?福田區(qū)耀華實驗學(xué)校2023-2024學(xué)年第一學(xué)期九年級10月月考數(shù)學(xué)試卷

一．選擇題（每題3分，共30分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A．x﹣1＝0 B．x﹣y＝0 C． D．x2﹣1＝0
2．平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是（　　）
A．對邊平行且相等
B．對角線互相垂直
C．每條對角線平分一組對角
D．四邊相等
3．用配方法解方程x2﹣4x+2＝0時，配方后所得的方程是（　　）
A．（x﹣2）2＝2 B．（x+2）2＝2 C．（x﹣2）2＝1 D．（x﹣2）2＝﹣2
4．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，若AC＝14，則OB的長為（　?。?br />
A．7 B．6 C．5 D．2
5．如圖，延長正方形ABCD的一邊BC至E，使CE＝AC，連接AE交CD于F，則∠AFC的度數(shù)是（　?。?br />
A．112.5° B．120° C．122.5° D．135°
6．如圖，兩張等寬的紙條交叉疊放在一起，重合部分構(gòu)成四邊形ABCD．測得A，B的距離為6，A，C的距離為4，則B，D的距離是（　?。?br />
A．4 B．8 C．8 D．4
7．若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一個根為0，則m的值為（　　）
A．2 B．1 C．0 D．﹣1
8．如圖，在長為32米，寬為20米的長方形地面上修筑同樣寬的小路（圖中陰影部分），余下部分種植草坪，要使小路的面積為100平方米，設(shè)小路的寬為x米，則下面所列方程正確的是（　?。?br />
A．32×20﹣32x﹣20x＝100 B．32x+20x﹣x2＝100
C．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝100 D．（32﹣x）（20﹣x）＝100
9．定義運(yùn)算：m☆n＝n2﹣mn﹣1，例如：3☆2＝22﹣3×2﹣1＝﹣3．則方程2☆x＝0的根的情況為（　　）
A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根
C．無實數(shù)根 D．只有一個實數(shù)根
10．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝4，AD＝3，E是邊AB上一點，且∠DCE＝45°，則DE的長度是（　?。?br />
A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．4

二．填空題（每題3分，共15分）
11．將一元二次方程x（x﹣2）＝5化為一般形式是 　 ?。?br /> 12．已知關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+4x﹣1＝0有實數(shù)根，則m的取值范圍是 　 ?。?br /> 13．如圖，O是菱形ABCD的對角線AC、BD的交點，E是BC的中點，連接OE．若OE＝1，則AB＝　 ?。?br />
14．如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，以O(shè)為頂點的正方形OEGF的兩邊OE，OF分別交正方形的邊AB，BC于點M，N．記△AOM的面積為S1，△CON的面積為S2，若正方形的邊長AB＝10，S1＝16，則S2的大小為 　 ?。?br />
15．在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AE平分∠BAD交BC于點E，∠CAE＝15°，連接OE，①△DOC是等邊三角形；②△BOE是等腰三角形；③∠AOE＝150°；④S△AOE＝S△BOE．則結(jié)論中正確的有 　 ?。?br />
三．解答題（共55分）
16．（6分）解下列方程：
（1）x2+2x﹣3＝0； （2）x（x﹣4）＝3（x﹣4）．



17．（6分）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x﹣2（m+3）＝0．
（1）試證：無論m取任何實數(shù)，方程都有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）設(shè)x1，x2為方程的兩個實數(shù)根，且，求m的值．




18．（8分）超市銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷量，增加盈利，該店采取了降價措施．經(jīng)過一段時間后，發(fā)現(xiàn)銷售單價每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降價6元，則平均每天銷售數(shù)量為 　 　件；
（2）為盡快減少庫存，要使該商店每天銷售利潤為1200元，每件商品應(yīng)降價多少元？





19．（8分）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，過點A作BC的垂線，垂足為點E，延長BC到點F，使CF＝BE，連接DF．
（1）求證：四邊形AEFD是矩形；
（2）若AB＝13，AC＝10，求AE的長．





20．（8分）在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，點P從點A開始沿邊AB向終點B以1cm/s的速度移動，與此同時，點Q從點B開始沿邊BC向終點C以2cm/s的速度移動，如果點P、Q分別從點A、B同時出發(fā)，當(dāng)點Q運(yùn)動到點C時，兩點停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t秒．
（1）填空：BQ＝　 　，PB＝　 ?。ㄓ煤瑃的代數(shù)式表示）；
（2）是否存在t的值，使得△PBQ的面積等于4cm2？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

