2023-2024學(xué)年湖北省黃岡市部分學(xué)校九年級（上）第一次測評數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共8小題，共24.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.下列方程為一元二次方程的是(    )A.  B.
C.  D. 2.方程的解是(    )A.  B.
C. ， D. ，3.方程根的情況是(    )A. 一定有兩不等實數(shù)根 B. 一定有兩實數(shù)根
C. 一定有兩相等實數(shù)根 D. 一定無實數(shù)根4.將拋物線向上平移個單位，再向左平移個單位，那么得到的拋物線的解析式為(    )A.  B.
C.  D. 5.二次函數(shù)的圖象與軸有交點，則的取值范圍是(    )A.  B. 且 C.  D. 且6.二次函數(shù)的圖象如圖，對稱軸為直線，若關(guān)于的一元二次方程為實數(shù)在的范圍內(nèi)有解，則的取值范圍是(    )

 A.  B.  C.  D. 7.已知二次函數(shù)的與的部分對應(yīng)值如下表：則下列判斷中正確的是(    )A. 拋物線開口向上
B. 拋物線與軸交于負半軸
C. 當(dāng)時，
D. 方程的正根在與之間8.某市年底已有綠化面積公頃，經(jīng)過兩年綠化，綠化面積逐年增加，到年底增加到公頃．設(shè)綠化面積平均每年的增長率為，由題意，所列方程正確的是(    )A.  B.
C.  D. 二、填空題（本大題共8小題，共24.0分）9.已知關(guān)于的方程的一個根是，則______．10.方程是關(guān)于的一元二次方程，則_____．11.已知一元二次方程的兩根之和是，兩根之積為，則這個方程為______ ．12.已知三角形兩邊長分別為和，第三邊是方程的解，則這個三角形的周長是______ ．13.已知二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點，則的取值范圍是______．14.若二次函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象，則______．15.當(dāng) ______ ，二次函數(shù)的值總是負值．16.如圖為二次函數(shù)的圖象，在下列說法中：
；
方程的根是，；
；
當(dāng)時，隨的增大而增大；
；
正確的說法有______填序號
 三、解答題（本大題共8小題，共72.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.本小題分
解下列一元二次方程：
．
．
．
．18.本小題分
已知關(guān)于的方程．
求證：方程恒有兩個不相等的實數(shù)根；
若此方程的一個根是，請求出方程的另一個根，并求以此兩根為邊長的直角三角形的周長．19.本小題分
若拋物線的頂點坐標(biāo)是，并且拋物線與軸一個交點坐標(biāo)為．
求該拋物線的解析式；
求出這條拋物線上縱坐標(biāo)為的點的坐標(biāo)．20.本小題分

