?專題15 反比例函數(shù)
一、反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)
【核心考點(diǎn)精講】
1．反比例函數(shù)（k≠0，k為常數(shù)）的圖象是雙曲線，兩個(gè)分支無限接近x軸、y軸，但是與坐標(biāo)軸沒有交點(diǎn)。

2．反比例函數(shù)的性質(zhì)
（1）增減性
當(dāng)k＞0時(shí)，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，y隨x的增大而減小。
當(dāng)k＜0時(shí)，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，y隨x的增大而增大。
（2）軸對(duì)稱性
當(dāng)k＞0時(shí)，雙曲線的兩支關(guān)于直線對(duì)稱。
當(dāng)k＜0時(shí)，雙曲線的兩支關(guān)于直線對(duì)稱。
（3）中心對(duì)稱性
雙曲線的兩個(gè)分支關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱。
【熱點(diǎn)題型精練】
1．（2022?賀州中考）已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象如圖所示，則y＝﹣kx+b與y的圖象為（　?。?br />
A． B． C． D．
解：根據(jù)一次函數(shù)y＝kx+b的圖象位置，可判斷k＞0、b＞0．
所以﹣k＜0．
再根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)，
答案：A．
2．（2022?襄陽中考）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝bx+c和反比例函數(shù)y在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（　?。?br />
A． B． C． D．
解：∵二次函數(shù)圖象開口方向向下，
∴a＜0，
∵對(duì)稱軸為直線x0，
∴b＞0，
∵與y軸的負(fù)半軸相交，
∴c＜0，
∴y＝bx+c的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，
反比例函數(shù)y圖象在第二四象限，
只有D選項(xiàng)圖象符合．
答案：D．
3．（2022?上海中考）已知反比例函數(shù)y（k≠0），且在各自象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，則下列點(diǎn)可能在這個(gè)函數(shù)圖象上的為（　?。?br /> A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（3，0） D．（﹣3，0）
解：因?yàn)榉幢壤瘮?shù)y（k≠0），且在各自象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，
所以k＜0，
A．2×3＝6＞0，故本選項(xiàng)不符合題意；
B．﹣2×3＝﹣6＜0，故本選項(xiàng)符合題意；
C．3×0＝0，故本選項(xiàng)不符合題意；
D．﹣3×0＝0，故本選項(xiàng)不符合題意；
答案：B．
4．（2022?荊門中考）如圖，點(diǎn)A，C為函數(shù)y（x＜0）圖象上的兩點(diǎn)，過A，C分別作AB⊥x軸，CD⊥x軸，垂足分別為B，D，連接OA，AC，OC，線段OC交AB于點(diǎn)E，且點(diǎn)E恰好為OC的中點(diǎn)．當(dāng)△AEC的面積為時(shí)，k的值為（　?。?br />
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
解：∵點(diǎn)E為OC的中點(diǎn)，
∴△AEO的面積＝△AEC的面積，
∵點(diǎn)A，C為函數(shù)y（x＜0）圖象上的兩點(diǎn)，
∴S△ABO＝S△CDO，
∴S四邊形CDBE＝S△AEO，
∵EB∥CD，
∴△OEB∽△OCD，
∴（）2，
∴S△OCD＝1，
則xy＝﹣1，
∴k＝xy＝﹣2．
答案：B．
5．（2022?成都中考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若反比例函數(shù)y的圖象位于第二、四象限，則k的取值范圍是 　k＜2?。?br /> 解：∵反比例函數(shù)y的圖象位于第二、四象限，
∴k﹣2＜0，
解得k＜2，
答案：k＜2．
6．（2022?濟(jì)寧中考）如圖，A是雙曲線y（x＞0）上的一點(diǎn)，點(diǎn)C是OA的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作y軸的垂線，垂足為D，交雙曲線于點(diǎn)B，則△ABD的面積是 　4?。?br />
解：∵點(diǎn)C是OA的中點(diǎn)，
∴S△ACD＝S△OCD，S△ACB＝S△OCB，
∴S△ACD+S△ACB＝S△OCD+S△OCB，
∴S△ABD＝S△OBD，
∵點(diǎn)B在雙曲線y（x＞0）上，BD⊥y軸，
∴S△OBD4，
∴S△ABD＝4，
答案：4．
二、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及系數(shù)k的幾何意義
【核心考點(diǎn)精講】
1．圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征
（1）圖象上的點(diǎn)（x，y）的橫、縱坐標(biāo)之積是定值k，即。
（2）雙曲線的兩個(gè)分支關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，兩個(gè)分支上的點(diǎn)也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。
2．比例系數(shù)k的幾何意義
（1）在反比例函數(shù)圖象上任取一點(diǎn)，過此點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積是。
（2）在反比例函數(shù)圖象上任取一點(diǎn)，過此點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，此點(diǎn)和垂足以及坐標(biāo)原點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積是。