21．（9分）王老師提出問題：求代數(shù)式x2+4x+5的最小值．要求同學(xué)們運(yùn)用所學(xué)知識進(jìn)行解答．
同學(xué)們經(jīng)過探索、交流和討論，最后總結(jié)出如下解答方法；
解：x2+4x+5＝x2+4x+22﹣22+5＝（x+2）2+1，
∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．
當(dāng)（x+2）2＝0時，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．
∴x2+4x+5的最小值是1．
請你根據(jù)上述方法，解答下列各題：
（1）直接寫出（x﹣1）2+3的最小值為 　 ?。?br /> （2）求代數(shù)式x2+10x+32的最小值．
（3）你認(rèn)為代數(shù)式有最大值還是有最小值？求出該最大值或最小值．



22．（10分）問題背景：如圖，在正方形ABCD中，邊長為4．點M，N是邊AB，BC上兩點，且BM＝CN＝1，連接CM，DN，CM與DN相交于點O．
（1）探索發(fā)現(xiàn)：探索線段DN與CM的關(guān)系，并說明理由；
（2）探索發(fā)現(xiàn)：若點E，F(xiàn)分別是DN與CM的中點，計算EF的長；
（3）拓展提高：延長CM至P，連接BP，若∠BPC＝45°，請直接寫出線段PM的長．


耀華實驗學(xué)校10月月考參考答案與試題解析
一．選擇題（共10小題）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（　?。?br /> A．x﹣1＝0 B．x﹣y＝0 C． D．x2﹣1＝0
【解答】解：A．方程x﹣1＝0是一元一次方程，選項A不符合題意；
B．方程x﹣y＝0是二元一次方程，選項B不符合題意；
C．方程x2﹣＝0不是整式方程，選項C不符合題意；
D．方程x2﹣1＝0是一元二次方程，選項D符合題意．
故選：D．
2．平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是（　　）
A．對邊平行且相等
B．對角線互相垂直
C．每條對角線平分一組對角
D．四邊相等
【解答】解：根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形、正方的性質(zhì)可知，
它們共同的性質(zhì)是：對邊平行且相等，對角相等，對角線互相平分，
故選：A．
3．用配方法解方程x2﹣4x+2＝0時，配方后所得的方程是（　?。?br /> A．（x﹣2）2＝2 B．（x+2）2＝2 C．（x﹣2）2＝1 D．（x﹣2）2＝﹣2
【解答】解：方程x2﹣4x+2＝0，
變形得：x2﹣4x＝﹣2，
配方得：x2﹣4x+4＝﹣2+4，即（x﹣2）2＝2，
故選：A．
4．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，若AC＝14，則OB的長為（　　）

A．7 B．6 C．5 D．2
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，對角線AC，BD交于點O，
∴OA＝OC＝OB＝OD＝AC,
∵AC＝14,
∴OB＝7,
故選：A．
5．如圖，延長正方形ABCD的一邊BC至E，使CE＝AC，連接AE交CD于F，則∠AFC的度數(shù)是（　?。?br />
A．112.5° B．120° C．122.5° D．135°
【解答】解：AC是正方形的對角線，
∴∠ACD＝∠ACB＝45°，
∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝135°，
又∵CE＝AC
∴∠CEF＝22.5°，
∴∠AFC＝90°+22.5°＝112.5°；
故選：A．
6．如圖，兩張等寬的紙條交叉疊放在一起，重合部分構(gòu)成四邊形ABCD．測得A，B的距離為6，A，C的距離為4，則B，D的距離是（　?。?br />
A．4 B．8 C．8 D．4
【解答】解：過點A作AE⊥CD于E，AF⊥BC于F，連接AC，BD交于點O，
∵兩條紙條寬度相同，
∴AE＝AF，
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四邊形ABCD是平行四邊形，
∵S?ABCD＝BC?AF＝CD?AE，
∴BC＝CD，
∴四邊形ABCD是菱形，
∴AO＝CO＝AC＝4＝2，BO＝DO，AC⊥BD，
∵AB＝6，
∴BO＝，
∴BD＝8，
故選：C．

