遼東教學共同體高二月考數(shù)學試卷 （考試時間:120分鐘，滿分：150分）第I卷（60分）一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分．每小題只有一個選項符合題意)1．已知空間點P，則點P關(guān)于y軸對稱的點的坐標為（    ） A．         B．        C．         D． 2．已知向量，，且，則m =（    ）A． B．1 C． D．23．已知直線經(jīng)過，兩點，則該直線的傾斜角為（    ）A．30° B．45° C．135° D．150°4．已知直線l經(jīng)過點，而且是直線l的一個法向量，則直線l的方程為（    ）A． B． C． D．5．我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖，四棱錐為陽馬，平面，且，若，則（    ）A． B． C． D．6．如圖，二面角等于，是棱上兩點，分別在半平面內(nèi)，，，且，則的長等于（    ）A． B． C．4 D．2 7．已知點P是棱長為4的正四面體表面上的動點，若MN是該四面體內(nèi)切球的一條直徑，則的最大值是（    ）A． B． C． D．8.在四面體中，Q為△的重心，分別為側(cè)棱上的點，若，，，PQ與平面交于點D，則（    ）A． B． C． D．二、多項選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分)9．已知直線的方程為，則（    ）A．點在上 B．的傾斜角為C．的圖象不過第一象限 D．的一個方向向量為10．已知，，，則（    ）A． B．C．為鈍角 D．在方向上的投影向量為11．已知函數(shù)，設(shè)曲線在第一象限內(nèi)的圖像為，過點作斜率為的直線交于，過點作斜率為的直線交軸于，再過點作斜率為的直線交于，過點作斜率為的直線交軸于，依這樣的規(guī)律繼續(xù)下去，得到一系列等腰直角三角形，如圖所示．給出下列四個結(jié)論，其中正確的是（    ）A．的長為B．點的坐標為C．與的周長之比是D．在直線左側(cè)有2023個三角形12.在棱長為1正方體中，點為線段上異于端點的動點，（    ）A．三角形面積的最小值為B．直線與所成角的余弦值的取值范圍為C．二面角的正弦值的取值范圍為D．過點做平面，使得正方體的每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的的取值范圍為 第II卷（非選擇題）三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分．請把正確答案填在題中橫線上)13.在空間直角坐標系中，已知點，若三點共線，則的長為_______．14．已知三棱錐的體積為，，，，則二面角的大小為_______．15.已知過點的直線與連接、兩點的線段總有公共點，則直線的傾斜角的取值范圍為_______．16.如圖，是以為直徑的圓上異于，的點，平面平面，，，分別是，的中點，記平面與平面的交線為直線，若直線上存在點，使直線分別與平面、直線所成的角互余，則的長為_______．   四、解答題(本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本題滿分10分)如圖，在直棱柱中，，，點、、分別是、、的中點．  (1)求直線與直線所成角的大??；(2)求點到平面的距離．  18．(本題滿分12分)已知三角形的頂點、，．(1)求邊上中線的長；(2)求邊上中線所在直線的方程．(3)過A引直線l，若l被兩坐標軸截得的線段中點為A，求直線l的方程．        19．(本題滿分12分)如圖，在四面體ABCD中，AD⊥平面BCD，DA＝DB＝DC，∠BDC＝90°，M是AD的中點，P是BM的中點，點Q在線段AC上，且AQ＝3QC．  (1)求證：PQ∥平面BCD；(2)求PQ與平面BCM所成角的正弦值．      20．(本題滿分12分)設(shè)直線l的方程為(1)求證：不論為何值，直線必過定點；(2)若l在兩坐標軸上的截距相等，求直線l的方程.(3)若直線l交x軸正半軸于點A，交y軸負半軸于點B，的面積為S，求S的最小值.         21．(本題滿分12分)已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，BC＝2AD＝2，AB＝，E為CD的中點，PB⊥AE.       (1)證明：平面PBD⊥平面ABCD；(2)若PB＝PD，PC與平面ABCD所成的角為，試問在側(cè)面PCD內(nèi)是否存在一點N，使得BN⊥平面PCD？若存在，求出點N到直線PD的距離；若不存在，請說明理由．   22．(本題滿分12分)如圖，多面體中，，，為的中點，四邊形為矩形.(1)證明：；(2)若，當三棱錐的體積最大時，求二面角的余弦值.
