?江蘇省南京市南京一中2023~2024學年九年級上學期10月月考數(shù)學試卷

一．選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分）
1．下列方程是一元二次方程的是　　
A ． B ．
C ． D ．
2．用配方法解方程，下列配方正確的是　　
A． B． C． D．
3．平面內，若的半徑為2，，則點在　　
A．內 B．上 C．外 D．內或外
4．用直角鋼尺檢查某一工件是否恰好是半圓環(huán)形，根據(jù)圖所表示的情形，四個工件哪一個肯定是半圓環(huán)形　　
A． B． C． D．
5．若，是方程的兩個實數(shù)根，則的值為　　
A．2021 B．2023 C． D．4046
6．如圖，為直徑，為圓上一點，為 內心，交于， 于，若，則為　　


A． B． C． D．5
二．填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）
7．一元二次方程的根是 　?。?br /> 8．如圖，是的直徑，、在上，若，則的度數(shù)為 　?。?br />
9．如圖，為的直徑，弦于點，若，，則的長為　 ?。?br />
10．關于的一元二次方程的一個根為0，則　?。?br /> 11．如圖，、分別與相切于點、，的切線分別交、于點、，切點在上，若長為2，則的周長是　 ?。?br />
12．勞動教育已納入人才培養(yǎng)全過程，某學校加大投入，建設校園農場，該農場一種農作物的產量兩年內從300千克增加到363千克，則平均每年增產的百分率為 　?。?br /> 13．如圖，的兩條弦和相交于點，若弧、弧的度數(shù)分別為、，則的度數(shù)為　?。?br />
14．如圖，圓是四邊形的內切圓，若，則　?。?br />
15．在半徑為5的圓內有長為的弦，則此弦所對圓周角的度數(shù)為　?。?br /> 16．如圖，在中，，，，、分別是、上的一點，且，若以為直徑的圓與斜邊相交于、，則的最大值為　　．

三．解答題（本大題共10小題，共88分）
17．解下列一元二次方程：
（1）； （2）；



（3）； （4）．




18．已知關于的一元二次方程有實數(shù)根．
（1）求的取值范圍；
（2）若中，，，的長是方程的兩根，求的長．




19．如圖，是的弦，點、在弦上，且．求證：．



20．如圖，利用長20米的一段圍墻，用籬笆圍一個長方形的場地，中間用籬笆分割出2個小長方形，總共用去籬笆36米，為了使這個長方形的的面積為96平方米，求、邊各為多少米．




21．某藥店在口罩銷售中發(fā)現(xiàn)：一款進價為10元盒的口罩，銷售單價為16元盒時，每天可售出60盒．藥店在銷售中發(fā)現(xiàn)：若銷售單價每降價1元，則每天可多售出30盒，設每盒降價元，為整數(shù)）．
（1）為了盡快減少庫存，當每盒降價多少元時，每天可盈利450元？
（2）在滿足藥店正常銷售的情況下，每盒降價多少元時，可取得最大利潤，并求此時最大利潤．





22．用一個直角邊長分別為3和4的直角紙片剪半圓，要求剪出的半圓的直徑在的邊上，且半圓的弧與另兩邊都相切，請用尺規(guī)作出示意圖，并求出相應半圓的半徑．

23．若關于的方程有兩個實數(shù)根，且其中一個根比另一個根大2，那么稱這樣的方程為“隔根方程”．例如，方程的兩個根是，，則方程是“隔根方程”．
（1）方程是“隔根方程”嗎？判斷并說明理由；
（2）若關于的方程是“隔根方程”，求的值．





24．如圖，在中，，以為直徑作交于點，交于點，連接．
（1）求證：；
（2）連接，，當　　時，四邊形為菱形；
（3）若，，則　?。?br />




25．如圖，為的直徑，過圓上一點作的切線交的延長線于點，過點作交于點，連接．
（1）求證：直線與相切．
（2）若，，求的長．










26．【問題提出】
我們知道：同弧或等弧所對的圓周角都相等，且等于這條弧所對的圓心角的一半，那么，在一個圓內同一條弦所對的圓周角與圓心角之間又有什么關系呢？
【初步思考】