【熱點(diǎn)題型精練】
7．（2022?貴陽中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有P，Q，M，N四個(gè)點(diǎn)，其中恰有三點(diǎn)在反比例函數(shù)y（k＞0）的圖象上．根據(jù)圖中四點(diǎn)的位置，判斷這四個(gè)點(diǎn)中不在函數(shù)y的圖象上的點(diǎn)是（　?。?br />
A．點(diǎn)P B．點(diǎn)Q C．點(diǎn)M D．點(diǎn)N
解：如圖，反比例函數(shù)y的圖象是雙曲線，若點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則其縱橫坐標(biāo)的積為常數(shù)k，即xy＝k，

通過觀察發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)P、Q、N可能在圖象上，點(diǎn)M不在圖象上，
答案：C．
8．（2022?長(zhǎng)春中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P在反比例函數(shù)y（k＞0，x＞0）的圖象上，其縱坐標(biāo)為2，過點(diǎn)P作PQ∥y軸，交x軸于點(diǎn)Q，將線段QP繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段QM．若點(diǎn)M也在該反比例函數(shù)的圖象上，則k的值為（　?。?br />
A． B． C． D．4
解：作MN⊥x軸于N，

∵P在反比例函數(shù)y（k＞0，x＞0）的圖象上，其縱坐標(biāo)為2，過點(diǎn)P作PQ∥y軸，交x軸于點(diǎn)Q，
∴P（，2），
∴PQ＝2，
∵將線段QP繞點(diǎn)Q順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段QM．
∴QM＝QP＝2，∠PQM＝60°，
∴∠MQN＝90°﹣60°＝30°，
∴MNQM＝1，
∴QN，
∴M（，1），
∵點(diǎn)M也在該反比例函數(shù)的圖象上，
∴k，
解得k＝2，
答案：C．
9．（2022?日照中考）如圖，矩形OABC與反比例函數(shù)y1（k1是非零常數(shù)，x＞0）的圖象交于點(diǎn)M，N，與反比例函數(shù)y2（k2是非零常數(shù)，x＞0）的圖象交于點(diǎn)B，連接OM，ON．若四邊形OMBN的面積為3，則k1﹣k2＝（　?。?br />
A．3 B．﹣3 C． D．
解：∵y1、y2的圖象均在第一象限，
∴k1＞0，k2＞0，
∵點(diǎn)M、N均在反比例函數(shù)y1（k1是非零常數(shù)，x＞0）的圖象上，
∴S△OAM＝S△OCNk1，
∵矩形OABC的頂點(diǎn)B在反比例函數(shù)y2（k2是非零常數(shù)，x＞0）的圖象上，
∴S矩形OABC＝k2，
∴S四邊形OMBN＝S矩形OABC﹣S△OAM﹣S△OCN＝3，
∴k2﹣k1＝3，
∴k1﹣k2＝﹣3，
答案：B．
10．（2022?宿遷中考）如圖，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y（x＞0）的圖象上，以O(shè)A為一邊作等腰直角三角形OAB，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，則線段OB長(zhǎng)的最小值是（　　）

