九年級數(shù)學(xué)
注意事項：
1．本試卷共6頁，三大題，滿分120分，考試時間100分鐘。
2．請用藍(lán)、黑色鋼筆或圓珠筆直接答在試卷上。
3．答卷前請將彌封線內(nèi)的項目填寫清楚。
一、選擇題（每小題3分，共30分）下列各小題均有四個選項，其中只有一個是正確的．
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．矩形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（ ）
A．對角線互相垂直B．對角線相等C．對角線互相平分D．鄰邊相等
3．暑期研學(xué)旅行結(jié)束時，某班的每一個同學(xué)都向其他同學(xué)贈送一張自己的照片留作紀(jì)念，全班共送了2256張照片，若該班有名同學(xué)，則根據(jù)題意可列出方程為（ ）
A．B．C．D．
4．將方程化為一元二次方程的一般形式，其中二次項系數(shù)為1，則一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為（ ）
A．5，B．5，7C．，7D．，
5．若關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是（ ）
A．B．且C．D．且
6．如圖，正方形和正方形的邊長都是1，正方形繞點O旋轉(zhuǎn)時，兩個正方形重疊部分的面積是（ ）
A．B．C．D．不能確定
7．對角線長分別為6和8的菱形如圖所示，點為對角線的交點，過點折疊菱形，使，兩點重合，是折痕．若，則的長為（ ）
A．7B．6C．5D．4
8．如圖，四邊形是菱形，頂點，的坐標(biāo)分別是，，點在軸上，則頂點的坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
9．某同學(xué)參考“趙爽弦圖”，在正方形中，連接，相交于點，分正方形為四個全等的直角三角形，向外延長正方形的邊至點，，，，使，得到如圖所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)車”．記四邊形的面積為，的面積為，若，則的值為（ ）
A．B．C．D．
10．如圖，菱形中，，，點，分別是邊，的中點，動點從點出發(fā)，按逆時針方向，沿，，勻速運(yùn)動到點停止，設(shè)的面積為，動點運(yùn)動的路徑總長為，能表示與函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（ ）
A．B．C．D．
二、填空題（每小題3分，共15分）
11．如圖，以正方形的中心為原點建立平面直角坐標(biāo)系，點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為________．
12．如圖，在菱形中，對角線，相交于點，，，，交于點，則的長為________．
13．三角形的兩邊長分別為4和7，第三邊的長是方程的解，則這個三角形的周長是________．
14．如圖，某單位準(zhǔn)備在院內(nèi)一塊長30m、寬20m的長方形花園中修兩條縱向平行和一條橫向彎折的小道，剩余的部分種植花草，要使種植花草的面積為，則小道進(jìn)出口的寬度為________m．
15．如圖，作邊長為1的正方形，再以正方形的邊為對角線作第2個正方形，再以邊為對角線作第3個正方形……如此作下去，則所作的第2023個正方形的面積為________．
三、解答題（本大題共8小題，共75分）
16．（10分）用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?br>（1）（5分）；
（2）（5分）．
17．（9分）已知是關(guān)于的一元二次方程的一個根，求的值．
18．（9分）關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根．
（1）求的取值范圍：
（2）如果是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程與方程有一個相同的根，求此時的值．
19．（9分）如圖，已知平行四邊形，若，是上兩點，且，．求證：四邊形是矩形．
20．（9分）某商店代銷一種商品，當(dāng)每件商品的售價為200元時，月銷售量為20件，該商店為提高經(jīng)營利潤，準(zhǔn)備采取降價的方式進(jìn)行促銷，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：當(dāng)每件商品每降價10元時，月銷售量就會增加5件．綜合考慮各種因素，每售出一件商品共需支付廠家及其他費用80元，為了盡快減少庫存，月銷售量應(yīng)不低于40件，求每件商品的售價定為多少元時，該商店每月可獲得3000元的利潤．
21．（9分）請閱讀下列材料：
問題：已知方程．求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．
解：設(shè)所求方程的根為，則，所以，把代入已知方程，得．化簡，得．故所求方程為．
這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”．
請用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求把所求方程化為一般形式）：
（1）已知方程，求一個一元二次方程，使它的根分別為已知方程根的相反數(shù)；
（2）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個不等于零的實數(shù)根，求一個一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)．
22．（10分）如圖1，在正方形中，點，分別在，上，且．
圖1
（1）試探索線段，的大小關(guān)系，寫出你的結(jié)論并說明理由：
（2）連接，，分別取，，，的中點，，，，順次連接，得到四邊形．
圖2
①請在圖2中補(bǔ)全圖形；
②四邊形是什么特殊平行四邊形?請說明理由．
23．（10分）定義：只有一組對角是直角的四邊形叫做損矩形，連接它的兩個非直角頂點的線段叫做這個損矩形的直徑．如圖1，．四邊形是損矩形，則該損矩形的直徑是線段．同時我們還發(fā)現(xiàn)損矩形中有公共邊的兩個三角形角的特點：在公共邊的同側(cè)的兩個角是相等的．如圖1中，和有公共邊，在同側(cè)有和，此時；再比如和有公共邊，在同側(cè)有和，此時．
圖1 圖2
（1）請在圖1中再找出一對這樣的角：________________．
（2）如圖2，中，，以為一邊向外作菱形，為菱形對角線的交點，連接，當(dāng)平分時，判斷四邊形為何種特殊的四邊形?請說明理由．
（3）在第（2）題的條件下，若此時，，求的長．
2023~2024學(xué)年上學(xué)期階段性學(xué)情分析（一）
九年級數(shù)學(xué)（BS）參考答案
1．D2．B3．A4．A
5．D6．A7．D8．C
9．A10．D
11．12．13．1714．1
15．
16．解：（1）原方程可變形為，
配方（兩邊同時加上4），得，
即，
兩邊開方，得．
即，或．
所以，；
（2）原方程可變形為，則，
，或．
，．
17．解：是方程的一個根，
，
，即，
或．
18．解：（1）根據(jù)題意得，解得；
（2）的最大整數(shù)為2，
方程可化為，
解此方程得，．
一元二次方程與方程有一個相同的根，
當(dāng)時，，解得；
當(dāng)時，，解得，
，即，
的值為．
19．證明：四邊形是平行四邊形，
，．
，
，即．
四邊形是平行四邊形．
，
．
，
．
四邊形是矩形．
20．解：設(shè)每件商品的售價定為元時，該商店每月可獲得3000元的利潤，
由題意得，，
解得，．
月銷售量應(yīng)不低于40件，
，
，
不符合題意，舍去，
，
答：售價定為140元時，該商店可獲得月利潤3000元．
21．解：（1）設(shè)所求方程的根為，則，
把代入方程得，
即所求方程為；
（2）設(shè)所求方程的根為，則，
把代入方程得
，
整理得，
即所求方程為．
22．解：（1）．理由如下：
四邊形是正方形，
，，
又，
在和中，
，，，
．
；
（2）①如圖所示：
②四邊形是正方形．理由如下：
，，，分別是，，，的中點，
．
，
．
四邊形是菱形．
，
．
，
．
．
又，，
．
四邊形是正方形．
23．解：（1） （答案不唯一）；
（2）四邊形為正方形．理由如下：
，平分，
．
四邊形是菱形，
，
，
又，
四邊形是損矩形．
，
菱形為正方形．
（3）如圖，過點作于，過點作交的延長線于．
，
是等腰直角三角形．
，
．
四邊形是正方形，
，，．
，
．
在和中，
，，，
，
．
，，
，
，
．

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