?2022－2023學(xué)年度上期期末學(xué)業(yè)水平階段性監(jiān)測
九年級數(shù)學(xué)
一、選擇題
1. 下列各點在反比例函數(shù)y＝﹣圖象上的是（ ）
A. (1，3) B. (﹣3，﹣1) C. (﹣1，3) D. (3，1)
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)y＝﹣得k＝xy＝?3，所以只要點的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的積等于?3，就在函數(shù)圖象上．
【詳解】解：k＝xy＝?3，
A．xy＝1×3≠k，不符合題意；
B．xy＝?3×（?1）＝3≠k，不合題意；
C．xy＝?1×3＝?3＝k，符合題意；
D．xy＝3×1＝3≠k，不合題意．
故選：C．
【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，所有在反比例函數(shù)上的點的橫縱坐標(biāo)的積應(yīng)等于比例系數(shù)．
2. 如圖是《九章算術(shù)》中“塹堵”的立體圖形，它的左視圖為（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)左視圖的意義和畫法可以得出答案．
【詳解】解：∵該幾何體為放倒的三棱柱，
∴根據(jù)左視圖的畫法，從左往右看，看到的是一個直角在左邊的直角三角形，
故選：A．
【點睛】本題考查簡單幾何體的三視圖，熟練掌握簡單幾何體的三視圖是解答本題的關(guān)鍵．從正面、上面和左面三個不同的方向看一個物體，并描繪出所看到的三個圖形，即幾何體的三視圖．
3. 下列一元二次方程有實數(shù)解的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)判別式與根的關(guān)系逐個判斷即可得到答案．
【詳解】解：由題意可得，
A選項無實數(shù)解，故A選項不符合題意；
B選項無實數(shù)解，故B選項不符合題意；
C選項無實數(shù)解，故C選項不符合題意；
D選項，有實數(shù)解，故D選項符合題意；
故選D．
【點睛】本題考查根與判別式的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟練掌握：，有兩個不等的實數(shù)根；，有兩個相等的實數(shù)根；，無實數(shù)根．
4. 下列命題為假命題的是（ ）
A. 對角線相等的平行四邊形是矩形 B. 對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
C. 有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形是正方形 D. 有一組鄰邊相等的矩形是正方形
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)矩形、菱形、正方形判定方法，一一判斷即可．
【詳解】解：A、對角線相等的平行四邊形是矩形，是真命題，本選項不符合題意．
B、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，是真命題，本選項不符合題意．
C、有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形可能是長方形，是假命題，應(yīng)該是矩形，推不出正方形，本選項符合題意．
D、有一組鄰邊相等的矩形是正方形，是真命題，本選項不符合題意．
故選：C．
【點睛】本題考查命題與定理，矩形、菱形、正方形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的判定方法，屬于中考常考題型．
5. 若關(guān)于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，則c的值為（　?。?br /> A. ﹣3 B. 0 C. 3 D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】先移項把方程化為再配方可得結(jié)合已知條件構(gòu)建關(guān)于c的一元一次方程，從而可得答案．
【詳解】解：x2+6x+c＝0，
移項得：
配方得： 而（x+3）2＝2c，

解得：
故選C
【點睛】本題考查的是配方法，掌握“配方法解一元二次方程的步驟”是解本題的關(guān)鍵．
6. 在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)和的圖像大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】分或，根據(jù)一次函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案．
【詳解】解：當(dāng)時，一次函數(shù)經(jīng)過第一、二、三象限，反比例函數(shù)位于第一、三象限；
當(dāng)時，一次函數(shù)經(jīng)過第一、二、四象限，反比例函數(shù)位于第二、四象限；
故選：D．
【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，熟練掌握，圖像經(jīng)過第一、三象限，，圖像經(jīng)過第二、四象限是解題的關(guān)鍵．
7. 如圖，在矩形中，對角線相交于點O，點E是邊的中點，點F在對角線上，且，連接．若，則的長為（ ）