A．1 B． C．2 D．4
解：∵三角形OAB是等腰直角三角形，
∴當(dāng)OB最小時(shí)，OA最小，
設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，），
∴OA，
∵0，
即：4≥0，
∴4，
∵0，
兩邊同時(shí)開平方得：a0，
∴當(dāng)a時(shí)，OA有最小值，
解得a1，a2（舍去），
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（，），
∴OA＝2，
∵三角形OAB是等腰直角三角形，OB為斜邊，
∴OBOA＝2．
答案：C．
11．（2022?郴州中考）如圖，在函數(shù)y（x＞0）的圖象上任取一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作y軸的垂線交函數(shù)y（x＜0）的圖象于點(diǎn)B，連接OA，OB，則△AOB的面積是（　?。?br />
A．3 B．5 C．6 D．10
解：∵點(diǎn)A在函數(shù)y（x＞0）的圖象上，
∴S△AOC2＝1，
又∵點(diǎn)B在反比例函數(shù)y（x＜0）的圖象上，
∴S△BOC8＝4，
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC
＝1+4
＝5，
答案：B．

12．（2022?深圳中考）如圖，已知直角三角形ABO中，AO＝1，將△ABO繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至△A'B'O的位置，且A'在OB中點(diǎn)，B'在反比例函數(shù)y上，則k的值 　?。?br />
解：連接AA′，作B′E⊥x軸于點(diǎn)E，

由題意知OA＝OA′，A'是OB中點(diǎn)，∠AOB＝∠A′OB′，OB′＝OB，
∴AA′OB＝OA′，
∴△AOA′是等邊三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴OB＝2OA＝2，∠B′OE＝60°，
∴OB′＝2，
∴OEOB′＝1，
∴B′EOE，
∴B′（1，），
∵B'在反比例函數(shù)y上，
∴k＝1．
答案：．
13．（2022?威海中考）正方形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4）．若反比例函數(shù)y（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，則k的值為 　24?。?br />
解：作CE⊥OB于E，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∴∠OBA+∠CBE＝90°，
∵∠OBA+∠OAB＝90°，
∴∠OAB＝∠CBE，
∵∠AOB＝∠CEB，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴OA＝BE，OB＝CE，
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4）．
∴OA＝2，OB＝4，
∴BE＝2，CE＝4，
∴C（4，6），
∵反比例函數(shù)y（k≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，
∴k＝4×6＝24，
答案：24．
14．（2022?株洲中考）如圖所示，矩形ABCD頂點(diǎn)A、D在y軸上，頂點(diǎn)C在第一象限，x軸為該矩形的一條對(duì)稱軸，且矩形ABCD的面積為6．若反比例函數(shù)y的圖象經(jīng)過點(diǎn)C，則k的值為 　3?。?br />
解：設(shè)BC交x軸于E，如圖：

∵x軸為矩形ABCD的一條對(duì)稱軸，且矩形ABCD的面積為6，
∴四邊形DOEC是矩形，且矩形DOEC面積是3，
設(shè)C（m，n），則OE＝m，CE＝n，
∵矩形DOEC面積是3，
∴mn＝3，
∵C在反比例函數(shù)y的圖象上，
∴n，即k＝mn，
∴k＝3，
答案：3．
15．（2022?包頭中考）如圖，反比例函數(shù)y（k＞0）在第一象限的圖象上有A（1，6），B（3，b）兩點(diǎn)，直線AB與x軸相交于點(diǎn)C，D是線段OA上一點(diǎn)．若AD?BC＝AB?DO，連接CD，記△ADC，△DOC的面積分別為S1，S2，則S1﹣S2的值為 　4?。?br />
解：∵反比例函數(shù)y（k＞0）在第一象限的圖象上有A（1，6），B（3，b）兩點(diǎn)，
∴1×6＝3b，
∴b＝2，
∴B（3，2），
設(shè)直線AB的解析式為y＝mx+n，
，
解得：，
∴y＝﹣2x+8，
令y＝0，
﹣2x+8＝0，
解得：x＝4，
∴C（4，0），
∵AB2，
BC，
AD?BC＝AB?DO，
∴AD?2?DO，
∴AD＝2DO，
∴S1＝2S2，
∴S1﹣S2＝S2，
∵S1+S2＝S△AOC，
∴S1﹣S2＝S2S△AOC4×6＝4．
答案：4．
16．（2022?煙臺(tái)中考）如圖，A，B是雙曲線y（x＞0）上的兩點(diǎn)，連接OA，OB．過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，交OB于點(diǎn)D．若D為AC的中點(diǎn)，△AOD的面積為3，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，2），則m的值為 　6　．