（1）如圖1，是的弦，，點、分別是優(yōu)弧和劣弧上的點，則　　，　?。?br /> （2）如圖2，是的弦，圓心角，點是上不與、重合的一點，求弦所對的圓周角的度數(shù)為 　　；（用的代數(shù)式表示）
【問題解決】
（3）如圖3，已知線段，點在所在直線的上方，且，用尺規(guī)作圖的方法作出滿足條件的點所組成的圖形①直尺為無刻度直尺；②不寫作法，保留作圖痕跡）；

【實際應用】
（4）如圖4，在邊長為12的等邊三角形中，點、分別是邊、上的動點，連接、，交于點，若始終保持，當點從點運動到點時，的最小值是 　?。?br />

江蘇省南京市南京一中2023~2024學年九年級上學期10月月考數(shù)學試卷
參考答案與試題解析
一．選擇題（共6小題）
1．下列方程是一元二次方程的是　　
A ． B ．
C ． D ．
【考點】：一元二次方程的定義
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義對各選項進行逐一分析即可 ．
【解答】解：、原方程可化為，是一元一次方程， 故本選項錯誤；
、若，則此方程是一元一次方程， 故本選項錯誤；
、符合一元二次方程的定義， 故本選項正確；
、是分式方程， 故本選項錯誤 ．
故選：．
【點評】本題考查的是一元二次方程的定義， 即只含有一個未知數(shù)， 并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 2 的整式方程叫一元二次方程 ．
2．用配方法解方程，下列配方正確的是　　
A． B． C． D．
【考點】解一元二次方程配方法
【分析】先把常數(shù)項移到方程右邊，再把方程左右兩邊同時加上4，然后把方程左邊寫成完全平方式的形式即可．
【解答】解：，
，
，
．
故選：．
【點評】本題考查了解一元二次方程配方法：熟練掌握用配方法解一元二次方程的一般步驟是解決問題的關鍵．
3．平面內，若的半徑為2，，則點在　　
A．內 B．上 C．外 D．內或外
【考點】：點與圓的位置關系
【分析】根據(jù)半徑為，點到圓心的距離為，則有：當時，點在圓外；當時，點在圓上，當時，點在圓內，可得答案．
【解答】解：由題意得，，．
，
點在內，
故選：．
【點評】本題考查了點與圓的位置關系．關鍵要記住若半徑為，點到圓心的距離為，則有：當時，點在圓外；當時，點在圓上，當時，點在圓內．
4．用直角鋼尺檢查某一工件是否恰好是半圓環(huán)形，根據(jù)圖所表示的情形，四個工件哪一個肯定是半圓環(huán)形　　
A． B．
C． D．
【考點】圓周角定理
【分析】由半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑．即可求得答案．
【解答】解：的圓周角所對的弦是直徑，
選項是半圓環(huán)形．
故選：．
【點評】此題考查了圓周角定理，熟記的圓周角所對的弦為直徑是解題的關鍵．
5．若，是方程的兩個實數(shù)根，則的值為　　
A．2021 B．2023 C． D．4046
【考點】根與系數(shù)的關系
【分析】由是方程的根可得，由，是方程的兩個實數(shù)根可得，進而求解．
【解答】解：，是方程的兩個實數(shù)根，
，即，且，
．
故選：A．
【點評】本題考查一元二次方程的根與系數(shù)的關系，解題關鍵是掌握，通過整體思想求解．
6．如圖，為直徑，為圓上一點，為 內心，交于， 于，若，則為　　


A． B． C． D．5
【考點】三角形的內切圓與內心；圓周角定理
【分析】連接、、，由已知可得，進而可證，勾股定理計算，連接交于點，則，設，利用求，再利用勾股定理求即可．
【解答】解：連接、、，
為 內心，
，，
，
，
，
，
，
，
，
連接交于點，則，
設，則，
，
，
解得：，
，
，
為直徑，
，
，
故選：．