A. B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】由可得點F為中點，從而可得為的中位線，進(jìn)而求解．
【詳解】解：在矩形中，，，
∵，
∴，
∴點F為中點，
又∵點E為邊的中點，
∴為的中位線，
∴．
故選：A．
【點睛】本題考查矩形性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握三角形的中位線的性質(zhì)．
8. 如圖，在中，點，，分別在邊，，上，連接，，已知四邊形是平行四邊形，．若的面積為，則平行四邊形的面積為（ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】利用平行條件證明，分別求出、的相似比，通過相似三角形的面積比等于相似比的平方分別求出、，最后通過求出．
【詳解】∵四邊形是平行四邊形，
∴，，，
∴，
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故選：B．
【點睛】本題考查了相似三角形，熟練掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方、靈活運用平行條件證明三角形相似并求出相似比是解題關(guān)鍵．
二、填空題
9. 已知，若b+d≠0，則＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】分別設(shè)a=2m，c=2n，根據(jù)可用m、n表示出b、d，代入所給代數(shù)式即可得答案.
【詳解】設(shè)a=2m，c=2n，
∵，
∴b=3m，d=3n，
∴==，
故答案為：
【點睛】本題考查等比性質(zhì)的應(yīng)用，若，則=k，熟練掌握等比性質(zhì)是解題關(guān)鍵.
10. 當(dāng)重復(fù)試驗次數(shù)足夠多時，可用頻率來估計概率．歷史上數(shù)學(xué)家皮爾遜（Pearson）曾在實驗中擲均勻的硬幣24000次，正面朝上的次數(shù)是12012次，頻率約為0.5，則擲一枚均勻的硬幣，正面朝上的概率是 _____．
【答案】0.5##
【解析】
【分析】根據(jù)大量重復(fù)試驗中事件發(fā)生的頻率可以表示概率解答即可．
【詳解】解：當(dāng)重復(fù)試驗次數(shù)足夠多時，頻率逐漸穩(wěn)定在0.5左右，
∴擲一枚均勻的硬幣，正面朝上的概率是0.5．
故答案為：0.5．
【點睛】本題主要考查了用頻率估計概率，熟練掌握大量重復(fù)試驗中事件發(fā)生的頻率可以表示概率是解答本題的關(guān)鍵．
11. 如圖，點是反比例函數(shù)的圖象上任意一點，過點作軸的垂線，垂足為，連接，則的面積為________．

【答案】
【解析】
【分析】直接根據(jù)反比例函數(shù)（k≠0）系數(shù)k的幾何意義求解．
【詳解】根據(jù)題意得△OAB的面積
故答案為1.
【點睛】考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，是?？键c，需要學(xué)生熟練掌握.
12. 關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則的取值范圍為_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用一元二次方程有實數(shù)根，判別式即可求解．
【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，
∴，
解得，
故答案為：
【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式，熟記：對于一元二次方程時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；時，方程有兩個相等的實數(shù)根；時，方程沒有實數(shù)根．
13. 如圖，在中，，，，以點B為圓心，長為半徑畫弧，與交于點D，再分別以A，D為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點M，N，作直線，分別交，于點E，F(xiàn)，則線段的長為______．

【答案】##0.75
【解析】
【分析】根據(jù)勾股定理求出根據(jù)作圖可得，可得，垂直平分，即可得到，易得，即可得到答案．
【詳解】解：∵，，，
∴，
∵以點B為圓心，長為半徑畫弧，與交于點D，
∴，
∴，
∵垂直平分，
∴，，
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案為．
【點睛】本題考查勾股定理，垂直平分線，三角形相似的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理及垂直平分線得到．
三、解答題
14.
（1）解方程：（x＋8）（x＋1）＝－12；
（2）解方程：．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）根據(jù)多項式乘多項式展開，利用因式分解法求解即可得到答案；
（2）直接利用直接開平方法即可得到答案．
【小問1詳解】
解：原方程變形可得，
，
即，
因式分解可得，
，
即：或，
∴，；
【小問2詳解】
解：兩邊直接開平方可得，
，
即：或，
解得：，．
【點睛】本題考查解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是選擇適當(dāng)?shù)慕夥ㄇ蠼猓?br /> 15. 為落實國家“雙減”政策，學(xué)校在課后托管時間里開展了“A－音樂、B－體育、C－文學(xué)、D－美術(shù)”四項社團(tuán)活動．學(xué)校從全校名學(xué)生中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行“你最喜歡哪一種社團(tuán)活動”的問卷調(diào)查（每人必選且只選一種），并根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)圖中信息，解答下列問題：