解：因?yàn)镈為AC的中點(diǎn)，△AOD的面積為3，
所以△AOC的面積為6，
所以k＝12＝2m．
解得：m＝6．
答案：6．
17．（2022?玉林中考）如圖，點(diǎn)A在雙曲線y（k＞0，x＞0）上，點(diǎn)B在直線l：y＝mx﹣2b（m＞0，b＞0）上，A與B關(guān)于x軸對(duì)稱，直線l與y軸交于點(diǎn)C，當(dāng)四邊形AOCB是菱形時(shí)，有以下結(jié)論：
①A（b，b）；②當(dāng)b＝2時(shí)，k＝4；③m；④S四邊形AOCB＝2b2
則所有正確結(jié)論的序號(hào)是 ?、冖邸。?br />
解：如圖，

①y＝mx﹣2b中，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣2b，
∴C（0，﹣2b），
∴OC＝2b，
∵四邊形AOCB是菱形，
∴AB＝OC＝OA＝2b，
∵A與B關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴AB⊥OD，AD＝BD＝b，
∴ODb，
∴A（b，b）；
故①不正確；
②當(dāng)b＝2時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），
∴k＝22＝4，
故②正確；
③∵A（b，b），A與B關(guān)于x軸對(duì)稱，
∴B（b，﹣b），
∵點(diǎn)B在直線y＝mx﹣2b上，
∴bm﹣2b＝﹣b，
∴m，
故③正確；
④菱形AOCB的面積＝AB?OD＝2b?b＝2b2，
故④不正確；
所以本題結(jié)論正確的有：②③；
答案：②③．
18．（2022?金華中考）如圖，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，AB⊥x軸于點(diǎn)B，反比例函數(shù)y（k≠0，x＞0）的圖象分別交AO，AB于點(diǎn)C，D．已知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，2），BD＝1．
（1）求k的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)．
（2）已知點(diǎn)P在該反比例函數(shù)圖象上，且在△ABO的內(nèi)部（包括邊界），直接寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的取值范圍．