【點評】本題考查了三角形的內切圓和內心，三垂徑定理，圓周角定理，三角形外角性質，等知識點的應用，正確作出輔助線后求出是解此題的關鍵，有一定的難度．
二．填空題（共10小題）
7．一元二次方程的根是 　?。?br /> 【考點】解一元二次方程因式分解法
【分析】用配方法求解即可．
【解答】解：，
，
，，
故答案為：，，．
【點評】本題主要考查了用配方法解一元二次方程，解題的關鍵是熟練掌握用配方法解一元二次方程的方法和步驟．
8．如圖，是的直徑，、在上，若，則的度數(shù)為 　20　．

【考點】圓周角定理
【分析】由為直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，即可求得，根據(jù)題意即可求得的度數(shù)，然后由同弧所對的圓周角相等，即可求得的度數(shù)．
【解答】解：為直徑，
，
，
，
．
故答案為：20．
【點評】此題考查了圓周角的性質．注意直徑所對的圓周角是直角與同弧所對的圓周角相等．
9．如圖，為的直徑，弦于點，若，，則的長為　 　．．

【考點】：垂徑定理
【分析】連接，根據(jù)題意得出，再由垂徑定理知，點是的中點，，在直角中，由勾股定理得出，從而得出的長．
【解答】解：連接，
為的直徑，，
，
在中，，
，，
，，
，
，
故答案為8．

【點評】本題考查了垂徑定理，掌握垂徑定理的內容是解題的關鍵．
10．關于的一元二次方程的一個根為0，則　1?。?br /> 【考點】一元二次方程的解；一元二次方程的定義
【分析】把代入方程中得：，從而可得：，然后再根據(jù)一元二次方程的定義可得，從而可得，即可解答．
【解答】解：把代入方程中得：
，
解得：，
，
，
，
故答案為：1．
【點評】本題考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定義，熟練掌握一元二次方程的解，以及的一元二次方程的定義是解題的關鍵．
11．如圖，、分別與相切于點、，的切線分別交、于點、，切點在上，若長為2，則的周長是　4?。?br />
【考點】：切線的性質
【分析】由切線長定理知，，，，然后根據(jù)的周長公式即可求出其結果．
【解答】解：、分別與相切于點、，
的切線分別交、于點、，切點在上，
，，，
的周長．
故填空答案：4．
【點評】本題主要利用了切線長定理求解，比較簡單．
12．勞動教育已納入人才培養(yǎng)全過程，某學校加大投入，建設校園農場，該農場一種農作物的產量兩年內從300千克增加到363千克，則平均每年增產的百分率為 　?。?br /> 【考點】一元二次方程的應用
【分析】可先表示出第一年的產量，那么第二年的產量增長率），把相應數(shù)值代入即可求解．
【解答】解：第一年的產量為，第二年的產量在第一年產量的基礎上增加，為，
則列出的方程是．
解得：，（舍去）
故答案為：．
【點評】本題主要考查了一元二次方程的應用，熟練掌握題目中的等量關系是解答本題的關鍵．
13．如圖，的兩條弦和相交于點，若弧、弧的度數(shù)分別為、，則的度數(shù)為　?。?br />
【考點】：圓心角、弧、弦的關系；：圓周角定理
【分析】連接，根據(jù)三角形的外角的性質、圓周角定理計算即可
【解答】解：連接，
的度數(shù)，
．
故答案為．

【點評】本題考查的是圓周角定理、三角形的外角的性質，掌握圓周角定理和三角形的外角的性質定理是解題的關鍵．
14．如圖，圓是四邊形的內切圓，若，則　　．

【考點】三角形的內切圓與內心；多邊形內角與外角
【分析】先根據(jù)切線長定理得到，，，，再利用三角形內角和計算出，則，接著利用四邊形內角和計算出，所以，然后根據(jù)三角形內角和計算的度數(shù)．
【解答】解：圓是四邊形的內切圓，
平分，平分，平分，平分，
，，，，
，
，
，
，
．
故答案為：．

