考試要求 1.了解坐標系的作用，了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況.2.了解極坐標的基本概念，會在極坐標系中用極坐標刻畫點的位置，能進行極坐標和直角坐標的互化.3.能在極坐標系中給出簡單圖形表示的極坐標方程．
知識梳理
1．伸縮變換
設(shè)點P(x，y)是平面直角坐標系中的任意一點，在變換φ：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x′＝λ·x，λ>0，,y′＝μ·y，μ>0))的作用下，點P(x，y)對應(yīng)到點P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換．
2．極坐標系
(1)極坐標與極坐標系的概念
在平面內(nèi)取一個定點O，自點O引一條射線Ox，再選定一個長度單位、一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標系．點O稱為極點，射線Ox稱為極軸．平面內(nèi)任一點M的位置可以由線段OM的長度ρ和從射線Ox到射線OM的角度θ來刻畫(如圖所示)．這兩個數(shù)組成的有序數(shù)對(ρ，θ)稱為點M的極坐標．ρ稱為點M的極徑，θ稱為點M的極角．一般認為ρ≥0.當極角θ的取值范圍是[0,2π)時，平面上的點(除去極點)就與極坐標(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一對應(yīng)的關(guān)系．特別地，極點O的坐標為(0，θ)(θ∈R)．
(2)極坐標與直角坐標的互化
設(shè)M為平面內(nèi)任意一點，它的直角坐標為(x，y)，極坐標為(ρ，θ)．由圖可知下面關(guān)系式成立：
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ρcs θ，,y＝ρsin θ))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρ2＝x2＋y2，,tan θ＝\f(y,x)?x≠0?，))這就是極坐標與直角坐標的互化公式．
3．常見曲線的極坐標方程
思考辨析
判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)
(1)若點P的直角坐標為(1，－eq \r(3))，則點P的一個極坐標是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(π,3))).( √ )
(2)在極坐標系中，曲線的極坐標方程不是唯一的．( √ )
(3)極坐標方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲線是一條直線．( × )
(4)tan θ＝1與θ＝eq \f(π,4)表示同一條曲線．( × )
教材改編題
1．在極坐標系中，圓ρ＝－2sin θ的圓心的極坐標是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(π,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(π,2)))
C．(1,0) D．(1，π)
答案 B
解析 方法一 由ρ＝－2sin θ，
得ρ2＝－2ρsin θ，
化成直角坐標方程為x2＋y2＝－2y，
化成標準方程為x2＋(y＋1)2＝1，
圓心坐標為(0，－1)，
其對應(yīng)的極坐標為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(π,2))).
方法二 由ρ＝－2sin θ＝2cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,2)))，知圓心的極坐標為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，－\f(π,2)))，故選B.
2．在極坐標系中，已知點Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,6)))，則過點P且平行于極軸的直線方程是( )
A．ρsin θ＝1 B．ρsin θ＝eq \r(3)
C．ρcs θ＝1 D．ρcs θ＝eq \r(3)
答案 A
解析 先將極坐標化成直角坐標表示，Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,6)))轉(zhuǎn)化為直角坐標為x＝ρcs θ＝2cs eq \f(π,6)＝eq \r(3)，y＝ρsin θ＝2sin eq \f(π,6)＝1，即(eq \r(3)，1)，過點(eq \r(3)，1)且平行于x軸的直線為y＝1，再化為極坐標為ρsin θ＝1.
3．在極坐標系中，直線ρcs θ＋ρsin θ＝a(a>0)與圓ρ＝2cs θ相切，則a＝________.
答案 1＋eq \r(2)
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρcs θ＝x，,ρsin θ＝y(tǒng)，,ρ2＝x2＋y2))可將直線ρcs θ＋ρsin θ＝a化為x＋y－a＝0，
將ρ＝2cs θ，
即ρ2＝2ρcs θ化為x2＋y2＝2x，
整理成標準方程為(x－1)2＋y2＝1.
又∵直線與圓相切，
∴圓心(1,0)到直線x＋y－a＝0的距離d＝eq \f(|1－a|,\r(2))＝1，
解得a＝1±eq \r(2)，
∵a>0，∴a＝1＋eq \r(2).
題型一 極坐標與直角坐標的互化
例1 (1)極坐標方程ρ2cs θ－ρ＝0轉(zhuǎn)化成直角坐標方程為( )
A．x2＋y2＝0或y＝1 B．x＝1
C．x2＋y2＝0或x＝1 D．y＝1
答案 C
解析 ρ2cs θ－ρ＝0?ρ＝eq \r(x2＋y2)＝0或ρcs θ＝1，即x2＋y2＝0或x＝1.
(2)點M的直角坐標是(－1，eq \r(3))，則點M的極坐標為( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(π,3))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，－\f(π,3)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(2π,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)
答案 C
解析 ∵ρ＝eq \r(?－1?2＋?\r(3)?2)＝2，
tan θ＝eq \f(\r(3),－1)＝－eq \r(3).
又點M在第二象限，∴θ＝eq \f(2π,3)，
∴點M的極坐標為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(2π,3))).
教師備選
在直角坐標系xOy中，以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C1：ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)，C2：ρ2＝eq \f(1,3－4sin2θ).