解：（1）∵點(diǎn)C（2，2）在反比例函數(shù)y（k≠0，x＞0）的圖象上，
∴2，
解得k＝4，
∵BD＝1．
∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為1，
∵點(diǎn)D在反比例函數(shù)y（k≠0，x＞0）的圖象上，
∴1，
解得x＝4，
即點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，1）；
（2）∵點(diǎn)C（2，2），點(diǎn)D（4，1），點(diǎn)P在該反比例函數(shù)圖象上，且在△ABO的內(nèi)部（包括邊界），
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x的取值范圍是2≤x≤4．
三、反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題
【核心考點(diǎn)精講】
1．反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)的求解方法
把兩個(gè)函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解，則兩者有交點(diǎn)；若方程組無解，則兩者無交點(diǎn)。
2．反比例函數(shù)與一次函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中交點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法
（1）當(dāng)k1與k2同號(hào)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中有2個(gè)交點(diǎn)。
（2）當(dāng)k1與k2異號(hào)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中可能有0、1或2個(gè)交點(diǎn)。
【熱點(diǎn)題型精練】
19．（2022?東營中考）如圖，一次函數(shù)y1＝k1x+b與反比例函數(shù)y2的圖象相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為﹣1，則不等式k1x+b的解集是（　?。?br />
A．﹣1＜x＜0或x＞2 B．x＜﹣1或0＜x＜2
C．x＜﹣1或x＞2 D．﹣1＜x＜2
解：觀察函數(shù)圖象可知，當(dāng)﹣1＜x＜0或x＞2時(shí)，一次函數(shù)y1＝k1x+b的圖象在反比例函數(shù)y2的圖象的下方，
∴不等式k1x+b的解集為：﹣1＜x＜0或x＞2，
答案：A．
20．（2022?無錫中考）一次函數(shù)y＝mx+n的圖象與反比例函數(shù)y的圖象交于點(diǎn)A、B，其中點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為A（，﹣2m）、B（m，1），則△OAB的面積是（　?。?br /> A．3 B． C． D．
解：∵點(diǎn)A（，﹣2m）在反比例函數(shù)y上，
∴﹣2m，
解得：m＝2，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為：（，﹣4），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，1），
∴S△OAB542×11，
答案：D．
21．（2022?懷化中考）如圖，直線AB交x軸于點(diǎn)C，交反比例函數(shù)y（a＞1）的圖象于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作BD⊥y軸，垂足為點(diǎn)D，若S△BCD＝5，則a的值為（　?。?br />
A．8 B．9 C．10 D．11
解：設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（m，），
∵S△BCD＝5，且a＞1，
∴m5，
解得：a＝11，
答案：D．
22．（2022?隨州中考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝x+1與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，與反比例函數(shù)y的圖象在第一象限交于點(diǎn)C，若AB＝BC，則k的值為 　2?。?br />
解：過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H．

∵直線y＝x+1與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，
∴A（﹣1，0），B（0，1），
∴OA＝OB＝1，
∵OB∥CH，
∴1，
∴OA＝OH＝1，
∴CH＝2OB＝2，
∴C（1，2），
∵點(diǎn)C在y的圖象上，
∴k＝2，
答案：2．
23．（2022?內(nèi)江中考）如圖，已知一次函數(shù)y＝kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)P（2，3），與反比例函數(shù)y的圖象在第一象限交于點(diǎn)Q（m，n）．若一次函數(shù)y的值隨x值的增大而增大，則m的取值范圍是 　m＜2?。?br />
解：過點(diǎn)P作PA∥x軸，交雙曲線于點(diǎn)A，過點(diǎn)P作PB∥y軸，交雙曲線于點(diǎn)B，如圖，

∵P（2，3），反比例函數(shù)y，
∴A（，3），B（2，1）．
∵一次函數(shù)y的值隨x值的增大而增大，
∴點(diǎn)Q（m，n）在A，B之間，
∴m＜2．
答案：m＜2．
24．（2022?巴中中考）將雙曲線y向右平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，得到的新雙曲線與直線y＝ki（x﹣2）﹣1（ki＞0，i＝1，2，3，…，1011）相交于2022個(gè)點(diǎn)，則這2022個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為 　4044?。?br /> 解：直線y＝ki（x﹣2）﹣1（ki＞0，i＝1，2，3，???，1011）可由直線y＝kix（ki＞0，i＝1，2，3，???，1011）向右平移2個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位得到，
∴直線y＝kix（ki＞0，i＝1，2，3，???，1011）到直線y＝ki（x﹣2）﹣1（ki＞0，i＝1，2，3，???，1011）的平移方式與雙曲線雙曲線的相同，
∴新雙曲線與直線y＝ki（x﹣2）﹣1（ki＞0，i＝1，2，3，???，1011）的交點(diǎn)也可以由雙曲線與直線y＝kix（ki＞0，i＝1，2，3，???，1011）的交點(diǎn)以同樣的方式平移得到，
設(shè)雙曲線與直線y＝kix（ki＞0，i＝1，2，3，???，1011）的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xi，x'i，（i＝1，2，3，???，1011），
則新雙曲線與直線y＝ki（x﹣2）﹣1（ki＞0，i＝1，2，3，???，1011）的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xi+2，x'i+2（i＝1，2，3，???，1011），
根據(jù)雙曲線與直線y＝kix（ki＞0，i＝1，2，3，???，1011）圖像都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可知雙曲線與直線y＝kix（ki＞0，i＝1，2，3，???，1011）的交點(diǎn)也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴xi+x'i＝0，（i＝1，2，3，???，1011），
∴（xi+2）+（x'i+2）＝4（i＝1，2，3，???，1011），
即新雙曲線與直線y＝ki（x﹣2）﹣1（ki＞0，i＝1，2，3，???，1011）的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和都是4，
∴這2022個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為：4×1011＝4044．
答案：4044．
25．（2022?綿陽中考）如圖，一次函數(shù)y＝k1x+b與反比例函數(shù)y在第一象限交于M（2，8）、N兩點(diǎn)，NA垂直x軸于點(diǎn)A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OANM的面積為38．
（1）求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)P是反比例函數(shù)第三象限內(nèi)的圖象上一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)簡(jiǎn)要描述使△PMN的面積最小時(shí)點(diǎn)P的位置（不需證明），并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和△PMN面積的最小值．