【點評】本題考查了三角形的內切圓與內心：三角形的內心就是三角形三個內角角平分線的交點；三角形的內心到三角形三邊的距離相等．也考查了切線的性質和切線長定理．
15．在半徑為5的圓內有長為的弦，則此弦所對圓周角的度數(shù)為　或　．
【考點】圓心角、弧、弦的關系
【分析】根據(jù)題意畫出相應的圖形，由，利用垂徑定理得到為的中點，由的長求出與的長，且得出為角平分線，在中，利用銳角三角函數(shù)定義及特殊角的三角函數(shù)值求出的度數(shù)，進而確定出的度數(shù)，利用同弧所對的圓心角等于所對圓周角的2倍，即可求出弦所對圓周角的度數(shù)．
【解答】解：如圖所示，

，
為的中點，即，
在中，，，
，
又為銳角，
，
，
，
又圓內接四邊形對角互補，
，
則此弦所對的圓周角為或．
故答案為或
【點評】此題考查了垂徑定理，圓周角定理，特殊角的三角函數(shù)值，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握垂徑定理是解本題的關鍵．
16．如圖，在中，，，，、分別是、上的一點，且，若以為直徑的圓與斜邊相交于、，則的最大值為　?。?br />
【考點】直線與圓的位置關系
【分析】如圖，連接，作于，于．由題意，，推出欲求的最大值，只要求出的最小值即可．
【解答】解：如圖，連接，作于，于．

，
，
，
，，
，
欲求的最大值，只要求出的最小值即可，
，
點的運動軌跡是以為圓心為半徑的圓，
在中，，，
，
，
，
當，，共線，且與重合時，的值最小，
的最小值為，
的最大值，
故答案為．
【點評】本題考查直線與圓的位置關系，勾股定理，軌跡等知識，解題的關鍵是學會用轉化的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．
三．解答題（共10小題）
17．解下列一元二次方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【考點】解一元二次方程配方法；解一元二次方程直接開平方法；解一元二次方程因式分解法
【解答】解：（1），
，
所以，；
（2），
，
所以，；
（3），
，
或，
所以，；

（4），
，
，
所以，．
【點評】本題考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，這種方法簡便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法解一元二次方程．
18．已知關于的一元二次方程有實數(shù)根．
（1）求的取值范圍；
（2）若中，，，的長是方程的兩根，求的長．
【考點】解一元二次方程因式分解法；根的判別式；三角形三邊關系
【分析】（1）若一元二次方程有實數(shù)根，則根的判別式△，建立關于的不等式，即可求出的取值范圍．
（2）由于是方程，所以可以確定的值，進而再解方程求出的值．
【解答】解：（1）方程有實數(shù)根，
△，
解得：，
又因為是二次項系數(shù)，所以，
所以的取值范圍是且．
（2）由于是方程，
所以把代入方程，可得，
所以原方程是：，
解得：，，
所以的值是．
【點評】本題主要考查了一元二次方程的根的判別式的應用，容易出現(xiàn)的錯誤是忽視根的判別式應用的前提條件：二次項系數(shù)．
19．如圖，是的弦，點、在弦上，且．求證：．

【考點】：垂徑定理
【分析】過點作，垂足為，由垂徑定理可知，再由可判斷出是等腰三角形，由等腰三角形的性質可知，進而可求出答案．
【解答】證明：過點作，垂足為，（1分）
，（2分）
，且，
，（4分）
，
．（6分）

【點評】本題考查的是垂徑定理及等腰三角形的判定及性質，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關鍵．
20．如圖，利用長20米的一段圍墻，用籬笆圍一個長方形的場地，中間用籬笆分割出2個小長方形，總共用去籬笆36米，為了使這個長方形的的面積為96平方米，求、邊各為多少米．