（1）參加調(diào)查的學(xué)生共有______人；條形統(tǒng)計圖中m的值為______；扇形統(tǒng)計圖中的度數(shù)為______；根據(jù)調(diào)查結(jié)果，可估計該校名學(xué)生中最喜歡“音樂”社團(tuán)的約有______人；
（2）現(xiàn)從“文學(xué)”社團(tuán)里表現(xiàn)優(yōu)秀的甲、乙、丙、丁四名同學(xué)中隨機(jī)選取兩名參加演講比賽，請用列表或畫樹狀圖的方法求出恰好選中甲和乙兩名同學(xué)的概率．
【答案】（1），，，
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)B－體育兩個圖形中的數(shù)量求出調(diào)查人數(shù)，利用總數(shù)減去A、B、C的量即可得到m的值，用乘以C所占比例即可得，最后用總?cè)藬?shù)乘以“音樂”社團(tuán)的百分比即可得到答案；
（2）根據(jù)樹狀圖法直接列出所有情況找到甲和乙兩名同學(xué)的情況即可得到答案．
【小問1詳解】
解：由題意可得，
參加調(diào)查的學(xué)生共有：（人），
，
，
1200名學(xué)生中最喜歡“音樂”社團(tuán)的約有：（人），
故答案為：，，，；
【小問2詳解】
解：由題意可得，

由上圖可得總共有6種情況，甲和乙兩名同學(xué)被抽中的情況有1種，
∴，
∴選中甲和乙兩名同學(xué)的概率為．
【點睛】本題考查求樣本容量，圓心角，頻數(shù)及樹狀圖法求概率，解題的關(guān)鍵是根據(jù)兩個圖中共同出現(xiàn)的項求出樣本容量．
16. 某市從年起連續(xù)投入資金用于建設(shè)美麗城市，改造老舊小區(qū)．已知每年投入資金的增長率相同，其中年投入資金萬元，年投入資金萬元．
（1）求該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率；
（2）年老舊小區(qū)改造的平均費用為每個萬元．年為提高老舊小區(qū)品質(zhì)，每個小區(qū)改造費用計劃增加．如果投入資金年增長率保持不變，求該市年最多可以改造多少個老舊小區(qū)？
【答案】（1）
（2）18個
【解析】
【分析】（1）設(shè)該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為x，根據(jù)“2020年投入資金1000萬元，2022年投入資金1440萬元，現(xiàn)假定每年投入資金的增長率相同”列出方程，即可求解；
（2）設(shè)該市在2023年可以改造y個老舊小區(qū)，根據(jù)題意，列出不等式，即可求解．
【小問1詳解】
解：設(shè)該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為x，
依題意得：，
解得：（不合題意，舍去）．
答：該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長率為．
【小問2詳解】
解：設(shè)該市在2023年可以改造y個老舊小區(qū)，
依題意得：，
解得：，
又∵y為整數(shù)，
∴y的最大值為18．
答：該市在2023年最多可以改造18個老舊小區(qū)．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確列出方程和不等式是解題的關(guān)鍵．
17. 如圖，點E是正方形 的對角線延長線上一點，連接，將繞點B順時針旋轉(zhuǎn)至，連接，交于點G．

（1）求證：；
（2）若正方形的邊長為4，點G為的中點，求的長．
【答案】（1）檢查詳解
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)是正方形的對角線得到，，結(jié)合三角形內(nèi)外角關(guān)系即可得到，根據(jù)繞點B順時針旋轉(zhuǎn)至，得到，，即可得到，，即可得到證明；
（2）根據(jù)中點得到，由（1）得，即可得到，即可得到答案．
小問1詳解】
證明：∵是正方形的對角線，
∴，，，
∵，
，
∴，
∵繞點B順時針旋轉(zhuǎn)至，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴；
【小問2詳解】
解：∵正方形的邊長為4，點G為的中點，
∴，
由（1）得，
∵，
∴，
∴．
【點睛】本題考查三角形相似的判定與性質(zhì)，同角余角相等及三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到判斷三角形相似的條件．
18. 如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點，與y軸交于點B，與x軸交于點．

