \f(47,10)＝4.7，
eq \(a,\s\up6(^))＝eq \x\t(y)－eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x)＝16－4.7×3＝1.9，
所以y關(guān)于x的線性回歸方程為eq \(y,\s\up6(^))＝4.7x＋1.9.
(2)依題意，女性不愿意參與管理的人數(shù)為50，
計(jì)算得K2的觀測(cè)值為
k＝eq \f(300×?150×50－50×50?2,200×100×200×100)
＝eq \f(300×5 000×5 000,200×100×200×100)＝18.75>10.828，
故有99.9%的把握認(rèn)為村民的性別與參與管理的意愿具有相關(guān)性．
5．(2022·開封模擬)人耳的聽力情況可以用電子測(cè)聽器檢測(cè)，正常人聽力的等級(jí)為0～25 dB(分貝)，并規(guī)定測(cè)試值在區(qū)間(0,5]為非常優(yōu)秀，測(cè)試值在區(qū)間(5,10]為優(yōu)秀．某校500名同學(xué)參加了聽力測(cè)試，從中隨機(jī)抽取了50名同學(xué)的測(cè)試值作為樣本，制成如下頻率分布直方圖：
(1)從總體的500名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)其測(cè)試值在區(qū)間(0,10]內(nèi)的概率；
(2)已知樣本中聽力非常優(yōu)秀的學(xué)生有4人，估計(jì)總體中聽力為優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)；
(3)現(xiàn)選出一名同學(xué)參加另一項(xiàng)測(cè)試，測(cè)試規(guī)則如下：四個(gè)音叉的發(fā)音情況不同，由強(qiáng)到弱的編號(hào)分別為1,2,3,4.測(cè)試前將音叉順序隨機(jī)打亂，被測(cè)試的同學(xué)依次聽完后，將四個(gè)音叉按發(fā)音由強(qiáng)到弱重新排序，所對(duì)應(yīng)的音叉編號(hào)分別為a1，a2，a3，a4(其中集合{a1，a2，a3，a4}＝{1,2,3,4})．記Y＝|1－a1|＋|2－a2|＋|3－a3|＋|4－a4|，可用Y描述被測(cè)試者的聽力偏離程度，求Y≤2的概率．
解 (1)根據(jù)頻率分布直方圖知，樣本中測(cè)試值在區(qū)間(0,10]內(nèi)的頻率為1－(0.06＋0.08＋0.02)×5＝1－0.8＝0.2，
以頻率為概率，從總體的500名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)其測(cè)試值在區(qū)間(0,10]內(nèi)的概率為0.2.
(2)由(1)知，樣本中聽力為優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為0.2×50－4＝6，
∴估計(jì)總體中聽力為優(yōu)秀的學(xué)生人數(shù)為
500×eq \f(6,50)＝60.
(3)當(dāng)a1＝1時(shí)，序號(hào)a1，a2，a3，a4的情況為6種，
分別記為(1,2,3,4)，(1,2,4,3)，(1,3,2,4)，(1,3,4,2)，(1,4,2,3)，(1,4,3,2)，
同理，當(dāng)a1＝2,3,4時(shí)，序號(hào)a1，a2，a3，a4的情況也分別為6種，
∴序號(hào)a1，a2，a3，a4所有的情況總數(shù)為24種．
當(dāng)Y＝0時(shí)，a1＝1，a2＝2，a3＝3，a4＝4，
當(dāng)Y＝|1－a1|＋|2－a2|＋|3－a3|＋|4－a4|＝2時(shí)，a1，a2，a3，a4的取值為a1＝1，a2＝2，a3＝4，a4＝3，
或a1＝1，a2＝3，a3＝2，a4＝4，或a1＝2，a2＝1，a3＝3，a4＝4，
∴當(dāng)Y≤2時(shí)，序號(hào)a1，a2，a3，a4對(duì)應(yīng)的情況為4種，即P(Y≤2)＝eq \f(4,24)＝eq \f(1,6).組號(hào)
分組
頻數(shù)
頻率
第1組
[160,165)
5
0.050
第2組
[165,170)
①
0.350
第3組
[170,175)
30
②
第4組
[175,180)
20
0.200
第5組
[180,185)
10
0.100
合計(jì)
100
1.00
天數(shù)
[5,10)
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30]
人數(shù)
4
7
18
9
27
考核成績(jī)
[60,85]
[86,100]
考核等級(jí)
合格
優(yōu)秀
“節(jié)儉之星”
非“節(jié)儉之星”
總計(jì)
男生
女生
總計(jì)
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.829
“節(jié)儉之星”
非“節(jié)儉之星”
總計(jì)
男生
7
13
20
女生
18
12
30
總計(jì)
25
25
50
每天平均跑步時(shí)間/min
頻數(shù)
頻率
[0,20)
10
0.05
[20,40)
m
0.20
[40,60)
30
0.15
[60,80)
50
0.25
[80,100)
p
n
[100,120]
10
0.05
合計(jì)
200
1
男生
女生
總計(jì)
每天平均跑步時(shí)間低于40 min
每天平均跑步時(shí)間不低于40 min
總計(jì)
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828
男生
女生
總計(jì)
每天平均跑步時(shí)間低于40 min
20
30
50
每天平均跑步時(shí)間不低于40 min
100
50
150
總計(jì)
120
80
200
參加棋藝社團(tuán)
未參加棋藝社團(tuán)
參加武術(shù)社團(tuán)
8
10
未參加武術(shù)社團(tuán)
7
15
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
k0
2.706
3.841
5.024
質(zhì)量指示值
[15，20)
[20，25)
[25，30)
[30，35)
[35，40)
[40，45]
頻數(shù)
4
36
96
28
32
4
設(shè)備改造前
設(shè)備改造后
總計(jì)
合格品
不合格品
總計(jì)
P(K2≥k0)
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
設(shè)備改造前
設(shè)備改造后
總計(jì)
合格品
172
192
364
不合格品
28
8
36
總計(jì)
200
200
400
小組A
92
95
93
95
90
小組B
98
80
90
85
97
年齡
[10，20)
[20，30)
[30，40)
[40，50)
[50，60)
[60，70)
人數(shù)
100
150
a
200
b
50
選擇
不選擇
總計(jì)
理科
40
文科
20
總計(jì)
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
選擇
不選擇
總計(jì)
理科
40
10
50
文科
30
20
50
總計(jì)
70
30
100
土地使用面積x(單位：畝)
1
2
3
4
5
管理時(shí)間y(單位：月)
8
10
13
25
24
愿意參與管理
不愿意參與管理
男性村民
150
50
女性村民
50
P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.025
0.010
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
10.828