【考點】一元二次方程的應用
【分析】設為米，然后表示出的長為米，利用矩形的面積計算方法列出方程求解即可．
【解答】解：設為米，則為米，

解得：，
當時
（不合題意，舍去）
當時
．
答：米，米．
【點評】本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是設出一邊的長，并用未知數(shù)表示出另一邊的長．
21．某藥店在口罩銷售中發(fā)現(xiàn)：一款進價為10元盒的口罩，銷售單價為16元盒時，每天可售出60盒．藥店在銷售中發(fā)現(xiàn)：若銷售單價每降價1元，則每天可多售出30盒，設每盒降價元，為整數(shù)）．
（1）為了盡快減少庫存，當每盒降價多少元時，每天可盈利450元？
（2）在滿足藥店正常銷售的情況下，每盒降價多少元時，可取得最大利潤，并求此時最大利潤．
【考點】一元二次方程的應用；二次函數(shù)的應用
【分析】設每盒降價元，為整數(shù)），則利潤也將元，根據(jù)利潤等于每盒的利潤乘以數(shù)量，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）設每盒降價元，為整數(shù)），根據(jù)題意得，，
解得：，，
盡快減少庫存，
，
答：為了盡快減少庫存，當每盒降價3元時，每天可盈利450元；
（2）設每盒降價元，為整數(shù)），利潤為元，
根據(jù)題意得，，

當時，取得最大值，最大值為480，
答：每盒降價2時，可取得最大利潤，此時最大利潤為480元．
【點評】本題考查了一元二次方程的應用，二次函數(shù)的應用，根據(jù)題意列出一元二次方程，函數(shù)關系式是解題的關鍵．
22．用一個直角邊長分別為3和4的直角紙片剪半圓，要求剪出的半圓的直徑在的邊上，且半圓的弧與另兩邊都相切，請用尺規(guī)作出示意圖，并求出相應半圓的半徑．

【考點】切線的性質
【分析】根據(jù)切線的性質得到，，根據(jù)三角形的面積公式求出半圓的半徑．
【解答】解：如圖，作的平分線交于，則點為所要剪出的半圓的圓心，
設半圓與、切于、，連接、，
則，，
設半圓的半徑為，
則，
解得：，
答：半圓的半徑為．

【點評】本題考查的是切線的性質、勾股定理，掌握圓的切線垂直于經過切點的半徑是解題的關鍵．
23．若關于的方程有兩個實數(shù)根，且其中一個根比另一個根大2，那么稱這樣的方程為“隔根方程”．例如，方程的兩個根是，，則方程是“隔根方程”．
（1）方程是“隔根方程”嗎？判斷并說明理由；
（2）若關于的方程是“隔根方程”，求的值．
【考點】解一元二次方程因式分解法
【分析】（1）不是，利用因式分解法解一元二次方程可得出方程的兩個根分別為，，二者做差后可得出，進而可得出方程不是“隔根方程”；
（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出方程的兩個根分別為，，結合關于的方程是“隔根方程”，可得出關于的含絕對值符號的一元一次方程，解之即可得出的值．
【解答】解：（1）不是，理由如下：
，即，
，．
，
方程不是“隔根方程”．
（2），即，
，．
又關于的方程是“隔根方程”，
，
解得：或．
【點評】本題考查了因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法求出一元二次方程的兩個根是解題的關鍵．
24．如圖，在中，，以為直徑作交于點，交于點，連接．
（1）求證：；
（2）連接，，當　　時，四邊形為菱形；
（3）若，，則　　．

【考點】圓的綜合題
【分析】（1）先根據(jù)等腰三角形的性質得出底角相等，設，由題意求出即可證明；
（2）若四邊形為菱形，求證 為等邊三角形即可．
（3）連接，，根據(jù)勾股定理，即可求出．
【解答】（1）證明：，
，設，
在圓內接四邊形中，，
，
，
，
（2）解：若四邊形為菱形，則．
．同理，
．
．
．
為等邊三角形．
．
故答案為：．
（3）解：如圖，連接，