(1)求曲線C1，C2的直角坐標方程；
(2)曲線C1，C2的交點為M，N，求以MN為直徑的圓與y軸的交點坐標．
解 (1)由ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)，得
ρeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin θcs \f(π,4)＋cs θsin \f(π,4)))＝eq \f(\r(2),2)，
將eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ρsin θ＝y(tǒng)，,ρcs θ＝x))代入上式得x＋y＝1，
即C1的直角坐標方程為x＋y－1＝0，
同理，由ρ2＝eq \f(1,3－4sin2θ)，可得3x2－y2＝1，
∴C2的直角坐標方程為3x2－y2＝1.
(2)設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3x2－y2＝1，,x＋y＝1))得3x2－(1－x)2＝1，
即x2＋x－1＝0，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝－1，,x1x2＝－1，))
則MN的中點坐標為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(3,2)))，
由弦長公式，可得|MN|＝eq \r(1＋?－1?2)|x1－x2|＝eq \r(2)×eq \r(1－4×?－1?)＝eq \r(10).
∴以MN為直徑的圓為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(10),2)))2＝eq \f(5,2).
令x＝0，得eq \f(1,4)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))2＝eq \f(5,2)，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(3,2)))2＝eq \f(9,4)，
∴y＝0或y＝3，
∴以MN為直徑的圓與y軸的交點坐標為
(0,0)或(0,3)．
思維升華 (1)直角坐標方程化為極坐標方程時，將x＝ρcs θ及y＝ρsin θ直接代入并化簡即可．
(2)極坐標方程化為直角坐標方程時常先通過變形，構(gòu)造形如ρcs θ，ρsin θ，ρ2的形式，再進行整體代換．其中方程的兩邊同乘(或同除以)ρ及方程兩邊同時平方是常用的變形方法．但對方程進行變形時，方程必須同解，因此應(yīng)注意對變形過程的檢驗．
跟蹤訓(xùn)練1 已知曲線C1的方程為(x－1)2＋y2＝1，C2的方程為x＋y＝3，C3是一條經(jīng)過原點且斜率大于0的直線．
(1)以直角坐標系原點O為極點，x軸正方向為極軸建立極坐標系，求C1與C2的極坐標方程；
(2)若C1與C3的一個公共點為A(異于點O)，C2與C3的一個公共點為B，當|OA|＋eq \f(3,|OB|)＝eq \r(10)時，求C3的直角坐標方程．
解 (1)曲線C1的方程為(x－1)2＋y2＝1，
整理得x2＋y2－2x＝0，轉(zhuǎn)換為極坐標方程為ρ＝2cs θ.
曲線C2的方程為x＋y＝3，轉(zhuǎn)換為極坐標方程為ρcs θ＋ρsin θ－3＝0.
(2)因為曲線C3是一條經(jīng)過原點且斜率大于0的直線，
則極坐標方程為θ＝αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(00)．
由題意知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝eq \f(4,cs θ).
由|OM|·|OP|＝16，得C2的極坐標方程為ρ＝4cs θ(ρ>0)．
因此C2的直角坐標方程為
(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．
(2)設(shè)點B的極坐標為(ρB，α)(ρB>0)．
由題設(shè)知|OA|＝2，ρB＝4cs α，
于是△OAB的面積S＝eq \f(1,2)|OA|·ρB·sin∠AOB
＝4cs α·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))))
＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,3)))－\f(\r(3),2)))≤2＋eq \r(3).
當α＝－eq \f(π,12)時，S取得最大值2＋eq \r(3)，
所以△OAB面積的最大值為2＋eq \r(3).
思維升華 極坐標方程及其應(yīng)用的解題策略
(1)求點到直線的距離．先將極坐標系下點的坐標、直線方程轉(zhuǎn)化為平面直角坐標系下點的坐標、直線方程，然后利用直角坐標系中點到直線的距離公式求解．
(2)求線段的長度．先將極坐標系下的點的坐標、曲線方程轉(zhuǎn)化為平面直角坐標系下的點的坐標、曲線方程，然后再求線段的長度．
跟蹤訓(xùn)練3 在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝9＋\r(3)t，,y＝t))(t為參數(shù))．以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ2＝eq \f(16,1＋3sin2θ).
(1)求C和l的直角坐標方程；
(2)已知P為曲線C上的一個動點，求線段OP的中點M到直線l的最大距離．
解 (1)由ρ2＝eq \f(16,1＋3sin2θ)，得ρ2＋3ρ2sin2θ＝16，
則曲線C的直角坐標方程為x2＋4y2＝16，
即eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,4)＝1.
直線l的直角坐標方程為x－eq \r(3)y－9＝0.
(2)可知曲線C的參數(shù)方程為eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4cs α，,y＝2sin α))(α為參數(shù))，
設(shè)P(4cs α，2sin α)，α∈[0,2π)，
則M(2cs α，sin α)到直線l：
x－eq \r(3)y－9＝0的距離為
d＝eq \f(|2cs α－\r(3)sin α－9|,2)＝eq \f(|\r(7)sin?θ－α?－9|,2)
≤eq \f(9＋\r(7),2)，
所以線段OP的中點M到直線l的最大距離為eq \f(9＋\r(7),2).
課時精練
1．在直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．曲線C的極坐標方程為ρcseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ－\f(π,3)))＝1(0≤θ

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