相關(guān)試卷

2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)專題33 概率與統(tǒng)計(jì)綜合問題（解析版）：

這是一份2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)專題33 概率與統(tǒng)計(jì)綜合問題（解析版），共28頁(yè)。

2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)專題33 概率與統(tǒng)計(jì)綜合問題（原卷版）：

這是一份2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)專題33 概率與統(tǒng)計(jì)綜合問題（原卷版），共15頁(yè)。

2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練第十章　§10.8　概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題：

這是一份2024年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練第十章　§10.8　概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題，共5頁(yè)。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

高中數(shù)學(xué)高考第8節(jié) 概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題 課件

高中數(shù)學(xué)高考第8節(jié) 概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題 課件
高中數(shù)學(xué)高考第4節(jié) 概率與統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例的綜合問題 課件

高中數(shù)學(xué)高考第4節(jié) 概率與統(tǒng)計(jì)、統(tǒng)計(jì)案例的綜合問題 課件
(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第10章§10.9概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題

(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義第10章§10.9概率與統(tǒng)計(jì)的綜合問題
高中數(shù)學(xué)高考66第十一章 概率 高考專題突破6 高考中的概率與統(tǒng)計(jì)問題 無(wú)答案

高中數(shù)學(xué)高考66第十一章 概率 高考專題突破6 高考中的概率與統(tǒng)計(jì)問題 無(wú)答案
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部