一．選擇題（每題 3 分，共 30 分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x﹣1＝0B．x﹣y＝0C． D．x2﹣1＝0 2．平行四邊形、矩形、菱形、正方形都具有的性質(zhì)是（ ）
A．對邊平行且相等 B．對角線互相垂直 C．每條對角線平分一組對角D．四邊相等
3．用配方法解方程 x2﹣4x+2＝0 時(shí)，配方后所得的方程是（ ）
A．（x﹣2）2＝2B．（x+2）2＝2C．（x﹣2）2＝1D．（x﹣2）2＝﹣2 4．如圖，在矩形 ABCD 中，對角線 AC，BD 交于點(diǎn) O，若 AC＝14，則 OB 的長為（ ）
A．7B．6C．5D．2
如圖，延長正方形 ABCD 的一邊 BC 至 E，使 CE＝AC，連接 AE 交 CD 于 F，則∠AFC 的度數(shù)是
（ ）
A．112.5°B．120°C．122.5°D．135°
如圖，兩張等寬的紙條交叉疊放在一起，重合部分構(gòu)成四邊形 ABCD．測得 A，B 的距離為 6，A，
C 的距離為 4，則 B，D 的距離是（ ）
A．4 B．8C．8 D．4
若關(guān)于 x 的一元二次方程 x2﹣2x+m＝0 有一個(gè)根為 0，則 m 的值為（ ）
A．2B．1C．0D．﹣1
如圖，在長為 32 米，寬為 20 米的長方形地面上修筑同樣寬的小路（圖中陰影部分），余下部分種植草坪，要使小路的面積為 100 平方米，設(shè)小路的寬為 x 米，則下面所列方程正確的是（ ）
A．32×20﹣32x﹣20x＝100 B．32x+20x﹣x2＝100
C．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝100D．（32﹣x）（20﹣x）＝100
9．定義運(yùn)算：m☆n＝n2﹣mn﹣1，例如：3☆2＝22﹣3×2﹣1＝﹣3．則方程 2☆x＝0 的根的情況為
（ ）
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．無實(shí)數(shù)根D．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根
如圖，在四邊形 ABCD 中，∠A＝∠B＝90°，AB＝BC＝4，AD＝3，E 是邊 AB 上一點(diǎn)，且∠DCE
＝45°，則 DE 的長度是（ ）
A．3.2B．3.4C．3.6D．4
二．填空題（每題 3 分，共 15 分）
將一元二次方程 x（x﹣2）＝5 化為一般形式是 ．
已知關(guān)于 x 的一元二次方程（m﹣1）x2+4x﹣1＝0 有實(shí)數(shù)根，則 m 的取值范圍是 ．
如圖，O 是菱形 ABCD 的對角線 AC、BD 的交點(diǎn)，E 是 BC 的中點(diǎn)，連接 OE．若 OE＝1，則 AB
＝ ．
如圖，正方形 ABCD 的對角線相交于點(diǎn) O，以 O 為頂點(diǎn)的正方形 OEGF 的兩邊 OE，OF 分別交正方形的邊 AB，BC 于點(diǎn) M，N．記△AOM 的面積為 S1，△CON 的面積為 S2，若正方形的邊長
AB＝10，S1＝16，則 S2 的大小為 ．
在矩形 ABCD 中，對角線 AC、BD 相交于點(diǎn) O，AE 平分∠BAD 交 BC 于點(diǎn) E，∠CAE＝15°， 連接 OE，①△DOC 是等邊三角形；②△BOE 是等腰三角形；③∠AOE＝150°；④S△AOE＝S△BOE．則 結(jié) 論 中 正 確 的 有 ．
三．解答題（共 55 分）
16．（6 分）解下列方程：
（1）x2+2x﹣3＝0；（2）x（x﹣4）＝3（x﹣4）．
17．（6 分）已知關(guān)于 x 的一元二次方程 x2﹣（m﹣1）x﹣2（m+3）＝0．
試證：無論 m 取任何實(shí)數(shù)，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
設(shè) x1，x2 為方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且 ，求 m 的值．
18．（8 分）超市銷售某種商品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，為了擴(kuò)大銷量，增加盈利，
該店采取了降價(jià)措施．經(jīng)過一段時(shí)間后，發(fā)現(xiàn)銷售單價(jià)每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件．
若降價(jià) 6 元，則平均每天銷售數(shù)量為 件；
為盡快減少庫存，要使該商店每天銷售利潤為 1200 元，每件商品應(yīng)降價(jià)多少元？
19．（8 分）如圖，在菱形 ABCD 中，對角線 AC，BD 交于點(diǎn) O，過點(diǎn) A 作 BC 的垂線，垂足為點(diǎn) E，延長 BC 到點(diǎn) F，使 CF＝BE，連接 DF．
求證：四邊形 AEFD 是矩形；
若 AB＝13，AC＝10，求 AE 的長．
20．（8 分）在△ABC 中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，點(diǎn) P 從點(diǎn) A 開始沿邊 AB 向終點(diǎn) B 以
1cm/s 的速度移動，與此同時(shí)，點(diǎn) Q 從點(diǎn) B 開始沿邊 BC 向終點(diǎn) C 以 2cm/s 的速度移動，如果點(diǎn)
P、Q 分別從點(diǎn) A、B 同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn) Q 運(yùn)動到點(diǎn) C 時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動時(shí)間為 t 秒．
填空：BQ＝ ，PB＝ （用含 t 的代數(shù)式表示）；
是否存在 t 的值，使得△PBQ 的面積等于 4cm2？若存在，請求出此時(shí) t 的值；若不存在，請說明理由．
21．（9 分）王老師提出問題：求代數(shù)式 x2+4x+5 的最小值．要求同學(xué)們運(yùn)用所學(xué)知識進(jìn)行解答．同學(xué)們經(jīng)過探索、交流和討論，最后總結(jié)出如下解答方法；
解：x2+4x+5＝x2+4x+22﹣22+5＝（x+2）2+1，
∵（x+2）2≥0，∴（x+2）2+1≥1．
當(dāng)（x+2）2＝0 時(shí)，（x+2）2+1 的值最小，最小值是 1．
∴x2+4x+5 的最小值是 1．
請你根據(jù)上述方法，解答下列各題：
直接寫出（x﹣1）2+3 的最小值為 ．
求代數(shù)式 x2+10x+32 的最小值．
你認(rèn)為代數(shù)式有最大值還是有最小值？求出該最大值或最小值．
22．（10 分）問題背景：如圖，在正方形 ABCD 中，邊長為 4．點(diǎn) M，N 是邊 AB，BC 上兩點(diǎn)，且 BM
＝CN＝1，連接 CM，DN，CM 與 DN 相交于點(diǎn) O．
探索發(fā)現(xiàn)：探索線段 DN 與 CM 的關(guān)系，并說明理由；
探索發(fā)現(xiàn)：若點(diǎn) E，F(xiàn) 分別是 DN 與 CM 的中點(diǎn)，計(jì)算 EF 的長；
拓展提高：延長 CM 至 P，連接 BP，若∠BPC＝45°，請直接寫出線段 PM 的長．

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