，
．在 中，，
在 中，．
連接，則．
．
在 中，．
故答案為：．
【點評】本題考查與圓有關的性質，等腰三角形的性質，菱形的性質，勾股定理，掌握以上知識是解題關鍵．
25．如圖，為的直徑，過圓上一點作的切線交的延長線于點，過點作交于點，連接．
（1）求證：直線與相切．
（2）若，，求的長．

【考點】直線與圓的位置關系；切線的判定與性質
【分析】（1）根據(jù)平行線的性質，等腰三角形的性質以及全等三角形的判定方法可得，進而得到即可；
（2）根據(jù)勾股定理和相似三角形的性質可得答案．
【解答】（1）證明：如圖，連接，
是的切線，是切點，
，
即，
，
，，
又，
，
，
又，，
，
，
即，
是半徑，
是的切線；
（2）解：設半徑為，則，在中由勾股定理得，
，
即，
解得，
，，
，
，
即，
解得．

【點評】本題考查切線的判定，直角三角形的邊角關系以及相似三角形的判定和性質，掌握切線的判定方法，直角三角形的邊角關系以及相似三角形的性質是正確解答的前提．
26．【問題提出】
我們知道：同弧或等弧所對的圓周角都相等，且等于這條弧所對的圓心角的一半，那么，在一個圓內同一條弦所對的圓周角與圓心角之間又有什么關系呢？
【初步思考】

（1）如圖1，是的弦，，點、分別是優(yōu)弧和劣弧上的點，則　50　，　　；
（2）如圖2，是的弦，圓心角，點是上不與、重合的一點，求弦所對的圓周角的度數(shù)為 　?。唬ㄓ玫拇鷶?shù)式表示）
【問題解決】
（3）如圖3，已知線段，點在所在直線的上方，且，用尺規(guī)作圖的方法作出滿足條件的點所組成的圖形①直尺為無刻度直尺；②不寫作法，保留作圖痕跡）；

【實際應用】
（4）如圖4，在邊長為12的等邊三角形中，點、D分別是邊、上的動點，連接、，交于點，若始終保持，當點從點運動到點時，的最小值是 　?。?br />
【考點】圓的綜合題
【分析】（1）根據(jù)圓周角定理計算的度數(shù)，然后根據(jù)圓內接四邊形的性質求的度數(shù)；
（2）與（1）的求法一樣（注意分類討論）；
（3）先作的垂直平分線得到的中點，再以為直徑作圓交的垂直平分線于，然后以點為圓心，為半徑作，則在內的弧為滿足條件的點所組成的圖形；
（4）由等邊三角形的性質證明可以得出，點的路徑是一段弧，由題目不難看出當為的中點的時候，點經過弧的中點，此時為等腰三角形，且，由弧線長公式就可以得出結論．
【解答】解：（1），
．
故答案為：50，130；
（2）當在優(yōu)弧上時，；
當在劣弧上時，；
（3）如圖劣弧（實線部分且不包含、兩個端點）就是所滿足條件的點所組成的圖形；

（4）【解答】解：∵CD＝AE，∴BD＝CE，
在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），故∠BAD＝∠CBE，
∵∠APE＝∠ABE+∠BAD，∠APE＝∠BPD，∠ABE+∠CBE＝60°，∴∠BPD＝∠APE＝∠ABC＝60°，
∴∠APB＝120°，∴點P的運動軌跡是，∠AOB＝120°，連接CO，
∵OA＝OB，CA＝CB，OC＝OC，∴△AOC≌△BOC（SSS），∴∠OAC＝∠OBC，∠ACO＝∠BCO＝30°，
∵∠AOB+∠ACB＝180°，∴∠OAC+∠OBC＝180°，
∴∠OAC＝∠OBC＝90°，
∴
∴OC＝2OB=，∴OP＝
∵PC≥OC﹣OP，∴PC≥，∴PC的最小值為．

【點評】本題主要考查圓周角定理、圓內角四邊形性質、等邊三角形的性質的運用、全等三角形的判定及性質的運用、弧線長公式的運用，解題關鍵是證明三角形全等，本題還考查了作圖復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．

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