高二月考數(shù)學試卷參考答案一、單項選擇題1-4 BACD   5-8 BCAA二、多項選擇題9．BC    10．BCD    11．BCD      12．AB三、填空題    13．   14．45°或135°    15．    16．1四、解答題17．解：（1）以為坐標原點、、、的方向為軸、軸、軸正方向建立如圖的空間直角坐標系.   由題意可知,,,.故,………………………………………3分則，所以與所成角的大小為.………………………………………5分(2)設(shè)是平面的一個法向量,由（1）知，,,故由，得令，解得，故平面的一個法向量為，………………………………………8分又.設(shè)到平面的距離為,故所以到平面的距離為.………………………………………10分18．解：（1）設(shè)邊的中點為，由的三個頂點，得，所以邊上中線的長為；.………………………………………3分（2）由（1）知，邊上的中線所在直線的斜率，所以直線的方程為：，即；.………………………………………7分（3）設(shè)l與兩坐標軸交于，則，解得，所以直線l的方程為：，即..………………………………………12分19．解：（1）過P作PS∥MD，交BD于S，過Q作QR∥MD，交CD于R，連接RS，  ∵PS∥MD，P是BM的中點，∴S是BD的中點，且PS＝MD，∵QR∥MD，AQ＝3QC，M是AD的中點，∴QR＝＝，∴QR∥PS，且QR＝PS，∴四邊形PQRS為平行四邊形，∴PQ∥SR，…………………………4分∵PQ?平面BCD，SR?平面BCD，∴PQ∥平面BCD．..………………………………………6分（2）以D為坐標原點，的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立空間直角坐標系，設(shè)DA＝DB＝DC＝4，則，則，，，..………………………………………8分設(shè)平面BCM的一個法向量為，則，取y＝1，得，..………………………………………10分設(shè)PQ與平面BCM所成角為，則＝．..……………………………12分20．解：（1）證明：直線的方程為整理可得：．令，可得，故不論為何值，直線必過定點.………………………………………3分（2）當直線過原點時滿足條件，此時，解得，此時直線方程為當直線不過原點時，l在兩坐標軸上的截距相等，則直線斜率為，故，解得，可得直線l的方程為:綜上所述，直線l的方程為或...……………………………7分（3）由題意知，令，解得，解得；令，解得，解得或.綜上有.所以，當且僅當，即時取等號故面積的最小值是6 .………………………………………12分21．解：(1)證明：∵四棱錐的底面ABCD是直角梯形，AB＝，BC＝2AD＝2，AB⊥BC，∴DC＝2，∠BCD＝，∴△BCD是等邊三角形，∴BD＝2，DB平分∠ADC.∵E為CD的中點，∴DE＝AD＝1，∴BD⊥AE，又∵PB⊥AE，PB∩BD＝B，∴AE⊥平面PBD.∵AE?平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABCD. ...……………………………4分(2)存在．在平面PBD內(nèi)作PO⊥BD于O，連接OC.∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，∴PO⊥平面ABCD，...……………………………5分∴PO⊥OC，∴∠PCO即為PC與平面ABCD所成的角，則∠PCO＝.∵PB＝PD，PO⊥BD，∴O為BD的中點，OC⊥BD.易得OP＝OC＝，...……………………………6分以O為原點，的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則B(1，0，0)，C(0，，0)，D(－1，0，0)，P(0，0，)，∴＝(0，，－)，＝(－1，0，－)．假設(shè)在側(cè)面PCD內(nèi)存在點N，使得BN⊥平面PCD，設(shè)＝λ＋μ(λ，μ≥0，λ＋μ≤1)，易得N(－λ，μ，－(λ＋μ－1))，∴＝(－λ－1，μ，－(λ＋μ－1))．由即解得滿足題意，所以存在點N，使得BN⊥平面PCD...……………………………10分且N(，，)，＝,所以點N到直線PD的距離為.………………………………12分22．解：（1）四邊形為矩形，，又，為中點，；平面，，平面，，平面，又平面，，，，平面，平面，又平面，..………………………………5分（2）由，，，；由（1）知：平面，（當且僅當時取等號），即時，三棱錐的體積最大，.………………………………7分又為中點，；則以為坐標原點，的方向為軸正方向可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，，，由（1）知：平面，平面的一個法向量為；設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，，.………………………………10分由圖形可知：二面角為鈍二面角，二面角的余弦值為..………………………………12分

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