二次函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中圖象與軸交于點，與軸交于點，且經(jīng)過點．
求此二次函數(shù)的解析式；
將此二次函數(shù)的解析式寫成的形式，并直接寫出此二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)以及它與軸的另一個交點的坐標(biāo)．
21.本小題分
恒利商廈九月份的銷售額為萬元，十月份的銷售額下降了，商廈從十一月份起加強管理，改善經(jīng)營，使銷售額穩(wěn)步上升，十二月份的銷售額達到了萬元，求這兩個月的平均增長率．22.本小題分
某童裝店每天賣童裝件，每件盈利元，為減少庫存量，準備在十一期間做活動．若每件童裝降價元，則可多售出件，此服裝店打算在活動期間盈利元，則每件童裝應(yīng)降價多少元？23.本小題分
拋物線與直線交于點．
求，的值；
求拋物線與直線的兩個交點，的坐標(biāo)點在點右側(cè)；
求的面積．24.本小題分
如圖，已知拋物線與軸交于點和點  ，與軸交于點．
求拋物線的解析式；
設(shè)拋物線的對稱軸與軸交于點，問在對稱軸上是否存在點，使為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有符合條件的點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
如圖，若點為第二象限拋物線上一動點，連接、，求四邊形面積的最大值，并求此時點的坐標(biāo)．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、符合一元二次方程的定義，故選項符合題意；
B、是分式方程，不是整式方程，故選項不符合題意；
C、中，當(dāng)時，不是一元二次方程，故選項不符合題意；
D、中，含有兩個未知數(shù)，不是一元二次方程，故選項不符合題意．
故選：．
一元二次方程就是含有兩個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是的整式方程，依據(jù)定義即可作出判斷．
本題考查了一元二次方程的定義，正確掌握一元二次方程的定義是解題的關(guān)鍵．2.【答案】 【解析】解：，
，，
，，
故選：．
根據(jù)已知得出兩個一元一次方程，求出方程的解即可．
本題考查了用合適方法解一元二次方程．3.【答案】 【解析】解：根據(jù)題意得，
，
，即，
方程有兩個不相等的實數(shù)根．
故選A．
先計算判別式得到，再根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得到，然后根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況．
本題考查了一元二次方程的根的判別式：當(dāng)，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)，方程沒有實數(shù)根．4.【答案】 【解析】解：由“上加下減”的原則可知，將拋物線向上平移個單位所得拋物線的解析式為：；
由“左加右減”的原則可知，將拋物線向左平移個單位所得拋物線的解析式為：．
故選：．
直接根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進行解答即可．
本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知二次函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關(guān)鍵．5.【答案】 【解析】解：二次函數(shù)的圖象與軸有交點，
方程有實數(shù)根，
即，，由于是二次函數(shù)，故，
則的取值范圍是且．
故選：．
分析：利用有實數(shù)根，根據(jù)判別式可求出取值范圍．
本題考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系．6.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了二次函數(shù)與不等式的有關(guān)知識，根據(jù)對稱軸求出的值，從而得到時的函數(shù)值的取值范圍，再根據(jù)一元二次方程為實數(shù)在的范圍內(nèi)有解相當(dāng)于與在的范圍內(nèi)有交點解答．
【解答】
解：對稱軸為直線，
解得，
所以二次函數(shù)解析式為，
，
時，，
時，，
的解相當(dāng)于與直線的交點的橫坐標(biāo)，即拋物線與直線在的范圍內(nèi)有交點，
當(dāng)時，在的范圍內(nèi)有解．
故選C．7.【答案】 【解析】解：、時，；時，；
拋物線開口向下，故本選項錯誤；
B、時，，
拋物線與軸交于正半軸，故本選項錯誤；
C、根據(jù)對稱性，當(dāng)時與時的函數(shù)值相同，
，故本選項錯誤．
D、由表可知，拋物線與軸的一個交點在與之間，
根據(jù)對稱性另一個交點為與之間，
故選：．
根據(jù)二次函數(shù)的開口方向，與坐標(biāo)軸的交點，以及二次函數(shù)的增減性對各選項分析判斷后利用排除法求解．
本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了增減性，對稱性，以及二次函數(shù)與軸的交點坐標(biāo)的求解，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8.【答案】 【解析】解：設(shè)綠化面積平均每年的增長率為，
．
故選：．
知道年的綠化面積經(jīng)過兩年變化到，綠化面積成為，設(shè)綠化面積平均每年的增長率為，由題意可列出方程．
本題考查的是個增長率問題，關(guān)鍵是知道增長前的面積經(jīng)過兩年變化增長后的面積可列出方程．9.【答案】 【解析】【分析】
本題考查一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是明確方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．
根據(jù)關(guān)于的方程的一個根是，從而把根代入方程可以求得的值，本題得以解決．
【解答】
解：關(guān)于的方程的一個根是，
，
解得：，
故答案為．10.【答案】 【解析】【分析】
本題考查了一元二次方程的定義．只有一個未知數(shù)且未知數(shù)最高次數(shù)為的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是且特別要注意的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．根據(jù)一元二次方程的定義，一元二次方程必須滿足兩個條件：未知數(shù)的最高次數(shù)是；二次項系數(shù)不為由這兩個條件得到相應(yīng)的關(guān)系式，再求解即可．
【解答】解：方程是關(guān)于的一元二次方程，