解：（1）∵反比例函數(shù)y過點(diǎn)M（2，8），
∴k2＝2×8＝16，
∴反比例函數(shù)的解析式為y，
設(shè)N（m，），
∵M(jìn)（2，8），
∴S△OMB8，
∵四邊形OANM的面積為38，
∴四邊形ABMN的面積為30，
∴（8）?（m﹣2）＝30，
解得m1＝8，m2（舍去），
∴N（8，2），
∵一次函數(shù)y＝k1x+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)M、N，
∴，解得，
∴一次函數(shù)的解析式為y＝﹣x+10；
（2）與直線MN平行，且在第三象限與反比例函數(shù)y有唯一公共點(diǎn)P時(shí)，△PMN的面積最小，
設(shè)與直線MN平行的直線的關(guān)系式為y＝﹣x+n，當(dāng)與y在第三象限有唯一公共點(diǎn)時(shí)，
有方程﹣x+n（x＜0）唯一解，
即x2﹣nx+16＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴n2﹣4×1×16＝0，
解得n＝﹣8或x＝8（舍去），
∴與直線MN平行的直線的關(guān)系式為y＝﹣x﹣8，
∴方程﹣x﹣8的解為x＝﹣4，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝﹣4是原方程的解，
當(dāng)x＝﹣4時(shí)，y4，
∴點(diǎn)P（﹣4，﹣4），
如圖，過點(diǎn)P作AN的垂線，交NA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，交y軸于點(diǎn)D，延長(zhǎng)MB交PQ于點(diǎn)C，由題意得，

PD＝4，DQ＝8，CD＝2，MC＝8+4＝12，NQ＝2+4＝6，
∴S△PMN＝S△MPC+S梯形MCQN﹣S△PNQ
6×12（12+6）×612×6
＝36+54﹣36
＝54，
答：點(diǎn)P（﹣4，﹣4），△PMN面積的最小值為54．
26．（2022?樂山中考）如圖，已知直線l：y＝x+4與反比例函數(shù)y（x＜0）的圖象交于點(diǎn)A（﹣1，n），直線l′經(jīng)過點(diǎn)A，且與l關(guān)于直線x＝﹣1對(duì)稱．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）求圖中陰影部分的面積．

解：（1）∵點(diǎn)A（﹣1，n）在直線l：y＝x+4上，
∴n＝﹣1+4＝3，
∴A（﹣1，3），
∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)y（x＜0）的圖象上，
∴k＝﹣3，
∴反比例函數(shù)的解析式為y；
（2）易知直線l：y＝x+4與x、y軸的交點(diǎn)分別為B（﹣4，0），C（0，4），
∵直線l′經(jīng)過點(diǎn)A，且與l關(guān)于直線x＝﹣1對(duì)稱，
∴直線l′與x軸的交點(diǎn)為E（2，0），
設(shè)l′：y＝kx+b，則，
解得：，
∴l(xiāng)′：y＝﹣x+2，
∴l(xiāng)′與y軸的交點(diǎn)為D（0，2），
∴陰影部分的面積＝△BOC的面積﹣△ACD的面積4×42×1＝7．