（1）求k與m的值；
（2）點為x軸正半軸上的一點，且的面積為，求a的值．
（3）在（2）的條件下，在平面內(nèi)是否存在一點Q，使以點A，B，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；不存在，請說明理由．
【答案】（1）3，6；
（2）
（3）存在，坐標(biāo)為或或
【解析】
分析】（1）將代入一次函數(shù)求出一次函數(shù)解析式，再將代入一次函數(shù)求出n，代入反比例函數(shù)即可得到答案；
（2）求出B點坐標(biāo)，連接，根據(jù)列方程即可得到答案；
（3）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)對角線互相平分，分、、三個對角線討論即可得到答案．
【小問1詳解】
解：將代入一次函數(shù)得，
，解得：，
∴，
將代入得，
，
將代入反比例函數(shù)得，
，
故答案：3，6；
【小問2詳解】
解： 當(dāng)時，，
∴，
由題意可得，
，
解得：；
【小問3詳解】
解：由（2）得，，，，
當(dāng)是對角線時，根據(jù)對角線互相平分可得，
，
，
∴；
當(dāng)是對角線時，根據(jù)對角線互相平分可得，
，
，
∴；
當(dāng)是對角線時，根據(jù)對角線互相平分可得，
，
，
∴；
綜上所述Q的坐標(biāo)為：或或．
【點睛】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點，圍成特殊圖形及面積問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握待定系數(shù)法，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，根據(jù)平行四邊形對角線互相平分分類討論．
B卷（50分）
一、填空題
19. 已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則a的值為___________．
【答案】
【解析】
【分析】把點的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式，求出a的值即可．
【詳解】解：把點代入得：
．
故答案為：．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征，明確函數(shù)圖像經(jīng)過一個點，這個點的坐標(biāo)就符合函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵．
20. 已知、是一元二次方程的兩個根，則的值為___________．
【答案】
【解析】
【分析】由于、是一元二次方程的兩個根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得，而是方程的一個根，可得，即，那么，再把、的值整體代入計算即可．
【詳解】解：∵、是一元二次方程的兩個根，
∴，
∵是方程的一個根，
∴，
∴，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系，求代數(shù)式的值，一元二次方程解的定義．解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程兩根、之間的關(guān)系：，．
21. 如圖，點E，F(xiàn)，G，H分別是正方形四邊的中點，，，，圍成圖中陰影部分．隨機(jī)地往正方形內(nèi)投擲飛鏢，飛鏢擊中陰影部分的概率是______．

【答案】
【解析】
【分析】設(shè)正方形邊長為a，表示出正方形的面積，易得即可得到，從而得到陰影部分面積即可得到答案．
【詳解】解：設(shè)正方形邊長為a，由題意可得，
，
∵點E，F(xiàn)，G，H分別是正方形四邊的中點，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案為．
【點睛】本題考查求簡單概率，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是表示出陰影部分的面積．
22. 如圖是某風(fēng)車的示意圖，其大小相同的四個葉片均勻分布，點M在旋轉(zhuǎn)中心O的正下方．某一時刻，太陽光恰好垂直照射葉片，葉片影子為線段，測得米，米，此時垂直于地面的標(biāo)桿與它的影子的比為（其中點M，C，D，F(xiàn)，G在水平地面上），則的高度為______米，葉片的長為______米．

【答案】 ①. 10 ②.
【解析】
【分析】作，根據(jù)平行線分線段成比例定理可知PC=PD，由EF與影子FG的比為2：3，可得OM的長，同法由等角的正弦可得OB的長，從而得結(jié)論．
【詳解】解：如圖，過點O作，交于P，過P作于N，則，

∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，即，
∴，
故答案為：10，．
【點睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．
23. 如圖，矩形中，，，點是邊上一個動點，過點作的垂線，交直線于點，則＋＋的最小值為______．

【答案】
【解析】
【分析】設(shè)交于點，過點作交于，過點作，使，連接，當(dāng)、、三點共線時，，分別求出、的長度即可．
【詳解】
過點D作交BC于M，過點A作，使，連接NE，
四邊形ANEF是平行四邊形，
，
當(dāng)N、E、C三點共線時，最小，
四邊形ABCD是矩形，，
，
，
四邊形EFMD是平行四邊形，
，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
，
，
的最小值為，
故答案為：．
【點睛】本題考查了利用軸對稱求最短距離問題，勾股定理，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，平行四邊形的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識點，準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
二、解答題
24. 為防控疫情，學(xué)校對學(xué)生宿舍進(jìn)行消毒工作，先經(jīng)過的集中藥物噴灑，再封閉宿舍，然后打開門窗進(jìn)行通風(fēng)，宿舍內(nèi)空氣中含藥量（）與時間（）之間的函數(shù)圖像如圖所示，打開門窗前為線段和線段，打開門窗后為反比例函數(shù)關(guān)系．