解得：，
故答案為．11.【答案】 【解析】解：一元二次方程的兩根之和是，兩根之積為，則這個方程可為．
故答案為．
利用根與系數(shù)的關(guān)系求解．
本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若，是一元二次方程的兩根時，，．12.【答案】 【解析】解：，
解方程得：或，
當(dāng)三角形的三邊為，，時，不符合三角形的三邊關(guān)系定理，此時三角形不存在；
當(dāng)三角形的三邊為，，時，符合三角形的三邊關(guān)系定理，此時三角形的周長為，
故答案為：．
先解方程求出方程的解，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理判斷能否組成三角形，最后求出即可．
本題考查了解一元二次方程，三角形的三邊關(guān)系定理的應(yīng)用，能求出一元二次方程的解是解此題的關(guān)鍵，注意：解一元二次方程的方法有：直接開平方法，公式法，因式分解法，配方法．13.【答案】且 【解析】【分析】
本題考查了拋物線與軸的交點，決定拋物線與軸的交點個數(shù)；時，拋物線與軸有個交點；時，拋物線與軸有個交點；時，拋物線與軸沒有交點．
根據(jù)拋物線與軸的交點問題得到且，然后解不等式即可．
【解答】
解：二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點，
且，
解得且．
故答案為且．14.【答案】 【解析】解：二次函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到，
即，
故答案為．
直接根據(jù)“上加下減，左加右減”的原則進行解答．
本題考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知函數(shù)圖象平移的法則是解答此題的關(guān)鍵．15.【答案】 【解析】解：取一切實數(shù)時，函數(shù)值恒為負，
拋物線開口向下，且與軸無交點，
，，
，
故答案為：．
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知，只要拋物線開口向下，且與軸無交點即可．
此題考查拋物線與軸有無交點的問題，解題關(guān)鍵是熟知：當(dāng)取一切實數(shù)時，函數(shù)值恒為正的條件：拋物線開口向上，且與軸無交點；當(dāng)取一切實數(shù)時，函數(shù)值恒為負的條件：拋物線開口向下，且與軸無交點．16.【答案】 【解析】解：開口向上，
，
與軸交點在負半軸，
故，
即，
故正確；
拋物線與軸的交點橫坐標(biāo)分別是，，
方程的根是，，
故正確；
當(dāng)時，，
，
故錯誤；
拋物線與軸的交點橫坐標(biāo)分別是，，
對稱軸是，
時，隨著的增大而增大，
故正確；
對稱軸為直線，
，
，
故錯誤；
拋物線與軸有兩個交點，
，
故正確；
故正確的有．
故答案為：．
根據(jù)圖象開口向上得到；由與軸交點在負半軸得到，即；
由拋物線與軸的交點橫坐標(biāo)分別是，，可以得到方程的根是，；
當(dāng)時，，可以得到；
由于對稱軸是，所以得到時，隨著的增大而增大；
根據(jù)對稱軸方程即可得到；
拋物線與軸有兩個交點，可以得到．
此題要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，要掌握如何利用圖象上的信息確定字母系數(shù)的范圍，并記住特殊值的特殊用法，如，時對應(yīng)的值．17.【答案】解：，
，
開方，得，
解得：，；
，
，
配方，得，
，
開方，得，
解得：，；
，
，
，
解得：；
，
，
，
或，
解得：，． 【解析】先根據(jù)完全平方公式進行變形，再開方，即可得出兩個一元一次方程，再求出方程的解即可；
移項后配方，再開方，即可得出兩個一元一次方程，再求出方程的解即可；
方程兩邊都乘，再根據(jù)完全平方公式進行變形，再開方，即可得出兩個一元一次方程，再求出方程的解即可；
移項后分解因式，即可得出兩個一元一次方程，再求出方程的解即可．
本題考查了解一元二次方程，能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠淌墙獯祟}的關(guān)鍵，解一元二次方程的方法有直接開平方法，公式法，配方法，因式分解法等．18.【答案】證明：，
在實數(shù)范圍內(nèi)，無論取何值，，即，
關(guān)于的方程恒有兩個不相等的實數(shù)根；

解：根據(jù)題意，得
，
解得，，
則方程的另一根為：；
當(dāng)該直角三角形的兩直角邊是、時，由勾股定理得斜邊的長度為：；
該直角三角形的周長為；
當(dāng)該直角三角形的直角邊和斜邊分別是、時，由勾股定理得該直角三角形的另一直角邊為；則該直角三角形的周長為． 【解析】根據(jù)關(guān)于的方程的根的判別式的符號來證明結(jié)論；
根據(jù)一元二次方程的解的定義求得值，然后由根與系數(shù)的關(guān)系求得方程的另一根．分類討論：當(dāng)該直角三角形的兩直角邊是、時，由勾股定理得斜邊的長度為：；當(dāng)該直角三角形的直角邊和斜邊分別是、時，由勾股定理得該直角三角形的另一直角邊為；再根據(jù)三角形的周長公式進行計算．
本題綜合考查了勾股定理、根的判別式、一元二次方程解的定義．解答時，采用了“分類討論”的數(shù)學(xué)思想．19.【答案】解：設(shè)拋物線解析式．
把代入，得
，
解得．
故該拋物線解析式為：；

由知，該拋物線的解析式為，即；
將代入，得：；
解得，；
這條拋物線上縱坐標(biāo)為的點的坐標(biāo)為 【解析】設(shè)拋物線解析式為頂點式，把點代入，即利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
根據(jù)拋物線解析式可求出拋物線上縱坐標(biāo)為的點的坐標(biāo)．
本題考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法，難度不大，屬于中檔題．20.【答案】解：根據(jù)題意得，，
分別代入、得，
，
，
得，，
解得，
把代入得，，
解得，
方程組的解是，
此二次函數(shù)的解析式為；