四、反比例函數(shù)的應(yīng)用
【核心考點(diǎn)精講】
1．利用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題
（1）把實(shí)際的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立反比例函數(shù)的數(shù)學(xué)模型。
（2）注意自變量和函數(shù)值的實(shí)際意義。
2．跨學(xué)科的反比例函數(shù)應(yīng)用題
熟練掌握物理或化學(xué)中的一些具有反比例函數(shù)關(guān)系的公式。
3．反比例函數(shù)中的圖表信息題
正確認(rèn)識(shí)圖象，找到關(guān)鍵點(diǎn)，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合。
【熱點(diǎn)題型精練】
27．（2022?麗水中考）已知電燈電路兩端的電壓U為220V，通過燈泡的電流強(qiáng)度I（A）的最大限度不得超過0.11A．設(shè)選用燈泡的電阻為R（Ω），下列說法正確的是（　?。?br /> A．R至少2000Ω B．R至多2000Ω C．R至少24.2Ω D．R至多24.2Ω
解：∵電壓U一定時(shí)，電流強(qiáng)度I（A）與燈泡的電阻為R（Ω）成反比例，
∴I．
∵已知電燈電路兩端的電壓U為220V，
∴I．
∵通過燈泡的電流強(qiáng)度I（A）的最大限度不得超過0.11A，
∴0.11，
∴R≥2000．
答案：A．
28．（2021?自貢中考）已知蓄電池的電壓為定值，使用蓄電池時(shí)，電流I（單位：A）與電阻R（單位：Ω）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示．下列說法正確的是（　?。?br />
A．函數(shù)解析式為I B．蓄電池的電壓是18V
C．當(dāng)I≤10A時(shí)，R≥3.6Ω D．當(dāng)R＝6Ω時(shí)，I＝4A
解：設(shè)I，
∵圖象過（4，9），
∴k＝36，
∴I，
∴蓄電池的電壓是36V．
∴A，B均錯(cuò)誤；
當(dāng)I＝10時(shí)，R＝3.6，
由圖象知：當(dāng)I≤10A時(shí)，R≥3.6Ω，
∴C正確，符合題意；
當(dāng)R＝6時(shí)，I＝6，
∴D錯(cuò)誤，
答案：C．
29．（2022?山西中考）根據(jù)物理學(xué)知識(shí)，在壓力不變的情況下，某物體承受的壓強(qiáng)p（Pa）是它的受力面積S（m2）的反比例函數(shù)，其函數(shù)圖象如圖所示．當(dāng)S＝0.25m2時(shí)，該物體承受的壓強(qiáng)p的值為 　400　Pa．

解：設(shè)p，
∵函數(shù)圖象經(jīng)過（0.1，1000），
∴k＝100，
∴p，
當(dāng)S＝0.25m2時(shí)，物體所受的壓強(qiáng)p400（Pa），
答案：400．
30．（2022?廣州中考）某燃?xì)夤居?jì)劃在地下修建一個(gè)容積為V（V為定值，單位：m3）的圓柱形天然氣儲(chǔ)存室，儲(chǔ)存室的底面積S（單位：m2）與其深度d（單位：m）是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖象如圖所示．
（1）求儲(chǔ)存室的容積V的值；
（2）受地形條件限制，儲(chǔ)存室的深度d需要滿足16≤d≤25，求儲(chǔ)存室的底面積S的取值范圍．

解：（1）設(shè)底面積S與深度d的反比例函數(shù)解析式為S，把點(diǎn)（20，500）代入解析式得500，
∴V＝10000．
（2）由（1）得S，
∵S隨d的增大而減小，
∴當(dāng)16≤d≤25時(shí)，400≤S≤625，



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