（1）求線段和反比例函數(shù)的表達(dá)式；
（2）當(dāng)室內(nèi)空氣中的含藥量不低于且持續(xù)時間不低于分鐘時，才能有效消毒，請問這次消毒工作是否有效？
【答案】（1）線段為，反比例函數(shù)的表達(dá)式為
（2）此次消毒有效．理由見解析
【解析】
【分析】（1）將點代入即可求解，將點代入，即可求解；
（2）計算正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的函數(shù)值為對應(yīng)的自變量的值，則它們的差為含藥量不低于的持續(xù)時間，然后與分鐘比較大小即可判斷此次消毒是否有效．
【小問1詳解】
解：設(shè)線段為，將點代入得，，
∴線段為，
設(shè)反比例函數(shù)解析式為，將點代入得，
∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為
【小問2詳解】
此次消毒有效．理由如下：
當(dāng)時，，解得，
當(dāng)時，，解得，
∵，
∴此次消毒有效．
【點睛】本題考查了反比例函數(shù)應(yīng)用：能把實際的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立反比例函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，理解題意以及對函數(shù)的分類討論是解題關(guān)鍵．
25. 如圖，點A在反比例函數(shù)的圖像上，點A的縱坐標(biāo)為3．過點A作x軸的平行線交反比例函數(shù)的圖像于點C．點P為線段AC上一動點，過點P作的垂線，分別交反比例函數(shù)和的圖像于點B，D．

（1）當(dāng)時，
①若點P的橫坐標(biāo)為4（如圖1），求直線的函數(shù)表達(dá)式；
②若點P是的中點（如圖2），試判斷四邊形的形狀，并說明理由；
（2）四邊形能否成為正方形？若能，求此時m，n之間的數(shù)量關(guān)系；若不能，說明理由．
【答案】（1）①直線的解析式為；②四邊形是菱形，理由見解析
（2）四邊形能成為正方形，．
【解析】
【分析】（1）①先確定出點A，B坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論；②先確定出點D坐標(biāo)，進(jìn)而確定出點P坐標(biāo)，進(jìn)而求出，即可得出結(jié)論；
（2）先確定出，，進(jìn)而求出點P的坐標(biāo)，再求出B，D坐標(biāo)，最后用，即可得出結(jié)論．
【小問1詳解】
解：①∵，
∴反比例函數(shù)為，
當(dāng)時，，
∴，
當(dāng)時，
∴，
∴，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∴，解得，
∴直線的解析式為；
②四邊形是菱形，
理由如下：由①知，，
∵軸，
∴，
∵點P是線段的中點，
∴，
當(dāng)時，由得，，
由得，，
∴，，
∴，
∵，
∴四邊形為平行四邊形，
∵，
∴四邊形是菱形；
【小問2詳解】
解：四邊形能是正方形，
理由：當(dāng)四邊形是正方形，記的交點為P，P為的中點，
∴，
當(dāng)時，由得，，
由得，，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴．
【點睛】此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，平行四邊形的判定，菱形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，判斷出四邊形是平行四邊形是解本題的關(guān)鍵．
26. 如圖，在中，，，，將繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到．點P，Q分別是，上的動點，且，連接，，，．

（1）當(dāng)時（如圖1），求BP的長；
（2）當(dāng)時（如圖2），求BP的長；
（3）是否存在點P，Q，使四邊形的面積為？若存在，請求出的長；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在，或3；
【解析】
【分析】（1）根據(jù)勾股定得到，根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到，，，，結(jié)合可得，即可得到答案；
（2）過C作，易得，，即可得到答案；
（3）在中根據(jù)等積法求出邊的高，設(shè)，利用列方程求解即可得到答案．
【小問1詳解】
解：∵，，，
∴，
∵繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小問2詳解】
解：過C作，
∵，繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小問3詳解】
解：存在，理由如下，
設(shè)，在中，
，
∴，
∵，且四邊形的面積為，
∴ ，
解得：，，
∴當(dāng)?shù)拈L為或3時四邊形的面積為．
【點睛】本題考查勾股定理，三角形相似的性質(zhì)與判定，一元二次方程解圖形面積問題，解題的關(guān)鍵是作輔助線經(jīng)過三角形相似轉(zhuǎn)換及等積法求高．

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