7．若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一個根為0，則m的值為（　?。?br /> A．2 B．1 C．0 D．﹣1
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一個根為0，
∴m＝0，
故選：C．
8．如圖，在長為32米，寬為20米的長方形地面上修筑同樣寬的小路（圖中陰影部分），余下部分種植草坪，要使小路的面積為100平方米，設(shè)小路的寬為x米，則下面所列方程正確的是（　　）

A．32×20﹣32x﹣20x＝100 B．32x+20x﹣x2＝100
C．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝100 D．（32﹣x）（20﹣x）＝100
【解答】解：設(shè)道路的寬x米，
則32x+20x＝100+x2．
32x+20x﹣x2＝100．
故選：B．
9．定義運(yùn)算：m☆n＝n2﹣mn﹣1，例如：3☆2＝22﹣3×2﹣1＝﹣3．則方程2☆x＝0的根的情況為（　?。?br /> A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根
C．無實數(shù)根 D．只有一個實數(shù)根
【解答】解：根據(jù)題意得x2﹣2x﹣1＝0，
∵Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）＝8＞0，
∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．
故選：A．
10．如圖，在四邊形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝4，AD＝3，E是邊AB上一點，且∠DCE＝45°，則DE的長度是（　?。?br />
A．3.2 B．3.4 C．3.6 D．4
【解答】解：如圖，過C作CG⊥AD于G，并延長DG至F，使GF＝BE，