，
二次函數(shù)的解析式為，
頂點坐標(biāo)為，
對稱軸為，
設(shè)另一點坐標(biāo)為，
則，
解得，
點的坐標(biāo)是． 【解析】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，把點的坐標(biāo)代入函數(shù)表達式，然后解三元一次方程組即可，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)以及三種形式的相互轉(zhuǎn)化也很重要．
把點、、的坐標(biāo)代入函數(shù)表達式，然后根據(jù)三元一次方程的解法求出、、的值，即可得到二次函數(shù)的解析式；
利用配方法整理，然后根據(jù)頂點式寫出頂點坐標(biāo)，再根據(jù)對稱軸解析式與點的坐標(biāo)求出與軸的另一交點坐標(biāo)．21.【答案】解：設(shè)這兩個月的平均增長率是，
十一月份的銷售額達到，
十二月份的銷售額達到，
，
即，
所以，
所以，
即，舍去．
答：這兩個月的平均增長率是． 【解析】本題設(shè)這兩個月的平均增長率是，十月份的銷售額為萬元，十一月份的銷售額為萬元，十二月份在十一月份的基礎(chǔ)上增加，變?yōu)?/span>即萬元，進而可列出方程，求出答案．
此類題目旨在考查增長率，要注意增長的基礎(chǔ)，另外還要注意解的合理性，從而確定取舍．22.【答案】解：設(shè)每件童裝應(yīng)降價元，
根據(jù)題意得，
，，
根據(jù)題意，不合題意，應(yīng)取．
答：每件童裝應(yīng)降價元； 【解析】設(shè)每件童裝應(yīng)降價元，那么現(xiàn)在可售出，利潤每件為，然后利用盈利元就可以列出方程解決問題；
此題主要考查了一元二次方程的實際應(yīng)用和二次函數(shù)實際中的應(yīng)用，此題找到關(guān)鍵描述語，找到等量關(guān)系準確的列出方程或函數(shù)關(guān)系式是解決問題的關(guān)鍵．最后要注意判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解．23.【答案】解：點在直線上，
，
點坐標(biāo)，
把點代入得到，
．
由解得或，
點坐標(biāo)，點坐標(biāo)．
． 【解析】將點代入求出，再把點代入拋物線求出即可．
解方程組即可求出交點坐標(biāo)．
利用三角形面積公式即可計算．
本題考查二次函數(shù)性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活掌握待定系數(shù)法，學(xué)會利用方程組求函數(shù)圖象交點坐標(biāo)，屬于中考?？碱}型．24.【答案】解：拋物線與軸交于點和點，
，
解得：．
所求拋物線解析式為：；

拋物線解析式為：，
其對稱軸為，
設(shè)點坐標(biāo)為，當(dāng)時，，
，
當(dāng)時，，解得，
點坐標(biāo)為：；
當(dāng)時，，解得，
點坐標(biāo)為：或；
當(dāng)時，由勾股定理得：，解得，
點坐標(biāo)為：．
綜上所述存在符合條件的點，其坐標(biāo)為或或或；

過點作軸于點，設(shè)
，，



，
當(dāng)時，最大，且最大值為．
此時，點坐標(biāo)為 【解析】已知拋物線過、兩點，可將兩點的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式；
可根據(jù)的函數(shù)解析式得出拋物線的對稱軸，也就得出了點的坐標(biāo)，由于是拋物線與軸的交點，因此的坐標(biāo)為，根據(jù)、的坐標(biāo)可求出的距離．然后分三種情況進行討論：
當(dāng)時，位于的垂直平分線上．求點坐標(biāo)關(guān)鍵是求的縱坐標(biāo)，過作軸于，如果設(shè)，那么直角三角形中，的長，可根據(jù)的坐標(biāo)得出，，因此可根據(jù)勾股定理求出的值，點的橫坐標(biāo)與的橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)為，由此可得出的坐標(biāo)．
當(dāng)時，根據(jù)的長即可求出的縱坐標(biāo)，也就得出了的坐標(biāo)要注意分上下兩點．
當(dāng)時，因為的坐標(biāo)為，那么直線必垂直平分，因此的縱坐標(biāo)是，由此可得出的坐標(biāo)；
由于四邊形不是規(guī)則的四邊形，因此可將四邊形分割成規(guī)則的圖形進行計算，過作軸于，直角梯形中，為的橫坐標(biāo)的絕對值，為的縱坐標(biāo)，已知的縱坐標(biāo)，就知道了的長．在中，，因此可用的橫坐標(biāo)表示出的長．如果根據(jù)拋物線設(shè)出的坐標(biāo)，然后代入上面的線段中，即可得出關(guān)于四邊形的面積與的橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得四邊形的最大值及對應(yīng)的的橫坐標(biāo)的值．即可求出此時的坐標(biāo)．
本題主要考查了二次函數(shù)的綜合知識，要注意的是中，不確定等腰三角形哪條邊是底邊的情況下，要分類進行求解，不要漏解．

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2021-2022學(xué)年湖北省黃岡市部分學(xué)校九年級（下）入學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）
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