∵∠A＝∠B＝∠CGA＝90°，AB＝BC，
∴四邊形ABCG為正方形，
∴AG＝BC＝4，∠BCG＝90°，BC＝CG，
∵AD＝3，
∴DG＝4﹣3＝1，
∵BC＝CG，∠B＝∠CGF，BE＝FG，
∴△EBC≌△FGC（SAS），
∴CE＝CF，∠ECB＝∠FCG，
∵∠DCE＝45°，
∴∠BCE+∠DCG＝∠DCG+∠FCG＝45°，
∴∠DCE＝∠DCF，
∵CE＝CF，∠DCF＝∠DCE，DC＝DC，
∴△ECD≌△FCD（SAS），
∴ED＝DF，
設(shè)ED＝x，則EB＝FG＝x﹣1，
∴AE＝4﹣（x﹣1）＝5﹣x，
Rt△AED中，AE2+AD2＝DE2，
∴（5﹣x）2+32＝x2，
解得：x＝3.4，
∴DE＝3.4．
故選：B．
二．填空題（共5小題）
11．將一元二次方程x（x﹣2）＝5化為一般形式是 　x2﹣2x﹣5＝0　．
【解答】解：x（x﹣2）＝5，
x2﹣2x＝5，
x2﹣2x﹣5＝0，
故答案為：x2﹣2x﹣5＝0．
12．已知關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+4x﹣1＝0有實數(shù)根，則m的取值范圍是 　m≥﹣3且m≠1?。?br /> 【解答】解：∵方程（（m﹣1）x2+4x﹣1＝0是一元二次方程，
∴m﹣1≠0，則m≠1，
∵該方程有實數(shù)根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×（m﹣1）×（﹣1）＝4m+12≥0，
解得m≥﹣3，
綜上：m的取值范圍是m≥﹣3且m≠1．
故答案為：m≥﹣3且m≠1．
13．如圖，O是菱形ABCD的對角線AC、BD的交點，E是BC的中點，連接OE．若OE＝1，則AB＝　2?。?br />
【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，BD⊥AC，
∴∠BOC＝90°，
∵E是CD的中點，OE＝1，
∴BC＝2OE＝2，
∴AB＝2，
故答案為：2．
14．如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O，以O(shè)為頂點的正方形OEGF的兩邊OE，OF分別交正方形的邊AB，BC于點M，N．記△AOM的面積為S1，△CON的面積為S2，若正方形的邊長AB＝10，S1＝16，則S2的大小為 　9?。?br />
【解答】解：∵四邊形ABCD和四邊形OEGF都是正方形，
∴OB＝OC，∠OBA＝∠OCB＝45°，∠BOC＝∠EOF＝90°，
∴∠EOB＝∠COF，
在△OBM與△OCN中，，
∴△OBM≌△OCN（SAS），
∴，
∴S2＝25﹣16＝9，
故答案為：9．
15．在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AE平分∠BAD交BC于點E，∠CAE＝15°，連接OE，①△DOC是等邊三角形；②△BOE是等腰三角形；③∠AOE＝150°；④S△AOE＝S△BOE．則結(jié)論中正確的有 ?、佗冖堋。?br />
【解答】解：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴∠AEB＝45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AB＝BE，
∵∠CAE＝15°，
∴∠ACE＝∠AEB﹣∠CAE＝45°﹣15°＝30°，
∴∠BAO＝90°﹣30°＝60°，
∵矩形ABCD中：OA＝OB＝OC＝OD，
∴△ABO是等邊三角形，△COD是等邊三角形，故①正確；
∴OB＝AB，∠ABO＝∠AOB＝60°，
∴OB＝BE，
∴△BOE是等腰三角形，故②正確；
∴∠AOE＝∠AOB+∠BOE＝60°+75°＝135°，故③錯誤；
∵AO＝CO，
∴S△AOE＝S△COE，故④正確；
故答案為：①②④．
三．解答題（共7小題）
16．解下列方程：
（1）x2+2x﹣3＝0；
（2）x（x﹣4）＝3（x﹣4）．
【解答】解：（1）x2+2x﹣3＝0，
（x+3）（x﹣1）＝0，
x+3＝0或x﹣1＝0，
x1＝﹣3，x2＝1．
（2）x（x﹣4）＝3（x﹣4），
x（x﹣4）﹣3（x﹣4）＝0，
（x﹣4）（x﹣3）＝0，
x﹣4＝0或x﹣3＝0，
x1＝4，x2＝3．
17．已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x﹣2（m+3）＝0．
（1）試證：無論m取任何實數(shù)，方程都有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）設(shè)x1，x2為方程的兩個實數(shù)根，且，求m的值．
【解答】（1）證明：a＝1，b＝﹣（m﹣1），c＝﹣2（m+3）．
Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m﹣1）]2﹣4×1×[﹣2（m+3）]＝m2+6m+25＝（m+3）2+16．
∵（m+3）2≥0，
∴（m+3）2+16＞0，即Δ＞0，
∴無論m取任何實數(shù)，方程都有兩個不相等的實數(shù)根；
（2）解：∵x1，x2為方程x2﹣（m﹣1）x﹣2（m+3）＝0的兩個實數(shù)根，
∴x1+x2＝m﹣1，x1?x2＝﹣2（m+3），
∴+＝（x1+x2）2﹣2x1?x2＝16，
∴（m﹣1）2﹣2[﹣2（m+3）]＝16，
∴m2+2m﹣3＝0，
∴m1＝﹣3，m2＝1．
18．超市銷售某種商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，為了擴(kuò)大銷量，增加盈利，該店采取了降價措施．經(jīng)過一段時間后，發(fā)現(xiàn)銷售單價每降低1元，平均每天可多售出2件．
（1）若降價6元，則平均每天銷售數(shù)量為 　32　件；
（2）為盡快減少庫存，要使該商店每天銷售利潤為1200元，每件商品應(yīng)降價多少元？
【解答】解：（1）由題意得，若降價6元，則平均每天銷售數(shù)量為20+6×2＝32件，
故答案為：32
（2）設(shè)每件商品應(yīng)降價x元，
由題意得，（40﹣x）（20+2x）＝1200，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得x＝10或x＝20，
∵要盡快減少庫存，
∴x＝20，
∴每件商品應(yīng)降價20元．
19．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，過點A作BC的垂線，垂足為點E，延長BC到點F，使CF＝BE，連接DF．
（1）求證：四邊形AEFD是矩形；
（2）若AB＝13，AC＝10，求AE的長．

【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BE+EC＝CF+EC，
即BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四邊形AEFD是矩形；
（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO＝5，BC＝AB＝13，
∵AE⊥BC，
∴S四邊形ABCD＝BC?AE，
在Rt△ABO中，由勾股定理可得：
∴，
∴BD＝2BO＝24，
∵S四邊形ABCD＝AC?BD＝BC?AE，
∴，
∴．
20．△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，點P從點A開始沿邊AB向終點B以1cm/s的速度移動，與此同時，點Q從點B開始沿邊BC向終點C以2cm/s的速度移動，如果點P、Q分別從點A、B同時出發(fā)，當(dāng)點Q運(yùn)動到點C時，兩點停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時間為t秒．
（1）填空：BQ＝　2tcm　，PB＝?。剑?﹣t）cm?。ㄓ煤瑃的代數(shù)式表示）；
（2）是否存在t的值，使得△PBQ的面積等于4cm2？若存在，請求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

【解答】解：（1）由題意，得：BQ＝2t（cm），PB＝（5﹣t）cm．
故答案為：2tcm，（5﹣t）cm．
（2）存在，理由如下：
由題意得：×2t×（5﹣t）＝4，
解得：t1＝1，t2＝4（不符合題意，舍去），
∴存在t的值，使得△PBQ的面積等于4cm2，t＝1．
21．王老師提出問題：求代數(shù)式x2+4x+5的最小值．要求同學(xué)們運(yùn)用所學(xué)知識進(jìn)行解答．
同學(xué)們經(jīng)過探索、交流和討論，最后總結(jié)出如下解答方法；
解：x2+4x+5＝x2+4x+22﹣22+5＝（x+2）2+1，
∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．
當(dāng)（x+2）2＝0時，（x+2）2+1的值最小，最小值是1．
∴x2+4x+5的最小值是1．
請你根據(jù)上述方法，解答下列各題：
（1）直接寫出（x﹣1）2+3的最小值為 　3?。?br /> （2）求代數(shù)式x2+10x+32的最小值．
（3）你認(rèn)為代數(shù)式有最大值還是有最小值？求出該最大值或最小值．
【解答】解：（1）（x﹣1）2+3，
∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2+3≥3．
當(dāng)（x﹣1）2＝0時，（x﹣1）2+3的值最小，最小值是3，
故答案為：3；
（2）x2+10x+32＝x2+10x+25﹣25+32＝（x+5）2+7，
∵（x+5）2≥0，∴（x+5）2+7≥7．
當(dāng)（x+5）2＝0時，（x+5）2+7的值最小，最小值是7，
∴x2+10x+32的最小值是7；
（3）
＝﹣（x2﹣6x）+5
＝﹣（x2﹣6x+9﹣9）+5
＝﹣（x﹣3）2+3+5
＝﹣（x﹣3）2+8，
∵（x﹣3）2≥0，
∴﹣（x﹣3）2≤0，
∴﹣（x﹣3）2+8≤8，
∴當(dāng)（x﹣3）2＝0時，﹣x2+2x+5有最大值，最大值是8．
22．問題背景：如圖，在正方形ABCD中，邊長為4．點M，N是邊AB，BC上兩點，且BM＝CN＝1，連接CM，DN，CM與DN相交于點O．

（1）探索發(fā)現(xiàn)：探索線段DN與CM的關(guān)系，并說明理由；
（2）探索發(fā)現(xiàn)：若點E，F(xiàn)分別是DN與CM的中點，計算EF的長；
（3）拓展提高：延長CM至P，連接BP，若∠BPC＝45°，請直接寫出線段PM的長．
【解答】解：（1）CM＝DN，且DN⊥CM，
理由：∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC＝CD，∠B＝∠NCD＝90°，
∵BM＝CN，
∴△BCM≌△CDN（SAS），
∴CM＝DN，∠BCM＝∠CDN，
∵∠BCM+∠MCD＝90°，
∴∠CDN+∠MCD＝90°，
∴∠COD＝90°，
∴DN⊥CM，
∴線段CM和DN的關(guān)系為：CM＝DN，且DN⊥CM；
（2）連接CE并延長交AD于G，連接GM，

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠A＝90°，BC∥AD，∴∠ENC＝∠EDG，
∵NE＝DE，∠NEC＝∠DEG，
∴△CNE≌△GDE（ASA），
∴CE＝EG，GD＝CN＝1，
又∵M(jìn)F＝CF，∴，
∵正方形的邊長為4，BM＝DG＝1，∴AM＝AG＝3，
在Rt△AGM中，由勾股定理得：AM2+AG2＝GM2，
∴32+32＝GM2，
∴，∴；
（3）如圖3，過點B作BH⊥CM于點H，

∵CM2＝BC2+BM2，
∴，
∵，∴，
∴，∴∠BPC＝45°，
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